幾種常見的概率分布率 (1)

1、離散型概率分布 二項(xiàng)分布（binomial distribution) 泊松分布（poisson distribution) 超幾何分布（hypergeometric probability distritution） 負(fù)二項(xiàng)分布（Negative binomial distribution）u貝努利試驗(yàn)（Bernoulli trial） ： 我們把只有兩種可能觀測值（每次試驗(yàn)只可能是兩個(gè)對立事件之一）的隨機(jī)試驗(yàn)統(tǒng)稱為貝努利試驗(yàn)。這種試驗(yàn)在實(shí)際中廣泛存在，如觀察某一實(shí)驗(yàn)動(dòng)物的卵孵化與否、某一實(shí)驗(yàn)動(dòng)物是雌性還是雄性、實(shí)驗(yàn)反應(yīng)是陰性還是陽性等。un次獨(dú)立地貝努利試驗(yàn)稱為n重貝努利試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果的

2、分布（一種結(jié)果出現(xiàn)x次的概率是多少的分布）即為二項(xiàng)分布。 u應(yīng)用二項(xiàng)分布的重要條件是：每一種試驗(yàn)結(jié)果在每次試驗(yàn)中都有恒定的概率，各試驗(yàn)之間是重復(fù)獨(dú)立的。3.1 二項(xiàng)分布 B(nB(n, p), p) 例：例3.1注意：1)放回式抽樣適用于二項(xiàng)分布，非放回式抽樣適用于超幾何分布；2)通式為：n = 試驗(yàn)次數(shù)； x = 在n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)p= 事件A發(fā)生的概率（每次試驗(yàn)都是恒定的）1p= 事件 發(fā)生的概率P(x) = X 的概率函數(shù)為 P（X=x）； F(x) = P( Xx )AxnxxnppcxP-=)1 ()(例3.1 從雌雄各半的100只動(dòng)物中抽樣（放回式抽樣），抽樣共進(jìn)行10次

3、，問其中包括3只雄性動(dòng)物的概率是多少？包括3只及3只以下的概率是多少？即求P（X3）和P（X3） 此例中：n=10, x=3,p=0.5,求P(3) 和F(3)。則，將x0,1,2,3代入通式，可得到出現(xiàn)0,1,2,3只雄性動(dòng)物的概率。 P（0） 0.0009766 P（1） 0.0097656 P（2） 0.0439453 P（3） 0.1171876所以，抽到3只和3只以下雄性動(dòng)物的概率為： F（3）P（0）P（1）P（2）P（3）0.1718751 733105 . 015 . 03-= CP一、 服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的特征數(shù)平均數(shù)平均數(shù)：np ， p （用比率表示時(shí)） 方差方差： （

4、用比率表示時(shí)） 偏斜度：偏斜度：峭度：峭度：從以上公式可以看出二項(xiàng)分布決定于兩個(gè)參考數(shù)：試驗(yàn)次數(shù)n 和概率P，因此其圖形變化趨勢與這兩個(gè)參數(shù)有關(guān)。npppnp)1 ( ),1 (22-=-=)1 (211pnpp-=npnp6)1 (12-=n=10，p0.0100.20.40.60.810246810n=100，p0.0100.10.20.30.40.50255075100n=500，p0.0100.10.20.30.40.50100200300400500n=10，p0.1000.10.20.30.40.50246810n=100，p0.1000.050.10.150.2025507510

5、0n=500，p0.1000.020.040.060.080.10100200300400500n=10，p0.5000.10.20.30246810n=100，p0.5000.020.040.060.080.10255075100n=500，p0.5000.010.020.030.040.050100200300400500例3.2 用棕色正常毛(bbRR)的家兔和黑色短毛(BBrr)兔雜交，F(xiàn)1代為黑色正常毛長的家兔(BbRr), F1代自交，F(xiàn)2代表型比為：9/16B_R_ : 3/16B_rr : 3/16bbR_ : 1/16bbrr。問最少需要多少F2代家兔，才能以99的概率得到一

6、個(gè)棕色短毛兔（bbrr）？ 解解： 設(shè)設(shè)p為非棕色短毛兔出現(xiàn)的概率，則為非棕色短毛兔出現(xiàn)的概率，則1p就為棕色短毛就為棕色短毛兔出現(xiàn)的概率。兔出現(xiàn)的概率。 在在p(1p)n的展開式中只有第一項(xiàng)的展開式中只有第一項(xiàng)pn無棕色短毛兔無棕色短毛兔出現(xiàn)，因此出現(xiàn)，因此n值可由值可由pn10.99求出。求出。 pn （15/16）n 0.01 n（lg15lg16） lg0.01 -0.02803n 2.00000 n 71.4二、 二項(xiàng)分布應(yīng)用實(shí)例二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件有三： （1）各觀察單位只具有互相對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性， 生存或死亡等， 屬于二項(xiàng)分類資料； （2）已知發(fā)生某一結(jié)果 (如死亡)

7、的概率為p，其對立結(jié)果的概率則為1-p=q，實(shí)際中要求 p 是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值； （3）n個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果互相獨(dú)立，即每個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果不會(huì)影響到其它觀察單位的觀察結(jié)果。3. 2 泊松分布P() 在生物學(xué)研究中，有許多事件出現(xiàn)的概率很小，而樣本容量或試驗(yàn)次數(shù)卻往往很大，即有很小的p值和很大的n值。這時(shí)二項(xiàng)分布就變成另外一種特殊的分布，即泊松分布。 如，顯微鏡視野內(nèi)染色體有變異的細(xì)胞計(jì)數(shù)、單位容積的水中細(xì)菌數(shù)目的分布、作物種子內(nèi)雜草的分布以及樣方內(nèi)少見植物的個(gè)體數(shù)等都屬于泊松分布。 其概率函數(shù)可由二項(xiàng)分布的概率函數(shù)推導(dǎo)。一、泊松分布概率函數(shù)的推導(dǎo)xnxxnxxnxxnpp

8、xxnnnnppxnxnppcxp-=-=-=)1 (!) 1()2)(1()1 ()!( !)1 ()(（將系數(shù)的分子分母同乘以（將系數(shù)的分子分母同乘以nx）!)1 ()()11 ()11 ( 1xpnpnxnxnx-=xnxpx-=)1 (!)(1)1(!xnppxpx-=ep)(1lim ，z)(1lime p10pz10z=-=-=exx!平均數(shù)：平均數(shù)：=方差：方差： 2 = 偏斜度：偏斜度：峭度：峭度： 概率函數(shù)內(nèi)的概率函數(shù)內(nèi)的 ，不但是它的平均數(shù)，而且是不但是它的平均數(shù)，而且是它的方差。它的方差。 很大時(shí)，很大時(shí)， 1和和2則接近于則接近于0，這時(shí)的泊松分布近，這時(shí)的泊松分布近似

9、于正態(tài)分布。似于正態(tài)分布。 二、 服從泊松分布的隨機(jī)變量的特征數(shù) 1 1 = = 12= =三、 泊松分布應(yīng)用實(shí)例例3.5 在麥田中，平均每10m2有一株雜草，問每100m2麥田中，有0株、1株、2株、雜草的概率是多少？ 解： 先求出每100m2麥田中，平均雜草數(shù) 100/10 10株 將代入泊松分布的概率密度函數(shù)中， p(x) = 10 x/(x!e10),（ e=2.71828） 即可求出x 0，1，2， 時(shí)所相應(yīng)的概率。 例：為監(jiān)測飲用水的污染情況， 現(xiàn)檢驗(yàn)?zāi)成鐓^(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù) ， 共得400個(gè)記錄如下： 試分析飲用水中細(xì)菌數(shù)的分布是否服從泊松分布，計(jì)算每毫升水中細(xì)菌數(shù)的概率及理論

10、次數(shù)并將頻率分布與泊松分布作直觀比較。 解：經(jīng)計(jì)算得每毫升水中平均細(xì)菌數(shù)為0.500 x 0.5，s20.496，兩者相接近，可認(rèn)為服從泊松分布 代入泊松分布公式1ml水中細(xì)菌數(shù)0123合計(jì)次數(shù)f2431203164005.0!5.0)(-=ekkxPk 注意，二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件也是泊松分布的應(yīng)用條件。比如二項(xiàng)分布要求n 次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，這也是泊松分布的要求。然而一些具有傳染性的罕見疾病的發(fā)病數(shù)，因?yàn)槭桌l(fā)生之后可成為傳染源，會(huì)影響到后續(xù)病例的發(fā)生，所以不符合泊松分布的應(yīng)用條件。1ml水中細(xì)菌數(shù)0123合計(jì)實(shí)際次數(shù)f243120316400頻率0.60750.30000.07750.015

11、01.00概率0.60650.30330.07580.01441.00理論頻數(shù)242.60121.3230.325.764003. 3 正態(tài)分布 在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布占有極其重要的地位。許多生物學(xué)現(xiàn)象所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，都服從正態(tài)分布。一、 正態(tài)分布（xN (,2)）的密度函數(shù)與分布函數(shù)正態(tài)曲線正態(tài)分布的規(guī)律是數(shù)據(jù)分布集正態(tài)分布的規(guī)律是數(shù)據(jù)分布集中在平均數(shù)附近，并且在平均中在平均數(shù)附近，并且在平均數(shù)的兩側(cè)成對稱分布。正態(tài)分?jǐn)?shù)的兩側(cè)成對稱分布。正態(tài)分布布密度函數(shù)密度函數(shù)的圖像，稱為正態(tài)的圖像，稱為正態(tài)曲線。曲線。密度函數(shù)：密度函數(shù)：分布（累積）函數(shù)：分布（累積）函數(shù)：0,21)(222)( -=

12、=- - - xexfxdueduufxXpxFxxu-=222)(21)()()(正態(tài)分布密度曲線特點(diǎn)： 密度曲線以x=直線為對稱； x=和x=-所確定的點(diǎn)為曲線的兩個(gè)“拐點(diǎn)”； 曲線向左、向右無限延伸，以x軸為漸近線； x= 時(shí)，f(x) 具有最大值，其值為 ； 的大小，決定曲線的“胖”、“瘦”程度（展開程度），越小，曲線越“瘦”，數(shù)據(jù)越集中，越大，曲線越“胖”，數(shù)據(jù)越分散。 固定時(shí)，值決定曲線的位置，當(dāng)增大時(shí)曲線向右平移，當(dāng)減少時(shí)曲線向左平移，但曲線形狀不變。 21二、 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布-=udeuUPuF2221)()(=0，=1時(shí)的正態(tài)分布稱為時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。密

13、度函數(shù)：密度函數(shù)：分布函數(shù)：分布函數(shù)：-=-ueufu,21)(22-=xu標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有以下特性: =0時(shí)，概率密度值最大； 概率密度曲線向左、向右無限延伸，以x軸為漸近線；左右對稱 u =1和u =1是概率分布曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)； 曲線與橫坐標(biāo)軸所夾的圖形面積為1； 累積分布函數(shù)曲線從到0平穩(wěn)上升，圍繞點(diǎn)(0,0.5)對稱； 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的偏斜度1和峭度2均為零。以下一些特征值很重要： P P（-1u-1u1 1）=0.6826=0.6826 P P（-2u-2u2 2）=0.9545=0.9545 P P（-3u-3u3 3）=0.9973=0.9973以下一些特征值很重要： P（-1.96

14、u1.96）=0.95P (-2.58u2.58) =0.99三、 正態(tài)分布表的查法 對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其累積分布函數(shù)值F（u）可直接查表（書p315附表1）得到，其值等于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線與橫坐標(biāo)軸從到u所夾的面積，該曲線下的面積即表示隨機(jī)變量U 落入?yún)^(qū)間（，u）的概率； 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表常用的幾個(gè)關(guān)系式：P（0U u1）=F（u1）=1F（u1）P（Uu1）=2F（u1）P（Uu1）=1 2F（u1）P（u1U u2）=F（u2）F（u1） x=5= 109.2正態(tài)分布正態(tài)分布u=0 = 10.42標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布v對于一般正態(tài)分布，要先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，再查表對于一般正態(tài)分布，要先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化

15、，再查表； 標(biāo)準(zhǔn)化的公式為：標(biāo)準(zhǔn)化的公式為：-=xu例3.7 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布u-0.82 及u1.15時(shí)的F（u）的值例3.8 隨機(jī)變量u服從正態(tài)分布N（0，1），問隨機(jī)變量u的值落在（0，1.21）區(qū)間的概率？例3.9 已知隨機(jī)變量u服從正態(tài)分布N（0，1），問隨機(jī)變量u的值落在（-1.96，1.96）區(qū)間的概率是多少？例3.10 已知某高粱品種的株高X服從正態(tài)分布N（156.2，4.822），求：00. 182. 42 .156161= =- -= =- - x62. 182. 42 .156164= =- -= =- - x20. 182. 42 .156162= =- -= =- -

16、x87. 082. 42 .156152- -= =- -= =- - x利用公式利用公式P（0Uu）=F（u）0.5利用公式利用公式 P（ U u）=1 2F（u） 或或 P（u1Uua)=時(shí)的ua值；下側(cè)分位數(shù)： P(uua/2 )=時(shí)的ua值（從附表2中以 /2查出的ua即可)；大數(shù)定律與中心極限定理的應(yīng)用 樣本容量越大，樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)與總體參數(shù)之差越小。 對于容量大于30的樣本，樣本均值的分布可以較好地用一個(gè)正態(tài)分布近似（其中均值為 ，即，樣本均值的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，即，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差）樣本容量越大，近似的效果越好。 如果原始總體就是正態(tài)分布，則對于任意樣本容量n，樣本均值都將是正態(tài)分

17、布的。n EXCEL在本章內(nèi)容的應(yīng)用在本章內(nèi)容的應(yīng)用EXCELEXCEL電子表格提供的粘帖函數(shù)電子表格提供的粘帖函數(shù)BINOMDIST 計(jì)算二項(xiàng)式分布的概率值NORMDIST 計(jì)算正態(tài)分布的累積函數(shù)NORMINV 計(jì)算正態(tài)分布累積函數(shù)的逆函數(shù)NORMSDIST 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)NORMSINV計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積函數(shù)的逆函數(shù)POISSON 計(jì)算泊松分布的概率AVERAGE計(jì)算算術(shù)平均值GEOMEAN 計(jì)算幾何平均數(shù)MAX 計(jì)算最大值MEDIAN計(jì)算一組給定數(shù)字的中位數(shù)STDEV計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差STDEVP計(jì)算樣本總體的標(biāo)準(zhǔn)差VAR計(jì)算樣本的方差VARP計(jì)算樣本總體的方差各種分布函數(shù)計(jì)算

18、1、二項(xiàng)分布工具mnmmnqpCmP-=)()!( !mnmnCmn-=平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差np=npq=2npq=二項(xiàng)分布的概率函數(shù)為二項(xiàng)分布函數(shù)的概率及累積概率的計(jì)算實(shí)例二項(xiàng)分布函數(shù)的概率及累積概率的計(jì)算實(shí)例 已知某種豬病的死亡率為30%，現(xiàn)有10頭病豬，如不給予治療，問死亡4頭及死亡4頭和4頭以下的概率為多少？解：死亡4頭的概率計(jì)算公式為：200. 07 . 03 . 0)4(64410= CP死亡4頭和4頭以下累積概率的計(jì)算公式為：85. 0)()4()4(40=xxPxPF用粘帖函數(shù) BINOMDIST 計(jì)算死亡4頭的概率計(jì)算本計(jì)算在編緝欄中為本計(jì)算在編緝欄中為BINOMDISTBI

19、NOMDIST（4 4，1010，0.300.30，F(xiàn)ALSEFALSE） 死亡4頭和4頭以下概率的計(jì)算本計(jì)算在編緝欄中為BINOMDIST（4，10，0.30，TRUE） 利用BINOMDIST函數(shù)和填充柄計(jì)算2 2、泊松分布工具、泊松分布工具 泊松分布的概率函數(shù) 為常數(shù)，它等于平均數(shù)等于方差 -=ekkPk!)(=2 泊松分布概率的計(jì)算實(shí)例泊松分布概率的計(jì)算實(shí)例 已知某一地區(qū)，出現(xiàn)怪胎的事件服從泊松分布P（2），請計(jì)算該地區(qū)出現(xiàn)3次怪胎的概率，及出現(xiàn)3次和3次以下怪胎的概率為多少？ 出現(xiàn)3次怪胎概率的公式為：出現(xiàn)3次和3次以下怪胎的概率計(jì)算公式為：1804. 0! 32)3(23=-eP8

20、571. 0! 32! 22! 12! 02)() 3(2322212030=-=eeeekPkPk用用POISSONPOISSON粘帖函數(shù)計(jì)算粘帖函數(shù)計(jì)算出現(xiàn)3次怪胎概率的計(jì)算本計(jì)算在編緝欄中顯示POISSON(3，2，F(xiàn)ALSE) 出現(xiàn)3次和3次以下怪胎的概率計(jì)算本計(jì)算編緝欄中顯示POISSON(3，2，TRUE) 3 3、正態(tài)分布工具、正態(tài)分布工具 用符號(hào)N（，2） 表示（1）、正態(tài)分布的概率函數(shù)為：222)(21)(-=xexf0,-xNORMDIST粘帖函數(shù)：計(jì)算累積函數(shù)粘帖函數(shù)：計(jì)算累積函數(shù) NORMINV粘帖函數(shù)：計(jì)算逆函數(shù)粘帖函數(shù)：計(jì)算逆函數(shù) 已知某品種成年豬體重的總體平均數(shù)=100kg，總體標(biāo)準(zhǔn)差=20kg。試計(jì)算成年豬體重在70kg以下的概率。計(jì)算公式如下： -=70202)100(0668. 02201)70(22dxexPx用正態(tài)分布粘帖函數(shù)的計(jì)算用NORMDIST粘帖函數(shù)計(jì)算概率