大學物理第15章 機械波

1、普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”國家級規(guī)劃教材國家級規(guī)劃教材大學物理（第二版）大學物理（第二版） 第第 四四 篇篇 波動學波動學 第第 15 15 章章 機械波機械波 課件制作者：李潔課件制作者：李潔第第15章章本章主要內容本章主要內容波的干涉波的干涉 波的衍射波的衍射 多普勒效應多普勒效應 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù) 15.2 波的能量波的能量 15.3 15.4 15.5 15.6 非線性波非線性波 15.7 機械波的產生及特征機械波的產生及特征 15.115.1 機械波的產生及特征 15.1.1 機械波的產生機械波的產生 15.1.2波的分類波的分類 15.1.4波振面

2、和波線波振面和波線 15.1.3波的特征量波的特征量15.1.1 機械波的產生機械波的產生振動的傳播過程稱為波動。機械振動在媒質中的傳播過程稱為機械波。產生機械波的必要條件：波源 作機械振動的物體；媒質 能夠傳播機械振動的彈性媒質。 波源帶動彈性媒質中與其相鄰的質點發(fā)生振動，振動相繼傳播到后面各相鄰質點，其振動時間和相位依次落后。 波動現(xiàn)象是媒質中各質點運動狀態(tài)的集體表現(xiàn)，各質點仍在其各自平衡位置附近作振動。15.1.2 波的分類波的分類橫波：質點的振動方向與波的傳播方向垂直縱波：質點的振動方向與波的傳播方向平行軟繩波的傳播方向質點振動方向軟彈簧波的傳播方向質點振動方向 在機械波中，橫波只能在

3、固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庵械穆暡ㄊ强v波。液體表面的波動情況較復雜，不是單純的縱波或橫波。15.1.3 波的特征量波的特征量周期周期T波速波速u波長波長單位時間內振動狀態(tài)(或相位)傳播的距離標準單位m/s沿波的傳播方向上,兩個相鄰的同相位質點之間的距離,稱為波長.單位m波動傳播一個波長的距離所需要的時間,稱為周期.單位s波的傳播速度、波長、周期或頻率是波的特征量.關系為 或 uTu波傳播方向波速15.1.3 波的特征量波的特征量(續(xù)續(xù)1)關于波速問題關于波速問題: 波速取決于媒質的彈性波速取決于媒質的彈性(彈性模量彈性模量)和媒質的慣性和媒質的慣性(密度密度)固體:固體可

4、以產生切變和容變,其相應彈性模量如下計算sfG/VVsfB固體的切變彈性模量固體的容變彈性模量液體和氣體:液體可以產生容變,其容變彈性模量如固體一致對于密度為 的固體,在其中傳播橫波和縱波的速度為液體和氣體中傳播縱波的波速為Gu Bu Bu 15.1.3 波的特征量波的特征量(續(xù)續(xù)2)關于波速問題關于波速問題: 波速取決于媒質的彈性波速取決于媒質的彈性(彈性模量彈性模量)和媒質的慣性和媒質的慣性(密度密度)細長棒:沿著棒的長度方向傳播縱波的波速取決于楊氏彈性模量及其慣性llsfY波速為Yu 緊張的弦上傳播的橫波的波速取決于密度 和張力TTu 15.1.4 波陣面和波線波陣面和波線波 前波 面波

5、 線波面振動相位相同的點連成的面。波前最前面的波面。平面波 （波面為平面的波）球面波 （波面為球面的波）波線（波射線）波的傳播方向。在各向同性媒質中，波線恒與波面垂直。15.2 平面簡諧波的波函數(shù) 15.2.1 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù) 15.2.2波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義 15.2.3波動微分方程波動微分方程15.2.1 平面簡諧波的波函數(shù)簡諧波:由簡諧振動的傳播所形成的波動。簡諧波又稱余弦波或正弦波，是規(guī)律最簡單、最基本的波。各種復雜的波都可以看作是許多不同頻率的簡諧波的疊加 對于機械波，若波源及彈性媒質中各質點都持續(xù)地作簡諧振動所形成的連續(xù)波，則為簡諧機械波。簡諧波又

6、稱余弦波或正弦波，是規(guī)律最簡單、最基本的波。各種復雜的波都可以看作是許多不同頻率的簡諧波的疊加簡諧波的一個重要簡諧波的一個重要模型是平面簡諧波。模型是平面簡諧波。 平面簡諧波的平面簡諧波的波面是平面，有波面是平面，有確定的波長和傳確定的波長和傳播方向，波列足播方向，波列足夠長，各質點振夠長，各質點振動的振幅恒定。動的振幅恒定。15.2.1 平面簡諧波的波函數(shù)(續(xù)1)一列平面簡諧波（假定是橫波）觀測坐標原點任設（不必設在波源處）波沿 X 軸正向傳播（正向行波）設 位于原點 處質點的振動方程為 已知振動狀態(tài)以速度 沿 軸正向傳播 。對應同一時刻 ， 振動狀態(tài)與原點在時刻的振動狀態(tài)相同。點的因此，在

7、設定坐標系中，波線上任一點、任意時刻的振動規(guī)律為這就是沿 X 軸正向傳播的平面簡諧波動方程。它是時間和空間的雙重周期函數(shù)。15.2.1 平面簡諧波的波函數(shù)(續(xù)2)沿 X 軸正向傳播的平面簡諧波動方程得波動方程常用周期波長或頻率的形式表達由消去波速和分別具有單位時間和單位長度的含義，分別與時間變量 和空間變量 組成對應關系 。 15.2.2 波函數(shù)的物理意義若給定 ，波動方程即為距原點 處的質點振動方程距原點 處質點振動的初相若給定 ，波動方程表示所給定的 時刻波線上各振動質點相對各自平衡點的位置分布，即該時刻的波形圖。15.2.2 波函數(shù)的物理意義(續(xù)1)若 和 都是變量，即 是 和 的函數(shù)，

8、 這正是波動方程所表示的波線上所有的質點的振動位置分布隨時間而變化的情況?？煽闯墒且环N動態(tài)的波形圖。正向波同一時刻，沿 X 軸正向，波線上各質點的振動相位依次落后。波沿 X 軸正向傳播波沿 X 軸反向傳播15.2.3 波動的微分方程把平面簡諧波的波函數(shù)分別對t和x求二階導數(shù)得)(cos222uxtAty)(cos2222uxtuAxy222221tyuxy將左邊兩式相比較有如下關系:任一平面簡諧波可以由許多不同頻率的簡諧波合成,所以對任一平面波的波函數(shù)分別求t和x的二階偏導,都可以得到右式,它反映了一切平面波的共同特征,稱為平面波的波動方程)(cosuxtAy15.3 波的能量現(xiàn)象：若將一軟繩

9、（彈性媒質）劃分為多個小單元（體積元）上下抖動振速 最小振速 最大形變最小形變最大時刻波形在波動中，各體積元產生不同程度的 彈性形變，具有 彈性勢能各體積元以變化的振動速率 上下振動， 具有振動動能總能量15.3 波的能量(續(xù)1)動能動能計算)(sinuxtAtyv)(sin21212222uxtAVmvWk勢能計算)(sinuxtuAxyykxyYfs22221)(21)(21xyxYxyYykWssp波函數(shù))cos(uxtAyYuxsVs且波速為棒的截面積上式中,)(sin21222uxtAVWp)(sin222uxtAVWWWpk波在傳播過程中波在傳播過程中,任一時任一時刻體元的動能和勢

10、能不刻體元的動能和勢能不僅大小相等僅大小相等,而且相位也而且相位也相同相同15.3 波的能量(續(xù)2)能量能量按周期平均能量按周期平均能量按波長平均能量按波長平均能量介質中單位體積的能量介質中單位體積的能量單位時間內通過垂直于單位時間內通過垂直于波速波速u的單位橫截面積上的單位橫截面積上的平均能量的平均能量W/m2)(sin222uxtAVW22222021)(sin1AdtuxtATT22222021)(sin1AdxuxtAuAussuI222115.4 波的干涉干涉干涉 15.4.1 波的疊加原理 幾列波在同一介質中傳播時,在相遇處每列波仍然保持各自原有的特性(波長、頻率、振動方向等）。相

11、遇處質點的振動，是各列波單獨傳播時在該點引起的振動的合成，這種波動傳播的獨立性稱為波的獨立性原理，或波的疊加原理疊加原理15.4.2 波的干涉波的干涉是在特定條件下波疊加所產生的現(xiàn)象。若有兩個波源振動 頻率相同振動 方向相同振動 相位差恒定 它們發(fā)出的波列在媒質中相遇疊加時，疊加區(qū)域中各質點所參與的兩個振動具有各自的恒定相位差，某些質點的振動始終加強，某些質點的振動始終減弱或完全相消。這種現(xiàn)象稱為波的干涉。能產生干涉現(xiàn)象的波稱為相干波其波源稱為相干波源15.4.2 波的干涉（續(xù)1）相干振動合成相干振動合成相干振動合成相干振動合成分別引起 P 點的振動2p pr1 y1 A1 cos t + (

12、 1 1)y2 A2 cos t + ( 2 22p pr2 )合振動 y y1 + y2 A cos ( t + ) )AA12A22A1 A2 cos2 2 2 1 12p p() )r2 r1 1 12p pr1 )(A1 sin 2 22p pr2 )(A2 sin 1 12p pr1 )(A1 cos 2 22p pr2 )(A2 cosA2A1Ay10 A10 cos ( t + 1 1) )y20 A20 cos ( t + 2 2) )兩相干波源的振動方程15.4.2 波的干涉（續(xù)2）相干振動合成相干振動合成分別引起 P 點的振動y1 A1 cos t + ( 1 1)y2 A

13、2 cos t + ( 2 22p pr1 2p pr2 )合振動 y y1 + y2 A cos ( t + ) )A2A1Ay10 A10 cos ( t + 1 1) )y20 A20 cos ( t + 2 2) )兩相干波源的振動方程1AA2A22A1 A2 cos2 2 2 1 12p p() )r2 r1 故空間每一點的合成振幅 A 保持恒定。 P點給定，則 恒定。 y1 y2 兩振動的相位差相長與相消干涉相長與相消干涉AA12A22A1 A2 cos2( 2 2 1 12p p) )r2 r1 合成振動的振幅最大r2 r1 2p p 2 2 1 1（ 0,1,2, )當時r2

14、r1 2p p 2 2 1 1當（ 0,1,2, )時合成振動的振幅最小15.4.2 波的干涉（續(xù)3）15.4.2 波的干涉（續(xù)4）波程差表達式波程差表達式AA2A22A1 A2 cos2( 2 2 1 12p p) )r2 r1 若 2 2 1 1即兩分振動具有相同的初相位則 取決于兩波源到P點的路程差 ， 稱為波程差r2 r1 2p p （ 0,1,2, )當時即則合成振動的振幅最大 波程差為零或為波長的整數(shù)倍時，各質點的振幅最大，干涉相長。r2 r1 2p p （ 0,1,2, )當時則合成振動的振幅最小即 波程差為半波長的奇數(shù)倍時，各質點的振幅最小，干涉相消。15.4.3 駐 波波干涉

15、是特定條件下的波疊加， 駐波是特定條件下的波干涉。條 件：兩列相干波振幅相等相向傳播發(fā)生干涉現(xiàn) 象：干涉區(qū)域中形成的駐波各質點的振幅分布規(guī)律恒定形成一種非定向傳播的波動現(xiàn)象正向行波反向行波maxmin0波腹波節(jié)15.4.3 駐 波（續(xù)1）駐波形成圖解駐波形成圖解t = = 0t = = T / 8t = = T / 4t = = 3T / 8t = = T / 2t = = 5T / 8t = = 3T / 4t = = 7T / 8t = = T 在同一坐標系XOY 中正向波反向波駐波點擊鼠標，觀察在一個周期T 中不同時刻各波的波形圖。每點擊一次，時間步進合成駐波15.4.3 駐 波（續(xù)2）

16、為簡明起見， 設改寫原式得并用由正向波反向波駐 波 方 程注意到三角函數(shù)關系得駐 波 方 程駐 波 方 程波節(jié)波腹波腹處振幅最大波節(jié)處振幅最小它的絕對值表示位于坐標 x 處的振動質點的振幅。即描述振幅沿 X 軸的分布規(guī)律。振幅分布因子諧振動因子駐波中各質點均以同一頻率 作簡諧振動。 15.4.3 駐 波（續(xù)2）駐波的相位特點駐波的能量特點同一時刻,相鄰兩波節(jié)之間的各質點的振動相位相同,波節(jié)兩側的各質點的振動相反；駐波不是振動相位的傳播過程，駐波的波形不發(fā)生定向傳播最大 其它各質點同時通過平衡位置時波節(jié)體積元不動，動能其它各質點同時到達最大位移時 波腹其它質點的動能波節(jié)處變最大 勢能最大波腹附近

17、各點速度最大波節(jié)及其它點無形變駐波的能量不作定向傳播，其能量轉移過程是動能與勢能的相互轉移以及波腹與波節(jié)之間的能量轉移。聲 源水空氣聲 源水玻璃由波密媒質到波疏媒質界面反射由波疏媒質到波密媒質界面反射當形成駐波時反射界面上總是出現(xiàn)波腹反射界面上總是出現(xiàn)波節(jié)振源固定端反射軟繩自由端反射總是出現(xiàn)波腹總是出現(xiàn)波節(jié)當形成駐波時由入射波與反射波產生駐波“半波損失”與15.5 波的衍射波的衍射 15.5.1 惠更斯菲涅耳原理 惠更斯原理：介質中波動傳播到的各點，都可以看成是發(fā)射子波的波源，其后的任一時刻，這些子波的包絡面就是新的波陣面。 惠更斯菲涅耳原理：介質中波動傳播到的各點，都可以看成是發(fā)射子波的波源

18、，其后的任一時刻，這些子波的包絡面就是新的波陣面，波陣面上的每一點不僅可以看成是發(fā)射子波的波源，而且這些子波波源是相干波源，它們發(fā)出的子波是相干波，相干波的干涉決定波的強度。15.5 波的衍射波的衍射 15.5.2 波的衍射 當波長與障礙物可比擬的時候，波就可以繞過障礙物而傳播，并且子波的包跡組成新的波振面15.5 波的衍射波的衍射 15.5.3 波的反射和折射反射：因為在同一介質中波速相同，所以有1uBCt BCtuAD1ABCADCDCABACiBAC iDCA ii 1uBCt tuAD2ACDiBAC,sinsin21ACtuADiACtuBC211221sinsinnnnuui折射：在兩種介質中相等時間內有15.6 多普勒效應多普勒效應 當觀察者與波源之間有相對運動時，觀察者所測得的頻率不同于波源頻率的現(xiàn)象，稱為多普勒效應。 設觀察者和波源在同一直線上運動波在媒質中的傳播速率（取決于媒質的性質，與波源運動無關）波源相對于媒質的運動速率先明確幾個頻率概念波源在單位時間內振動的次數(shù)s（1）波源的頻率（3）波的頻率單位時間內通過介質中某點的整波的個數(shù)觀察者相對于媒質的運動速率單位時間內接收到的次數(shù)（2）觀察者接收的頻率分別討論下述四種情況觀察者所測得的（1）（2）相對于介質波源靜止、觀察者運動.相對于介質鳳察者靜止、波源運動（3）相驪于介質波源和