數(shù)學(xué)必修二重點(diǎn)知識(shí)例題名師優(yōu)秀資料

1、【例 2】一個(gè)正三棱柱的三視圖如右圖所示，求這個(gè)正三棱柱的表面積.解：S S側(cè)2S底342214 2 3 24 8 3( mm2 ) .2【例 4】如圖中，正方體ABCD A1B1C1D1， E、 F 分別是 AD 、 AA1 的中點(diǎn) .（ 1）求直線(xiàn) AB1和 CC1 所成的角的大??； （ 2）求直線(xiàn) AB1 和 EF 所成的角的大小 .解：（ 1）如圖，連結(jié) DC 1 ， DC1 AB1， DC 1 和 CC1 所成的銳角 CC 1D 就是 AB1 和 CC1所成的角 . CC1D =45 °， AB1 和 CC1 所成的角是 45° .（ 2）如圖，連結(jié) DA 1、

2、A1C1， EF A1D ， AB1 DC 1， A1DC 1是直線(xiàn) AB1 和 EF 所成的角 . A1 DC 1 是等邊三角形， A1 DC 1 =60o，即直線(xiàn)AB1 和 EF 所成的角是 60o.【例 1】已知空間邊邊形ABCD 各邊長(zhǎng)與對(duì)角線(xiàn)都相等，求異面直線(xiàn)AB 和 CD 所成的角的大小 .解：分別取AC 、 AD 、 BC 的中點(diǎn) P、 M、 N 連接 PM 、 PN，由三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)知PN AB， PM CD ，于是 MPN 就是異面直線(xiàn) AB 和 CD 成的角（如圖所示） .連結(jié) MN 、 DN ，設(shè)AB=2， PM =PN=1. 而 AN= DN= 3 ，由 MN AD

3、， AM =1，得 MN=2 ，222， MPN =90° .異面直線(xiàn) AB、 CD 成 90°角 .MN =MP +NP【例 2】在正方體 ABCD -A1B1C1D1 中， E、 F 分別為棱 BC、 C1D 1 的中點(diǎn) . 求證： EF 平面 BB 1D 1D.證明 ：連接 AC 交 BD 于 O，連接 OE，則 OEDC， OE= 1 DC .2 DC D 1C1， DC =D 1C1 ， F 為 D 1C1 的中點(diǎn)， OE D 1F， OE =D 1F， 四邊形 D 1FEO 為平行四邊形 . EF D 1O.【例又 EF 平面BB1D1D ， D 1O 平面 B

4、B1D 1D ， EF 平面 BB1D 1D .A3】如圖，已知E、F、G、M 分別是四面體的棱AD、CD、 BD、 BC的中點(diǎn)，求證： AM 平面 EFG .E證明 ：如右圖，連結(jié)DM ，交 GF 于 O點(diǎn)，連結(jié) OE ，在 BCD中， G、 F 分別是 BD、 CD中點(diǎn)， GF /BC ， G 為 BD中點(diǎn)， O為 MD 中點(diǎn)，BGOD在AMD中，E、O為AD、MD中點(diǎn)， EO/ AM ，MF又 AM平面 EFG ， EO平面 EFG ， AM 平面 EFG .C點(diǎn)評(píng) ：要證明直線(xiàn)和平面平行，只須在平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)平行就可以了.注意適當(dāng)添加輔助線(xiàn)，重視中位線(xiàn)在解題中的應(yīng)用.【例

5、 4】如圖，已知 P 是平行四邊形ABCD 所在平面外一點(diǎn)，M 、N 分別是 AB、 PC 的中點(diǎn)（1）求證： MN / 平面 PAD ；（ 2）若 MNBC4，PA 43 ，求異面直線(xiàn)PA 與 MN 所成的角的大小 .解：（ 1）取 PD 的中點(diǎn) H ，連接 AH，由 N 是 PC 的中點(diǎn)， NH /1DC. 由M是AB的中點(diǎn)， NH / AM， 即 AMNH 為平行四邊形 . MN / AH .2由 MN平面 PAD , AH平面 PAD ， MN /平面 PAD .（ 2） 連接 AC 并取其中點(diǎn)為O，連接OM 、 ON， OM / 1BC， ON /1PA， 所以22ONM 就是異面直

6、線(xiàn)PA 與 MN 所成的角，且MONO.由 MNBC 4，PA 4 3,得 OM=2， ON= 2 3所以O(shè)NM300 ，即異面直線(xiàn) PA 與 MN 成 30°的角點(diǎn)評(píng) ：已知中點(diǎn)，牢牢抓住中位線(xiàn)得到線(xiàn)線(xiàn)平行，通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)平行轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行. 求兩條異面直線(xiàn)所成角，方法的關(guān)鍵也是平移其中一條或者兩條直線(xiàn)，得到相交的線(xiàn)線(xiàn)角，通過(guò)解三角形而得 .【例 2】已知棱長(zhǎng)為1 的正方體 ABCD A1B1C1D 1 中， E 是 A1B1 的中點(diǎn)，求直線(xiàn)AE 與平面 ABC 1D 1 所成的角的正弦值 .解：取 CD 的中點(diǎn) F ，連接 EF 交平面 ABC1D1 于 O，連 AO .由已知正方體，

7、易知EO平面 ABC1 D1， 所 以EAO為所求.11A D2在 Rt EOA 中 ， E OE F 1，222AE(1)2125， sinEAOEO10.22AE5所以直線(xiàn) AE 與平面 ABC1 D1 所成的角的正弦值為10 .5【例2】如圖 , 在空間四邊形ABCD中， AB BC, CDDA,E ,F ,G 分別是 CD, DA, AC的中點(diǎn)，求證：平面BEF 平面 BGD .證明： ABBC, G 為 AC 中點(diǎn)，所以ACBG .同理可證 ACDG, AC面 BGD.又易知 EF /AC，則 EF面 BGD.又因?yàn)?EF面 BEF ，所以平面 BEF平面 BGD .¤知識(shí)

8、要點(diǎn) ：1. 點(diǎn)斜式：直線(xiàn)l 過(guò)點(diǎn) P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率為 k，其方程為 y y0k( xx0 ) .2. 斜截式：直線(xiàn)l 的斜率為 k，在 y 軸上截距為b，其方程為 ykxb .3. 點(diǎn)斜式和斜截式不能表示垂直x 軸直線(xiàn) . 若直線(xiàn) l 過(guò)點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 且與 x 軸垂直 ,此時(shí)它的傾斜角為 90°，斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示，這時(shí)的直線(xiàn)方程為x x0 0 ，或 xx0 .4.yy0k 與 y y0k( x x0 ) 是 不 同 的 方 程 ， 前 者 表 示 的 直 線(xiàn) 上 缺 少 一 點(diǎn)注 意 ：x0xP0 ( x0 , y0 )

9、，后者才是整條直線(xiàn) .1.兩點(diǎn)式：直線(xiàn)l 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2, y2 ) ，其方程為yy1xx1 ，y2y1x2x12.截距式：直線(xiàn)l 在 x、y 軸上的截距分別為xy1 .a、b，其方程為ba3.兩點(diǎn)式不能表示垂直x、y 軸直線(xiàn)；截距式不能表示垂直x、y 軸及過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn) .4.線(xiàn)段 P P 中點(diǎn)坐標(biāo)公式x1 x2y1y2).1 2(,221. 一 般 式 ： A x B yC0，注意 A、B 不同時(shí)為 0.直線(xiàn)一般式方程A x B y C0 (B0化)為斜截式方程yA xC ，表示斜率為A ， y 軸上截距為C 的BBBB直線(xiàn) .2 與 直 線(xiàn) l :

10、Ax By C0平行的直線(xiàn)，可設(shè)所求方A x B y C 0 垂直的直線(xiàn)，可設(shè)所求方程為BxAy'CA( x x0 ) B( y y0 ) 0 .經(jīng)過(guò)點(diǎn) M0，且平行于直線(xiàn)l的直線(xiàn)方程是A( xx0 )B ( y經(jīng)過(guò)點(diǎn) M0，且垂直于直線(xiàn)l的直線(xiàn)方程是B( xx0 )A( y3. 已 知 直 線(xiàn) l1 ,l2 的 方 程 分 別 是 ： l1 : A1xB1 yC1'程 為 AxByC0 ； 與 直 線(xiàn)0 . 過(guò)點(diǎn) P( x0 , y0 ) 的直線(xiàn)可寫(xiě)為y0 )0 ；y0 )0 .0 （ A1,B1 不同時(shí)為0），l 2 : A2 x B2 yC20 （A2 , B2 不同時(shí)為

11、0），則兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系可以如下判別：（ 1） l 1l 2A1 A2B1B20 ； （ 2） l1 / l2A1B2 A2 B1 0, AC1 2 A2 B1 0 ；（ 3） l1 與 l 2 重合A1B2A2 B10, AC1 2 A2 B10 ； （ 4） l 1 與 l2 相交A1B2 A2 B1 0 .如果 A2 B2C2 0 時(shí)，則 l1 / l 2A1B1C1； l1 與 l2 重合A1B1C1 ； l1 與 l2 相交A2B2C2A2B2C2A1B1 .A2B21. 點(diǎn) P(x0 , y0 ) 到直線(xiàn) l : AxByC| Ax0By0C |0 的距離公式為 dA2B 2【例

12、 2】（ 1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(3,2) 且與直線(xiàn) 4x y20 平行的直線(xiàn)方程； （ 2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,0) 且與直線(xiàn) 2x y 5 0 垂直的直線(xiàn)方程 .解：（ 1）由題意得所求平行直線(xiàn)方程4( x3)( y2) 0 ，化為一般式4 xy140 .（2） 由題意得所求垂直直線(xiàn)方程( x3)2( y0)0 ，化為一般式x2 y30 .【例 3】已知直線(xiàn) l 的方程為 3x+4y 12=0 ，求與直線(xiàn) l 平行且過(guò)點(diǎn)（1， 3）的直線(xiàn)的方程分析 ：由兩直線(xiàn)平行，所以斜率相等且為3 ，再由點(diǎn)斜式求出所求直線(xiàn)的方程.4解：直線(xiàn)l: 3x+4y 12=0 的斜率為3 ， 所求直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行，所求直

13、線(xiàn)的斜率為43 ，4又 由 于 所 求 直 線(xiàn) 過(guò) 點(diǎn) （ 1 ， 3 ）， 所 以 ， 所 求 直 線(xiàn) 的 方 程 為 ： y33 (x 1) ， 即3x 4y9 0.4點(diǎn)評(píng) ：根據(jù)兩條直線(xiàn)平行或垂直的關(guān)系，得到斜率之間的關(guān)系，從而由已知直線(xiàn)的斜率及點(diǎn)斜式求出所求直線(xiàn)的方程 .此題也可根據(jù)直線(xiàn)方程的一種形式A( x x0 )B( yy0 )0 而直接寫(xiě)出方程，即 3(x1)4( y3)0 ，再化簡(jiǎn)而得 .【例 2】求經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)2xy8 0 和 x2 y10 的交點(diǎn)，且平行于直線(xiàn)4x 3y70 的直線(xiàn)方程 .解：設(shè)所求直線(xiàn)的方程為2 xy8(x 2 y1)0 ，整理為 (2) x(12) y

14、80 . 平行于直線(xiàn) 4 x3y70，(2)(3)(12 )4 0，解得2 .則所求直線(xiàn)方程為 4x 3y60【例 1】求過(guò)直線(xiàn) l1 : y1 x 10 和 l2:3xy0的交點(diǎn)并且與原點(diǎn)相距為1 的直線(xiàn) l 的方程 .33解：設(shè)所求直線(xiàn) l 的方程為 3 y x10(3xy)0 ,整理得 (31)x(3) y100 .由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可知，d101, 解得3 .(31)2(3) 2代入所設(shè)，得到直線(xiàn)l 的方程為 x1或 4 x 3 y50 .【例 2】在函數(shù) y4 x2的圖象上求一點(diǎn)P，使 P 到直線(xiàn) y4x 5 的距離最短，并求這個(gè)最短的距離 .解：直線(xiàn)方程化為4 xy 5 0 .

15、設(shè) P( a,4 a2 ) , 則點(diǎn) P 到直線(xiàn)的距離為| 4a4 a25 | 4(a1/ 2)24 |4( a1/ 2)24.當(dāng) a1 時(shí)，點(diǎn) P(1,1) 到直線(xiàn)的距離最d(1)217174222417短，最短距離為.17【例 1】若直線(xiàn)（ 1+a） x+y+1=0 與圓 x2 y2 2x 0 相切，則 a 的值為.解：將圓 x2 y2 2x 0 的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式： （ x 1） 2 y2 1, 其圓心為（1， 0），半徑為1，由直線(xiàn)（ 1 a） x y 1 0 與該圓相切，則圓心到直線(xiàn)的距離|1a1|1， a 1.d2(1a)1【例 2】求直線(xiàn) l : 2 xy 20 被圓 C :( x 3)2y29 所截得的弦長(zhǎng) .解：由題意，列出方程組2xy20y 得 5x214x 4 0 ，得 x1(x3)2y2，消94x1 x2.522設(shè)直線(xiàn)2 x y 2 0與圓