二次曲線 即 圓錐曲線

1、二次曲線 即 圓錐曲線 。 圓錐曲線包括圓，橢圓，雙曲線，拋物線。其統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線，當(dāng)e=1時(shí)為拋物線，當(dāng)e<1時(shí)為橢圓。1簡(jiǎn)介2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；當(dāng)平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”。事實(shí)上，阿波羅尼

2、在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學(xué)中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果。2定義編輯幾何觀點(diǎn)用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線（conic sections)。通常提到的圓錐曲線包括橢圓，雙曲線和拋物線，但嚴(yán)格來講，它還包括一些退化情形。具體而言：1) 當(dāng)平面與圓錐面的母線平行，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為拋物線。2) 當(dāng)平面與圓錐面的母線平行，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果退化為一條直線。3) 當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為橢圓。4) 當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，并與圓錐面的對(duì)稱軸垂直，結(jié)果為圓。5) 當(dāng)平面只與圓錐面一側(cè)相交，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果退化為一個(gè)點(diǎn)

3、。6) 當(dāng)平面與圓錐面兩側(cè)都相交，且不過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為雙曲線的一支（另一支為此圓錐面的對(duì)頂圓錐面與平面的交線）。7) 當(dāng)平面與圓錐面兩側(cè)都相交，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果為兩條相交直線。代數(shù)觀點(diǎn)在笛卡爾平面上，二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0的圖像是圓錐曲線。根據(jù)判別式的不同，也包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。焦點(diǎn)-準(zhǔn)線觀點(diǎn)（嚴(yán)格來講，這種觀點(diǎn)下只能定義圓錐曲線的幾種主要情形，因而不能算是圓錐曲線的定義。但因其使用廣泛，并能引導(dǎo)出許多圓錐曲線中重要的幾何概念和性質(zhì)）。給定一點(diǎn)P，一直線L以及一非負(fù)實(shí)常數(shù)e，則到P的距離與L距離之比為e的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線。根據(jù)e的范

4、圍不同，曲線也各不相同。具體如下：1) e=0，軌跡退化為點(diǎn)（即定點(diǎn)P）；2) e=1（即到P與到L距離相同），軌跡為拋物線；3) 0<e<1，軌跡為橢圓；4) e>1，軌跡為雙曲線。3概念編輯（以下以純幾何方式敘述主要的圓錐曲線通用的概念和性質(zhì)，由于大部分性質(zhì)是在焦點(diǎn)準(zhǔn)線觀點(diǎn)下定義的，對(duì)于更一般的退化情形，有些概念可能不適用。）考慮焦點(diǎn)-準(zhǔn)線觀點(diǎn)下的圓錐曲線定義。定義中提到的定點(diǎn)，稱為圓錐曲線的焦點(diǎn)；定直線稱為圓錐曲線的準(zhǔn)線；固定的常數(shù)（即圓錐曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離比）稱為圓錐曲線的離心率；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離稱為焦準(zhǔn)距；焦點(diǎn)到曲線上一點(diǎn)的線段稱為焦半徑。過焦點(diǎn)、平行于準(zhǔn)

5、線的直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)，此兩點(diǎn)間的線段稱為圓錐曲線的通徑，物理學(xué)中又稱為正焦弦。圓錐曲線是光滑的，因此有切線和法線的概念。類似圓，與圓錐曲線交于兩點(diǎn)的直線上兩交點(diǎn)間的線段稱為弦；過焦點(diǎn)的弦稱為焦點(diǎn)弦。對(duì)于同一個(gè)橢圓或雙曲線，有兩個(gè)“焦點(diǎn)準(zhǔn)線”的組合可以得到它。因此，橢圓和雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn)和兩條準(zhǔn)線。而拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線。圓錐曲線關(guān)于過焦點(diǎn)與準(zhǔn)線垂直的直線對(duì)稱，在橢圓和雙曲線的情況，該直線通過兩個(gè)焦點(diǎn)，該直線稱為圓錐曲線的焦軸。對(duì)于橢圓和雙曲線，還關(guān)于焦點(diǎn)連線的垂直平分線對(duì)稱。Pappus定理：圓錐曲線上一點(diǎn)的焦半徑長(zhǎng)度等于該點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離乘以離心率。Pascal定理：圓錐曲

6、線的內(nèi)接六邊形，若對(duì)邊兩兩不平行，則該六邊形對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)共線。（對(duì)于退化的情形也適用）Brianchon定理：圓錐曲線的外切六邊形，其三條對(duì)角線共點(diǎn)。4定理編輯由比利時(shí)數(shù)學(xué)家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇凌定理證明了圓錐曲線幾何定義與焦點(diǎn)-準(zhǔn)線定義的等價(jià)性。即有一以Q為頂點(diǎn)的圓錐（蛋筒），有一平面PI'（你也可以說是餅干）與其相截得到了圓錐曲線，作球與平面PI'及圓錐相切，在曲線為橢圓或雙曲線時(shí)平面與球有兩個(gè)切點(diǎn)，拋物線只有一個(gè)（或者另一個(gè)在無窮遠(yuǎn)處），則切點(diǎn)為焦點(diǎn)。又球與圓錐之交為圓，設(shè)以此圓所在平面PI與PI'之交為直線d（曲線為圓時(shí)d為無窮遠(yuǎn)線

7、），則d為準(zhǔn)線。圖只畫了橢圓，證明對(duì)拋物線雙曲線都適用，即證，任一個(gè)切點(diǎn)為焦點(diǎn)，d為準(zhǔn)線。證：假設(shè)P為曲線上一點(diǎn)，聯(lián)線PQ交圓O于E。設(shè)平面PI與PI的交角為a，圓錐的母線（如PQ）與平面PI的交角為b。設(shè)P到平面PI 的垂足為H，H到直線d的垂足為R，則PR為P到d的垂線（三垂線定理），而PRH=a。又PE=PF，因?yàn)閮烧咄瑸閳A球之切線。如此則有：PR·sina=PH=PE·sinb=PF·sinb其中：PF/PR=sina/sinb為常數(shù)5性質(zhì)編輯橢圓文字語言定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是一個(gè)小于1的正常數(shù)e。平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)（

8、焦點(diǎn)）的距離和等于定長(zhǎng)2a的點(diǎn)的集合（設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P，兩個(gè)定點(diǎn)為F1和F2，則PF1+PF2=2a）。定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線是橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率。標(biāo)準(zhǔn)方程：1、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（x2/a2)+(y2/b2)=1其中a>b>0，c>0，c2=a2-b2.2、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：（x2/b2)+(y2/a2)=1其中a>b>0，c>0，c2=a2-b2。參數(shù)方程：x=acos；y=bsin （為參數(shù)，02)雙曲線文字語言定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)e。定點(diǎn)是雙曲線的

9、焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。標(biāo)準(zhǔn)方程：1、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：（x2/a2)-(y2/b2)=1其中a>0,b>0,c2=a2+b2.2、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：（y2/a2)-(x2/b2)=1.其中a>0,b>0,c2=a2+b2.參數(shù)方程：x=asec；y=btan （為參數(shù) )直角坐標(biāo)（中心為原點(diǎn)）：x2/a2 - y2/b2 = 1 （開口方向?yàn)閤軸） y2/a2 - x2/b2 = 1 （開口方向?yàn)閥軸）拋物線文字語言定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)與一條定直線的距離之比是等于1。定點(diǎn)是拋物線的焦

10、點(diǎn)，定直線是拋物線的準(zhǔn)線。參數(shù)方程x=2pt2 y=2pt (t為參數(shù)） t=1/tan（tan為曲線上點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)確定直線的斜率）特別地，t可等于0直角坐標(biāo)y=ax2+bx+c （開口方向?yàn)閥軸，a0） x=ay2+by+c （開口方向?yàn)閤軸，a0 )圓錐曲線（二次非圓曲線）的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為=ep/(1-ecos）其中e表示離心率，p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。離心率橢圓，雙曲線，拋物線這些圓錐曲線有統(tǒng)一的定義：平面上，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線。且當(dāng)0<e<1時(shí)為橢圓：當(dāng)e=1時(shí)為拋物線；當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線。這里的參數(shù)e就是圓錐曲線的離心率，

11、它不僅可以描述圓錐曲線的類型，也可以描述圓錐曲線的具體形狀，簡(jiǎn)言之，離心率相同的圓錐曲線都是相似圖形。一個(gè)圓錐曲線，只要確定了離心率，形狀就確定了。特別的，因?yàn)閽佄锞€的離心率都等于1，所以所有的拋物線都是相似圖形。極坐標(biāo)方程1、在圓錐中，圓錐曲線極坐標(biāo)方程可表示為：其中l(wèi)表示半徑，e表示離心率；2、在平面坐標(biāo)系中，圓錐曲線極坐標(biāo)方程可表示為：其中e表示離心率，p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。1焦半徑圓錐曲線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑。圓錐曲線左右焦點(diǎn)為F1、F2，其上任意一點(diǎn)為P(x,y），則焦半徑為：橢圓|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex雙曲線P在左支，|PF1|=a-ex |PF2|=

12、a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=a+exP在下支，|PF1|= a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=a+ey拋物線|PF|=x+p/2切線方程圓錐曲線上一點(diǎn)P（，）的切線方程：以代替，以代替；以（x0+x)/2代替x，以y0+y代替y2即橢圓：x0x/a2+y0y/b2=1；雙曲線：x0x/a2-y0y/b2=1；拋物線：y0y=p(x0+x)焦準(zhǔn)距圓錐曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p，叫圓錐曲線的焦準(zhǔn)距，或焦參數(shù)。橢圓的焦準(zhǔn)距：雙曲線的焦準(zhǔn)距：拋物線的準(zhǔn)焦距：p焦點(diǎn)三角形橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形。設(shè)F1、F2分別為橢圓或雙

13、曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)且PF1F2能構(gòu)成三角形。若F1PF2=，則橢圓焦點(diǎn)三角形的面積為S=tan（/2）；雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積為S=cot（/2）通徑圓錐曲線中，過焦點(diǎn)并垂直于軸的弦稱為通徑。橢圓的通徑：雙曲線的通徑：拋物線的通徑：2p對(duì)比圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程a>b>0a>0,b>0p>0范圍x-a,ay-b,bx（-，-aa,+）yRx0,+）yR對(duì)稱性關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱頂點(diǎn)(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦點(diǎn)(c,0),(-c,0)【

14、其中c2=a2-b2】(c,0),(-c,0)【其中c2=a2+b2】(p/2,0)準(zhǔn)線x=±（a2)/cx=±（a2)/cx=-p/2漸近線y=±(b/a)x2離心率e=c/a,e（0,1)e=c/a,e（1,+）e=1焦半徑PF1=a+exPF2=a-exPF1=ex+aPF2=ex-aPF=x+p/2焦準(zhǔn)距p=(b2)/cp=(b2)/cp通徑(2b2)/a(2b2)/a2p參數(shù)方程x=a·cosy=b·sin，為參數(shù)x=a·secy=b·tan，為參數(shù)x=2pt2y=2pt,t為參數(shù)過圓錐曲線上一點(diǎn)(x0,y0）的切

15、線方程(x0·x/a2)+(y0·y/b2)=1(x0x/a2)-(y0·y/b2)=1y0·y=p(x+x0)斜率為k的切線方程y=kx±(a2）·（k2)+b2y=kx±(a2）·（k2)-b2y=kx+p/2k中點(diǎn)弦問題已知圓錐曲線內(nèi)一點(diǎn)為圓錐曲線的一弦中點(diǎn)，求該弦的方程：1、聯(lián)立方程法。用點(diǎn)斜式設(shè)出該弦的方程（斜率不存在的情況需要另外考慮），與圓錐曲線方程聯(lián)立求得關(guān)于x的一元二次方程和關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到兩根之和的表達(dá)式，在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的兩根之和的具體數(shù)值，求出該弦的方程。2、點(diǎn)差法（代點(diǎn)

16、相減法）設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)（，）和（，），代入圓錐曲線的方程，將得到的兩個(gè)方程相減，運(yùn)用平方差公式得(x1+x2)(x1-x2)/(a2)+(y1+y2)(y1-y2)/(b2=0由斜率為（y1-y2)/(x1-x2），可以得到斜率的取值（使用時(shí)注意判別式的問題）求點(diǎn)的軌跡方程在求曲線的軌跡方程時(shí)，如果能夠?qū)㈩}設(shè)條件轉(zhuǎn)化為具有某種動(dòng)感的直觀圖形，通過觀察圖形的變化過程，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，找出哪些是變化的量（或關(guān)系）、哪些是始終保持不變的量（或關(guān)系），那么我們就可以從找出的不變量（或關(guān)系）出發(fā)，打開解題思路，確定解題方法。圓錐曲線的曲率（見右圖）曲率半徑的作圖。第二條垂線與法線的交點(diǎn)Z就是曲率的中

17、心；它到P點(diǎn)的距離便是曲率半徑。統(tǒng)一方程平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意圓錐曲線可用如下方程表示：其中，0,2)，p>0，e0。e=1時(shí)，表示以F(g,h)為焦點(diǎn)，p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的拋物線。其中與極軸夾角（A為拋物線頂點(diǎn)）。0<e<1時(shí)，表示以F1(g,h)為一個(gè)焦點(diǎn)，p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，e為離心率的橢圓。其中與極軸夾角。e>1時(shí)，表示以F2(g,h)為一個(gè)焦點(diǎn)，p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，e為離心率的雙曲線。其中與極軸夾角。e=0時(shí)，表示點(diǎn)F(g,h)。五點(diǎn)法求平面內(nèi)圓錐曲線可以采用該統(tǒng)一方程。代入五組有序?qū)崝?shù)對(duì)，求出對(duì)應(yīng)參數(shù)。注：此方程不適用于圓錐曲線的其他退化形式，如圓等。附：當(dāng)

18、e0時(shí)，F(xiàn)(g,h)對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線方程：6CGY-EH定理編輯CGY-EH定理（又稱圓錐曲線硬解定理3）是一套求解橢圓雙曲線與直線相交時(shí)、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦長(zhǎng)的簡(jiǎn)便算法.定理內(nèi)容:若曲線 與直線A+By+C=0相交于E、F兩點(diǎn),則:其中 ; '為一與同號(hào)的值.定理說明:應(yīng)用該定理于橢圓 時(shí),應(yīng)將 代入.應(yīng)用于雙曲線 時(shí),應(yīng)將 代入,同時(shí) 不應(yīng)為零,即不為零.求解y1+y2與 y1*y2只須將A與B的值互換且m與n的值互換.可知與'的值不會(huì)因此而改變.應(yīng)用示例:1.橢圓x2/4+y2/3=1與直線y=x+1相交于E、F兩點(diǎn),求解相交弦長(zhǎng)|EF

19、|,x_1+x_2, x_1 x_2, y_1+y_2, y_1*y_2.列表:ABCmn'1-1143772求解:x_1+x_2x_1*x_2|EF|互換表中A與B的值,m與n的值:ABmn-1134求解:y_1+y_2y_1*y_22.雙曲線x2/3-y2/4=1與直線y=x+2相交于E、F兩點(diǎn),求解相交弦|EF|,x_1+x_2, x_1 x_2, y_1+y_2, y_1 y_2.列表:ABCmn'1-123-4-160求解:x_1+x_2x_1*x_2|EF|12-24互換表中A與B的值,m與n的值:ABmn-11-43求解:y_1+y_2y_1*y_21647判別法

20、編輯設(shè)圓錐曲線的方程為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0|A B D|= |B C E| , =|A B| , S=A+C , 稱為二次曲線不變量(=b2-4ac)|D E F| |B C|>0=0有一實(shí)點(diǎn)的相交虛直線>00S<0橢圓>00S>0虛橢圓<0=0相交直線<00雙曲線=00拋物線=0=0D2+E2-AF-CF>0平行直線=0=0D2+E2-AF-CF=0重合直線=0=0D2+E2-AF-CF<0平行虛直線8漫談編輯圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標(biāo)系，它們又與二次方程對(duì)應(yīng)，所以，圓錐曲線又叫做二次曲

21、線。圓錐曲線一直是幾何學(xué)研究的重要課題之一，在我們的實(shí)際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線。我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌跡上運(yùn)行，太陽系其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。如果這些行星運(yùn)行速度增大到某種程度，它們就會(huì)沿拋物線或雙曲線運(yùn)行。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個(gè)原理。相對(duì)于一個(gè)物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運(yùn)動(dòng)，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式。由拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，可得到一個(gè)叫做旋轉(zhuǎn)物面的曲面。它也有一條軸，即拋物線的軸。在這個(gè)軸上有一個(gè)具有奇妙性質(zhì)的焦點(diǎn)，任何一條過焦點(diǎn)的直線由拋物面反射出來以后

22、，都成為平行于軸的直線。這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉(zhuǎn)拋物面的道理。由雙曲線繞其虛軸旋轉(zhuǎn)，可以得到單葉雙曲面，它又是一種直紋曲面，由兩組母直線族組成，各組內(nèi)母直線互不相交，而與另一組母直線卻相交。人們?cè)谠O(shè)計(jì)高大的立塔（如冷卻塔）時(shí)，就采取單葉雙曲面的體形，既輕巧又堅(jiān)固。由此可見，對(duì)于圓錐曲線的價(jià)值，無論如何也不會(huì)估計(jì)過高。9歷史編輯對(duì)于圓錐曲線的最早發(fā)現(xiàn)，眾說紛紜。有人說，古希臘數(shù)學(xué)家在求解“立方倍積”問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線：設(shè)x、y為a和2a的比例中項(xiàng)，即。a：x=x：y=y：2a，則x2=ay,y2=2ax，xy=2a2，從而求得x3=2a3。又有人說，古希臘數(shù)學(xué)家在研究平面與圓

23、錐面相截時(shí)發(fā)現(xiàn)了與“立方倍積”問題中一致的結(jié)果。還有認(rèn)為，古代天文學(xué)家在制作日晷時(shí)發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。日晷是一個(gè)傾斜放置的圓盤，中央垂直于圓盤面立一桿。當(dāng)太陽光照在日晷上，桿影的移動(dòng)可以計(jì)時(shí)。而在不同緯度的地方，桿頂尖繪成不同的圓錐曲線。然而，日晷的發(fā)明在古代就已失傳。早期對(duì)圓錐曲線進(jìn)行系統(tǒng)研究成就最突出的可以說是古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼（Apollonius，前262前190）。他與歐幾里得是同時(shí)代人，其巨著圓錐曲線與歐幾里得的幾何原本同被譽(yù)為古代希臘幾何的登峰造極之作。在圓錐曲線中，阿波羅尼總結(jié)了前人的工作，尤其是歐幾里得的工作，并對(duì)前人的成果進(jìn)行去粗存精、歸納提煉并使之系統(tǒng)化的工作，在此基礎(chǔ)上，

24、又提出許多自己的創(chuàng)見。全書8篇，共487個(gè)命題，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，以致后代學(xué)者幾乎沒有插足的余地達(dá)千余年。我們都知道，用一個(gè)平面去截一個(gè)雙圓錐面，會(huì)得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線以及它們的退化形式：兩相交直線，一條直線和一個(gè)點(diǎn)，如圖1，所示。在此，我們僅介紹阿波羅尼關(guān)于圓錐曲線的定義。如圖2，給定圓BC及其所在平面外一點(diǎn)A，則過A且沿圓周移動(dòng)的一條直線生成一個(gè)雙錐面。這個(gè)圓叫圓錐的底，A到圓心的直線叫圓錐的軸（未畫出），軸未必垂直于底。設(shè)錐的一個(gè)截面與底交于直線DE，取底圓的垂直于DE的一條直徑BC，于是含圓錐軸的ABC叫軸三角形.軸三角形與圓錐曲線交于P、P，PP未必是圓錐曲線的軸，P

25、PM是由軸三角形與截面相交而定的直線，PM也未必垂直于DE。設(shè)QQ是圓錐曲線平行于DE的弦，同樣QQ被PP平分，即VQ=QQ。現(xiàn)作AFPM，交BM于F，再在截面上作PLPM。如圖3，PLPP對(duì)于橢圓、雙曲線，取L滿足，而拋物線，則滿足，對(duì)于橢圓、雙曲線有QV=PV·VR，對(duì)于拋物線有QV=PV·PL，這是可以證明的兩個(gè)結(jié)論。在這兩個(gè)結(jié)論中，把QV稱為圓錐曲線的一個(gè)縱坐標(biāo)線，那么其結(jié)論表明，縱坐標(biāo)線的平方等于PL上作一個(gè)矩形的面積。對(duì)于橢圓來講，矩形PSRV尚未填滿矩形PLJV；而雙曲線的情形是VR>PL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而拋物線，短形PLJV恰好填滿。故

26、而，橢圓、雙曲線、拋物線的原名分別叫“虧曲線”、“超曲線”和“齊曲線”。這就是阿波羅尼引入的圓錐曲線的定義。阿波羅尼所給出的兩個(gè)結(jié)論，也很容易用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號(hào)來表示：趨向無窮大時(shí)，LS=0，即拋物線，亦即橢圓或雙曲線的極限形式。在阿波羅尼的圓錐曲線問世后的13個(gè)世紀(jì)里，整個(gè)數(shù)學(xué)界對(duì)圓錐曲線的研究一直沒有什么新進(jìn)展。11世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾利用圓錐曲線來解三次代數(shù)方程，12世紀(jì)起，圓錐曲線經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，但當(dāng)時(shí)對(duì)圓錐曲線的研究仍然沒有突破。直到16世紀(jì)，有兩年事促使了人們對(duì)圓錐曲線作進(jìn)一步研究。一是德國(guó)天文學(xué)家開普勒（Kepler,15711630）繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞

27、太陽運(yùn)行的事實(shí)；二是意大利物理學(xué)家伽利略（Galileo,15641642）得出物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線。人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式。于是，對(duì)圓錐曲線的處理方法開始有了一些小變動(dòng)。譬如，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,15451607）橢圓定義為：到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。從而改變了過去對(duì)圓錐曲線的定義。不過，這對(duì)圓錐曲線性質(zhì)的研究推進(jìn)并不大，也沒有提出更多新的定理或新的證明方法。17世紀(jì)初，在當(dāng)時(shí)關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象能從一個(gè)形狀連續(xù)地變到另一形狀的新思想的影響下，開普勒對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述。他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點(diǎn)和離心率，并指出拋物線還有一個(gè)在無窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn)，直線是圓心在無窮遠(yuǎn)處的圓。從而他第一個(gè)掌握了這樣的事實(shí)：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個(gè)連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€(gè)，只須考慮焦點(diǎn)的各種移動(dòng)方式。譬如，橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，如圖4，若左焦點(diǎn)F1固定，考慮F2的移動(dòng)，當(dāng)F2向左移動(dòng)，橢圓逐漸趨向于圓，F(xiàn)1與F2重合時(shí)即為圓；當(dāng)F2向右移動(dòng)，橢圓逐漸趨向于拋物線，F(xiàn)2到無窮遠(yuǎn)處時(shí)即為拋物線；當(dāng)F2從無窮遠(yuǎn)處由左邊回到圓錐曲線的軸上來，即為雙曲線；當(dāng)F2繼續(xù)向右移動(dòng)，F(xiàn)2又與