和差化積積化和差萬(wàn)能公式

1、芅正、余弦和差化積公式蠆 指部分的一組蝿sina +si nB =2si n(a + B )/2 cos( a -B )/2蒅sina -sinB =2cos(a + B )/2 sin ( a-B )/2蚄cosa +cosB =2cos(a +B )/2 cos ( a-B )/2|T、八亠_ F 、八厶厶荿cosa -cosB =-2si n(a + B )/2 sin( a-B )/2【注意右式刖的負(fù)號(hào)】薆 以上四組公式可以由公式推導(dǎo)得到薄證明過(guò)程肅 sin a +sin B =2sin( a +B )/2 cos( a - B )/2的證明過(guò)程腿因?yàn)橥Osin(a +B)=sinaco

2、s B +cosa sinB,羆sin(a -B)=sinacos B -cosa sinB,蒃將以上兩式的左右兩邊分別相加，得袀sin(a +B)+sin(a- B )=2sina cosB,蒅 設(shè) a + B = 9, a - B = ©袀那么蚈 a =( 9 +© )/2, B = (9- ©) /2莆把a(bǔ),B的值代入，即得節(jié) sin 0 + sin © =2sin ( 0 +© )/2 cos( 0 - ©) /2 膃正切的和差化積acos B )(附證明)tan a± tan B =sin( a±B )/

3、(cos肆 cot a± cot B =sin( B±a )/(sin a sin B ) 芄 tan a +cot B =cos( a - B )/(cos a sin B )芁 tan a - cot B = - cos( a + B )/(cos a sin B )螁 證明：左邊=tan a± tan B =sin a /cos a± sin B /cos B袇=(sin a cos B± cos a sin B )/(cos a cos B )蒞=sin( a±B )/(cos a cos B )=右邊葿 等式成立芀注意事項(xiàng)薇

4、 在應(yīng)用和差化積時(shí)，必須是一次同名三角函數(shù)方可實(shí)行。若是異名, 必須用化為同名；若是高次函數(shù)，必須用降為一次膂 口訣螂正加正，正在前，余加余，余并肩蝕正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦莈反之亦然膄生動(dòng)的口訣：（和差化積）袀帥+帥=帥哥聿帥-帥二哥帥肇咕+咕=咕咕芅哥-哥=負(fù)嫂嫂芃反之亦然蒈記憶方法袈和差化積公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指出了各自的簡(jiǎn)單記憶方法。肂結(jié)果乘以2莁這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過(guò)三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其積的值域也應(yīng)該是-1,1，而和差的值域卻是-2,2， 因此乘以2是必須的。羈也可以通過(guò)其證明來(lái)記憶，因?yàn)檎归_(kāi)兩角和差公式后

5、，未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2,如：芅cos( a - B) - cos( a + B )膄=(cos a cos B +sin a sin B) -(co s a cos B - sin a sin B )葿=2sin a sin B莇故最后需要乘以 2。肅只有同名三角函數(shù)能和差化積膅無(wú)論是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，都只有同名三角函數(shù)的和差能夠化為乘積。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)，兩角和差公式展開(kāi)后乘積項(xiàng)的形式都不同，就不會(huì)出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng)，也就無(wú)法 化簡(jiǎn)下去了。袂乘積項(xiàng)中的角要除以 2肀 在和差化積公式的證明中， 必須先把a(bǔ)和B表示成兩角和差的形式， 才能夠展開(kāi)。

6、熟知要使兩個(gè)角的和、差分別等于a和B,這兩個(gè)角應(yīng)該是（a +B ）/2和（a - B ）/2，也就是乘積項(xiàng)中角的形式。螅注意和差化積和積化和差的公式中都有一個(gè)“除以2”，但位置不同;而只有和差化積公式中有“乘以2”。羃使用哪兩種三角函數(shù)的積羀這一點(diǎn)較好的記憶方法是拆分成兩點(diǎn)，一是是否同名乘積，二是“半差角”（a - B ）/2的三角函數(shù)名。蒀是否同名乘積，仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開(kāi)中含有兩對(duì)同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開(kāi)則是兩對(duì)異名三角函數(shù)的乘積。所以，余弦的和差化作同名三角函數(shù)的乘積；正弦的和差化作異名三 角函數(shù)的乘積。薆 （a - B ）/2的三角函數(shù)名規(guī)律為：和化

7、為積時(shí)，以COS（ a - B ）/2的形式出現(xiàn)；反之，以sin （ a - B ）/2的形式出現(xiàn)。肄由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果要使和化為積，那么和B調(diào)換位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，也就是若把（a - B ）/2替換為（B - a ）/2， 結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，從而（a - B ）/2的形式是COS（ a - B ）/2 ；另一種情況可 以類(lèi)似說(shuō)明。莂余弦-余弦差公式中的順序相反 /負(fù)號(hào)這是一個(gè)特殊情況，完全可以死記下來(lái)。芆當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如(0, n 內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)檫@個(gè)區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以當(dāng)a大于B時(shí)，COSa小于COS B。但是這時(shí)對(duì)應(yīng)的(

8、a + B )/2 和(a - B )/2 在(0, n )的范圍內(nèi)， 其正弦的乘積應(yīng)大于0，所以要么反過(guò)來(lái)把COS P放到COS a前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號(hào)。肅積化和差公式蒁 sin a sin B =cos( a - P) - cos( a +B )/2 (注意：此時(shí) 差的余弦 在和 的余弦前面)荿或?qū)懽鳎簊in a sinP= - cos( a+P) -cos( a - P )/2 (注意：此時(shí)公式前有負(fù)號(hào))羇cosacos P =cos(a - P )+COS(a+P )/2袃sinacos P =sin(a+P )+sin( a- P)/2袃cosasin P =sin(a

9、+P) - sin(a- P)/2螈證明螇積化和差恒等式可以通過(guò)展開(kāi)角的和差恒等式的右手端來(lái)證明。羄即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開(kāi)就能證明：羂sin a sin P= -1/2- 2sin a sin P 腿二 1/2(cos a cos P -sin a sin P) - (cosa cos P +sin a sin P )蕆=-1/2cos( a +P) - cos( a - P )羆其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。肀(參見(jiàn))袁作用羋積化和差公式可以將兩個(gè)三角函數(shù)值的積化為另兩個(gè)三角函數(shù)值的和乘以常數(shù)的形式，所以使用積化和差公式可以達(dá)到降次的效果。螃在歷史上，出現(xiàn)之前，積化和差公式

10、被用來(lái)將乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，運(yùn)算需要利用三角函數(shù)表。蒂 運(yùn)算過(guò)程：將兩個(gè)數(shù)通過(guò)乘、除 10的方幕化為0到1之間的數(shù)，通過(guò) 查表求出對(duì)應(yīng)的反三角函數(shù)值，即將原式化為10Ak*sin a sin B的形式，套用積化和差后再次查表求三角函數(shù)的值，并最后利用加減算出結(jié)果。芀對(duì)數(shù)出現(xiàn)后，積化和差公式的這個(gè)作用由更加便捷的對(duì)數(shù)取代。羈記憶方法襖積化和差公式的形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn)，下面指 出了各自的簡(jiǎn)單記憶方法。薁結(jié)果除以2蝿這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過(guò)三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其和差的值域應(yīng)該是-2,2，而積的值域確是-1,1，因 此除以2是必須的。蒄也可以

11、通過(guò)其證明來(lái)記憶，因?yàn)檎归_(kāi)兩角和差公式后，未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2,如：羆COS( a - B) - COS( a + B )羃=(cos a cos B +sin a sin B) - (cos a cos B -sin a sin B )腿=2sin a sin B膅故最后需要除以2。螃使用同名三角函數(shù)的和差肁 無(wú)論乘積項(xiàng)中的三角函數(shù)是否同名，化為和差形式時(shí)，都應(yīng)是同名三 角函數(shù)的和差。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶，因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù)， 兩角和差公式展開(kāi)后乘積項(xiàng)的形式都不同，就不會(huì)出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng)， 也就無(wú)法化簡(jiǎn)下去了。薈使用哪種三角函數(shù)的和差羅 仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和

12、差公式中，余弦的展開(kāi)中含有兩對(duì) 同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開(kāi)則是兩對(duì)異名三角函數(shù)的乘積。所以反過(guò) 來(lái)，同名三角函數(shù)的乘積，化作余弦的和差；異名三角函數(shù)的乘積，化作正 弦的和差。螄是和還是差?膀這是積化和差公式的使用中最容易出錯(cuò)的一項(xiàng)。規(guī)律為：“小角”B以cosB的形式出現(xiàn)時(shí)，乘積化為 和；反之，則乘積化為 差。肇由函數(shù)的奇偶性記憶這一點(diǎn)是最便捷的。如果B的形式是cosB，那么若把B替換為-B，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，也就是含a +B和a - B的兩項(xiàng)調(diào)換位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，從而結(jié)果的形式應(yīng)當(dāng)是和；另一種情況可以類(lèi)似 說(shuō)明。蚅正弦-正弦積公式中的順序相反 /負(fù)號(hào)祎這是一個(gè)特殊情況，完全可以死記下來(lái)。

13、薂當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如0, n 內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)檫@個(gè)區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以COS（ a +B ）不大于cos（ a - B ）。但是這時(shí)對(duì)應(yīng)的a和B在0, n 的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于等于0，所以要么反過(guò)來(lái)把COS（ a - B ）放到COS（ a +B ）前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號(hào)蕆萬(wàn)能公式蒆蚃 【詞語(yǔ)】：萬(wàn)能公式蟻 【釋義】：應(yīng)用公式 sin a =2tan( a /2)/1+tan(a /2)A2膀 cos a =1-tan( a /2)A2/1+tan(a /2)人2膆 tan a =2tan( a /2)/1tan( a /2)人2蚄 將sin a cos a、tan a代換成tan ( a的式子，這種代換稱(chēng)為萬(wàn)能置換。肅【推導(dǎo)】：(字符版)薀a /2)/1+(tarsin a =2sin( a /2)cos( a /2)=2sin(a /2)c