彈塑性力學(xué)___第四章_彈性力學(xué)的求解方法

1、第四章第四章 彈彈塑塑性力學(xué)性力學(xué)基礎(chǔ)理論的建立及基本解法基礎(chǔ)理論的建立及基本解法 4-1 彈彈塑塑性力學(xué)性力學(xué)基本理論的建立基本理論的建立彈塑性力學(xué)的任務(wù)：研究各種具體幾何尺寸的研究各種具體幾何尺寸的彈性、彈塑性體或剛塑性體在各種幾何約束及彈性、彈塑性體或剛塑性體在各種幾何約束及承受不同外力作用時(shí)、發(fā)生于其內(nèi)部的應(yīng)力分承受不同外力作用時(shí)、發(fā)生于其內(nèi)部的應(yīng)力分布與變形（或位移）規(guī)律。布與變形（或位移）規(guī)律。與材料力學(xué)一樣，彈塑性力學(xué)所求解的大多與材料力學(xué)一樣，彈塑性力學(xué)所求解的大多數(shù)問題是超靜定問題，因此其基礎(chǔ)理論的數(shù)問題是超靜定問題，因此其基礎(chǔ)理論的建立來自三個(gè)方面的客觀規(guī)律建立來自三個(gè)方面

2、的客觀規(guī)律：平衡方平衡方程程 ；幾何方程幾何方程 ；本構(gòu)方程本構(gòu)方程 1. 平衡平衡（或運(yùn)動(dòng)（或運(yùn)動(dòng)方程方程） 若等式右式不等零，即表示物體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，若等式右式不等零，即表示物體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則根據(jù)理論力學(xué)中的達(dá)朗伯原理需將上式右端等于括號(hào)則根據(jù)理論力學(xué)中的達(dá)朗伯原理需將上式右端等于括號(hào)內(nèi)的慣性力項(xiàng)。內(nèi)的慣性力項(xiàng)。 方程只表明物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)與其鄰點(diǎn)的應(yīng)力方程只表明物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)與其鄰點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)之間在平衡（或運(yùn)動(dòng)）時(shí)所滿足的關(guān)系。狀態(tài)之間在平衡（或運(yùn)動(dòng)）時(shí)所滿足的關(guān)系。2. 幾何方程幾何方程與應(yīng)變協(xié)調(diào)方程與應(yīng)變協(xié)調(diào)方程xyzx yy xy zz yz xx zuxv

3、ywzvuxywvyzwuxz)(21,ijjiijuu （1）幾何方程）幾何方程此式表明在小變形條件下，物體內(nèi)一點(diǎn)附近的變形情況和該點(diǎn)的此式表明在小變形條件下，物體內(nèi)一點(diǎn)附近的變形情況和該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)之間的關(guān)系。應(yīng)變狀態(tài)之間的關(guān)系。（2）應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（變形連續(xù)必條件）（變形相容條件）應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（變形連續(xù)必條件）（變形相容條件）可縮寫為：可縮寫為：上述方程是六個(gè)應(yīng)變分量 保證三個(gè)位移分量 為單值連續(xù)函數(shù)（保持連續(xù)）的條件。 3、本構(gòu)方程（物性方程）、本構(gòu)方程（物性方程）（1）在彈性變形階段，且屈服函數(shù) 則有 如用應(yīng)變表示應(yīng)力，則有為了與塑性變形本構(gòu)方程對(duì)比，也可將本構(gòu)方程表示為（2）在彈塑性

4、變形階段，屈服函數(shù) 則有A 增量理論（流動(dòng)理論）增量理論（流動(dòng)理論）(i) Prandtl - reuss (v1/2)a 理想彈塑性材料b 等向強(qiáng)化材料（ii）Levy-Mises(v=1/2)（a）理想剛塑性材料(b)等向強(qiáng)化材料B全量理論（形變理論）全量理論（形變理論）強(qiáng)化材料V1/2 ， 則總之，當(dāng)物體發(fā)生變形時(shí)，不論彈性變形或是塑性變形問題，共有三個(gè)平衡微分方程，主個(gè)幾何方程，六個(gè)本構(gòu)方程，共計(jì)15個(gè)獨(dú)立方程（統(tǒng)稱泛定方程泛定方程）而問題有 共計(jì)15個(gè)基本未知函數(shù)。因此，在給定邊界條件時(shí)，問題是可以求解的。彈塑性力學(xué)的這種問題在數(shù)學(xué)上稱為求解邊值問題解邊值問題。4. 邊界條件：邊界條

5、件：（1）位移邊界條件：對(duì)于給定的表面位移邊界條件：對(duì)于給定的表面Su，其上沿，其上沿x，y，z方向給定位移為方向給定位移為 ，則，則wwvvuu,wvu,（2）應(yīng)力邊界條件：給定表面上的面力為應(yīng)力邊界條件：給定表面上的面力為zyxTTT,zzyzxzyyzyxyxxzxyxTnmlTnmlTnml 以上這些方程的解答是唯一的以上這些方程的解答是唯一的彈性力學(xué)問題求解也稱為彈性力學(xué)邊值問題求解彈性力學(xué)問題求解也稱為彈性力學(xué)邊值問題求解4-2 彈塑性力學(xué)問題的提法第二類邊值問題第二類邊值問題：給定物體的體力和物體表面各點(diǎn)位移的約束情給定物體的體力和物體表面各點(diǎn)位移的約束情況，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力

6、場和物體內(nèi)部了位移場，即所謂邊況，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場和物體內(nèi)部了位移場，即所謂邊界位移已知的問題界位移已知的問題第一類邊值問題第一類邊值問題：給定物體的體力和面力，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)給定物體的體力和面力，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場和位移場，即所謂邊界應(yīng)力已知的問題力場和位移場，即所謂邊界應(yīng)力已知的問題第三類邊值問題第三類邊值問題：在物體表面上，一部分給定面力，其余部分給在物體表面上，一部分給定面力，其余部分給定位移（或在部分表面上給定外力和位移的關(guān)系）的條件下求解定位移（或在部分表面上給定外力和位移的關(guān)系）的條件下求解上述問題，即所謂混合邊值問題。上述問題，即所謂混合邊值問題。彈塑性力學(xué)問題的

7、提法必須使定解問題是適定的，即：彈塑性力學(xué)問題的提法必須使定解問題是適定的，即：有解有解 解是唯一的解是唯一的解是穩(wěn)定的解是穩(wěn)定的 。根據(jù)具體問題邊界條件類型的不同，常把邊值問題分為根據(jù)具體問題邊界條件類型的不同，常把邊值問題分為三類三類 在求解彈塑性力學(xué)邊值問題時(shí)，我們還應(yīng)注意到以下幾個(gè)問題：在求解彈塑性力學(xué)邊值問題時(shí)，我們還應(yīng)注意到以下幾個(gè)問題：（1）邊界條件的個(gè)數(shù)必須給的不多不少，才能得到正確的解答。（2）對(duì)于塑性力學(xué)問題在給定因載路徑時(shí)，可以對(duì)每時(shí)每刻求出增量，然后用累計(jì)（積分）的方法得出應(yīng)力和應(yīng)變的分布規(guī)律。對(duì)于加載過程的彈塑性問題可作為非線性彈性力學(xué)問題來處理，如果出現(xiàn)卸載問題，卸

8、載時(shí)必須根據(jù)彈性變形規(guī)律來處理。 （3）在彈性變形狀態(tài)下，物體有的部分進(jìn)入的塑性狀態(tài)，有的部分還處理彈性狀態(tài)，也就是說，首先要找到彈塑性區(qū)域的分界面，然后在彈性區(qū)域應(yīng)用彈性本構(gòu)議程，在塑性區(qū)域應(yīng)用塑性本構(gòu)方程。在尋求彈性交界面時(shí)可應(yīng)用這兩種區(qū)域間的連續(xù)條件和間斷性條件。 （4）當(dāng)理想彈性材料的物體處于彈塑性狀態(tài)時(shí)，泛定方程中多了一個(gè) 的未知參數(shù)，不過也增加了屈服條件 因?yàn)?，只有在?yīng)力滿足屈服條件時(shí) 才不等于零。此時(shí)，可引用屈服條件求解。 在求解彈塑性邊值問題時(shí)，有三種不同的解題方法。在求解彈塑性邊值問題時(shí)，有三種不同的解題方法。1. 位移法位移法：以位移作為基本未知量用以位移作為基本未知量用，

9、通常給定位移邊界條，通常給定位移邊界條件（第二類邊值問題）時(shí)，宜用此法。件（第二類邊值問題）時(shí)，宜用此法。2. 應(yīng)力法應(yīng)力法：以應(yīng)力作為基本未知量。以應(yīng)力作為基本未知量。通常給定應(yīng)力邊界條件通常給定應(yīng)力邊界條件（第一類邊值問題）時(shí)，宜用此法。（第一類邊值問題）時(shí)，宜用此法。3. 混合法混合法：對(duì)第三類邊值問題則宜以各點(diǎn)的一部分位移分量和一對(duì)第三類邊值問題則宜以各點(diǎn)的一部分位移分量和一部分應(yīng)力分量作為基本未知量混合求解。部分應(yīng)力分量作為基本未知量混合求解。4-3 彈塑性力學(xué)的基本解法彈塑性力學(xué)的基本解法位移法、應(yīng)力法、混合法統(tǒng)稱為直接求解法。位移法、應(yīng)力法、混合法統(tǒng)稱為直接求解法。由于這些方法在

10、數(shù)學(xué)上的困難和復(fù)雜性，人們又研究了各種解題方法：（1）逆解法（）逆解法（2）半逆解法（或湊合解）半逆解法（或湊合解法）（法）（3）迭代法）迭代法 求解物理量：求解物理量：6個(gè)應(yīng)力分量個(gè)應(yīng)力分量 6個(gè)應(yīng)變分量個(gè)應(yīng)變分量 3個(gè)位移分量個(gè)位移分量共15個(gè)未知量用于求解的方程：平衡微分方程用于求解的方程：平衡微分方程 3個(gè)個(gè) 幾何方程幾何方程 6個(gè)個(gè) 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 6個(gè)個(gè)共15個(gè)方程15個(gè)基本方程求解個(gè)基本方程求解15個(gè)未知量，數(shù)學(xué)上有解。個(gè)未知量，數(shù)學(xué)上有解。協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變解的條件，保證變形前后物體連續(xù)。協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變解的條件，保證變形前后物體連續(xù)。微分方程求解過程需要積分，積分常數(shù)由邊界條件確

11、微分方程求解過程需要積分，積分常數(shù)由邊界條件確定。定。4-4彈塑性力學(xué)的基本定理與原理彈塑性力學(xué)的基本定理與原理彈塑性力學(xué)計(jì)算中一個(gè)非常重要的簡化邊界條件的原理彈塑性力學(xué)計(jì)算中一個(gè)非常重要的簡化邊界條件的原理-圣維南原圣維南原理理圣維南原理圣維南原理: 如作用在彈性體表面某一局部面積上的力系為作用在如作用在彈性體表面某一局部面積上的力系為作用在同一局部力系上的另一靜力等效力系所代替，則載荷的這種重同一局部力系上的另一靜力等效力系所代替，則載荷的這種重新分布，只在離載荷作用處附近的地方，才使應(yīng)力的分布發(fā)生新分布，只在離載荷作用處附近的地方，才使應(yīng)力的分布發(fā)生顯著的變化，而在離載荷較遠(yuǎn)處則只產(chǎn)生較

12、小的局部影響。顯著的變化，而在離載荷較遠(yuǎn)處則只產(chǎn)生較小的局部影響。疊加原理疊加原理 實(shí)際結(jié)構(gòu)件往往同時(shí)受到幾組載荷作用，如果直接求所有載荷作實(shí)際結(jié)構(gòu)件往往同時(shí)受到幾組載荷作用，如果直接求所有載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，可能很復(fù)雜。而求單一載荷作用下的用下的彈性力學(xué)問題的解，可能很復(fù)雜。而求單一載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，一般更簡單。彈性力學(xué)問題的解，一般更簡單。 通過求不同單一載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，再用疊加通過求不同單一載荷作用下的彈性力學(xué)問題的解，再用疊加方法獲得復(fù)雜載荷的解的過程稱為方法獲得復(fù)雜載荷的解的過程稱為解的疊加原理解的疊加原理。 疊加原理：疊加原理：彈性體受幾組外力同時(shí)作用時(shí)的解等于每一組外力單彈性體受幾組外力同時(shí)作用時(shí)的解等于每一組外力單獨(dú)作用時(shí)對(duì)應(yīng)解的和。獨(dú)作用時(shí)對(duì)應(yīng)解的和。疊加原理疊加原理成立的條件成立的條件：小變形條件小變形條件（平衡、幾何方程才（平衡、幾何方程才為線性的），為線性的），彈性本構(gòu)方程彈性本構(gòu)方程（虎克定律）。（虎克定律）。