怎樣推導梁的應力公式、變形公式

1、05、基本知識 怎樣推導梁的應力公式、變形公式（供參考）05、基本知識 怎樣推導梁的應力公式、變形公式（供參考）同學們學習下面內(nèi)容后，一定要向老師回信（849896803），說出你對本資料的看法（收獲、不懂的地方、資料有錯的地方），以便考核你的平時成績和改進我的工作?；匦耪堊⒚靼嗉壓蛯W號的后面三位數(shù)。1* 問題的提出12下面就用統(tǒng)一的步驟，研究梁的應力公式和變形公式。231.1梁的純彎曲（純彎曲：橫截面上無剪力的粱段）應力公式推導241.2 梁彎曲的變形公式推導（僅研究純彎曲）551.3 彎曲應力公式和變形公式的簡要推導661.4 梁彎曲的正應力強度條件和剛度條件的建立772.1 梁剪切的應力

2、公式推導882.2 梁彎曲的剪應力強度條件的建立993. 軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)、梁的彎曲剪切，應力公式和變形公式推導匯總表91 * 問題的提出在材料力學里，分析桿件的強度和剛度是十分重要的，它們是材料力學的核心內(nèi)容。強度條件就是工作應力不超過許用應力，即，、；剛度條件就是工作變形不超過許用變形，即，、。如，梁彎曲強度條件：；剪切強度條件：剛度條件：撓度；轉(zhuǎn)角這里帶方括號的，是材料的某種許用值。由材料實驗確定出破壞值，再除以安全系數(shù)，即得。顯然，不等式左側(cè)的工作應力和工作變形計算公式，是十分重要的。如果把各種應力公式和變形公式的來歷搞明白，對于如何進行強度分析和剛度分析（這是材料力學的主要內(nèi)容）就會得

3、心應手。桿件的基本變形一共四種：軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)、剪切和彎曲變形。它們分別在軸向拉壓桿、扭轉(zhuǎn)軸、梁的各章講授。其對應的公式各異，但是，推導這些公式的方法卻是一樣的，都要從靜力、幾何、物理三個方面考慮，從而導出相應的應力公式，在導出應力公式之后，就可以十分方便地獲得變形公式。2 下面就用統(tǒng)一的步驟，研究梁的應力公式和變形公式。一般來說，多按靜力、幾何、物理的順序分析和講解這三個方面的問題。力是看不見、摸不著的，只能夠感知自身所受的力，或者理性思考、感悟、想象自身以外的物體所承受的力（這是力學難學的根本之所在）。變形是可以觀測的，或者借助易變形的橡膠模型觀測到。由于物體運動可以觀測到，速度、加速度不

4、難理解，而絕大部分物體的變形很難肉眼觀測，研究平衡狀態(tài)下的內(nèi)力和變形的難度進一步加深。物理方面是指材料的力學性質(zhì)，主要是應力應變關(guān)系，這必須試驗確定。在材料力學中主要用到線彈性材料胡克定律，基本上沒有難度。故，本文按先易后難的順序（幾何、物理、靜力）展開分析和研究。1 梁的彎曲3 1.1梁的純彎曲（純彎曲：橫截面上無剪力的粱段）應力公式推導1.1.1 幾何學方面變形協(xié)調(diào)：連續(xù)介質(zhì)在變形后仍然是連續(xù)介質(zhì)。考察一端固定，一端受彎矩M作用的梁（純彎曲）。根據(jù)“平截面假設(shè)”，其變形圖示如下：圖1-1 在平截面假設(shè)下，（1）同一橫截面上各點（z，y）應變沿y線性分布；（2）應變與梁高方向的y值成正比，比

5、例常數(shù)cx僅與橫截面位置有關(guān)；（3）中性軸z上各點（y=0）的應變?yōu)榱恪Mdxzxy=yddyxzdxMMdxzy=yddyxzdx(a) 彎曲前平面圖(b) 彎曲后平面圖(c) 彎曲前立體圖(d) 彎曲后立體圖從橡膠棒的純彎曲試驗，我們觀測到純彎曲時，各橫截面繞面內(nèi)的某軸（中性軸Z）轉(zhuǎn)過一個角度（如圖1-1、1-2中的d），橫截面仍然保持為平面，Mxyz圖1-2 在平截面假設(shè)下同一橫截面上各點（z，y）應變沿y線性分布，y=0各點為零zdxy拉,maxdx壓,maxdxydMxydxydx公式（1）表明：各縱向纖維（x方向）的單位長度伸長量x（線應變、正應變）可表示為，同一截面各點（y坐標

6、不同）對應的縱向纖維原長dx是一樣的，但伸長量yd不同，隨y線性變化。對于對應的縱向纖維，故各條縱向纖維的單位長度伸長量x(y)是不一樣大的。主題字母表示物理量為應變，下標x表示該量的方向，圓括號(y)內(nèi)的y表示x的自變量是y，即x(y)表示x方向的縱向纖維線應變，它隨y值變化。，表示梁同一橫截面上各點的應變x沿y方向線性分布，沿z方向不變。在y=0，即中性軸z軸上各點的應變?yōu)榱?。正彎曲作用的梁段上，中性層（為xz坐標面）以下的縱向纖維伸長，中性層以上的縱向纖維縮短。1.1.2 物理學方面應力應變關(guān)系（物質(zhì)本構(gòu)關(guān)系）：假設(shè)組成桿件的材料是線彈性的。雖然應變沿y線性分布，但不知材料性質(zhì)時，應力不

7、一定線性。沿y線性分布，由于(0)=0，故應力（y=0）=f()=f(0)=0，假設(shè)分布如左下圖則只有成立。Myzy拉,max壓,maxxyzzyydydA=bdybh/2h/2y圖1-3 彎矩與正應力的一般表達式1.1.3 靜力學方面合力定理：合力等于分力之和。在梁的橫截面上的“廣義合力”為作用在xy面內(nèi)的力偶M（彎矩），故橫截面上各點“正應力”向z軸取力矩的代數(shù)和，應該等于彎矩M。把該橫截面劃分為若干個微小的矩形截面dA=bdy，設(shè)作用在dA截面的平均正應力為，則一個矩形微截面上的軸向力為。它對z軸的力矩為，y為微截面dA形心到中性軸z的距離。根據(jù)“合力偶等于分力偶之和”，則1.1.4 由

8、上述三個關(guān)系式可以推導出軸向拉壓桿的橫截面應力公式。為了方便推導和閱讀，把上面的幾何學、物理學、靜力學三個方面的公式匯集如下：，為了求得應力公式，推導如下;式中，稱為橫截面對形心軸z的慣性矩，顯然，其單位為長度的4次方。將（1）（2）式回代到（4）：將（6）式恒等變形，得教科書上梁的應力計算公式：（7）式表明梁的正應力沿梁高方向y成線性分布。注1：推導（4）式的目的是把含有非幾何量的積分式，恒等變形為不顯含積分的表達式，積分，則隱含在慣性矩的定義式中，該積分僅僅是橫截面形狀、大小的函數(shù)，與內(nèi)力（彎矩M）無關(guān)，即可以對不同形式截面的慣性矩事先予以計算。注2：在梁的橫截面上有線性分布的正應力，但是

9、，它們的合力為零，即梁的橫截面上沒有軸向力?，F(xiàn)證明如下：注3：實驗和進一步的理論研究都指出，純彎曲的應力公式可以應用于橫力彎曲，只要梁長不小于梁高的5倍，即長梁，其計算精度滿足土木工程要求。注4：由和圖1-4所示矩形截面，可導出矩形截面的慣性矩。zyydydA=bdybh/2h/2圖1-4 矩形截面梁慣性矩的推導4 1.2 梁彎曲的變形公式推導（僅研究純彎曲）在獲得應力公式后，利用推導梁的應力公式過程中所使用過的線彈性關(guān)系式和幾何關(guān)系式，即，便可得到梁的變形公式。，整理后，得 （8）式中的是曲率，由數(shù)學知：，考慮到坐標軸y向下為正和對彎矩正負號的規(guī)定，故應取 ，把（9）代入（8）得，此即是梁的

10、彎曲微分方程。對它積分一次得梁的轉(zhuǎn)角方程（11）式，積分兩次得梁的撓曲方程（12）式。兩式中的積分常數(shù)c1和c2由梁的轉(zhuǎn)角和撓度邊界條件確定。5 1.3 彎曲應力公式和變形公式的簡要推導為了方便讀者理清上述推導的思路，將其濃縮如下：1.3.1 建立三個關(guān)系幾何關(guān)系：物理關(guān)系：靜力關(guān)系：1.3.2 推導應力公式為了求得應力公式，推導如下;定義，稱為橫截面對形心軸z的慣性矩，其單位為長度的4次方。圖1-5 矩形截面的慣性矩計算公式的推導zyybh/2h/2慣性矩定義式：dy將（6）式恒等變形，得教科書上梁的應力計算公式：1.3.3 推導變形公式根據(jù) 、和，便可得到梁的變形公式。，整理后，得 由數(shù)學

11、知曲率：，考慮到坐標軸y向下為正和對彎矩正負號的規(guī)定，故應取 ，把（10）代入（9）得，此即是梁的彎曲微分方程。對它積分一次得梁的轉(zhuǎn)角方程（12）式，積分兩次得梁的撓曲方程（13）式。兩式中的積分常數(shù)c1和c2由梁的轉(zhuǎn)角和撓度邊界條件確定。6 1.4 梁彎曲的正應力強度條件和剛度條件的建立強度條件就是工作應力不超過許用應力，即，；剛度條件就是工作變形不超過許用變形，即，梁的正應力強度條件：，截面抗彎模量：梁的抗撓曲剛度條件：，2 梁橫力彎曲中的剪切7 2.1 梁剪切的應力公式推導由于純彎曲中沒有剪力，故不存在剪應力。由于純彎曲的正應力公式可以用于橫力彎曲，在橫力彎曲中存在剪力，故用梁的彎曲正應

12、力公式可得梁的剪應力公式。具體做法是，以矩形截面梁為例，把彎曲正應力公式用于分析dx微段梁（dx，b，h）的一部分梁塊（dx，b，h/2-y）。圖2-1 由彎曲正應力公式推導剪應力公式的一般表達式h/2-yyzyybh/2h/2yyxyx1h/2yx1yx1xy3xy1xy2剪應力互等定理：x (y)(b)代入(a)整理得：微分關(guān)系：，剪應力公式：定義面積A*的靜矩：定義面積A的靜矩：定義面積A的形心坐標yC為使靜矩等于零的點的y坐標值。ZCZAdAyyCy由此有 故 A*dxx (y)+dx (y)8 2.2 梁彎曲的剪應力強度條件的建立強度條件就是工作應力不超過許用應力，即，；剪應力強度條件：截面抗彎模量：9 3. 軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)、梁的彎曲剪切，應力公式和變形公式推導匯總表軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)、梁的彎曲剪切，應力公式和變形公式推導匯總表變形種類1、幾何方面2、物理方面3、靜力方面應力公式變形公式軸向拉壓橫截面沿軸線相對平移扭轉(zhuǎn)橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動梁彎曲橫截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)動梁剪切橫截面垂直于軸線相對平移（錯動、滑動）考慮微粱段一部分x方向的平衡，由彎曲正