高考數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值課件

1、第三節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值(全國卷5年13考)獲取更多免費資料以及獲取更多免費資料以及真題演練請關(guān)注公眾號真題演練請關(guān)注公眾號：安博志愿規(guī)劃：安博志愿規(guī)劃【知識梳理知識梳理】1.1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)(1)函數(shù)的極小值與極小值點函數(shù)的極小值與極小值點: :若函數(shù)若函數(shù)f(x)f(x)在點在點x=ax=a處的函數(shù)值處的函數(shù)值f(a)f(a)比它在點比它在點x=ax=a附近附近其他點的函數(shù)值其他點的函數(shù)值_,f(a)=0,_,f(a)=0,而且在點而且在點x=ax=a附近的左附近的左側(cè)側(cè)_,_,右側(cè)右側(cè)_,_,則點則點a a叫做函數(shù)的極小值叫做函數(shù)的極小值點點,f(a)

2、,f(a)叫做函數(shù)的極小值叫做函數(shù)的極小值. .都小都小f(x)0f(x)0f(x)0(2)(2)函數(shù)的極大值與極大值點函數(shù)的極大值與極大值點: :若函數(shù)若函數(shù)f(x)f(x)在點在點x=bx=b處的函數(shù)值處的函數(shù)值f(b)f(b)比它在點比它在點x=bx=b附近附近其他點的函數(shù)值其他點的函數(shù)值_,f(b)=0,_,f(b)=0,而且在點而且在點x=bx=b附近的左附近的左側(cè)側(cè)_,_,右側(cè)右側(cè)_,_,則點則點b b叫做函數(shù)的極大值叫做函數(shù)的極大值點點,f(b),f(b)叫做函數(shù)的極大值叫做函數(shù)的極大值. .都大都大f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0(1)f(x)0在在(a,b)(a,b)

3、上成立上成立, ,是是f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上單調(diào)遞上單調(diào)遞增的充分不必要條件增的充分不必要條件. .(2)(2)對于可導(dǎo)函數(shù)對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),f(xf(x),f(x0 0)=0)=0是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)在在x=xx=x0 0處處有極值的必要不充分條件有極值的必要不充分條件. .3.3.記住兩個結(jié)論記住兩個結(jié)論(1)(1)若函數(shù)在開區(qū)間若函數(shù)在開區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)的極值點只有一個內(nèi)的極值點只有一個, ,則相應(yīng)則相應(yīng)極值點為函數(shù)最值點極值點為函數(shù)最值點. .(2)(2)若函數(shù)在閉區(qū)間若函數(shù)在閉區(qū)間a,ba,b的最值點不是端點的最值點不是端點, ,則最值點則最

4、值點亦為極值點亦為極值點. .【基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測】題組一題組一: :走出誤區(qū)走出誤區(qū)1.1.判斷正誤判斷正誤( (正確的打正確的打“”“”, ,錯誤的打錯誤的打“”)”)(1)(1)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)一定存在最值內(nèi)一定存在最值.(.() )(2)(2)函數(shù)的極大值一定比極小值大函數(shù)的極大值一定比極小值大. . ( () )(3)(3)對可導(dǎo)函數(shù)對可導(dǎo)函數(shù)f(x),f(xf(x),f(x0 0)=0)=0是是x x0 0為極值點的充要條為極值點的充要條件件. .( () )(4)(4)函數(shù)的最大值不一定是極大值函數(shù)的最大值不一定是極大值, ,最小值也不一定

5、是最小值也不一定是極小值極小值. .( () )(5)(5)函數(shù)函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2-x+1-x+1必有必有2 2個極值個極值. .( () )答案答案: :(1)(1). .例如函數(shù)例如函數(shù)f(x)=x,f(x)=x,在在(1,2)(1,2)內(nèi)不存在最值內(nèi)不存在最值. .(2)(2). .函數(shù)的極大值比局部的函數(shù)值大函數(shù)的極大值比局部的函數(shù)值大, ,不一定大于極不一定大于極小值小值. .(3)(3). .對可導(dǎo)函數(shù)對可導(dǎo)函數(shù)f(x),f(xf(x),f(x0 0)=0)=0是是x x0 0為極值點的必為極值點的必要條件要條件. .(4).(4).最值和極值是不

6、同的概念最值和極值是不同的概念. .函數(shù)的最值可能是極函數(shù)的最值可能是極值值, ,也可能是在區(qū)間端點處取得也可能是在區(qū)間端點處取得. .(5).f(x)=3x(5).f(x)=3x2 2+2ax-1,+2ax-1,判別式判別式=4a=4a2 2+120 ,+120 ,所以所以f(x)=0f(x)=0有兩個不同的實根有兩個不同的實根, ,所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)必有必有2 2個極個極值值. .2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)f(x)的定義域為的定義域為(a,b),(a,b),導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上的圖象如圖所示上的圖象如圖所示, ,則函數(shù)則函數(shù)f(x)f(

7、x)在在(a,b)(a,b)上的極大上的極大值點的個數(shù)為值點的個數(shù)為( () )a.1 a.1 b.2b.2c.3 c.3 d.4d.4【解析解析】選選b.b.由函數(shù)極值的定義和導(dǎo)函數(shù)的圖象可知由函數(shù)極值的定義和導(dǎo)函數(shù)的圖象可知, , f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上與上與x x軸的交點個數(shù)為軸的交點個數(shù)為4,4,但是在原點附但是在原點附近的導(dǎo)數(shù)值恒大于零近的導(dǎo)數(shù)值恒大于零, ,故故x=0 x=0不是函數(shù)不是函數(shù)f(x)f(x)的極值點的極值點, ,其其余的余的3 3個交點都是極值點個交點都是極值點, ,其中有其中有2 2個點滿足其附近的導(dǎo)個點滿足其附近的導(dǎo)數(shù)值左正右負數(shù)值左正右負,

8、 ,故極大值點有故極大值點有2 2個個. .3.(20183.(2018沈陽模擬沈陽模擬) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x- axf(x)=ln x- ax2 2-bx,-bx,若若x=1x=1是是f(x)f(x)的極大值點的極大值點, ,則則a a的取值范圍為的取值范圍為_._.12【解析解析】f(x)f(x)的定義域為的定義域為(0,+),f(x)= -ax-b,(0,+),f(x)= -ax-b,由由f(1)=0,f(1)=0,得得b=1-a.b=1-a.所以所以f(x)= -ax+a-1=f(x)= -ax+a-1= 若若a0,a0,當當0 x10 x0,f(x),f(x)0,f(x

9、)單調(diào)遞增單調(diào)遞增; ;當當x1x1時時,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減, ,所以所以x=1x=1是是f(x)f(x)的極大值點的極大值點. .1x1x2x1 ax1ax1 axx.xx 若若a0,a1,- 1,解得解得-1a0.-1a-1.a-1.答案答案: : (-1,+) (-1,+)1a1a題組二題組二: :走進教材走進教材1.(1.(選修選修2-2p282-2p28例例4 4改編改編) )若函數(shù)若函數(shù)f(x)=2xf(x)=2x3 3-x-x2 2+ax+3+ax+3在區(qū)在區(qū)間間(-1,1)(-1,1)內(nèi)恰有一個極值點內(nèi)恰有一個極值點, ,則實數(shù)則實數(shù)a

10、a的取值范圍為的取值范圍為( () )a.(-8,-4)a.(-8,-4)b.-8,-4)b.-8,-4)c.(-8,-4c.(-8,-4d.(-,-8-4,+)d.(-,-8-4,+)【解析解析】選選c.c.由題意由題意f(x)=6xf(x)=6x2 2-2x+a,-2x+a,則則f(-1) f(1)0,f(-1) f(1)0,即即(a+4)(a+8)0,(a+4)(a+8)0,得得-8a-4,-8a0;,f(x)0;當當x(1,ex(1,e時時,f(x)0,f(x)0,t(x)0,得得1x4,1x4,令令t(x)0,t(x)0,得得 x1.x0),f(x)=x-2ln x,f(x)=1-

11、(x0),因而因而f(1)=1,f(1)=-1,f(1)=1,f(1)=-1,所以曲線所以曲線y=f(x)y=f(x)在點在點a(1,f(1)a(1,f(1)處的切線方程為處的切線方程為y-1=-(x-1),y-1=-(x-1),即即x+y-2=0.x+y-2=0.ax2x(2)(2)由由f(x)=1- ,x0f(x)=1- ,x0知知: :當當a0a0時時,f(x)0,f(x)0,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)為為(0,+)(0,+)上的增函數(shù)上的增函數(shù), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)無極值無極值; ;axaxx當當a0a0時時, ,由由f(x)=0,f(x)=0,解得解得x=a.x=a.又當又當x

12、(0,a)x(0,a)時時,f(x)0;,f(x)0,f(x)0,從而函數(shù)從而函數(shù)f(x)f(x)在在x=ax=a處取得極小值處取得極小值, ,且極小值為且極小值為f(a)=a-aln a,f(a)=a-aln a,無極大值無極大值. .綜上綜上, ,當當a0a0時時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)無極值無極值; ;當當a0a0時時, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在在x=ax=a處取得極小值處取得極小值a-aln a,a-aln a,無極大無極大值值. .【規(guī)律方法規(guī)律方法】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的一般流程利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的一般流程考點二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題考點二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題【典

13、例典例】(2019(2019紹興模擬紹興模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)g(x)=xg(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+bx(a,br)(a,br)有極值有極值, ,且函數(shù)且函數(shù)f(x)=(x+a)ef(x)=(x+a)ex x的極值點是的極值點是g(x)g(x)的極值點的極值點, ,其中其中e e是自然對數(shù)的底數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)( (極值點是指函數(shù)取極值點是指函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值得極值時對應(yīng)的自變量的值).).(1)(1)求求b b關(guān)于關(guān)于a a的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式. .(2)(2)當當a0a0時時, ,若函數(shù)若函數(shù)f(x)=f(x)-g(x)f(x)=f(x)-g(x)的最

14、小值為的最小值為m(a),m(a),證明證明:m(a)- .:m(a)0,a0,所以所以h(ln 3)0,h(ln 3)0,所以所以h(x)0,h(x)0,對于對于f(x)=(x+a+1)h(x)=0,f(x)=(x+a+1)h(x)=0,有唯一解有唯一解x=-a-1,x=-a-1,當當x(-,-a-1)x(-,-a-1)時時,f(x)0,f(x)0,f(x)0,所以所以f(-a-1)f(-a-1)為為f(x)f(x)的最小值的最小值, ,m(a)=f(-a-1)=-em(a)=f(-a-1)=-e-a-1-a-1-(a+1)-(a+1)2 2(a+2),(a+2),當當a0a0時時,m(a)

15、,m(a)是是減函數(shù)減函數(shù), ,所以所以m(a)m(0)=- -2- ,m(a)m(0)=- -2- ,所以所以m(a)- .m(a)- .本例的模板化過程本例的模板化過程: :1e7373【解析解析】(1)(1)推導(dǎo)出推導(dǎo)出f(x)=ef(x)=ex x(x+a+1),(x+a+1),令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=-a-1,x=-a-1,求出求出g(x)=3xg(x)=3x2 2+2ax+b,+2ax+b,從而從而g(-a-1)=3(-a-1)g(-a-1)=3(-a-1)2 2+2a(-a-1)+b=0,+2a(-a-1)+b=0,由此能求出由此能求出b b關(guān)于關(guān)于a a的函數(shù)關(guān)

16、系式的函數(shù)關(guān)系式. .(2)f(x)=f(x)-g(x)=(x+a)e(2)f(x)=f(x)-g(x)=(x+a)ex x-x-x3 3-ax-ax2 2+(a+(a2 2+4a+3)x,+4a+3)x,推導(dǎo)出推導(dǎo)出f(x)=(x+a+1)ef(x)=(x+a+1)ex x-3x-3x2 2-2ax+a-2ax+a2 2+4a+3+4a+3=(x+a+1)(e=(x+a+1)(ex x-3x+a+3),-3x+a+3),令令h(x)=eh(x)=ex x-3x+a+3,-3x+a+3,則則h(x)=eh(x)=ex x-3,-3,令令h(x)=0,h(x)=0,得得x=ln 3,h(ln 3

17、)=6-3ln3+ax=ln 3,h(ln 3)=6-3ln3+a為為h(x)h(x)的最小值的最小值, ,推導(dǎo)出推導(dǎo)出f(-a-1)f(-a-1)為為f(x)f(x)的最小值的最小值,m(a)=f(-a-1)=,m(a)=f(-a-1)=-e-e-a-1-a-1-(a+1)-(a+1)2 2(a+2).(a+2).由此能證明由此能證明m(a)- .m(a)- .73【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】解答本題易有如下失誤解答本題易有如下失誤: :(1)(1)忽視函數(shù)的定義域忽視函數(shù)的定義域. .(2)(2)求導(dǎo)錯誤求導(dǎo)錯誤. .【規(guī)律方法規(guī)律方法】解決函數(shù)極值、最值問題的策略解決函數(shù)極值、最值問題的策略(1

18、)(1)求極值、最值時求極值、最值時, ,要求步驟規(guī)范要求步驟規(guī)范, ,含參數(shù)時含參數(shù)時, ,要討論要討論參數(shù)的大小參數(shù)的大小. .(2)(2)求函數(shù)最值時求函數(shù)最值時, ,不可想當然地認為極值點就是最值不可想當然地認為極值點就是最值點點, ,要通過比較才能下結(jié)論要通過比較才能下結(jié)論. .(3)(3)函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值, ,一般要將極值與端一般要將極值與端點值進行比較才能確定最值點值進行比較才能確定最值. .【對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練】1.1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2+2x,+2x,若若x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xx2

19、 2) )是函數(shù)是函數(shù)g(x)= g(x)= f(x)-xf(x)-x的兩個極值點的兩個極值點, ,現(xiàn)給出如下結(jié)論現(xiàn)給出如下結(jié)論: :若若-10,-10,則則f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2););若若02,02,則則f(xf(x1 1)f(x)2,2,則則f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )其中正確結(jié)論的個數(shù)為其中正確結(jié)論的個數(shù)為 ( () )a.0a.0b. 1b. 1c. 2c. 2d. 3d. 3【解析解析】選選b.b.因為函數(shù)因為函數(shù)g(x)=f(x)-x,g(x)=f(x)-x,所以所以g(x)=f(x)-,g(x)=f(x)-,令令g(x)=0,g(x)=0,所

20、以所以f(x)-=0,f(x)-=0,即即f(x)=f(x)=有兩解有兩解x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xx2 2),),因為因為f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2+2x,+2x,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2-6x+2,-6x+2,分別畫出分別畫出y=f(x)y=f(x)與與y=y=的圖象如圖所示的圖象如圖所示: :當當-10-1f(x)f(x2 2););若若02,0f(x)f(x2 2););若若2,2,則則f(xf(x1 1)f(x)0,b0a0,b0且函數(shù)且函數(shù)f(x)=4xf(x)=4x3 3-ax-ax2 2-2bx+2-2bx+2在在x=2x

21、=2處有極處有極值值, ,則則abab的最大值等于的最大值等于 ( () )a.121a.121b. 144b. 144c. 72c. 72d. 80d. 80【解析解析】選選c.c.由題意求導(dǎo)函數(shù)由題意求導(dǎo)函數(shù)f(x)=12xf(x)=12x2 2-2ax-2b,-2ax-2b,因為在因為在x=2x=2處有極值處有極值, ,所以所以2a+b=24,2a+b=24,因為因為a0,b0,a0,b0,所以所以2ab( )2ab( )2 2=144,=144,當且僅當當且僅當2a=b2a=b時取等號時取等號, ,所以所以abab的最大值等于的最大值等于72.72.2ab2考點三利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值

22、和最值的綜合問題考點三利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值和最值的綜合問題【明考點明考點知考法知考法】函數(shù)的極值、最值是每年高考的必考內(nèi)容函數(shù)的極值、最值是每年高考的必考內(nèi)容, ,主要考主要考查已知函數(shù)求極值、最值或已知函數(shù)極值、最值求參查已知函數(shù)求極值、最值或已知函數(shù)極值、最值求參數(shù)值數(shù)值( (范圍范圍).).試題多以解答題形式呈現(xiàn)試題多以解答題形式呈現(xiàn), ,有時出現(xiàn)在選有時出現(xiàn)在選擇題或填空題中擇題或填空題中, ,難度較大難度較大. .命題角度命題角度1 1已知函數(shù)的極值點情況已知函數(shù)的極值點情況, ,求參數(shù)的值或取求參數(shù)的值或取值范圍值范圍【典例典例】(2018(2018聊城模擬聊城模擬) )已知函數(shù)

23、已知函數(shù)f(x)= f(x)= (x0,ar).(x0,ar).(1)(1)當當a- a- 時時, ,判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)性的單調(diào)性. .x3x eax34(2)(2)當當f(x)f(x)有兩個極值點時有兩個極值點時, ,求求a a的取值范圍的取值范圍; ;若若f(x)f(x)的極大值小于整數(shù)的極大值小于整數(shù)m,m,求求m m的最小值的最小值. .【解析解析】(1)(1)由題意得由題意得f(x)= (x0).f(x)= (x0).方法一方法一: :由于由于-x-x2 2+3x-3- 0,-e+3x-3- 0,-ex x-10,-10,(-x(-x2 2+3x-3)e+3x-3

24、)ex x- ,- ,a- ,所以所以(-x(-x2 2+3x-3)e+3x-3)ex x-a0,-a0,從而從而f(x)0,f(x)0,于是于是f(x)f(x)為為(0,+)(0,+)上的減函數(shù)上的減函數(shù). .2x2x3x3 eax343434方法二方法二: :令令h(x)=(-xh(x)=(-x2 2+3x-3)e+3x-3)ex x-a,-a,則則h(x)=(-xh(x)=(-x2 2+x)e+x)ex x, ,當當0 x10 x0,h(x),h(x)0,h(x)為增為增函數(shù)函數(shù); ;當當x1x1時時,h(x)0,h(x),h(x)- ,a- ,所以所以h(x)h(x)maxmax=h(

25、1)=-e-a0,=h(1)=-e-a0,即即f(x)0.f(x)0.于是于是f(x)f(x)為為(0,+)(0,+)上的減函數(shù)上的減函數(shù). .34(2)(2)令令h(x)=(-xh(x)=(-x2 2+3x-3)e+3x-3)ex x-a,-a,則則h(x)=(-xh(x)=(-x2 2+x)e+x)ex x, ,當當0 x10 x0,h(x),h(x)0,h(x)為增函數(shù)為增函數(shù), ,當當x1x1時時,h(x)0,h(x),h(x)0,h(x)為減函數(shù)為減函數(shù), ,當當x x趨近于趨近于+時時,h(x),h(x)趨近于趨近于-.-.由于由于f(x)f(x)有兩個極值點有兩個極值點, ,所以

26、所以f(x)=0f(x)=0有兩不等實根有兩不等實根, ,即即h(x)=0h(x)=0有兩不等實數(shù)根有兩不等實數(shù)根x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xx2 2),),則則 , ,解得解得-3a-e.-3a0,h( )=h(1)=-e-a0,h( )=- -a- +30,- -a- +30,則則x x2 2(1, ).(1, ).而而f(xf(x2 2)= )= 即即 (#)(#)所以所以f(x)f(x)極大值極大值=f(x=f(x2 2)= ,)= ,32323e4323e4322x22222x3x3 ea0,x2x222ae,x3x32x223xeax于是于是f(xf(x2 2)= (

27、)= (* *) )令令t=xt=x2 2-2-2x x2 2=t+2 ,=t+2 ,則則( (* *) )可變?yōu)榭勺優(yōu)間(t)= g(t)= 可得可得-1 - ,-1 - ,而而-3a-e,-3a-e,則有則有g(shù)(t)= g(t)= 2222ax2ax3x3，1( 1t)2 2t1aa1tt1t1t ，11t1t232t1aa31tt1t1t ，下面再說明對于任意下面再說明對于任意-3a-e,x-3a2.)2.又由又由(#)(#)得得a= (- +3xa= (- +3x2 2-3),-3),把它代入把它代入( (* *) )得得f(xf(x2 2)=(2-x)=(2-x2 2) ,) ,所以

28、當所以當x x2 2 時時,f(x,f(x2 2)=(1-x)=(1-x2 2) 0) f 2,)f 2,所以滿足題意的整數(shù)所以滿足題意的整數(shù)m m的最小值為的最小值為3.3.3(1, ),22xe22x2xe3(1, )22xe3(1, )23231( )e22【狀元筆記狀元筆記】掌握已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的掌握已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的2 2個要領(lǐng)個要領(lǐng)(1)(1)列式列式: :根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0 0和極值這兩個條件列方和極值這兩個條件列方程組程組, ,利用待定系數(shù)法求解利用待定系數(shù)法求解(2)(2)驗證驗證: :因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要因為導(dǎo)數(shù)值等

29、于零不是此點為極值點的充要條件條件, ,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性. .命題角度命題角度2 2利用最值解決不等式恒成立問題利用最值解決不等式恒成立問題【典例典例】已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=aln x(a0),ef(x)=aln x(a0),e為自然對數(shù)的底為自然對數(shù)的底數(shù)數(shù). .(1)(1)若過點若過點a(2,f(2)a(2,f(2)的切線斜率為的切線斜率為2,2,求實數(shù)求實數(shù)a a的值的值. .(2)(2)當當x0 x0時時, ,求證求證f(x)a(1- ).f(x)a(1- ).1x(3)(3)若在區(qū)間若在區(qū)間(1,e)(1,e)上

30、上 x0 x0),g(x)=a (x0),則則g(x)=a .g(x)=a .令令g(x)0,g(x)0,即即a 0,a 0,解得解得x1,x1,令令g(x)0,g(x)0,解得解得0 x1;0 x1;axa21(ln x1)x 211()xx211()xx所以所以g(x)g(x)在在(0,1)(0,1)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,在在(1,+)(1,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .所以所以g(x)g(x)的最小值為的最小值為g(1)=0,g(1)=0,所以所以f(x)a .f(x)a .1(1)x(3)(3)由題意可知由題意可知 x,x,化簡得化簡得 ln x, a 令令h(x)= ,h(x)=

31、 ,則則h(x)= h(x)= 由由(2)(2)知知, ,當當x(1,e)x(1,e)時時,ln x-1+ 0,ln x-1+ 0,x1aaeex1ax1.ln xx1ln x21ln x1xln x ，1x所以所以h(x)0,h(x)0,即即h(x)h(x)在在(1,e)(1,e)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,所以所以h(x)h(e)=e-1.h(x)g(x)(3)f(x)g(x)恒成立恒成立, ,構(gòu)造構(gòu)造f(x)=f(x)-g(x),f(x)=f(x)-g(x),則則f(x)f(x)minmin0.0.(4)(4)x x1 1m,m,x x2 2n,f(xn,f(x1 1)g(x)g(x2 2

32、) )f(xf(x1 1) )minming(xg(x2 2) )maxmax. .命題角度命題角度3 3利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的存在性問題利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的存在性問題, ,進而確進而確定參數(shù)的取值范圍定參數(shù)的取值范圍【典例典例】已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)= (a0)f(x)= (a0)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的兩個零點為的兩個零點為-3-3和和0.0.(1)(1)求求f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .(2)(2)若若f(x)f(x)的極小值為的極小值為-e-e3 3, ,求求f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間-5,+)-5,+)上的上的最大值最大值. .2xaxbxce【解析解析】

33、(1)f(x)= (1)f(x)= = = 令令g(x)=-axg(x)=-ax2 2+(2a-b)x+b-c,+(2a-b)x+b-c,因為因為e ex x0,0,所以所以y=f(x)y=f(x)的零點就是的零點就是g(x)=-axg(x)=-ax2 2+(2a-b)x +(2a-b)x +b-c+b-c的零點的零點, ,且且f(x)f(x)與與g(x)g(x)符號相同符號相同. .x2x2x2axb eaxbxc ee2xax2ab xbce，又因為又因為a0,a0,所以所以-3x0-3x0,g(x)0,即即f(x)0,f(x)0,當當x-3x0 x0時時,g(x)0,g(x)0,即即f(

34、x)0,f(x)5=f(0),5=f(0),所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間-5,+)-5,+)上的最大值是上的最大值是5e5e5 5. .55e【狀元筆記狀元筆記】不等式能成立問題中的常用結(jié)論不等式能成立問題中的常用結(jié)論(1) f(x)a(1) f(x)a成立成立f(x)f(x)maxmaxa.a.(2)f(x)b(2)f(x)b成立成立f(x)f(x)minminb.b.(3)(3)x x1 1m,m,x x2 2n,f(xn,f(x1 1)g(x)g(x2 2) )f(xf(x1 1) )minming(xg(x2 2) )minmin; ;(4)(4)x x1 1m,m,x

35、 x2 2n,f(xn,f(x1 1)g(x)g(x2 2) )f(xf(x1 1) )maxmaxg(xg(x2 2) )minmin; ;(5)(5)x x1 1m,m,x x2 2n,f(xn,f(x1 1)g(x)g(x2 2) )f(xf(x1 1) )maxmaxg(xg(x2 2) )maxmax. .【對點練對點練找規(guī)律找規(guī)律】1.1.若若e ex xk+xk+x在在r r上恒成立上恒成立, ,則實數(shù)則實數(shù)k k的取值范圍為的取值范圍為( () )a.(-,1 a.(-,1 b.1,+)b.1,+)c.(-,-1 c.(-,-1 d.-1,+)d.-1,+)【解析解析】選選a.

36、a.由由e ex xk+x,k+x,得得kekex x-x.-x.令令f(x)=ef(x)=ex x-x,-x,所以所以f(x)=ef(x)=ex x-1.-1.當當f(x)0f(x)0時時, ,解得解得x0,x0f(x)0時時, ,解得解得x0.x0.所以所以f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,在在(0,+)(0,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù). .所以所以f(x)f(x)minmin=f(0)=1.=f(0)=1.所以實數(shù)所以實數(shù)k k的取值范圍為的取值范圍為(-,1.(-,1.2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=ef(x)=ex x-1-x-ax-1-x-ax2 2

37、. .(1)(1)當當a=0a=0時時, ,求證求證:f(x)0.:f(x)0.(2)(2)當當x0 x0時時, ,若不等式若不等式f(x)0f(x)0恒成立恒成立, ,求實數(shù)求實數(shù)a a的取值的取值范圍范圍. .【解析解析】(1)(1)當當a=0a=0時時,f(x)=e,f(x)=ex x-1-x,f(x)=e-1-x,f(x)=ex x-1.-1.當當x(-,0)x(-,0)時時,f(x)0;,f(x)0.,f(x)0.故故f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,f(x)f(x)minmin=f(0)=0,=f(0

38、)=0,所以所以f(x)0.f(x)0.(2)f(x)=e(2)f(x)=ex x-1-2ax,-1-2ax,令令h(x)=eh(x)=ex x-1-2ax,-1-2ax,則則h(x)=eh(x)=ex x-2a.-2a.當當2a1,2a1,即即a a 時時,h(x)0,h(x)0在在0,+)0,+)上恒成上恒成立立,h(x),h(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增, ,所以所以h(x)h(0),h(x)h(0),即即f(x)f(0)=0,f(x)f(0)=0,12所以所以f(x)f(x)在在0,+)0,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù), ,所以所以f(x)f(0)=0,f(x)f(0)=0,所以當所以當a a 時

39、滿足條件時滿足條件. .12當當2a1,2a1,即即a a 時時, ,令令h(x)=0,h(x)=0,解得解得x=ln 2a,x=ln 2a,當當x0,ln 2a)x0,ln 2a)時時,h(x)0,h(x),h(x)0,h(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減, ,所以當所以當x0,ln 2a)x0,ln 2a)時時, ,有有h(x)h(0)=0,h(x)h(0)=0,即即f(x)f(0)=0,f(x)f(0)=0,所以所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,ln 2a)0,ln 2a)上為減函數(shù)上為減函數(shù), ,12所以所以f(x)f(0)=0,f(x)0)+bx(x0)的圖象與直線的圖象與直線y=4y=4相切于點相切于點m(1,4),m(1,4),則則y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(0,4(0,4上的最大值上的最大值為為_;_;最小值為最小值為_._.【解析解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax+b(x0).+2ax+b(x0).依題意依題意, ,有有 即即 解得解得 所以所以f(x)=xf(x)=x3 3-6x-6x2 2+9x.+9x.令令f(x)=3xf(x)=3x2 2-12x+9=0,-12x+9=0,解得解得x=1x=1或或x=3.x=3. f 10f 14 ，32ab01 ab4，a6b9. ，當當x x變化時變化時,f(x),f(