近世代數(shù)基礎(chǔ)課件

1、1第一章 緒 論2第1講 緒 論一 關(guān)于代數(shù)的觀念二 數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段三 代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史)四 代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段五 幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問題3 第二章第二章 基本概念基本概念4 第第1 1講講 集合及其之間的關(guān)系集合及其之間的關(guān)系 集合集合 第第2 2講講 集合及其之間的關(guān)系集合及其之間的關(guān)系 對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系( (映射映射)( )(人造關(guān)系人造關(guān)系) ) 第第3 3講講 代數(shù)運(yùn)算適應(yīng)的規(guī)則代數(shù)運(yùn)算適應(yīng)的規(guī)則運(yùn)算律運(yùn)算律 第第4 4講講 與代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的映射與代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的映射同態(tài)映射同態(tài)映射 第第5 5講講 等價(jià)關(guān)系與分類等價(jià)關(guān)系與分類5第第1 1講講 基本概

2、念之集合及其之間的關(guān)系基本概念之集合及其之間的關(guān)系 集合集合1 集合與集合元素的定義集合與集合元素的定義2 2 集合與集合元素的表示符號(hào)集合與集合元素的表示符號(hào)3 3 集合與集合元素之間的關(guān)系集合與集合元素之間的關(guān)系屬于關(guān)系屬于關(guān)系4 4 集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類5 5 集合的表示方法集合的表示方法6 6 集合之間的內(nèi)在關(guān)系集合之間的內(nèi)在關(guān)系包含關(guān)包含關(guān)系系7 7 集合運(yùn)算集合運(yùn)算8 8 運(yùn)算律運(yùn)算律9 9 特殊集合的表示符號(hào)特殊集合的表示符號(hào)10 10 集合的補(bǔ)充說明集合的補(bǔ)充說明11 11 包含與排斥原理包含與排斥原理集合與元素的相關(guān)概念集合的相關(guān)概念集合的運(yùn)算及運(yùn)算律集合

3、的補(bǔ)充及說明6第第2講講 基本概念之集合及其之間的關(guān)系基本概念之集合及其之間的關(guān)系 對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系(映射映射)(人造關(guān)系人造關(guān)系)1 1 映射概念回憶映射概念回憶2 2 映射及相關(guān)定義映射及相關(guān)定義3 3 映射的充要條件映射的充要條件4 4 映射舉例映射舉例5 5 符號(hào)說明符號(hào)說明6 6 映射的合成及相關(guān)結(jié)論映射的合成及相關(guān)結(jié)論7 7 映射及其映射相等概念的推廣映射及其映射相等概念的推廣8 8 集合及其之間的關(guān)系集合及其之間的關(guān)系特殊特殊的映射（代數(shù)運(yùn)算）的映射（代數(shù)運(yùn)算）9 9 集合及其之間的關(guān)系集合及其之間的關(guān)系一一一一映射映射 映射相關(guān)概念及舉例映射的運(yùn)算映射及其相關(guān)概念的推廣特殊映射

4、7 第第3 3講講 基本概念之代數(shù)運(yùn)算適應(yīng)的規(guī)則基本概念之代數(shù)運(yùn)算適應(yīng)的規(guī)則 運(yùn)算律運(yùn)算律 1 1 與一種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律與一種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律（1 1）結(jié)合律）結(jié)合律（2 2）交換律）交換律（3 3）消去律）消去律2 2 與兩種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律與兩種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律（1 1）第一分配律）第一分配律（2 2）第二分配律）第二分配律8 第第4 4講講 基本概念之與代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的映射基本概念之與代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的映射 同態(tài)映射同態(tài)映射 1 1 同態(tài)映射同態(tài)映射 2 2 同態(tài)滿射同態(tài)滿射 3 3 同構(gòu)映射同構(gòu)映射 4 4 自同構(gòu)映射自同構(gòu)映射 5 5 舉例舉例 9

5、 第第5講講 基本概念之等價(jià)關(guān)系與集合的分類基本概念之等價(jià)關(guān)系與集合的分類 商集商集1 1 商集商集2 2 等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系3 3 集合的分類集合的分類4 4 集合集合A A上的等價(jià)關(guān)系與上的等價(jià)關(guān)系與 集合集合A A的分類之間的聯(lián)系的分類之間的聯(lián)系10第三章 群 11第第1 1講講 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)第第2 2講講 半群半群第第3 3講講 群的定義及性質(zhì)群的定義及性質(zhì)第第4 4講講 有限群有限群第第5 5講講 子群的定義及性質(zhì)子群的定義及性質(zhì)第第6 6講講 元素的階元素的階第第7 7講講 循環(huán)群循環(huán)群第第8 8講講 變換群變換群第第9 9講講 特殊子群特殊子群第第10 10講講 群的同態(tài)與同構(gòu)

6、群的同態(tài)與同構(gòu)第第11 11講講 群與對(duì)稱的關(guān)系群與對(duì)稱的關(guān)系特殊群12 2 2 代數(shù)系統(tǒng)的舉例代數(shù)系統(tǒng)的舉例1 代數(shù)系統(tǒng)及子代數(shù)系統(tǒng)的定義代數(shù)系統(tǒng)及子代數(shù)系統(tǒng)的定義13第2講 半群1 半群、子半群、交換半群的定義及判定定理2 半群的舉例3 半群中冪的定義及性質(zhì)14 1 群的第一定義2 單位元及逆元的定義3 群的第二定義4 群的第三定義5 群的第四定義 6 群的定義的等價(jià)證明7 群的舉例8 群的重要性質(zhì) 第3講 群的定義及性質(zhì)15 第4講 有限群 1 群的分類及群的階 2 有限群的判定定理 3 由有限集合上代數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算表觀察代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)161 子群定義2 子群的判別方法3 子群的性質(zhì) 第5

7、講 子群的定義及性質(zhì)17 1 元素階的定義 2 元素階的舉例 3 元素階的性質(zhì) 第6講 群中元素的階18 2 循環(huán)群與元素階的關(guān)系 1 循環(huán)群的定義及舉例 3 循環(huán)群的一般形式 5 循環(huán)群生成元的確定定理第7講 循環(huán)群 4 循環(huán)群的生成元的個(gè)數(shù)定理19 第8講 變換群1 變換、滿變換、單變換、一一變換的定義及符號(hào)說明2 特殊集合關(guān)于乘法的結(jié)論3 變換群舉例4 特殊的變換群201 循環(huán)群子群的一些結(jié)論2 循環(huán)群概念的推廣3 特殊子群的幾何意義探討4 子群的陪集5 正規(guī)子群與商群 第9講 特殊子群211 群的同態(tài)的定義及舉例2 同態(tài)的性質(zhì)及結(jié)論3 同構(gòu)的性質(zhì)及結(jié)論4 循環(huán)群的構(gòu)造及循環(huán)群之間的同態(tài)

8、5 同態(tài)基本定理與同構(gòu)定理第10講 群的同態(tài)與同構(gòu)22 第11講 群與對(duì)稱的關(guān)系 1 序言 2 幾何對(duì)稱 3 代數(shù)對(duì)稱23 第四章 環(huán)論24第1講 環(huán)的定義及基本性質(zhì)第2講 特殊元素及性質(zhì)第3講 環(huán)的分類及特殊環(huán)的性質(zhì)第4講 環(huán)的特征第5講 子環(huán)、理想(主理想)及素理想和極大理想第6講 環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)第7講 特殊環(huán)第8講 商域第9講 有限域25 第1講 環(huán)的定義及基本性質(zhì)1 環(huán)的定義2 環(huán)的舉例3 環(huán)的初步性質(zhì)26 第2講 特殊元素及性質(zhì) 1 特殊元素之一零元、負(fù) 元及單位元、逆元、零因子 2 零因子的性質(zhì) 3 求環(huán)中的特殊元素舉例27第3講 環(huán)的分類及特殊環(huán)的性質(zhì) 1 特殊環(huán)的定義 2 除環(huán)

9、的性質(zhì) 3 有限環(huán)的幾個(gè)相關(guān)結(jié)論 4 域中元素的計(jì)算方法 5 循環(huán)環(huán)的性質(zhì)28 第4講 環(huán)的特征 1 環(huán)的特征的定義 2 特殊環(huán)的特征(數(shù))及相關(guān)結(jié)論 3 舉例29 第5講 子環(huán)、理想(主理想)及素理想和極大理想 1 子環(huán) 2 理想(主理想) 3 素理想和極大理想30 第6講 環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)1 環(huán)的同態(tài)及同構(gòu)的定義2 環(huán)的同態(tài)的舉例3 環(huán)的同態(tài)基本性質(zhì)4 商環(huán)及環(huán)的同態(tài)基本定理5 環(huán)的同構(gòu)基本定理31第7講 特殊環(huán) 1 矩陣環(huán) 2 多項(xiàng)式環(huán) 3 剩余類環(huán)32 第8講 商域 1 構(gòu)造域的方法 2 挖補(bǔ)定理 3 擴(kuò)域定理 4 擴(kuò)域的形式 5 商域的定義及結(jié)論 6 舉例33第9講 有限域34 第五章

10、 整環(huán)里的因子分解35第1講 不可約元、素元、最大公因子第2講 唯一分解環(huán)第3講 特殊的唯一分解環(huán)361 整環(huán)的單位定義及性質(zhì)2 整除的定義及性質(zhì)3 相伴關(guān)系的性質(zhì)4 不可約元5 最大公因子6 最大公因子、互素的概念推廣到多元的情形第1講 不可約元、素元、最大公因子37 第2講 唯一分解環(huán)1 唯一分解元、唯一分解元的標(biāo)準(zhǔn)分解式、唯一分解環(huán)、非唯一分解環(huán)舉例2 最大公因子的存在性定理、不可約元與素元的關(guān)系定理3 唯一分解環(huán)的判定定理38 第3講 特殊的唯一分解環(huán)1 主理想環(huán)2 歐氏環(huán)3 唯一分解環(huán)上的一元多項(xiàng)式環(huán)4 因子分解與多項(xiàng)式的根39 第六章群論補(bǔ)充40第1 1講 共軛元與共軛子群第2講

11、群的直積第3講 群在集合上的作用第4講 西羅定理41 研究群內(nèi)一些特殊類型的元素和子群 1 中心和中心化子 2 共軛元和共軛子群 3 共軛子群與正規(guī)化子第1講 共軛元與共軛子群42一 群的外直積1 群的外直積的定義2 群的外直積的基本性質(zhì)3 群的外直積定義的推廣4 群的外直積舉例二 群的內(nèi)直積1 群的內(nèi)直積定義2 群的內(nèi)直積的充要條件3 群的內(nèi)直積定義的推廣三 群的內(nèi)外直積 第2講 群的直積43一 群在集合上的作用的定義二 群在集合上的作用舉例1 置換群在集合上的作用2 群在自身集合上的作用3 群的共軛變換定義了群在它自身上的作用4 群在自身的全體子群的集合上的作用三 X中的元素x在G下的軌道

12、1 X中的元素x在G下的軌道定義2 X中的元素x在G下的軌道舉例四 軌道的相關(guān)結(jié)論第3講 群在集合上的作用44 第4講 西羅定理45 第一章 緒 論 46 緒 論 第一講47第一章第一章 緒論緒論一一 關(guān)于代關(guān)于代數(shù)的觀念數(shù)的觀念二二 數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段的發(fā)展階段三三 代數(shù)發(fā)展代數(shù)發(fā)展的階段（數(shù)的階段（數(shù)學(xué)發(fā)展史）學(xué)發(fā)展史）1 用字母用字母的代數(shù)的代數(shù)2 解方程解方程3 各種代數(shù)各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論結(jié)構(gòu)的理論1 萌芽階段萌芽階段2 初等數(shù)學(xué)階段初等數(shù)學(xué)階段3 高等數(shù)學(xué)階段高等數(shù)學(xué)階段4 近代數(shù)學(xué)階段近代數(shù)學(xué)階段5 現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段1 初等數(shù)學(xué)時(shí)初等數(shù)學(xué)時(shí)期期(初等數(shù)學(xué)初等數(shù)學(xué))2 變

13、量數(shù)學(xué)時(shí)變量數(shù)學(xué)時(shí)期期(高等代數(shù)高等代數(shù))3 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期期(近世代數(shù)近世代數(shù))四四 代數(shù)學(xué)發(fā)代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段展的四個(gè)階段1 最初的文最初的文字?jǐn)⑹鲭A段字?jǐn)⑹鲭A段2 代數(shù)的簡(jiǎn)代數(shù)的簡(jiǎn)化文字階段化文字階段3 符號(hào)代數(shù)階段符號(hào)代數(shù)階段4 結(jié)構(gòu)代數(shù)階段結(jié)構(gòu)代數(shù)階段五五 幾類與近世幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問題關(guān)的實(shí)際問題1 項(xiàng)鏈問題項(xiàng)鏈問題3 正多面體正多面體的著色問題的著色問題2 分子結(jié)構(gòu)分子結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)問題的計(jì)數(shù)問題5 開關(guān)線路的構(gòu)開關(guān)線路的構(gòu) 造與計(jì)數(shù)問題造與計(jì)數(shù)問題4 圖的構(gòu)造圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題與計(jì)數(shù)問題8 代數(shù)方程根代數(shù)方程根式式 的求解問題的求解問題7 幾何作

14、圖問題幾何作圖問題6 數(shù)字通信數(shù)字通信的可靠性問題的可靠性問題48一 關(guān)于代數(shù)的觀念二 數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段三 代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史)四 代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段五 幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問題49一 關(guān)于代數(shù)的觀念 從人們的觀念上來看從人們的觀念上來看,人們關(guān)于人們關(guān)于代數(shù)的觀念大致有三種：代數(shù)的觀念大致有三種：1 用字母的代數(shù)用字母的代數(shù)2 解方程解方程 3 各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論50 現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不再是以解方程為中心,而重點(diǎn)是研究各樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)的代數(shù)性質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系.當(dāng)然,所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)實(shí)際上就是帶有運(yùn)算的集合.一般說來,這些運(yùn)算還適合某些所希望的若干條件.

15、 初等代數(shù)、高等代數(shù)、線性代數(shù)都稱為經(jīng)典代數(shù).它的研究對(duì)象主要是代數(shù)方程和線性方程組.而現(xiàn)代代數(shù)學(xué)也即近世代數(shù)(又稱為抽象代數(shù)),其主要內(nèi)容是研究51 各種代數(shù)系統(tǒng)(代數(shù)結(jié)構(gòu)),而對(duì)于代數(shù)結(jié)構(gòu),其基本成分則是集合和集合上的映射. 而近世代數(shù)就像古典代數(shù)那樣,是關(guān)于運(yùn)算的學(xué)說,是計(jì)算規(guī)則的學(xué)說,但它不把自己局限在研究數(shù)的運(yùn)算的性質(zhì)上,而是企圖研究更具一般性的元素上運(yùn)算的性質(zhì),這種趨向是現(xiàn)實(shí)中的要求所提示的.近世代數(shù)已廣泛應(yīng)用于近代物理學(xué)、近代科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)字通訊、系統(tǒng)工程等領(lǐng)域.52二 數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段1 萌芽階段萌芽階段2 初等數(shù)學(xué)階段初等數(shù)學(xué)階段3 高等數(shù)學(xué)階段高等數(shù)學(xué)階段4 近代數(shù)學(xué)

16、階段近代數(shù)學(xué)階段5 現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段53三 代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史)代數(shù)發(fā)展代數(shù)發(fā)展的階段的階段初等數(shù)學(xué)時(shí)期初等數(shù)學(xué)時(shí)期（初等數(shù)學(xué)）（初等數(shù)學(xué)）變量數(shù)學(xué)時(shí)期變量數(shù)學(xué)時(shí)期或高等數(shù)學(xué)時(shí)期或高等數(shù)學(xué)時(shí)期（高等代數(shù)）（高等代數(shù)）現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（抽象代數(shù)（抽象代數(shù)（近世代數(shù)）（近世代數(shù)）計(jì)算的對(duì)象：計(jì)算的對(duì)象：數(shù)數(shù)計(jì)算的方法：計(jì)算的方法：加、減、加、減、乘、除乘、除計(jì)算的對(duì)象：計(jì)算的對(duì)象：若干不是數(shù)若干不是數(shù)的事物（向的事物（向量、矩陣、量、矩陣、線性變換）線性變換）計(jì)算的方法：計(jì)算的方法：類似于加、類似于加、減、乘、除減、乘、除的運(yùn)算的運(yùn)算計(jì)算的對(duì)象：計(jì)算的對(duì)象：集合集合計(jì)算的方

17、法：計(jì)算的方法：運(yùn)算（映射）運(yùn)算（映射）54四 代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段 代數(shù)學(xué)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過程,抽象代數(shù)(近世代數(shù))是19世紀(jì)最后20年直到20世紀(jì)前30年才發(fā)展起來的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支. 1 最初的文字?jǐn)⑹鲭A段 2 代數(shù)的簡(jiǎn)化文字階段 3 符號(hào)代數(shù)階段 4 結(jié)構(gòu)代數(shù)階段551 最初的文字?jǐn)⑹鲭A段 古希臘之前直到丟番圖(Diophantine,公元250年)時(shí)代,代數(shù)學(xué)處于最初的文字?jǐn)⑹鲭A段,這一階段除古希臘數(shù)學(xué)之外還包括古巴比倫、古埃及與古代中國(guó)的數(shù)學(xué).此時(shí)算術(shù)或代數(shù)尚未形成任何簡(jiǎn)化的符號(hào)表達(dá)法,代數(shù)運(yùn)算則都采用通常的語(yǔ)言敘述方式表達(dá),因而代數(shù)推理也都采用直觀的方法.在中國(guó)古代則有著名的籌算法,

18、而在古希臘則借助于幾何圖形的變換方法.最典型的代表是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)幾何數(shù)論方法.例如通過圖形的組合可以得到 不要認(rèn)為簡(jiǎn)單的幾何變換只能產(chǎn)生簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)論,恰當(dāng)?shù)乩脦缀螆D形的變換有時(shí)也會(huì)產(chǎn)生重要的代數(shù)結(jié)論(如勾股定理與勾股數(shù).21 3 57(21)nn 562 簡(jiǎn)化文字階段 缺乏符號(hào)運(yùn)算的代數(shù)當(dāng)然是相當(dāng)原始的代數(shù)學(xué).直到古希臘數(shù)學(xué)后期,數(shù)學(xué)家丟番圖才開始把通常的語(yǔ)言敘述作簡(jiǎn)化,利用簡(jiǎn)化的文字符號(hào)代替一些相對(duì)固定的代數(shù)表達(dá)式.這一時(shí)期稱為代數(shù)的簡(jiǎn)化文字階段,這一時(shí)期大致延續(xù)到歐洲文藝復(fù)興時(shí)代.丟番圖對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了突出的貢獻(xiàn),算術(shù)一書是丟番圖留下來的

19、著作,該著作研究了一系列不定方程的求解問題.例如把一個(gè)平方數(shù)表為兩個(gè)平方數(shù)之和的問題.后來歐拉發(fā)現(xiàn)了正整數(shù)能夠表為兩個(gè)整數(shù)平方和的充分必要條件.把一個(gè)給定的整數(shù)表為四個(gè)數(shù)的和再加上這四個(gè)數(shù)的平方和.求兩個(gè)有理數(shù)使它們的和等于它們的立方和,例如七分之五與七分之八等等.正是在丟番圖關(guān)于整數(shù)諸如此類表法研究的基礎(chǔ)上,17世紀(jì)偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Pierre de Fermat,1601-1665)提出了不定方程xn+yn=zn在n3時(shí)不可解問題.19世紀(jì)費(fèi)馬問題的研究也是導(dǎo)致近世代數(shù)理想論產(chǎn)生的重要契機(jī).573 符號(hào)代數(shù)階段 這一階段是經(jīng)過歐洲文藝復(fù)興之后的好幾位數(shù)學(xué)家的努力而達(dá)到(它大致在17世

20、紀(jì)完成).它的標(biāo)志是用字母表示數(shù),這一過程使代數(shù)學(xué)達(dá)到了現(xiàn)在我們看到的這種符號(hào)演算形式.較早的代表著作是德國(guó)數(shù)學(xué)家M.Stiefel(1486-1567)1553年的著述綜合算術(shù).其利用10進(jìn)制小數(shù)表示實(shí)數(shù).對(duì)代數(shù)學(xué)的符號(hào)體系做出了重要貢獻(xiàn)的另一位代表人物是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F.Viete,1540-1603).韋達(dá)是第一個(gè)系統(tǒng)使用字母表示數(shù)的人,在代數(shù)、三角學(xué)等許多方面都做出了杰出的貢獻(xiàn).584 結(jié)構(gòu)代數(shù)階段 這一階段代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不再是個(gè)別的數(shù)字運(yùn)算,而是抽象的運(yùn)算系統(tǒng)(如群、環(huán)、域等)的代數(shù)結(jié)構(gòu).它起因于年輕的法國(guó)數(shù)學(xué)家Evariste Galois(1811-1832)對(duì)代數(shù)方程式解的

21、研究. Galois引入了群與擴(kuò)域的工具,解決了高次方程的求根問題.這個(gè)問題是在16世紀(jì)中葉,兩位意大利數(shù)學(xué)家G.Cardano(1506)與L.Ferrari(1545)發(fā)現(xiàn)了三、四次方程的求根公式之后一直困擾數(shù)學(xué)家達(dá)三百年之久的代數(shù)學(xué)難題. Galois擺脫了前人關(guān)于根的計(jì)算方法的研究途徑,發(fā)現(xiàn)根的對(duì)稱性群的結(jié)構(gòu)能夠決定根的可解性. Galois的研究不但確立了群論在數(shù)學(xué)中的地位,同時(shí)也開創(chuàng)了結(jié)構(gòu)代數(shù)這個(gè)新型的代數(shù)學(xué)研究方向. 在數(shù)學(xué)家們致力于解決高次方程的求根問題的同時(shí),Carl Gauss(1777-1855)為了解決Fermat問題,開始一般性的研究代數(shù)數(shù)域.他的學(xué)生E.Kummer

22、(1810-1893)在Gauss方法的基礎(chǔ)上引入理想數(shù),使Fermat問題的研究推進(jìn)了一步.直到19世紀(jì)末已建立了群、環(huán)、域的系統(tǒng)理論.59 1834年愛爾蘭數(shù)學(xué)家William R.Hamiton(1805-1865)在Gauss把復(fù)數(shù)解釋為二元數(shù)這一思想的啟發(fā)下創(chuàng)建了一種奇特的不交換的數(shù)系,后來稱之為Hamiton四元數(shù). 三大進(jìn)展奠定了近世代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).1931年荷蘭數(shù)學(xué)家B.L.van.der.Waerden出版了兩卷本,1955年該書第四版更名為.這一著作標(biāo)志著群、環(huán)、域等抽象結(jié)構(gòu)理論已經(jīng)成為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象,該著作同時(shí)也成為現(xiàn)代結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)的起點(diǎn).1951年美國(guó)數(shù)學(xué)家

23、N.Jacobson又出版了新的代數(shù)學(xué)著作,書名為(共三卷).因此近世代數(shù)也被稱為抽象代數(shù).60五五 幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問題關(guān)的實(shí)際問題1 項(xiàng)鏈問題項(xiàng)鏈問題2 分子結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)問題分子結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)問題3 正多面體的著色問題正多面體的著色問題4 圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題5 開關(guān)線路的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題開關(guān)線路的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題6 數(shù)字通信的可靠性問題數(shù)字通信的可靠性問題7 幾何作圖問題幾何作圖問題8 代數(shù)方程根式的求解問題代數(shù)方程根式的求解問題61 1)基本問題: 用黑白兩種顏色的珠子做成有五顆珠子的項(xiàng)鏈,問可以做成多少種不同的項(xiàng)鏈？ 2)問題解決思路:枚舉法

24、 3)問題推廣:用n種顏色的珠子做成m顆珠子的項(xiàng)鏈,問可做成多少種不同類型的項(xiàng)鏈？62數(shù)學(xué)表述 把m顆珠子做成一個(gè)項(xiàng)鏈用一個(gè)正m邊形來代替,其中每個(gè)頂點(diǎn)代表一顆珠子.從任意正m邊形一個(gè)頂點(diǎn)開始,沿逆時(shí)針方向,依次給每個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)以碼:1,2,3, ,m.這樣的一個(gè)項(xiàng)鏈稱之為有標(biāo)號(hào)的項(xiàng)鏈.由于每一顆珠子的顏色有n種選擇,因此由乘法原理,這些有標(biāo)號(hào)的項(xiàng)鏈共有 種.但是其中有一些項(xiàng)鏈可通過旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度或反轉(zhuǎn)180度使它們完全重合.對(duì)于這些項(xiàng)鏈稱它們?yōu)楸举|(zhì)上是相同的.對(duì)那些無論怎樣旋轉(zhuǎn)或反轉(zhuǎn)都不能使它們重合的項(xiàng)鏈,稱之為本質(zhì)上不相同的項(xiàng)鏈,即為問題所提的不同類型的項(xiàng)鏈.當(dāng)n與m較小時(shí),不難用枚舉法求得問題

25、的解答.但隨著n與m的增加,用枚舉法越來越難,因而必須尋找更為有效的可解決一般正整數(shù)n與m的方法.采用群論可解決此問題,且至今尚未發(fā)現(xiàn)其它更為簡(jiǎn)單和有效的方法.mn632 分子結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)問題CH1)背景:在化學(xué)中研究有某幾種元素可合成多少種不同物質(zhì)的問題,可以知道人們?cè)诖笞匀恢袑ふ一蛉斯ず铣蛇@些物質(zhì). 2)問題:在一個(gè)苯環(huán)上結(jié)合 原子或 原子團(tuán),問可以形成多少種不同的化合物？ 3)轉(zhuǎn)化:如果假定苯環(huán)上相鄰 原子之間的鍵都是互相等價(jià)的,則此問題就是兩種顏色六顆珠子的項(xiàng)鏈問題.CH364其中:下圖中外圈球右邊兩個(gè)每個(gè)代表一個(gè) ,其余四個(gè)每個(gè)代表一個(gè) ;內(nèi)圈每個(gè)代表一個(gè) .C3CHH653 正多面體

26、的著色問題1) 問題:用n種顏色對(duì)正六面體的面著色,問有多少種不同的著色方法？2) 數(shù)學(xué)模型:為了將問題中的概念量化:設(shè)n種顏色的集合為 ,正六面體的面集合為 ,則每一種著色法對(duì)應(yīng)一個(gè)映射: ,反之,每一個(gè)映射 對(duì)應(yīng)一種著色法. 由于每一面的顏色有n種選擇,所以全部著色法的總數(shù)為 ,但這樣的著色與面的編號(hào)有關(guān),其中有些著色可適當(dāng)旋轉(zhuǎn)正六面體使它們完全重合,對(duì)這些著色法,稱它們?yōu)楸举|(zhì)上是相同的.因而我們的問題轉(zhuǎn)化為求本質(zhì)上不同的著色法的數(shù)目. 當(dāng)n很小時(shí),不難用枚舉法求得結(jié)果,如當(dāng)n取2時(shí),本質(zhì)上不同的著色數(shù)為10,對(duì)于一般的情況則必須用群論方法才能解決.12 , , nAa aa123456

27、, , , , , Bb b b b b b:fBA:fBA6n66 4 圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題 1) 圖的概念： 設(shè) 稱為頂點(diǎn)集合,是由 的一些二元子集構(gòu)成的集合,稱為邊集,則有序?qū)?稱為一個(gè)圖. 2) 圖的畫法: 每一個(gè)頂點(diǎn)用圓圈表示,對(duì)邊集 中的每一對(duì)元素 用一條直線或曲線連接頂點(diǎn) 與 .頂點(diǎn)的位置及邊的長(zhǎng)短、形狀均無關(guān)緊要. ）（EV,V, i j(),Eji21vvvVn， 67 一個(gè)圖可以代表一個(gè)電路、水網(wǎng)絡(luò)、通訊網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、地圖等有形的結(jié)構(gòu),也可以代表一些抽象關(guān)系.例如:可用一個(gè)圖代表一群人之間的關(guān)系,其中點(diǎn)代表單個(gè)人,凡有邊相連的的兩個(gè)點(diǎn)表示他們之間互相認(rèn)識(shí),

28、否則表示不認(rèn)識(shí),則這個(gè)圖就表示出這群人之間的關(guān)系. 圖論中自然會(huì)涉及到某類圖有多少個(gè)的問題.683)問題:畫出所有點(diǎn)數(shù)為3的圖.解決辦法:首先畫出3個(gè)頂點(diǎn):1,2,3,在每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間有“無邊”和“有邊”兩種情況,因而全部有8種情況,每種情況對(duì)應(yīng)一個(gè)圖.694)推廣:當(dāng)點(diǎn)數(shù)為 時(shí),共可形成 個(gè)二元子集,每個(gè)二元子集可以對(duì)應(yīng)圖中的邊或不對(duì)應(yīng)邊兩種情況,故可形成 個(gè)圖.我們觀察上圖中的8個(gè)圖,可以發(fā)現(xiàn)有些圖是完全相同的,如不考慮它們的頂點(diǎn)號(hào),這些圖可完全重合,這樣的圖稱它們是同構(gòu)的,可以看出:上圖中有4個(gè)互不同構(gòu)的圖.那么,對(duì)于一般的情況,也即頂點(diǎn)數(shù)為 的圖中互不同構(gòu)的圖有多少個(gè)呢?這個(gè)問題也不能用

29、初等方法解決.nCn222Cnn70 1)問題:一個(gè)有兩種狀態(tài)的電子元 件稱為一個(gè)開關(guān),例如普通的電燈開關(guān)、二極管等.由一些開關(guān)組成的二端網(wǎng)絡(luò)稱為開關(guān)線路.一個(gè)開關(guān)線路的兩端也只有兩種狀態(tài):通與不通.我們的問題是:用n個(gè)開關(guān)可以構(gòu)造多少種不同的開關(guān)線路？5 開關(guān)線路的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題71 2)模型： 我們用 個(gè)變量 代表 個(gè)開關(guān),每個(gè)變量的取值為0或1且代表開關(guān)的兩種狀態(tài).開關(guān)線路的狀態(tài)也用一個(gè)變量 來表示,它的取值也是 0或1代表開關(guān)線路的兩種狀態(tài).是 的函數(shù),稱為開關(guān)函數(shù),記為 ,其中每一個(gè)函數(shù) 對(duì)應(yīng)一個(gè)開關(guān)線路. 3)數(shù)學(xué)計(jì)算： 由于每一個(gè)函數(shù) 對(duì)應(yīng)一個(gè)開關(guān)線路,因而開關(guān)線路的數(shù)目就是開關(guān)

30、函數(shù)的數(shù)目.又由于 的定義域的點(diǎn)數(shù)目為 ,在定義域的每一個(gè)點(diǎn)上的取值有兩種可能.所以全部開關(guān)函數(shù)的數(shù)目為 ,這就是 個(gè)開關(guān)的開關(guān)線路的數(shù)目. 4)總結(jié) 上面考慮的開關(guān)線路中的開關(guān)是有標(biāo)號(hào)的,有一些開關(guān)線路結(jié)構(gòu)完全相同,只是標(biāo)號(hào)不同,我們稱這些開關(guān)線路本質(zhì)上是相同的.要進(jìn)一步解決本質(zhì)上的開關(guān)線路的數(shù)目問題,必須用群論方法. nxxxn， 21n1010，：nfxxxn， 21n21010nnn，f22nfff726 數(shù)字通信的可靠性問題 現(xiàn)代通信中用數(shù)字代表信息,用電子設(shè)備進(jìn)行發(fā)送、傳遞和接收,并用計(jì)算機(jī)加以處理.由于信息量大,在通信過程中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤.為了減少錯(cuò)誤,除了改進(jìn)設(shè)備外,還可以從信息

31、的表示方法上想辦法.由數(shù)字表示信息的方法稱為編碼.編碼學(xué)就是一門研究高效編碼方法的科學(xué).以下通過兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子說明檢錯(cuò)碼與糾錯(cuò)碼的概念.73 簡(jiǎn)單檢錯(cuò)碼的編碼方法:奇偶性檢錯(cuò)碼 設(shè)用六位二進(jìn)制碼來表示26個(gè)英文字母,其中前五位順序表示字母,第六位作檢錯(cuò)用,當(dāng)前五位的數(shù)碼中1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),第六位取1,否則第六位取0.這樣編出來的碼中1的個(gè)數(shù)始終是偶數(shù)個(gè).例如:A:000011; B:000101; C:000110; D:001001 用這種碼傳遞信息時(shí)可檢查錯(cuò)誤.當(dāng)接收一方收到的碼中含有奇數(shù)個(gè)1時(shí),則可斷定該信息是錯(cuò)誤的,可要求發(fā)送者重發(fā).因而,同樣的設(shè)備,用這種編碼方法可提高通信的準(zhǔn)確度.

32、但是,人們并不滿足僅僅發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,能否不通過重發(fā)的辦法,僅從信息本身來糾正其錯(cuò)誤呢?這在一定程度上也可用編碼方法解決. 74 簡(jiǎn)單糾錯(cuò)碼的編碼方法:重復(fù)碼 設(shè)用3位二進(jìn)制重復(fù)碼表示A,B兩個(gè)字母如下:A:000;B:111則接受的一方對(duì)收到的信息碼不管其中是否有錯(cuò),均可譯碼如下: 接收信息:000;001;010;011;100;101;110;111 譯 碼: A ; A ; A ; B ; A ; B ; B ; B 這就意味著對(duì)其中的信息做了糾正. 利用近世代數(shù)方法可得到更高效的檢錯(cuò)碼與糾錯(cuò)碼.75 古代數(shù)學(xué)家們?cè)岢隽艘粋€(gè)有趣的作圖問題:用圓規(guī)及沒有刻度和記號(hào)的直尺可做出那些圖形?為什么

33、會(huì)提這樣的問題呢?一方面是由于生產(chǎn)發(fā)展的需要,且圓規(guī)、直尺(最初的的直尺是無刻度的)是當(dāng)時(shí)丈量土地的基本工具;另一方面,從幾何學(xué)觀點(diǎn)看,古人認(rèn)為直線與圓弧是構(gòu)成一切平面圖形的要素.據(jù)說古人還認(rèn)為只有使用圓規(guī)與直尺作圖才能確保其嚴(yán)密性.且整個(gè)平面幾何學(xué)是以圓規(guī)與直尺作為基本的工具. 歷史上有幾個(gè)幾何作圖問題曾經(jīng)困擾人們很長(zhǎng)時(shí)間,它們是: 1 二倍立方體問題二倍立方體問題 作一個(gè)立方體使其體積等于已知立方體體積的二倍. 2 三等分任意角問題三等分任意角問題 給定任意一個(gè)角,將其三等分. 3 圓化方問題圓化方問題 給定一個(gè)已知圓,作一個(gè)正方形使其面積等于已知圓的面積. 4 n等分一個(gè)圓周等分一個(gè)圓周

34、 這些問題直到近世代數(shù)理論出現(xiàn)以后才得到完全解決. 7 幾何作圖問題768 代數(shù)方程根式求解問題 我們知道,任何一個(gè)一元二次代數(shù)方程可用根式表示它的兩個(gè)解.對(duì)于一元三次和四次代數(shù)方程,故人們經(jīng)過長(zhǎng)期的努力也巧妙地做到了這一點(diǎn).于是人們自然會(huì)問:是否任何次的代數(shù)方程的根均可用根式表示?許多努力都失敗了,但這些努力促使了近世代數(shù)的產(chǎn)生,并最終解決了這個(gè)問題. 19世紀(jì)初,法國(guó)數(shù)學(xué)家埃瓦里斯特伽羅華是法國(guó)數(shù)學(xué)家(varisteGalois,1811年10月25日1832年5月31日,與尼爾斯阿貝爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人.)在研究五次代數(shù)方程的解法是提出了著名的伽羅華理論,成為近世代數(shù)的先驅(qū).但他的工

35、作在當(dāng)時(shí)未被數(shù)學(xué)家所認(rèn)識(shí),且由于且由于其它原因于21歲過早地去世了.直到19世紀(jì)后期,他的理論才有其他的數(shù)學(xué)家加以進(jìn)一步的發(fā)展和系統(tǒng)闡述. 77第一章練習(xí)題12345用兩種顏色的珠子做成有五顆珠子的項(xiàng)鏈,可做成多少種不同的項(xiàng)鏈?對(duì)正四面體的頂點(diǎn)用兩種顏色著色,有多少本質(zhì)上不同的著色方法?有四個(gè)頂點(diǎn)的圖有多少個(gè)?其中互不同構(gòu)的有多少個(gè)?如何用圓規(guī)和直尺五等分一個(gè)圓周?如何用根式表示三次和四次代數(shù)方程的根?78 第二章 基本概念 79 第二章：第二章：基本基本概念概念集合集合(第二講第二講)映射映射(第三講第三講)運(yùn)算律運(yùn)算律(第四講第四講)同態(tài)與同態(tài)與同構(gòu)同構(gòu)(第五講第五講)等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系與集

36、合的與集合的分類分類(第六講第六講)80 第二講第二講 基本概念之基本概念之集合及其集合及其之間的關(guān)系之間的關(guān)系集合集合81 集合的概念是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾集合的概念是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾(G.Cantor,1845-(G.Cantor,1845-1918)1918)于于18941894年所首先建立的年所首先建立的. .到現(xiàn)在到現(xiàn)在, ,集合論不僅已成集合論不僅已成為數(shù)學(xué)的一個(gè)專門理論和獨(dú)立學(xué)科為數(shù)學(xué)的一個(gè)專門理論和獨(dú)立學(xué)科, ,而且廣泛地應(yīng)用到而且廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支數(shù)學(xué)的各個(gè)分支. . 在近世代數(shù)中在近世代數(shù)中, ,不僅每章每節(jié)甚至幾乎處處離不開不僅每章每節(jié)甚至幾乎處處離不開集合集合, ,

37、由此可見集合的重要性由此可見集合的重要性. .但這只是問題的一方面但這只是問題的一方面. .另一方面我們?cè)谶@里講集合主要是為了在近世代數(shù)中另一方面我們?cè)谶@里講集合主要是為了在近世代數(shù)中講最基本的概念講最基本的概念: :群、環(huán)、域而作準(zhǔn)備群、環(huán)、域而作準(zhǔn)備, ,并不是要對(duì)集并不是要對(duì)集合本身的理論作太多和深入的闡述合本身的理論作太多和深入的闡述. .這是因?yàn)檫@是因?yàn)? ,在近世在近世代數(shù)中只用到集合的一些初步概念代數(shù)中只用到集合的一些初步概念, ,諸如子集、真子集、諸如子集、真子集、集合的相等、冪集、交集、并集、差集以及集合的差、集合的相等、冪集、交集、并集、差集以及集合的差、余集和它們的簡(jiǎn)單性

38、質(zhì)余集和它們的簡(jiǎn)單性質(zhì), ,而并不用到集合理論的其它內(nèi)而并不用到集合理論的其它內(nèi)容及知識(shí)容及知識(shí). .821 集合與集合元素的定義集合與集合元素的定義2 2 集合與集合元素的表示符集合與集合元素的表示符號(hào)號(hào)3 3 集合與集合元素之間的關(guān)集合與集合元素之間的關(guān)系系屬于關(guān)系屬于關(guān)系4 4 集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類5 5 集合的表示方法集合的表示方法6 6 集合之間的內(nèi)在關(guān)系集合之間的內(nèi)在關(guān)系包含關(guān)系包含關(guān)系7 7 集合運(yùn)算集合運(yùn)算8 8 運(yùn)算律運(yùn)算律9 9 特殊集合的表示符號(hào)特殊集合的表示符號(hào)10 10 集合的補(bǔ)充說明集合的補(bǔ)充說明11 11 包含與排斥原理包含與排斥原理集合與元素

39、的相關(guān)概念集合的相關(guān)概念集合的運(yùn)算及運(yùn)算律集合的補(bǔ)充及說明831 1 集合與集合元素的定義集合與集合元素的定義,.在數(shù)學(xué)中常常不是討論處于孤立狀態(tài)的各個(gè)個(gè)體 而是將這些個(gè)體聯(lián)合在一個(gè)整體中(一起)來進(jìn)行討論 集合正如像幾何學(xué)中的點(diǎn)、線、集合正如像幾何學(xué)中的點(diǎn)、線、面等概念一樣面等概念一樣, 也是一種也是一種不加定義不加定義而可而可直接引入直接引入的的最基本的原始最基本的原始概念概念.841.1 1.1 集合定義集合定義 把隨便一些對(duì)象(事物)放在一起做為一個(gè)整體進(jìn)行研究的話,這個(gè)整體就叫做集合(這是描述性定義);組成集合的對(duì)象或事物叫做這個(gè)集合的元素.851)線性方程組AX=B的解向量的集合.

40、2)多項(xiàng)式f(x)的零點(diǎn)的集合.3)數(shù)域P上所有m行n列的矩陣的集合.4)延安市全體居民身份證號(hào)碼的集合.5)延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院2009級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的全體學(xué)生的集合.6)延安大學(xué)2011年西安世界園藝會(huì)志愿者的集合.7)大學(xué)生技能測(cè)試的所有項(xiàng)目的集合.8)延安大學(xué)20112012學(xué)年第一學(xué)期所有公選課的課程名稱的集合.1.2 1.2 集合舉例集合舉例86 集合是不能嚴(yán)格定義的,因?yàn)槎x是用已知概念去定義未知概念,然而集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)最基礎(chǔ)及最基本的概念,不能再用其它數(shù)學(xué)概念來定義,正如哲學(xué)中的物質(zhì)概念一樣,它只能描述而不能定義.盡管集合沒有定義,但我們都能理解它是什么意思,

41、可以說具有特定性質(zhì)的抽象或具體的事物的全體稱為集合.1.3 1.3 集合定義的注意問題集合定義的注意問題87 若干個(gè)(有限個(gè)或無限個(gè))固定事物的全體稱為集合;組成一個(gè)集合的事物稱為這個(gè)集合的元素(濃度或元數(shù)).1.4 1.4 集合的等價(jià)定義集合的等價(jià)定義882 2 集合與集合元素的表示符號(hào)集合與集合元素的表示符號(hào)集合:大寫字母表示如, , ,ABC集合的元素:小寫字母表示如, , ,a b c893 3 集合與集合元素之間的關(guān)系集合與集合元素之間的關(guān)系 屬于關(guān)系屬于關(guān)系,()(),(),().aAaAaA aAAa 如果元素 是(或不是)集合的元素就說讀作元素 屬于或不屬于集合 記作或者說集合

42、 包含或不包含元素904.1 4.1 集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類標(biāo)準(zhǔn)1:元素的個(gè)數(shù)元素的個(gè)數(shù)分類分類:有限集合與無限集合標(biāo)準(zhǔn)2:與自然數(shù)集合或其子集進(jìn)行比較與自然數(shù)集合或其子集進(jìn)行比較分類分類:可數(shù)集合與不可數(shù)集合,.,.ABAB 若兩個(gè)集合 和 之間存在一個(gè)雙射 則稱 和 等勢(shì)與自然數(shù)集或其子集等勢(shì)的集合稱為可數(shù)集合 否則稱為不可數(shù)集合4 集合的分類集合的分類91,.A BABAB1)有限集合的判斷準(zhǔn)則 兩個(gè)有限集合等勢(shì)存在集合 與 之間的雙射4.2 4.2 集合等勢(shì)的判斷準(zhǔn)則集合等勢(shì)的判斷準(zhǔn)則,. 2)無限集合的判斷準(zhǔn)則: 對(duì)于兩個(gè)無限集合,即使是真包含關(guān)系 也可以是等勢(shì)的對(duì)

43、于有限集合之間的等勢(shì)判斷在此不加考慮924.3 4.3 集合等勢(shì)的判斷準(zhǔn)則的應(yīng)用集合等勢(shì)的判斷準(zhǔn)則的應(yīng)用(0,1) 0,1. 證明實(shí)數(shù)集合與等勢(shì)(0,1) (,) 證明與等勢(shì).(0,1) ( , )()ab a b 證 明與 等 勢(shì) .93:(0,1)0,1,.(0,1)0,1,(0,1)0,1).方法1首先構(gòu)造映射再證明是一個(gè)雙射映射的構(gòu)造遵循有理數(shù)對(duì)應(yīng)有理數(shù)(比中少兩個(gè)有理數(shù))無理數(shù)對(duì)應(yīng)無理數(shù)(與中的無理數(shù)個(gè)數(shù)相同11 112:(0,1)=,0,12 31 11=0,1,:0,1(0,1)2 31111(0), (1), ( )(2)( ),232(0,1),0,1(0,1)AnAnnxx

44、nnxA方法 取的子集的子集命,當(dāng)則 是到的一一映射.94:(,)(0,1)1(),2fyarctgx 證明思路映射構(gòu)造證明其是雙射即可.95j例3H(a)G(y)F(b)D(x)C(0)B(1)A: 證明思路 畫出直角三角形,利用三個(gè)相似三角形來構(gòu)造映射. 對(duì)于給定的集合A,B,如何構(gòu)造集合A到集合B的雙射呢?(考慮各種情況)965 5 集合的表示方法集合的表示方法 給出集合的方式,不外乎以下兩種列舉法列舉法:把集合中的所有元素都描寫出來(也即列出它的全部元素).但須注意列舉法不僅可以表示有限集合,而且還可以表示有些有規(guī)律的無限集合.描述法描述法:用性質(zhì)描述出集合(也即給出這個(gè)集合中的元素所

45、具有的特征性質(zhì)).)(xPx97子集:設(shè) 是兩個(gè)集合,如果集合 的每一個(gè)元素都是集合 的元素,那么就稱集合 是集合 的子集,記為: 讀作集合 屬于集合 (集合 包含集合 或集合 被包含于集合 ).6.1 6.1 子集定義子集定義BBBAABBA,A 6 集合之間的內(nèi)在關(guān)系集合之間的內(nèi)在關(guān)系包含關(guān)系包含關(guān)系A(chǔ)BBAA98真子集:設(shè) 是兩個(gè)集合,如果集合 的每一個(gè)元素都是集合 的元素,但集合 中至少有一個(gè)元素不屬于集合 ,那么就稱集合 是集合 的真子集,記作 .6.2 6.2 真子集定義真子集定義BA,ABAABBAB99集合相等:如果集合 與集合 是由完全相同的元素組成的,就說集合 與集合 相等

46、,記作ABAB.BA 6.3 6.3 集合相等的定義集合相等的定義100()()ABABABx xAxBABABAB （） （） （ （）()()() ()() ()A Bx x Ax By y By AA Bx x Ax B 性質(zhì)性質(zhì)1 1()()A BABBAx xAx BA BABBA（） （）(） （)6.4 6.4 幾個(gè)幾個(gè)定義的邏輯等價(jià)式定義的邏輯等價(jià)式101;AA1)自反性:性質(zhì)性質(zhì)2( 2(包含關(guān)系包含關(guān)系) );AB BAA B 2)反對(duì)稱性:.ABBCAC3)傳遞性:6.5 6.5 幾個(gè)關(guān)系的幾個(gè)關(guān)系的自反性、反對(duì)稱性、對(duì)稱自反性、反對(duì)稱性、對(duì)稱性及傳遞性性及傳遞性102A

47、A1)自反性:A BBA 2)對(duì)稱性:A B B AA B 3)反對(duì)稱性: 性質(zhì)性質(zhì)3(3(相等關(guān)系相等關(guān)系) )A B B CA C 4)傳遞性:103ABBCAC （） （）性質(zhì)性質(zhì)4( 4(真包含關(guān)系真包含關(guān)系) ) 真包含關(guān)系不具有對(duì)稱性、反對(duì)稱性及自反性.1047.1 7.1 集合運(yùn)算定義集合運(yùn)算定義(),U設(shè) 是一個(gè)集合 以集合作為元素的集合 規(guī)定：1) :( , )( , ),() ();U UUA BA BA Bx x U x Ax B，：2) :( , )( , ),() ();U UUABABA Bxx U x Ax B ，：4) :( , )( , )( , ),() (

48、);U UUA BA BA Bx y x U xAyB，：3) :( , )( , ),()();UUUA BA BABx xUxAxB ，：7 集合運(yùn)算集合運(yùn)算1055) :,:( ) ()();UUAAAUAx x UxA6) :( , )( , )() (),() (),() () () ();U UUABABA BA BB AA BB Axx Ux Ax Bx Bx A ，：7): ( ).AP AC CA集合 的冪集.n8)并 、 交 與 積 的 運(yùn) 算 可 推 廣 到 任 意個(gè) 集 合 上 去106 ): () ()A Bx x Ax B1集合的并): () ()A Bx xAx

49、B2集合的交): () ()A Bx x Ax B 3集合的差7.2 7.2 集合運(yùn)算之關(guān)于子集之間的運(yùn)算集合運(yùn)算之關(guān)于子集之間的運(yùn)算 ):( , ) ()()A Bx yxAyB4 集合的積, , ,UA B CAU BU CU設(shè) 是一個(gè)集合是任意的集合且1075: () () () ()ABxxAxBxBxA)集合的對(duì)稱差: () ().AU Ax x UxA 6)集合的補(bǔ)集: ( ) AP ACCA7)集合 的冪集8.n)并、交與積的運(yùn)算可推廣到任意 個(gè)集合上去1087.3.1 文氏圖的用法文氏圖的用法 文氏圖可以用來描述集合之間的關(guān)文氏圖可以用來描述集合之間的關(guān)系及其運(yùn)算系及其運(yùn)算.在

50、文氏圖中全集用矩形表示在文氏圖中全集用矩形表示,子集用圓形區(qū)域表示子集用圓形區(qū)域表示, 陰影區(qū)域表示運(yùn)算陰影區(qū)域表示運(yùn)算結(jié)果的集合結(jié)果的集合.7.3 集合的圖形表示集合的圖形表示文氏圖文氏圖1097.3.2 文氏圖的特點(diǎn)文氏圖的特點(diǎn) 文氏圖表示法的優(yōu)點(diǎn)是直觀和形象文氏圖表示法的優(yōu)點(diǎn)是直觀和形象,富有啟發(fā)性富有啟發(fā)性,幫助我們理解各種概念和定幫助我們理解各種概念和定理理,所以文氏圖可作為思考的出發(fā)點(diǎn)所以文氏圖可作為思考的出發(fā)點(diǎn).1107.3.3 文文氏圖應(yīng)氏圖應(yīng)注意的問題注意的問題 但文氏圖絕不能用作推理的依據(jù)但文氏圖絕不能用作推理的依據(jù),因?yàn)橹庇^是不可靠的因?yàn)橹庇^是不可靠的,只有邏輯推理才只有

51、邏輯推理才是可靠的是可靠的.1117.3.4文氏圖的文氏圖的適用范圍適用范圍 當(dāng)集合的數(shù)目較多時(shí)當(dāng)集合的數(shù)目較多時(shí),文氏圖將變文氏圖將變得很復(fù)雜得很復(fù)雜.也即對(duì)于集合的數(shù)目較少時(shí)也即對(duì)于集合的數(shù)目較少時(shí),文氏圖適用文氏圖適用.1127.3.5.1 AB 可用下圖可用下圖陰影部分陰影部分表示表示BBA (B)A(2) 若若B A則則 AB = B(3) 若若A = B則則AB = A = B(1)若若A B則則AB = AA7.3.5 文氏圖表示舉例文氏圖表示舉例113A BAB A與與B相切相切 相交的特例相交的特例AB(5)A與與B分離分離 AB = (4)A與與B相交相交 AB A AB

52、BAB A AB BAB= 1147.3.5.2 AB 可用下圖可用下圖陰影陰影部分表示部分表示(1)若若A B則則AB = BBABA (B)A(2) 若若B A則則AB = A(3) 若若A = B則則AB = A = B115A B(4)A與與B相交相交 ABA B (5)A與與B相切相切 相并的特例相并的特例AB(6)A與與B分離分離 AB116,A B AB A 關(guān)于等運(yùn)算的文氏圖表示，同學(xué)們?cè)谡n下完成.117CBAABCCBACBACBACBACBACBACBA1183)() ();xA BxAx B 4)( , )()();xa bA BaAbB 5)() ()() () ;x

53、ABx Ax Bx Ax B （） （）7.4 7.4 元素不屬于集合運(yùn)算結(jié)果的判斷準(zhǔn)則元素不屬于集合運(yùn)算結(jié)果的判斷準(zhǔn)則6)( ).xP AxA2)()();xABxAxB1)()();xABxAxB1198 8 運(yùn)算律運(yùn)算律:()();AA BAA BA5)吸 收 律:,;A A A A A A4)冪等律:()(),()();A BCAB CA BCAB C2)結(jié)合律:()() (),()() ();A BCA CB CA BCA CB C3)分配律:,;ABBA ABBA1)交換律, , ,UABCA U B UC U 設(shè) 是 一 個(gè) 集 合是 任 意 的 集 合 且， 則 有:(),()

54、;ABABABAB9)對(duì)偶律（德 摩根律）:();AA 8)對(duì)合律:,;AAU AA 7)補(bǔ)余律:,;AUU AUA AA A 6)兩極律(零一律)1209 9 特殊集合的表示符號(hào)及性質(zhì)特殊集合的表示符號(hào)及性質(zhì)第一類第一類: :空集 ;全集: 空集的絕對(duì)唯一性;全集的相對(duì)唯一性;空集表示形式的多樣性.U121 第二類第二類: :特殊集合特殊集合:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:ZZZZNNRRRROOOEEEQQQCQC整數(shù)集合；正整數(shù)集合負(fù)整數(shù)集合非零整數(shù)集合自然數(shù)集合非零正整數(shù)集合實(shí)數(shù)集合正實(shí)數(shù)集合負(fù)實(shí)數(shù)集合非零實(shí)數(shù)集合奇數(shù)集合正奇數(shù)集合負(fù)奇數(shù)集合偶

55、數(shù)集合正偶數(shù)集合負(fù)偶數(shù)集合;有理數(shù)集合正有理數(shù)集合負(fù)有理數(shù)集合非零有理數(shù)集合復(fù)數(shù)集合；非零復(fù)數(shù)集合. 設(shè),( ):( ): :.nm nFFFnMFFmnMF xF是一個(gè)數(shù)域 則表示數(shù)域 上的 階方陣所組成的集合；表示數(shù)域 上的階方陣所組成的集合；數(shù)域 上的一元多項(xiàng)式的全體12210 10 集合的補(bǔ)充說明集合的補(bǔ)充說明 集合的概念應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1)元素的確定性；2)元素的無序性；3)元素的互異性；4)集合可以作為元素,但是不能做為它自己的元素；5)元素與集合之間的關(guān)系是個(gè)體與整體的關(guān)系,應(yīng)嚴(yán)加區(qū)分.12311.1 11.1 包含與排斥原理的特殊形式包含與排斥原理的特殊形式, ,UABC UA

56、 BABA BA BABA BA B CAB CA BA CB CA B CA B CA B CA B CA BA CB C 設(shè) 是 一 個(gè) 集 合 ,是 的 有 限 子 集則 有自 己 歸 納 包 含 排 斥 原 理 的 一 般 形 式 .11 11 包含與排斥原理包含與排斥原理1245005,7,9. 求不大于可被中的某一個(gè)數(shù)整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)1000,1)5,6,82). 求不大于的正整數(shù)中不能被中任何一個(gè)整數(shù)整除的個(gè)數(shù)。既非平方數(shù)也非立方數(shù)的個(gè)數(shù)11.2 11.2 包含與排斥原理舉例包含與排斥原理舉例,1)2)3,2,3)Am BnABmnABAB 設(shè)求到 的單射有多少個(gè)？當(dāng)時(shí)到 的滿

57、射有多少個(gè)？到 的雙射有多少個(gè)？125:5005;5007;5009; 5005 7;5005 9;5007 9;5005 7 9ABCABACBCABC解設(shè)集合 表示不大于的數(shù)中能被 整除的數(shù)的集合 集合 表示不大于的數(shù)中能被 整除的數(shù)的集合集合 表示不大于的數(shù)中能被 整除的數(shù)的集合則集合表示不大于的數(shù)中能被 ，整除的數(shù)的集合 集合表示不大于的數(shù)中能被 ，整除的數(shù)的集合 集合表示不大于的數(shù)中能被，整除的數(shù)的集合 集合表示不大于的數(shù)中能被 ， ，整除的500.10055005005007155147957ABCAB數(shù)的集合 因而，126500500 7 117 95 9500 15 7 950

58、0579500500500500500500500 5795 77 95 95 7 9100 71 55 14 7 11 1 195B CA CA B CA B CABCA BB CA CA B C ，則不 大 于 的 數(shù) 中 可 被， ， 中 的 某 一 個(gè) 數(shù) 整 除 的 正 整 數(shù) 的 個(gè) 數(shù)127:10005100061000810005610005810006810ABCA BA CB CA B C 解 1)設(shè) 集 合表 示 不 大 于的 正 整 數(shù) 中 能 被整 除的 數(shù) 的 集 合 ;集 合表 示 不 大 于的 正 整 數(shù) 中 能 被整除 的 數(shù) 的 集 合 ;集 合 表 示 不

59、 大 于的 正 整 數(shù) 中 能 被整 除 的 數(shù) 的 集 合 ;則 集 合表 示 不 大 于的 正 整 數(shù)中 能 被， 整 除 的 數(shù) 的 集 合 ;集 合表 示 不 大 于的正 整 數(shù) 中 能 被， 整 除 的 數(shù) 的 集 合 ;集 合表 示 不 大 于的 正 整 數(shù) 中 能 被， 整 除 的 數(shù) 的 集 合 ;集 合表 示 不 大 于 00568.的 正 整 數(shù) 中 能 被， ， 整 除 的 數(shù) 的 集 合128500500500500 100 83 62 165685 6500500500 10 12 26 85 85 6 810005681000 ABCA BB CA CA B CA

60、B CA B CU A B CA B C A B B C A C A B 因 而，則 不 大 于的 正 整 數(shù) 中 不 能 被， ， 中 的 任 何 一 個(gè) 數(shù) 整 除 的 正 整 數(shù) 的 個(gè) 數(shù)（）（）5005005005005005005001000 5685 66 85 85 6 81000 100 83 62 16 10 12 2 791C 1292)10001000100031101,100010001000 31 10 1 960.ABABABABABAB 設(shè)集合 表示不大于的正整數(shù)中是平方數(shù)的數(shù)的集合;集合 表示不大于的正整數(shù)中是立方數(shù)的數(shù)的集合;則集合表示不大于的正整數(shù)中即是平