因式分解知識點總結(jié)及鞏固練習

1、知識梳理1. 因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。即：多項式幾個整式的積111 例： ax bxx( a333b)因式分解是對多項式進行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。2. 因式分解的方法：（1）提公因式法：定義： 如果多項式的各項有 公因式 ，可以把這個公因式提到括號外面， 將多項式寫 成因式乘積的形式，這個變形就是提公因式法分解因式。公因式： 多項式的各項都含有的相同的因式。公因式可以是一個數(shù)字或字母，也可 以是一個單項式或多項式。系數(shù) 取各項系數(shù)的最大公約數(shù)字母 取各項都含有的字母指數(shù) 取相同字母的最低次冪例： 12a3b3c 8a3b2c3 6a4

2、b2c2 的公因式是解析：從多項式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、-8 、6，它們的最大公約數(shù)為 2；字母部分 a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式 a3b2c ，故多項式的公因式是2 a3b2 c .提公因式的步驟第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并確定另一個因式，提公因式時，可用原多項式除以公因式，所得商即是 提公因式后剩下的另一個因式。注意： 提取公因式后， 對另一個因式要注意整理并化簡， 務必使因式最簡。 多項式中第一項 有負號的，要先提取符號。例 1：把 12a 2b 18ab2 24a3b3 分解因式 .解析：本題的各項系數(shù)的最大公約數(shù)是6，相同字母的

3、最低次冪是 ab，故公因式為 6ab。解： 12a2b 18ab2 24a3b36ab(2 a 3b 4a2b2)例 2：把多項式 3(x 4) x(4 x) 分解因式解析：由于 4 x (x 4) ，多項式 3(x 4) x(4 x) 可以變形為 3(x 4) x(x 4),我 們可以發(fā)現(xiàn)多項式各項都含有公因式 ( x 4),所以我們可以提取公因式 ( x 4)后, 再將多項式寫成積的形式 .解： 3( x 4) x(4 x)= 3(x 4) x( x 4)= (3 x)(x 4)2例 3：把多項式 x2 2x 分解因式解： x2 2x = ( x2 2x) x( x 2)(2) 運用公式法

4、 定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法。a. 逆用平方差公式： a2 b2 ( a b)(a b)b. 逆用完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2c. 逆用立方和公式： a3 b3 (a b)( a2 ab b2() 拓展)d. 逆用立方差公式： a3 b3 ( a b)(a2 ab b2() 拓展) 注意 ：公式中的字母可代表一個數(shù)、一個單項式或一個多項式。選擇使用公式的方法： 主要從項數(shù)上看， 若多項式是二項式可考慮平方差公式； 若 多項式是三項式，可考慮完全平方公式。例 1：因式分解 a2 14 a 49 解： a2 14a

5、 49 =(a 7)2例 2：因式分解 a2 2a (b c) (b c)22 2 2解： a2 2a(b c) (b c)2 =(a b c)2(3) 分組分解法(拓展)將多項式分組后能提公因式進行因式分解； 例：把多項式 ab a b 1 分解因式解： ab a b 1=(ab a) (b 1) =a(b 1) (b 1) (a 1)(b 1) 將多項式分組后能運用公式進行因式分解 .例：將多項式 a2 2ab 1 b2 因式分解解： a2 2ab 1 b2=(a2 2ab b2) 1 (a b)2 1 (a b 1)(a b 1)2(4)十字相乘法 (形如 x (p q)x pq (x

6、p)(x q) 形式的多項式，可以考慮運用 此種方法)方法：常數(shù)項拆成兩個因數(shù) p和q ，這兩數(shù)的和 p q為一次項系數(shù)2x (p q)x pq2x ( p q)x pq (x p)(x q)例：分解因式 x2 x 30補充點詳解 我們可以將 -30 分解成 p×q 的形式， 使 p+q=-1, p × q=-30, 我們就有 p=-6, q=5 或 q=-6,p=5 。 q=50 所以將多項式 x2 (p q)x pq 可以分 以分解為 (x p)(x q)分解因式 x2 52x 100補充點詳解我們可以將 100分解成 p×q 的形式， 使 p+q=52, p

7、 × q=100, 我們就有 p=2, 或 q=2,p=50 。2所以將多項式 x2 (p q)x pq 可解為 (x p)(x q)22x2 x 30 (x 6)(x 5)x2 52x 100 (x 50)(x 2)3. 因式分解的一般步驟：如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為： “一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。注意 ：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內(nèi)因式分解， 應該是指在有理

8、數(shù)范圍內(nèi)因式分解， 因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個 整式的積的形式 。例題解析提公因式法提取公因式：如果多項式的各項有公因式，一般要將公因式提到括號外面確定公因式的方法：系數(shù) 取多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)； 字母 (或多項式因式 ) 取各項都含有的字母 ( 或多項式因式 )的最低次冪 .分解因式： 15a a b2n 12n10ab b a ( n 為正整數(shù) )鞏固】分解因式： (x2ny)2n1 (x z)(xy)2n 2(yx)2n(y z)， n為正整數(shù) .例 2 】先化簡再求值，yxy x yx2y x2 ，其中 x2， y 12鞏固】求代數(shù)式的值：(3x22)2(2x 1)(3x2)

9、(2x1)2x(2x21)(2 3x) ，其中 x 23例 3 】已 知： b c a2，求 2a(a b3c)b(2c32a323b)1c(2b 2c 2a) 的值 .3鞏固】分解因式： x3(xyz)(y z a)2 xz(z xy)x2y(zx y)(x z a).4a2n 1bm2bm 1( m、 n為大于 1 的自然數(shù) )n6an公式法 平方差公式： a2 b2 (a b)( a b) 公式左邊形式上是一個二項式，且兩項的符號相反； 每一項都可以化成某個數(shù)或式的平方形式； 右邊是這兩個數(shù)或式的和與它們差的積，相當于兩個一次二項式的積 . 完全平方公式： a2 2ab b2 (a b) 22 2 2 a2 2ab b2 (a b) 2左邊相當于一個二次三項式； 左邊首末兩項符號相同且均能寫成某個數(shù)或式的完全平方式； 左邊中間一項是這兩個數(shù)或式的積的2 倍，符號可