圓錐曲線綜合復(fù)習講義

1、圓錐曲線綜合復(fù)習講義【基礎(chǔ)概念填空】橢圓1橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點F1 ，F(xiàn)2的距離的和_的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的_ , 兩焦點之間的距離叫做橢圓的_.2.橢圓的標準方程：橢圓的中心在_，焦點在_軸上,焦點的坐標分別是是F1 _，F(xiàn)2 _；橢圓的中心在_，焦點在_軸上,焦點的坐標分別是F1 _，F(xiàn)2 _. 3.幾個概念：橢圓與對稱軸的交點，叫作橢圓的_.a和b分別叫做橢圓的_長和_長。橢圓的焦距是_. a,b,c的關(guān)系式是_。橢圓的_與_的比稱為橢圓的離心率，記作e=_,e的范圍是_.雙曲線1雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩定點F1 ，F(xiàn)2的距離的差_的點的軌跡叫做雙曲線。這兩個定點

2、叫做雙曲線的_ , 兩焦點之間的距離叫做雙曲線的_.2.雙曲線的標準方程：雙曲線的中心在_，焦點在_軸上,焦點的坐標是_；頂點坐標是_,漸近線方程是_.雙曲線的中心在_，焦點在_軸上,焦點的坐標是_；頂點坐標是_,漸近線方程是_.3.幾個概念：雙曲線與對稱軸的交點，叫作雙曲線的_.a和b分別叫做雙曲線的_長和_長。雙曲線的焦距是_. a,b,c的關(guān)系式是_。雙曲線的_與_的比稱為雙曲線的離心率，記作e=_,e的范圍是_.4.等軸雙曲線：_和_等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。雙曲線是等軸雙曲線的兩個充要條件：（1）離心率e =_,（2）漸近線方程是_.拋物線1拋物線的定義:平面內(nèi)與一個定點F和一條定

3、直線 (不經(jīng)過點F)_的點的軌跡叫做拋物線。這個定點F叫做拋物線的_ , 定直線叫做拋物線的_.2.拋物線的標準方程：拋物線 的焦點坐標為_，準線方程是_;拋物線的焦點坐標為_，準線方程是_;拋物線 的焦點坐標為_，準線方程是_;拋物線的焦點坐標為_，準線方程是_。3.幾個概念：拋物線的_叫做拋物線的軸，拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的_。拋物線上的點M到_的距離與它到_的距離的比，叫做拋物線的離心率，記作e，e的值是_.4.焦半徑、焦點弦長公式：過拋物線焦點F的直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點，則|AF|=_,|BF|=_,|AB|=_直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、知識整理

4、：1.考點分析：此部分的解答題以直線與圓錐曲線相交占多數(shù)，并以橢圓、拋物線為載體較多。多數(shù)涉及求圓錐曲線的方程、求參數(shù)的取值范圍等等。2解答直線與圓錐曲線相交問題的一般步驟：設(shè)線、設(shè)點， 聯(lián)立、消元， 韋達、代入、化簡。第一步：討論直線斜率的存在性，斜率存在時設(shè)直線的方程為y=kx+b（或斜率不為零時，設(shè)x=my+a）；第二步：設(shè)直線與圓錐曲線的兩個交點為A(x1,y1)B(x2,y2); 第三步：聯(lián)立方程組，消去y 得關(guān)于x的一元二次方程；第四步：由判別式和韋達定理列出直線與曲線相交滿足的條件，第五步：把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為x1+x2 、x1x2 ，然后代入、化簡。3弦中點問題的特殊解法-點

5、差法：即若已知弦AB的中點為M(xo,yo)，先設(shè)兩個交點為A(x1,y1)，B(x2,y2);分別代入圓錐曲線的方程，得，兩式相減、分解因式，再將代入其中，即可求出直線的斜率。4.弦長公式:( k為弦AB所在直線的斜率)1、(2008海南、寧夏文)雙曲線的焦距為（ ）A. 3B. 4C. 3D. 42.（2004全國卷文、理）橢圓的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則= （ ）A B C D43（2006遼寧文）方程的兩個根可分別作為（）一橢圓和一雙曲線的離心率兩拋物線的離心率一橢圓和一拋物線的離心率兩橢圓的離心率4（2006四川文、理）直線3與拋物線交

6、于A、B兩點，過A、B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為（ ）（A）48. （B）56 （C）64 （D）72.5.(2007福建理)以雙曲線的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是( )A. B. C . D. 6（2004全國卷理）已知橢圓的中心在原點，離心率，且它的一個焦點與拋物線的焦點重合，則此橢圓方程為（ ）A B C D7（2005湖北文、理）雙曲線離心率為2，有一個焦點與拋物線的焦點重合，則mn的值為（ ）A B C D8. (2008重慶文)若雙曲線的左焦點在拋物線y2=2px的準線上,則p的值為 ( )(A)2 (B)3(C)4 (D)4

7、9（2002北京文）已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，那么 雙曲線的漸近線方程是（ ）ABCD10（2003春招北京文、理）在同一坐標系中，方程的曲線大致是( )11. （2005上海文）若橢圓長軸長與短軸長之比為2，它的一個焦點是，則橢圓的標準方程是_12(2008江西文)已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為 13.（2007上海文）以雙曲線的中心為頂點，且以該雙曲線的右焦點為焦點的拋物線方程是 14.(2008天津理)已知圓C的圓心與拋物線的焦點關(guān)于直線對稱.直線 與圓C相交于兩點，且,則圓C的方程為 .15（2010，惠州第二次調(diào)研）已知圓方程為：.（1）直

8、線過點，且與圓交于、兩點，若，求直線的方程；（2）過圓上一動點作平行于軸的直線，設(shè)與軸的交點為，若向量，求動點的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線.16（2010，惠州第三次調(diào)研）已知點是：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足。（1）求動點的軌跡方程；（2）已知點，在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、，使 (O是坐標原點)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。17（2006北京文）橢圓C:的兩個焦點為F1,F2,點P在橢圓C上，且 （）求橢圓C的方程； ()若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M, 交橢圓C于兩點, 且A、B關(guān)于點M對稱,求直線l的方程.18（2010，珠海

9、市一模）如圖，拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸負半軸上。過點作直線與拋物線相交于兩點，且滿足 ()求直線和拋物線的方程；()當拋物線上一動點從點向點運動時，求面積的最大值19(2010,廣東六校第四次聯(lián)考）已知動點的軌跡為曲線，且動點到兩個定點的距離的等差中項為.（1）求曲線的方程；（2）直線過圓的圓心與曲線交于兩點，且(為坐標原點)，求直線的方程.20（2010，珠海二模文）已知兩圓和，動圓P與O1外切，且與O2內(nèi)切（1）求動圓圓心P的軌跡方程；（2）過點M(5，0)作直線與點P的軌跡交于不同兩點A、B，試推斷是否存在直線，使得線段AB的垂直平分線經(jīng)過圓心O2？若存在，求出直線的方程；若不存

10、在，說明理由求軌跡方程的的基本方法：直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。 1直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法；例1、某檢驗員通常用一個直徑為2 cm和一個直徑為1 cm的標準圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？【解析】設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與O相內(nèi)切，與A、B相外切.建立如圖所示的坐標系，并設(shè)P的半徑為r,則 |PA|+|PO|

11、=1+r+1.5r=2.5點P在以A、O為焦點，長軸長2.5的橢圓上，其方程為=1 同理P也在以O(shè)、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為(x)2+y2=1 由、可解得，r=故所求圓柱的直徑為 cm.雙曲線的兩焦點分別是、，其中是拋物線的焦點，兩點A（-3，2）、B（1，2）都在該雙曲線上 （1）求點的坐標；（2）求點的軌跡方程，并指出其軌跡表示的曲線【解析】（1）由得，焦點（-1，0）（2）因為A、B在雙曲線上，所以，若，則，點的軌跡是線段AB的垂直平分線，且當y0時， 與重合；當y4時，A、B均在雙曲線的虛軸上故此時的軌跡方程為x-1（y0，y4）若，則，此時，的軌跡是以A、B為焦點，中心

12、為（-1，2）的橢圓，其方程為，（y0，y4）故的軌跡是直線x-1或橢圓，除去兩點（-1，0）、（-1，4）評析：1、用直接法求動點軌跡一般有建系,設(shè)點，列式，化簡，證明五個步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補”。2、求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。2定義法：利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法這種方法要求題設(shè)中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件例2、已知ABC中，ÐA,ÐB,ÐC所對應(yīng)的邊為

13、a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差數(shù)列，|AB|=2,求頂點C的軌跡方程【解析】|BC|+|CA|=4>2,由橢圓的定義可知，點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，其長軸為4，焦距為2, 短軸長為2, 橢圓方程為, 又a>b, 點C在y軸左側(cè)，必有x<0,而C點在x軸上時不能構(gòu)成三角形，故x2, 因此點C的軌跡方程是：(2<x<0)一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線?！窘馕觥吭O(shè)動圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓方程分別配方得：，當與相切時，有 當與相切時，有 將兩式的兩邊分別相加，得，即 移項再

14、兩邊分別平方得： 兩邊再平方得：，整理得，所以，動圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。已知A、B、C是直線l上的三點，且|AB|=|BC|=6，O切直線l于點A，又過B、C作O異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程. 【解析】設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點， 兩切線交于點P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓， 以l所在的直線為x軸

15、，以BC的中點為原點，建立坐標系，可求得動點P的軌跡方程為：評析：定義法的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成某一基本軌跡的定義條件。 三、相關(guān)點法：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x，y)的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x,y表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點法。例3、已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BPPA=12，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程【解析】設(shè)點P(x，y)，且設(shè)點B(x0，y0) ，則有，BPPA=12 ，雙曲

16、線有動點，是曲線的兩個焦點，求的重心的軌跡方程?！窘馕觥吭O(shè)點坐標各為，在已知雙曲線方程中，已知雙曲線兩焦點為，存在，由三角形重心坐標公式有，即 。 ，。已知點在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有即所求重心的軌跡方程為：。評析：一般地：定比分點問題，對稱問題或能轉(zhuǎn)化為這兩類的軌跡問題，都可用相關(guān)點法。四、參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標、縱坐標之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。例4、設(shè)點A和B為拋物線 y2=4px(p0)上原點以外的兩個動點，已知OAOB，OMAB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么

17、曲線?！窘馕觥拷夥ㄒ?設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x0) ，直線AB的方程為x=my+a由OMAB，得m=，由y2=4px及x=my+a，消去x,得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa, x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2， 所以故x=my+4p,用m=代入，得x2+y24px=0(x0)故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點 解法二 設(shè)OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得AB的方程為，過定點，由OMAB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點除外）故動點

18、M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點 解法三 設(shè)M(x,y) (x0)，OA的方程為， 代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得由OMAB，得 ： M既在以O(shè)A為直徑的圓： 上，又在以O(shè)B為直徑的圓 上（O點除外），+得 x2+y24px=0(x0)故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點。過點A（1，0），斜率為k的直線l與拋物線C：y2=4x交于P，Q兩點.若曲線C的焦點F與P，Q，R三點按如圖順序構(gòu)成平行四邊形PFQR，求點R的軌跡方程?！窘馕?/p>

19、】要求點R的軌跡方程，注意到點R的運動是由直線l的運動所引起的，因此可以探求點R的橫、縱坐標與直線l的斜率k的關(guān)系然而，點R與直線l并無直接聯(lián)系與l有直接聯(lián)系的是點P、Q，通過平行四邊形將P、Q、R這三點聯(lián)系起來就成為解題的關(guān)鍵由已知，代入拋物線C：y2=4x的方程，消x得： 、Q ， 解得，設(shè)，M是PQ的中點，則由韋達定理可知： 將其代入直線l的方程，得 四邊形PFQR是平行四邊形， 中點也是中點.又 點R的軌跡方程為評析：1.用參數(shù)法求軌跡是高考中常考的重要題型，由于選參靈活，技巧性強，也是學生較難掌握的一類問題。 2.用什么變量為參數(shù)，要看動點隨什么量的變化而變化，常見的參數(shù)有：斜率、截

20、距、定比、角、點的坐標等。 3.要特別注意消參前后保持范圍的等價性。 4.多參問題中，根據(jù)方程的觀點，引入 n 個參數(shù)，需建立n+1個方程，才能消參（特殊情況下，能整體處理時，方程個數(shù)可減少）。 五、交軌法：求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。例5 、拋物線的頂點作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點O在直線AB上的射影M的軌跡?！窘馕觥奎cA、B在拋物線上，設(shè)A（，B（所以kOA= kOB=,由OA垂直O(jiān)B得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,

21、又AB方程可求得，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 又OM的方程為 由消去得yA+yB即得， 即得。所以點M的軌跡方程為，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓,除去點（0，0）。評析：用交軌法求交點的軌跡方程時，不一定非要求出交點坐標，只要能消去參數(shù)，得到交點的兩個坐標間的關(guān)系即可。交軌法實際上是參數(shù)法中的一種特殊情況。六、向量法：例6 、設(shè),為直角坐標平面內(nèi)軸正方向上的單位向量,若向量,且. （1）求點的軌跡的方程;（2）過點(0,3)作直線與曲線交于兩點,設(shè),是否存在這樣的直線,使得四邊形是矩形?若存在,求出

22、直線的方程;若不存在,試說明理由。【解析】（1）由,得,設(shè)則動點滿足,所以點在橢圓上,且橢圓的.所以軌跡的方程為. （2）設(shè)直線的斜率為,則直線方程為,聯(lián)立方程組消去得:,恒成立,設(shè),則.由,所以四邊形為平行四邊形.若存在直線,使四邊形為矩形,則,即,解得,所以直線的方程為,此時四邊形為矩形設(shè)F（1，0），M點在x軸上，P點在y軸上，且。 （I）當點P在y軸上運動時，求N點的軌跡C的方程； （II）設(shè)是曲線C上的三點，且成等差數(shù)列，當AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求B點的坐標。【解析】（1），故P為MN中點， 又，P在y軸上，F(xiàn)為（1，0）， 故M在x軸的負方向上，設(shè)N（x，y）

23、則M（x，0），P（0，），（x>0）， ， 又， 即 （II）拋物線C的準線方程是x=1，由拋物線定義知， 成等差數(shù)列， 又， 故， AD的中垂線為 而AD中點 。 即 由， B點坐標為（1，2）或（1，2）。鞏固練習：1、方程y=表示的曲線是： （ ）A、雙曲線 B、半圓 C、兩條射線 D、拋物線2、方程(x1)2+(y+2)2(x2y2)=0表示的圖形是： （ ）A、兩條相交直線 B、兩條直線與點（1，2） C、兩條平行線 D、四條直線3、動點p與定點A(1,0), B(1,0)的連線的斜率之積為1，則p點的軌跡方程是： （ ）A、x2+y2=1 B、x2+y2=1(x±

24、1） C、x2+y2=1(x1） D、y=4、一動點到兩坐標軸的距離之和的2倍，等于該點到原點距離的平方，則動點的軌跡方程是： （ ）A、x2+y2=2(x+y) B、x2+y2=2|x+y| C、x2+y2=2(|x|+|y|) D、x2+y2=2(xy)5、動點P到直線x=1的距離與它到點A（4，0）的距離之比為2，則P點的軌跡是：（ ）A、中心在原點的橢圓 B、中心在（5，0）的橢圓C、中點在原點的雙曲線 D、中心在（5，0）的雙曲線6、已知圓x2+y2=4，過A（4，0）作圓的割線ABC，則弦BC中點的軌跡方程是 （ ）A、(x2)2+y2=4 B、(x2)2+y2=4(0x1)C、(

25、x1)2+y2=4 D、(x1)2+y2=4(0x1)7、已知M（2，0），N（2，0），|PM|PN|=4，則動點P的軌跡是： （ ） A、雙曲線 B、雙曲線左支 C、一條射線 D、雙曲線右支8、若一動圓與兩圓x2+y2=1, x2+y28x+12=0都外切，則動圓圓心的軌跡為： （ ） A、拋物線 B、圓 C、雙曲線的一支 D、橢圓9、點M到F（3，0）的距離比它到直線x+4=0 的距離小1，則點M的軌跡方程是：（ ） A、y2=12x B、y2=12x(x>0) C、y2=6x D、y2=6x(x>0)10、已知圓x2+y2=1，點A（1，0），ABC內(nèi)接于圓，且BAC=60

26、°，當B、C在圓上運動時，BC中點的軌跡方程是（ ） A、x2+y2= B、x2+y2= C、x2+y2=(x<) D、x2+y2=（x<)11、拋物線過點M（2，4），且以x軸為準線，此拋物線頂點的軌跡方程是 （ ）A、(x2)2+(y+4)2=16 B、(x2)2+4(y+2)2=16 C、(x2)2(y+4)2=16 D、(x2)2+4(y+4)2=1612、橢圓C與橢圓關(guān)于直線x+y=0對稱，橢圓C的方程是（ ） A、 B、 C、 D、13、設(shè)A1、A2是橢圓=1的長軸兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為 ( )

27、A.B. C.D.14、中心在原點，焦點在坐標為(0，±5)的橢圓被直線3xy2=0截得的弦的中點的橫坐標為，則橢圓方程為 ( )15、已知O：x2+y2=a2, A(a, 0), B(a, 0), P1, P2為O上關(guān)于x軸對稱的兩點，則直線AP1與直線BP2的交點P的軌跡方程為 （ ）A、x2+y2=2a2 B、x2+y2=4a2 C、x2y2=4a2 D、x2y2=a216、動圓與x軸相切，且被直線y=x所截得的弦長為2，則動圓圓心的軌跡方程為 。17、過原點的動橢圓的一個焦點為F（1，0），長軸長為4，則動橢圓中心的軌跡方程為 。18、曲線x2+4y2=4關(guān)于點M（3，5）對

28、稱的曲線方程為 。19、經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點的弦中點軌跡方程是 。20、傾斜角為的直線交橢圓+y2=1于A、B兩點，則線段AB中點的軌跡方程是 。21、兩條直線ax+y+1=0和xay1=0(a±1）的交點的軌跡方程是 。1、C 2、B 3、B 4、C 5、B 6、B 7、C 8、C 9、A 10、D 11、B 12、A 13、C 14、C 15、D 16、 17、 18、19、 20、21、)例1橢圓的一個焦點是（0，2），則k=_。解 橢圓方程即 ，由解得k=1。例2雙曲線的兩個焦點為，點P在雙曲線上，若，則點P到x軸的距離為_。解法一 設(shè)，且由雙曲線的對稱性不妨設(shè)點P在第

29、一象限，則mn=2a6 ， ，得2mn=64，mn=32，作PQx軸于Q，則在中，即點P到x軸的距離為，解法二 設(shè)，由第二定義可得，即，這里a=3 c=5 ，代入得。由雙曲線方程得，。解法三 設(shè)，點P在以為直徑的圓上，即 ，又點P在雙曲線上，由，消去，得，。例3過拋物線的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于（ ）A2a B C4a D解 拋物線方程即，記，則F（0，m），而直線PQ的方程可設(shè)為x=k（ym），代入拋物線方程得，設(shè)，則而，于是，。故，。當k=0時，易證結(jié)論也成立，因而選C。例4設(shè)拋物線的焦點F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物

30、線的準線上，且BC/x軸，證明直線AC經(jīng)過坐標原點O。解法一 易知焦點，設(shè)直線AB的方程是，代入拋物線方程得設(shè)，則，即。因BC/x軸，且C在準線1上，故點，且，從而，從而，于是，從而A、O、C三點共線，即直線AC經(jīng)過原點O。解法二 如圖，設(shè)準線1交x軸于點E，AD1于D，連AC交EF于點N，由AD/EF/BC，得，即，即，又由拋物線的性質(zhì)可知，|AD|=|AF|，|BC|=|BF|，代入可得|EN|=|NF|，即N為EF的中點，于是N與點O重合，即直線AC經(jīng)過原點O。例5設(shè)A、B是雙曲線上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點。（1）求直線AB的方程；（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交

31、于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？解 （1）解法一：設(shè)AB：y=k（x1）+2代入，整理得。設(shè)，則，且因N（1，2）是AB的中點，故，于是，解得k=1，從而所求直線AB的方程為y=x+1。解法二：設(shè)，代入雙曲線方程得。因N（1，2）為AB的中點，故，將它們代入上式可得，從而，于是直線AB的方程為y=x+1。（2）將k=1代入方程得，解得，。由y=x+1得，即A（1，0），B（3，4），而直線CD的方程是y1=（x2），即y=3x，代入雙曲線方程并整理得 設(shè)，則，。解法一：設(shè)CD中點為，則，于是，即M（3，6）。因故。又即ABCD四點與點M的距離相等，從而A、B、C、D四點共

32、圓。解法二：由，得，故，即ACAD。由對稱性可知，BCBD，于是A、B、C、D四點共圓。解法三：以CD為直徑的圓的方程是，即。將，代入得，即。因，故A、B在以CD為直徑的圓上，即A、B、C、D四點共圓。例6 某隧道橫斷面由拋物線的一段和矩形的三邊組成，尺寸如圖，某卡車載一集裝箱，箱寬3m，車與箱共高4m，試問：該車能否通過此隧道？為什么？解 以拋物線弧的頂點為原點，建立圖示直角坐標系，設(shè)拋物線的方程為，從圖示可以看出，點（3，3）在拋物線上，故，得2p=3，即拋物線的方程是。由拋物線的對稱性可知，為使此車盡量通過此隧道，車應(yīng)沿隧道中線行駛，令代入得，所以集裝箱兩側(cè)隧道的高度是。因為車與箱共高僅

33、4米，即h>4，所以此車能通過此隧道。解決軌跡問題的常用方法直接法、定義法、相關(guān)點法:1. 定義法若動點的軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，如橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可以直接根據(jù)定義求出動點的軌跡方程。例1已知橢圓的焦點在軸上，左準線為，左焦點到左準線的距離為3，離心率，求橢圓方程。2. 直接法若動點軌跡的幾何特征，可直接通過動點的坐標間的代數(shù)關(guān)系表示出來，這類軌跡的方程可用直接法求解。直接法求軌跡方程的一般步驟為：（1）建系（2）設(shè)點（3）列方程（4）化簡（5）證明。一般情況下（5）可以省略。例2一圓被兩直線，截得的弦長分別為8和4，求動圓圓心的軌跡方程。3. 相關(guān)點法（代入法）

34、當互相聯(lián)系著的兩動點、中的一個動點在定曲線上運動時，求另一動點的軌跡方程時，可用相關(guān)點法。其具體做法是：建立用表示的式子，而后代入定曲線方程，可得的軌跡方程。例3已知是圓內(nèi)的一點，是圓上兩動點，且滿足，求矩形的頂點的軌跡方程。圓錐曲線知識點課后練習1(1)已知兩個定點,且=10,則點的軌跡方程是 .(2) 已知兩個定點,且=8, 則點的軌跡方程是 .(3) 已知兩個定點,且=6, 則點的軌跡方程是 .2兩焦點分別為,且經(jīng)過點的橢圓方程是 .3若橢圓上一點P到焦點的距離等于6,則點P到另一個焦點的距離是 4ABC的兩個頂點A,B的坐標分別是,邊AC,BC所在直線的斜率之積等于,則頂點C的軌跡方程

35、是 .5點P是橢圓上一點,以點P以及焦點,為頂點的三角形的面積等于1, 則點P的坐標是 .6橢圓的長軸與半短軸的和等于 , 離心率等于 , 焦點的坐標是 ,頂點的坐標是 ,準線方程是 ,左焦點到右準線的距離等于 .7橢圓上一點P到左焦點的距離等于3,則點P到左準線的距離是 ,則點P到右準線的距離是 .8(1) 已知兩個定點,動點P到的距離的差的絕對值等于6,則點P的軌跡方程是 ; (2) 已知兩個定點,動點P到的距離的差的絕對值等于8, 則點P的軌跡方程是 ; (3) 已知兩個定點,動點P到的距離的差的絕對值等于10, 則點P的軌跡方程是 ;9已知曲線C的方程是, (1)若曲線C是圓,則的取值

36、范圍是 ; (2)若曲線C是橢圓, 則的取值范圍是 ; (3)若曲線C是雙曲線, 則的取值范圍是 .10橢圓與雙曲線有相同的焦點,則的取值范圍是 .11ABC的兩個頂點A,B的坐標分別是,邊AC,BC所在直線的斜率之積等于,則頂點C的軌跡方程是 .12雙曲線的實軸長與虛半軸長的和等于 , 離心率等于 , 焦點的坐標是 ,頂點的坐標是 , 準線方程是 ,漸近線的方程 ,兩漸近線的夾角等于 ,右支上一點P到左焦點的距離等于10,則它到右準線的距離等于 . 點P到兩漸近線的距離的和等于 .13與橢圓有相同的焦點,且離心率為的雙曲線的方程是 .14點M與點F的距離比它到直線:的距離小1,則點的軌跡方程

37、是 .15拋物線的焦點的坐標是 , 準線方程是 .16設(shè)直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于A,B兩點, (1)= ;(2)= ;(3)若直線的斜率為1,則= ; (4) = .17拋物線上與焦點的距離等于9的點的坐標是 .18正OAB的三個頂點均在拋物線上,O為原點,則OAB的面積等于 .19方程的兩個根可分別作為（） A,一橢圓和一雙曲線的離心率 B,兩拋物線的離心率C,一橢圓和一拋物線離心率 D,兩橢圓的離心率20設(shè)橢圓的兩個焦點,點P在橢圓上,且. (1)的面積等于 , (2) 點P的坐標是 .21直線與橢圓相交于A,B兩點,則= .22已雙曲線的離心率為2,則它的兩條漸近線所成的銳角

38、等于 .23如果直線與雙曲線沒有公共點,則的取值范圍是 .24過拋物線的焦點F的直線與拋物線相交于A,B兩點,自A,B向準線作垂線, 垂足分別為,則= .25一動圓與圓外切,同時與圓內(nèi)切,求動圓圓心的 軌跡方程.參考答案:1,(1) .(2) ,=8,得點M在內(nèi).(3),不存在,.2,().3 ,14(橢圓定義).4,()設(shè),則=.5, ,=,點P的縱坐標為. 6,14;,;. 7,5;. 8,(1) .(2)或,點P在軸上,的左邊,或的右邊;(3)不存在.9,(1),由得;(2) 且,由得.(3)或,由與同號,即得.10,由得.11,. ()12,11;,由,得,代入雙曲線得.13,. 14

39、,(). 15, ;. 16,(1)1,由得有;(2) ,同(1)消去得;(3)8, 由得,有,;(4) ,17, . 18, ().19,A,均正,一個大于1,一個小于1. 20,(1)20,由得,得,得,有,在中令,有;(2)P.21,.22, . 23, . 24, .25, 用空間向量法求解立體幾何問題典例及解析 以多面體為載體，以空間向量為工具，來論證和求解空間角、距離、線線關(guān)系以及線面關(guān)系相關(guān)問題，是近年來高考數(shù)學的重點和熱點，用空間向量解立體幾何問題，極大地降低了求解立幾的難度，很大程度上呈現(xiàn)出程序化思想。更易于學生們所接受，故而執(zhí)教者應(yīng)高度重視空間向量的工具性。首先，梳理一下利

40、用空間向量解決立體幾何的知識和基本求解方法一：利用空間向量求空間角(1)兩條異面直線所成的夾角范圍：兩條異面直線所成的夾角的取值范圍是 。向量求法：設(shè)直線的方向向量為，其夾角為，則有(2)直線與平面所成的角定義：直線與平面所成的角是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角。范圍：直線和平面所夾角的取值范圍是 。向量求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與法向量所成角的余弦值為直線與平面所成的角為，則有或在平面內(nèi)任取一個向量，則.(3)二面角二面角的取值范圍是 .二面角的向量求法：方法一：在兩個半平面內(nèi)任取兩個與棱垂直的向量，則這兩個向量所成的 即為所求的二面角的大小；方法二：設(shè)，分別是兩個

41、面的 ，則向量與的夾角(或其補角)即為所求二面角的平面角的大小。二：利用空間向量求空間距離（1）點面距離的向量公式平面的法向量為n，點P是平面外一點，點M為平面內(nèi)任意一點，則點P到平面的距離d就是 ，即d=.（2）線面、面面距離的向量公式平面直線l，平面的法向量為n，點M、Pl，平面與直線l間的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d= .平面，平面的法向量為n，點M、P，平面與平面的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d=.（3）異面直線的距離的向量公式設(shè)向量n與兩異面直線a、b都垂直，Ma、Pb，則兩異面直線a、b間的距離d就是在向量n方向射影的絕對值，即d=.三：利用空間向量解證平行、

42、垂直關(guān)系1：所謂直線的方向向量，就是指的向量，一條直線的方向向量有個。所謂平面的法向量，就是指所在直線與平面垂直的直線，一個平面的法向量也有個。:2線線平行證明兩條直線平等，只要證明這兩條直線的方向向量是，也可以證這兩條直線平行于同一個平面的法向量。3線面平行證明線面平行的方法：（1）證明直線的方向向量與平面的法向量；（2）證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量；（3）利用共面向量基本定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量是。4面面平行的證明方法：（1）轉(zhuǎn)化為、處理；（2）證明這兩個平面的法向量是。5利用空間向量解證垂直關(guān)系線線垂直：證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的

43、方向向量是；線面垂直的證明方法：證明線面垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量是；證明直線與平面內(nèi)的；面面垂直的證明方法：轉(zhuǎn)化為證明、；證明這兩個平面的法向量是。:典題賞析：題目1：.2011·四川理如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，ABACAA11，延長A1C1至點P，使C1PA1C1，連結(jié)AP交棱CC1于點D.(1)求證：PB1平面BDA1；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值第1題解：如圖171，以A1為原點，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)1xyz，則A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0

44、,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)(1)在PAA1中有C1DAA1，即D.(1,0,1)，(1,2,0)設(shè)平面BA1D的一個法向量為n1(a，b，c)，則令c1，則n1.圖17n1·1×(1)×2(1)×00，PB1平面BDA1，(2)由(1)知，平面BA1D的一個法向量n1.又n2(1,0,0)為平面AA1D的一個法向量，cosn1，n2.故二面角AA1DB的平面角的余弦值為.題目2：如圖，在四棱錐中，底面為矩形，2-1第:2題側(cè)棱底面， 為的中點. （）求直線與所成角的余弦值；（）在側(cè)面內(nèi)找一點，使面，并求出點到和的距離.解：（）建立如圖

45、所示的空間直角坐標系，則的坐標為、，從而設(shè)的夾角為，則與所成角的余弦值為. （）由于點在側(cè)面內(nèi)，故可設(shè)點坐標為，則，由面可得， 即點的坐標為，從而點到和的距離分別為.ABCDC1D1A1B1第3題因此 ，所以線段BM的長|.題目3. 已知正方體的棱長為a(1)求點到平面的距離；(2)求平面與平面所成的二面角余弦值解 (1)按如圖3-1所示建立空間直角坐標系，可得有關(guān)點的坐標為、，向量，ABCDC1D1A1B1(O)xy3-1z設(shè)是平面的法向量，于是，有，即令得于是平面的一個法向量是 因此，到平面的距離(也可用等積法求得) (2) 由(1)知，平面的一個法向量是又因，故平面的一個法向量是 設(shè)所求二面角的平面角為(結(jié)合圖形可知二面角是銳角，即為銳角)，則 4-1第4題題目4：已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點。（）證明：面面；（）求與所成的角；（）求面與面所成二面角的余弦值。證明：以為坐標原點長為單位長度，