三角形的所有性質(zhì)

1、之袁州冬雪創(chuàng)作三角形的性質(zhì)1 .三角形的任何雙方的和一定大于第三邊，由此亦可證明得三角形的 任意雙方的差一定小于第三邊 .2 .三角形內(nèi)角和等于 180度3 .等腰三角形的頂角平分線，底邊的中線，底邊的高重合，即三線合4 .直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方-勾股定理.直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.5 .三角形共有六心：三角形的心坎、外心、重心、垂心、歐拉線心坎： 三條角平分線的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心.性質(zhì)：到三邊間隔相等. 外心：三條中垂線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心.性質(zhì)：到三個(gè)頂點(diǎn) 間隔相等.重心：三條中線的交點(diǎn).性質(zhì)：三條中線的三等分點(diǎn)，到頂點(diǎn) 間隔為到對(duì)邊中點(diǎn)

2、間隔的 2倍.垂心：三條高所在直線的交點(diǎn) .性質(zhì)：此 點(diǎn)分每條高線的兩部分乘積旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三 個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)性質(zhì)：到三邊的間隔相等.界心：顛末三角形一頂點(diǎn)的把三角形周長(zhǎng)分成 1: 1的直線與三角形一邊的交點(diǎn).性質(zhì)：三角 形共有3個(gè)界心，三個(gè)界心分別與其對(duì)應(yīng)的三角形頂點(diǎn)相連而成的三條 直線交于一點(diǎn).歐拉線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次 位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線6 .三角形的外角（三角形內(nèi)角的一邊與其另外一邊的延長(zhǎng)線所組成的 角）等于與其不相鄰的內(nèi)角之和 .7 . 一個(gè)三角形最少有2個(gè)銳角.8 .三角形的角平分線：三角形一個(gè)角的平分線

3、與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線9 .等腰三角形中，等腰三角形頂角的平分線平分底邊并垂直于底邊.10 .勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c 有下面關(guān)系那末a?+b?=c?那末這個(gè)三角形就一定是直角三角形.三角形的邊角之間的關(guān)系（1）三角形三內(nèi)角和等于 180 ; （2）三角形的一個(gè)外角等于和它 不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；（3）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相 鄰的內(nèi)角；（4）三角形雙方之和大于第三邊，雙方之差小于第三邊；（5）在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊.（6）三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線 .（7）三角形的角平分

4、線的交 點(diǎn)叫做三角形的心坎，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的間隔相等.（8）三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)， 它到三個(gè)頂點(diǎn)的間隔相等.（9）三角形的三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重 心，它到每一個(gè)頂點(diǎn)的間隔等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的間隔的2倍.（10）三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心.（11）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的1/2.注意：三角形的心坎、 重心都在三角形的外部.鈍角三角形垂心、外心在三角形外部.直角三角形垂心、 外心在三角形的邊上.（直角三角形的垂心為直角 頂點(diǎn)，外心為斜邊中點(diǎn).）銳角三角形垂心、外心在三角形外部.特殊三角形1.相似三角形（1）形狀相同

5、但大小分歧的兩個(gè)三角形叫做相似三角形 （2）相似三角形性質(zhì)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方相似三角形對(duì)應(yīng)線段（角平分線、中線、高）相等（3）相似三角形的斷定【11三邊對(duì)應(yīng)成比例則這兩個(gè)三角形相似【21雙方對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等，則兩三角形相似 【31兩角對(duì)應(yīng)相等則兩三角形相似2,全等三角形（1）可以完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.（2）全等三角形的性質(zhì),全等三角形對(duì)應(yīng)角（邊）相等,全等三角形的對(duì)應(yīng)線 段（角平分線、中線、高）相等、周長(zhǎng)相等、面積相等.（3）全等三角形的斷定SASASAAASSSSHL （RT

6、 三角形）3 .等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)： （1）兩底角相等；（2）頂角的角平 分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合；等腰三角形的斷定：（1）等角對(duì)等邊；（2）兩底角相等；4 .等邊三角形等邊三角形的性質(zhì)： （1）頂角的角平分線、底邊上的中 線和底邊上的高互相重合；（2）等邊三角形的各角都相等，而且都等于60° .等邊三角形的斷定：（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形,三角形的面積公式（1）S =1/2*ah （ a是三角形的底，h是底所對(duì)應(yīng)的高）（2）S =1/ 2*ac*sinB = 1/2*bc*sinA = 1/2*ab*

7、sinC （三 個(gè)角為 /A/ B/ C,對(duì)邊分別為 a,b,c ,拜見(jiàn)三角函數(shù)）（3）S =， s* （s-a） * （s-b） * （s-c）【s=1/2（a+b+c）（4）S A=abc/ （ 4R）【R是外接圓半徑】（5）S =1/2*（a+b+c）*r【r是內(nèi)切圓半徑】（6） | a b 1 |S；A=1/2 * | c d 1 | e f 1 |【| a b 1 | c d 1 |為三階 行列式，此三角形 ABC在平面直角坐標(biāo) 系內(nèi) A(a,b),B(c,d), C(e,f), 這里 ABC| e f 1 |選區(qū)取最好按逆時(shí)針順序從右上角開(kāi)端取，因?yàn)檫@樣取得由的成果一般都為正值，如

8、果不按這個(gè)規(guī)則取， 可以會(huì)得到負(fù)值，但不妨,只要取相對(duì)值便可以了， 不會(huì)影響三角形面積的大小！】生活中的三角形 物品雨傘、帽子、彩旗、燈罩、風(fēng)帆、小亭子、雪山、樓頂、切成三角 形的西瓜、火炬冰淇淋、熱帶魚的邊沿線、蝴蝶翅膀、火箭、竹筍、浮圖、金字塔、三角內(nèi)褲、機(jī)器上用的三角鐵、莫些路標(biāo)、長(zhǎng)江三角洲、斜拉橋等.三角形全等的條件注意：只有三個(gè)角相等無(wú)法推由兩個(gè)三角形全等(1)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相等，簡(jiǎn)寫為“ SS6 . ( 2)兩角 和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“ASA . (3)兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“AA6 . (4)雙方和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等

9、的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“SA6. (5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫成“HL'.全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊也相等.三角形中的線段中線：頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線，平分三角形 .高：頂點(diǎn)到對(duì)邊垂足的連線.角平 分線：頂點(diǎn)到雙方間隔相等的點(diǎn)所構(gòu)成的直線.中位線：任意雙方中點(diǎn)的連線.三角形相關(guān)定理重心定理三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的間隔是它到對(duì)邊中點(diǎn)間隔的 2倍.上述交點(diǎn)叫做三角形的重心.外心定理三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三條高交于一點(diǎn). 這點(diǎn)叫做三角形的垂心.心坎定理三角形的三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn).

10、這點(diǎn)叫做三角形的心坎.旁心定理三角形一內(nèi)角 平分線和別的兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的旁 心.三角形有三個(gè)旁心.三角形的重心、外心、垂心、心坎、旁心稱為 三角形的五心.它們都是三角形的重要相關(guān)點(diǎn).中位線定理三角形的中 位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.三邊關(guān)系定理三角形任意雙方 之和大于第三邊，任意雙方之差小于第三邊.勾股定理在 Rt三角形ABC中，AW 90度，則AB- AB+AC AC=BC BC A90 度，貝UAB- AB+AC AC>BC BC梅涅勞斯定理梅涅勞斯 (Menelaus)定理是由 古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的.它指由：如果一條直線與 ABC的三

11、邊 AB、BC、 CA或其延長(zhǎng)線交于 F、 D、E點(diǎn)，那末 (AF/FB) X(BD/DC)X(CE/EA)=1.證明：過(guò)點(diǎn)A作 AG|I BC 交 DF 的延長(zhǎng)線于 G,貝U AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG.三式相乘得： AF/FBX BD/DCK CE/EA=AG/BD BD/DCX DC/AG=1 它的逆定理也成立：若 有三點(diǎn) F、D、E分別在的邊AB、BC CA或其延長(zhǎng)線上，且知足(AF/FB) X(BD/DC)X(CE/EA)=1, 則F、D、E三點(diǎn)共線.操縱這個(gè)逆定理， 可以斷定三點(diǎn)共線.塞瓦定理設(shè)。是4ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AO、BO CO分別交對(duì)邊于 D E、F,則 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 證法簡(jiǎn) 介(I)本題可操縱梅涅勞斯定理證明： ADC被直線BOE所截， CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 而由 4ABD 被直線 COF 所截， ， BC/CD*DO/OA*AF/BF=1+：即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 ( n )也可以操縱面積關(guān)系證明 BD/DC=SABD/yACD=SBOD/至COD=(SABD - SABOD)/(SAACD-S COD戶及 AOB/S AOC同理CE/EA=S BOC/SA AOB AF/FB=6 AOC/至 BOC XX