高中數(shù)學-數(shù)形結(jié)合思想(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)形結(jié)合思想 由于新教材新大綱把常見的數(shù)學思想納入基礎知識的范疇，通過對數(shù)學知識的考查反映考生對數(shù)學思想和方法的理解和掌握的程度。數(shù)形結(jié)合的思想重點考查以形釋數(shù)，同時考查以數(shù)解形，題型會滲透到解答題，題量會加大數(shù)形結(jié)合常用于解方程、解不等式、求函數(shù)值域、解復數(shù)和三角問題中，充分發(fā)揮形的形象性、直觀性、數(shù)的深刻性、精確性，彌補形的表面性，數(shù)的抽象性，從而起到優(yōu)化解題途徑的作用。 例題1關于x的方程2x23x2k0在(1, 1)內(nèi)有一個實根，則k的取值范圍是什么？ 分析：原方程變形為2x23x=2k后可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x23x。和函數(shù)y=2k的交點個數(shù)問題 解：作出函數(shù)y

2、=2x23x的圖像后，用y=2k去截拋物線，隨著k的變化，易知2k或12k5時只有一個公共點 k=或k<. 點撥解疑：方程（組）解的個數(shù)問題一般都是通過相應的函數(shù)圖象的交點問題去解決這是用形（交點）解決數(shù)（實根）的問題 例題2求函數(shù)u的最值 分析：觀察得2t+4+2(6t)16，若設x=，y=，則有x2+2y2=16，再令u=x+y則轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的關系問題來解決解：令x, =y, 則x2+2y2=16, x0, y0, 再設u=x+y, 由于直線與橢圓的交點隨著u的變化而變化，易知，當直線與橢圓相切時截距u取得最大值，過點(0，2)時，u取得最小值2， 解方程組，得3x24ux+2u

3、216=0, 令=0, 解得u=±2. u的最大值為2，最小值為2 點撥解疑：數(shù)學觀察能力要求透過現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，挖掘題中的隱含條件 例題3已知s=，則s的最小值為 。 分析：等式右邊形似點到直線距離公式 解：|s|, 則|s|可看成點（0, 0）到直線tx+y+2t3=0的距離，又直線tx+y+2t3=0變形為：(x+2)t+y3=0后易知過定點P(2，3)，從而原點到直線 tx+y+2t30的最短距離為|OP|=, s. 點撥解疑：由數(shù)的形式聯(lián)想到數(shù)的幾何意義也即形，從而以形輔數(shù)解決問題類似地如聯(lián)想到斜率，聯(lián)想到定比分點公式，(xa)2+(yb)2聯(lián)想到距離，|z1z2|聯(lián)想到兩

4、點間距離等 例題4解不等式>x1. 分析：令y，則y2(x3) (y0), 它表示拋物線的上半支令yx1表示一條直線作出圖象求解 解：作出拋物線y2(x3) (y0),以及直線yx1 解方程組得x=2或x=1（舍去）, 由右圖可知：當x2時不等式>x1成立，所以原不等式的解集為x| x<2. 點撥解疑：一般地，形如(亦可)等不等式皆可用數(shù)形結(jié)合求解，更一般地可作出圖象的函數(shù)或方程都可試用此法如32等 例題5求 m=2x+的值域分析：設=y，即4x2+9y236（y0）,則求值域問題轉(zhuǎn)化為求直線2x+ym的縱截距的范圍問題解：設=y，即4x2+9y236（y0）又令2x+y=m

5、, 則由得40x236mx+9m236=0, 令=(36m)2160(9m236)=0, 得m=±2, 直線y=2x+m過A點時，x=3, y=0, m=6取得最小值； 當直線與橢圓上半部分相切時，m取得最大值2 由，m的取值范圍為6, 2, 值域為6，2 例題6AB為平面上的兩定點，C為平面上位于直線AB同側(cè)的一個動點，分別以AC、BC為邊，在ABC外側(cè)作正方形CADF、CBEG，求證：無論C點取在直線AB同側(cè)的任何位置，DE的中點M的位置不變 分析：由于D、E隨著C的變化而變化，但M為定點，故用幾何方法不易說清變換思維角度，如以C點坐標為參量，證得M點坐標不隨其變化而變化即可獲證

6、證明：以AB中點為坐標原點,直線AB為實軸，建立復平面. 設A、B、C對應的復數(shù)分別為a，a，x+yi其中a、x、yR則 =ZCZA=(x+a)+yi, =×i=y+(x+a)i=, =(a+y)+(a+x)i, D點的坐標是(y+a), a+x),同理E點的坐標為(y+a, ax), 據(jù)中點公式, DE中點M的坐標為（0，a），它是與AB長度有關，而與C點位置無關的點，即為定點 點撥解疑：這是用數(shù)解形的一例，可見它形象而直觀，但不夠深刻、精確，而數(shù)卻精確細致，但它不夠直觀，故常以數(shù)量形，以形輔數(shù)，數(shù)形結(jié)合 例題7設A、B、C、D是一條有向線段上的四點，且=0，求證：=. 分析：由于

7、A、B、CD順序不定，若用幾何方法分類不便，故用解析法，又A、B、C、D共線，所以只需數(shù)軸即可證明：以四點所在直線為數(shù)軸，設A、B、C、D四點的坐標依次為0, b、c、d, =0, =0, b(c+d)=2cd, =,又=，等式成立. 例題8函數(shù)y=f(x)的圖像為圓心在原點的兩段圓弧，試解不等式f(x)f(x)十x 分析一：由圖像可得出函數(shù)關系式，由形看數(shù)解法一：由題意及圖像，有，（1） 當0<x1時, f(x)>f(x)+x得>+x, 解得0<x<（2） 當1x<0時, 得>+x, 解得1x<, 原不等式的解集為1, )(0, ). 分析二：

8、由圖象知f(x)為奇函數(shù)， f(x)f(x)，然后再以形解數(shù)解法二：由圖象知f(x)為奇函數(shù)， 原不等式為f(x)>，而方程f(x)= 的解為x=±，據(jù)圖像可知原不等式解集為1, )(0, ). 點撥解疑：本題以形看數(shù)（解析式，奇偶性），以數(shù)解形（曲線交點A、B）最后以形解數(shù)（不等式），這才是真正意義上的數(shù)形結(jié)合，揚長避短基礎知識練習一選擇題：1向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量v與水深h的函數(shù)關系如圖所示，那么水瓶的形狀是2已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在（0，+）上是增函數(shù)且f()0則滿足0的x的取值范圍是 （A）(2, +) （B）(0, ) （C）(0, )(2

9、, +) （D）(2, +)3已知arg(z+3)，則|z+6|+|z3i|的最小值為 （A）3 （B）3 （C）5 （D）54方程lgx=sinx的根的個數(shù)是 （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）無數(shù)個5函數(shù) ya|x|和 y= x+a的圖像恰好有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍為 （A）(1, +) （B）(1, 1) （C）(, 1) （D）(, 1)(1, +)二填空題：6已知有向線段PQ的起點P和終點 Q分別為（1，1）和（2, 2），若直線l：x+my+m=0與PQ的延長線相交，則m的取值范圍是 .7若直線l：ykx+1與曲線c：x只有一個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是 .8函數(shù)

10、y=的值域是 .三解答題：9已知4a+9b10（a，b6 R+）, 求2十3的最大值.10如果關于 x的方程 sinx+acosx=恒有解，求實數(shù) a的取值范圍高考?？碱}強化訓練一選擇題：1已知0<a<1，方程的實數(shù)根的個數(shù)是 （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）以上都有可能2若不等式x2logax0在(0, )內(nèi)恒成立, 則a的取值范圍是 （A）, 1) （B）(0, ) （C）(, 1) （D）(0, 1)3代數(shù)式的最小值為 （A）2 （B）2 （C）4 （D）44函數(shù) ysin2x+acos2x圖像的一條對稱軸為x，那么a等于 （A） （B） （C）1 （D）15直線y

11、=a（aR）與曲線ycot(t)，（0）的相鄰兩交點之間的距離是 （A） （B） （C） （D）以上都不對6若非零復數(shù)z1，z2分別對應于復平面內(nèi)的點A、B且z12z1z2+z22=0, 則AOB是 （A）等腰三角形 （B）等腰直角三角形 （C）等邊三角形 （D）直角三角形二填空題：7若z1，z2為復數(shù)，且|z1|=3, |z2|=5, |z1z2|=7，則= 8若 a(0, )，則 T1sin(1+a)，T2=sin(1a), T3=cos(1+a)的大小關系為 9方程 |x|2x+1|=1的不同實根的個數(shù)為 .10函數(shù) u的最大值是 .三解答題：11已知函數(shù)f(x)=ax2c滿足一4f(1)1，1f(