大學(xué)物理第15章 機(jī)械波

1、普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材大學(xué)物理（第二版）大學(xué)物理（第二版） 第第 四四 篇篇 波動(dòng)學(xué)波動(dòng)學(xué) 第第 15 15 章章 機(jī)械波機(jī)械波 課件制作者：李潔課件制作者：李潔第第15章章本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容波的干涉波的干涉 波的衍射波的衍射 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng) 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) 15.2 波的能量波的能量 15.3 15.4 15.5 15.6 非線性波非線性波 15.7 機(jī)械波的產(chǎn)生及特征機(jī)械波的產(chǎn)生及特征 15.115.1 機(jī)械波的產(chǎn)生及特征 15.1.1 機(jī)械波的產(chǎn)生機(jī)械波的產(chǎn)生 15.1.2波的分類波的分類 15.1.4波振面

2、和波線波振面和波線 15.1.3波的特征量波的特征量15.1.1 機(jī)械波的產(chǎn)生機(jī)械波的產(chǎn)生振動(dòng)的傳播過(guò)程稱為波動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播過(guò)程稱為機(jī)械波。產(chǎn)生機(jī)械波的必要條件：波源 作機(jī)械振動(dòng)的物體；媒質(zhì) 能夠傳播機(jī)械振動(dòng)的彈性媒質(zhì)。 波源帶動(dòng)彈性媒質(zhì)中與其相鄰的質(zhì)點(diǎn)發(fā)生振動(dòng)，振動(dòng)相繼傳播到后面各相鄰質(zhì)點(diǎn)，其振動(dòng)時(shí)間和相位依次落后。 波動(dòng)現(xiàn)象是媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的集體表現(xiàn)，各質(zhì)點(diǎn)仍在其各自平衡位置附近作振動(dòng)。15.1.2 波的分類波的分類橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向平行軟繩波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向軟彈簧波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向 在機(jī)械波中，橫波只能在

3、固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庵械穆暡ㄊ强v波。液體表面的波動(dòng)情況較復(fù)雜，不是單純的縱波或橫波。15.1.3 波的特征量波的特征量周期周期T波速波速u波長(zhǎng)波長(zhǎng)單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)狀態(tài)(或相位)傳播的距離標(biāo)準(zhǔn)單位m/s沿波的傳播方向上,兩個(gè)相鄰的同相位質(zhì)點(diǎn)之間的距離,稱為波長(zhǎng).單位m波動(dòng)傳播一個(gè)波長(zhǎng)的距離所需要的時(shí)間,稱為周期.單位s波的傳播速度、波長(zhǎng)、周期或頻率是波的特征量.關(guān)系為 或 uTu波傳播方向波速15.1.3 波的特征量波的特征量(續(xù)續(xù)1)關(guān)于波速問(wèn)題關(guān)于波速問(wèn)題: 波速取決于媒質(zhì)的彈性波速取決于媒質(zhì)的彈性(彈性模量彈性模量)和媒質(zhì)的慣性和媒質(zhì)的慣性(密度密度)固體:固體可

4、以產(chǎn)生切變和容變,其相應(yīng)彈性模量如下計(jì)算sfG/VVsfB固體的切變彈性模量固體的容變彈性模量液體和氣體:液體可以產(chǎn)生容變,其容變彈性模量如固體一致對(duì)于密度為 的固體,在其中傳播橫波和縱波的速度為液體和氣體中傳播縱波的波速為Gu Bu Bu 15.1.3 波的特征量波的特征量(續(xù)續(xù)2)關(guān)于波速問(wèn)題關(guān)于波速問(wèn)題: 波速取決于媒質(zhì)的彈性波速取決于媒質(zhì)的彈性(彈性模量彈性模量)和媒質(zhì)的慣性和媒質(zhì)的慣性(密度密度)細(xì)長(zhǎng)棒:沿著棒的長(zhǎng)度方向傳播縱波的波速取決于楊氏彈性模量及其慣性llsfY波速為Yu 緊張的弦上傳播的橫波的波速取決于密度 和張力TTu 15.1.4 波陣面和波線波陣面和波線波 前波 面波

5、 線波面振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面。波前最前面的波面。平面波 （波面為平面的波）球面波 （波面為球面的波）波線（波射線）波的傳播方向。在各向同性媒質(zhì)中，波線恒與波面垂直。15.2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) 15.2.1 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) 15.2.2波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義 15.2.3波動(dòng)微分方程波動(dòng)微分方程15.2.1 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)簡(jiǎn)諧波:由簡(jiǎn)諧振動(dòng)的傳播所形成的波動(dòng)。簡(jiǎn)諧波又稱余弦波或正弦波，是規(guī)律最簡(jiǎn)單、最基本的波。各種復(fù)雜的波都可以看作是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧波的疊加 對(duì)于機(jī)械波，若波源及彈性媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都持續(xù)地作簡(jiǎn)諧振動(dòng)所形成的連續(xù)波，則為簡(jiǎn)諧機(jī)械波。簡(jiǎn)諧波又

6、稱余弦波或正弦波，是規(guī)律最簡(jiǎn)單、最基本的波。各種復(fù)雜的波都可以看作是許多不同頻率的簡(jiǎn)諧波的疊加簡(jiǎn)諧波的一個(gè)重要簡(jiǎn)諧波的一個(gè)重要模型是平面簡(jiǎn)諧波。模型是平面簡(jiǎn)諧波。 平面簡(jiǎn)諧波的平面簡(jiǎn)諧波的波面是平面，有波面是平面，有確定的波長(zhǎng)和傳確定的波長(zhǎng)和傳播方向，波列足播方向，波列足夠長(zhǎng)，各質(zhì)點(diǎn)振夠長(zhǎng)，各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅恒定。動(dòng)的振幅恒定。15.2.1 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)(續(xù)1)一列平面簡(jiǎn)諧波（假定是橫波）觀測(cè)坐標(biāo)原點(diǎn)任設(shè)（不必設(shè)在波源處）波沿 X 軸正向傳播（正向行波）設(shè) 位于原點(diǎn) 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 已知振動(dòng)狀態(tài)以速度 沿 軸正向傳播 。對(duì)應(yīng)同一時(shí)刻 ， 振動(dòng)狀態(tài)與原點(diǎn)在時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)相同。點(diǎn)的因此，在

7、設(shè)定坐標(biāo)系中，波線上任一點(diǎn)、任意時(shí)刻的振動(dòng)規(guī)律為這就是沿 X 軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波動(dòng)方程。它是時(shí)間和空間的雙重周期函數(shù)。15.2.1 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)(續(xù)2)沿 X 軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波動(dòng)方程得波動(dòng)方程常用周期波長(zhǎng)或頻率的形式表達(dá)由消去波速和分別具有單位時(shí)間和單位長(zhǎng)度的含義，分別與時(shí)間變量 和空間變量 組成對(duì)應(yīng)關(guān)系 。 15.2.2 波函數(shù)的物理意義若給定 ，波動(dòng)方程即為距原點(diǎn) 處的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程距原點(diǎn) 處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相若給定 ，波動(dòng)方程表示所給定的 時(shí)刻波線上各振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)各自平衡點(diǎn)的位置分布，即該時(shí)刻的波形圖。15.2.2 波函數(shù)的物理意義(續(xù)1)若 和 都是變量，即 是 和 的函數(shù)，

8、 這正是波動(dòng)方程所表示的波線上所有的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位置分布隨時(shí)間而變化的情況?？煽闯墒且环N動(dòng)態(tài)的波形圖。正向波同一時(shí)刻，沿 X 軸正向，波線上各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次落后。波沿 X 軸正向傳播波沿 X 軸反向傳播15.2.3 波動(dòng)的微分方程把平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)分別對(duì)t和x求二階導(dǎo)數(shù)得)(cos222uxtAty)(cos2222uxtuAxy222221tyuxy將左邊兩式相比較有如下關(guān)系:任一平面簡(jiǎn)諧波可以由許多不同頻率的簡(jiǎn)諧波合成,所以對(duì)任一平面波的波函數(shù)分別求t和x的二階偏導(dǎo),都可以得到右式,它反映了一切平面波的共同特征,稱為平面波的波動(dòng)方程)(cosuxtAy15.3 波的能量現(xiàn)象：若將一軟繩

9、（彈性媒質(zhì)）劃分為多個(gè)小單元（體積元）上下抖動(dòng)振速 最小振速 最大形變最小形變最大時(shí)刻波形在波動(dòng)中，各體積元產(chǎn)生不同程度的 彈性形變，具有 彈性勢(shì)能各體積元以變化的振動(dòng)速率 上下振動(dòng)， 具有振動(dòng)動(dòng)能總能量15.3 波的能量(續(xù)1)動(dòng)能動(dòng)能計(jì)算)(sinuxtAtyv)(sin21212222uxtAVmvWk勢(shì)能計(jì)算)(sinuxtuAxyykxyYfs22221)(21)(21xyxYxyYykWssp波函數(shù))cos(uxtAyYuxsVs且波速為棒的截面積上式中,)(sin21222uxtAVWp)(sin222uxtAVWWWpk波在傳播過(guò)程中波在傳播過(guò)程中,任一時(shí)任一時(shí)刻體元的動(dòng)能和勢(shì)

10、能不刻體元的動(dòng)能和勢(shì)能不僅大小相等僅大小相等,而且相位也而且相位也相同相同15.3 波的能量(續(xù)2)能量能量按周期平均能量按周期平均能量按波長(zhǎng)平均能量按波長(zhǎng)平均能量介質(zhì)中單位體積的能量介質(zhì)中單位體積的能量單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于波速波速u的單位橫截面積上的單位橫截面積上的平均能量的平均能量W/m2)(sin222uxtAVW22222021)(sin1AdtuxtATT22222021)(sin1AdxuxtAuAussuI222115.4 波的干涉干涉干涉 15.4.1 波的疊加原理 幾列波在同一介質(zhì)中傳播時(shí),在相遇處每列波仍然保持各自原有的特性(波長(zhǎng)、頻率、振動(dòng)方向等）。相

11、遇處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，是各列波單獨(dú)傳播時(shí)在該點(diǎn)引起的振動(dòng)的合成，這種波動(dòng)傳播的獨(dú)立性稱為波的獨(dú)立性原理，或波的疊加原理疊加原理15.4.2 波的干涉波的干涉是在特定條件下波疊加所產(chǎn)生的現(xiàn)象。若有兩個(gè)波源振動(dòng) 頻率相同振動(dòng) 方向相同振動(dòng) 相位差恒定 它們發(fā)出的波列在媒質(zhì)中相遇疊加時(shí)，疊加區(qū)域中各質(zhì)點(diǎn)所參與的兩個(gè)振動(dòng)具有各自的恒定相位差，某些質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)始終加強(qiáng)，某些質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)始終減弱或完全相消。這種現(xiàn)象稱為波的干涉。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波稱為相干波其波源稱為相干波源15.4.2 波的干涉（續(xù)1）相干振動(dòng)合成相干振動(dòng)合成相干振動(dòng)合成相干振動(dòng)合成分別引起 P 點(diǎn)的振動(dòng)2p pr1 y1 A1 cos t + (

12、 1 1)y2 A2 cos t + ( 2 22p pr2 )合振動(dòng) y y1 + y2 A cos ( t + ) )AA12A22A1 A2 cos2 2 2 1 12p p() )r2 r1 1 12p pr1 )(A1 sin 2 22p pr2 )(A2 sin 1 12p pr1 )(A1 cos 2 22p pr2 )(A2 cosA2A1Ay10 A10 cos ( t + 1 1) )y20 A20 cos ( t + 2 2) )兩相干波源的振動(dòng)方程15.4.2 波的干涉（續(xù)2）相干振動(dòng)合成相干振動(dòng)合成分別引起 P 點(diǎn)的振動(dòng)y1 A1 cos t + ( 1 1)y2 A

13、2 cos t + ( 2 22p pr1 2p pr2 )合振動(dòng) y y1 + y2 A cos ( t + ) )A2A1Ay10 A10 cos ( t + 1 1) )y20 A20 cos ( t + 2 2) )兩相干波源的振動(dòng)方程1AA2A22A1 A2 cos2 2 2 1 12p p() )r2 r1 故空間每一點(diǎn)的合成振幅 A 保持恒定。 P點(diǎn)給定，則 恒定。 y1 y2 兩振動(dòng)的相位差相長(zhǎng)與相消干涉相長(zhǎng)與相消干涉AA12A22A1 A2 cos2( 2 2 1 12p p) )r2 r1 合成振動(dòng)的振幅最大r2 r1 2p p 2 2 1 1（ 0,1,2, )當(dāng)時(shí)r2

14、r1 2p p 2 2 1 1當(dāng)（ 0,1,2, )時(shí)合成振動(dòng)的振幅最小15.4.2 波的干涉（續(xù)3）15.4.2 波的干涉（續(xù)4）波程差表達(dá)式波程差表達(dá)式AA2A22A1 A2 cos2( 2 2 1 12p p) )r2 r1 若 2 2 1 1即兩分振動(dòng)具有相同的初相位則 取決于兩波源到P點(diǎn)的路程差 ， 稱為波程差r2 r1 2p p （ 0,1,2, )當(dāng)時(shí)即則合成振動(dòng)的振幅最大 波程差為零或?yàn)椴ㄩL(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的振幅最大，干涉相長(zhǎng)。r2 r1 2p p （ 0,1,2, )當(dāng)時(shí)則合成振動(dòng)的振幅最小即 波程差為半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的振幅最小，干涉相消。15.4.3 駐 波波干涉

15、是特定條件下的波疊加， 駐波是特定條件下的波干涉。條 件：兩列相干波振幅相等相向傳播發(fā)生干涉現(xiàn) 象：干涉區(qū)域中形成的駐波各質(zhì)點(diǎn)的振幅分布規(guī)律恒定形成一種非定向傳播的波動(dòng)現(xiàn)象正向行波反向行波maxmin0波腹波節(jié)15.4.3 駐 波（續(xù)1）駐波形成圖解駐波形成圖解t = = 0t = = T / 8t = = T / 4t = = 3T / 8t = = T / 2t = = 5T / 8t = = 3T / 4t = = 7T / 8t = = T 在同一坐標(biāo)系XOY 中正向波反向波駐波點(diǎn)擊鼠標(biāo)，觀察在一個(gè)周期T 中不同時(shí)刻各波的波形圖。每點(diǎn)擊一次，時(shí)間步進(jìn)合成駐波15.4.3 駐 波（續(xù)2）

16、為簡(jiǎn)明起見(jiàn)， 設(shè)改寫(xiě)原式得并用由正向波反向波駐 波 方 程注意到三角函數(shù)關(guān)系得駐 波 方 程駐 波 方 程波節(jié)波腹波腹處振幅最大波節(jié)處振幅最小它的絕對(duì)值表示位于坐標(biāo) x 處的振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振幅。即描述振幅沿 X 軸的分布規(guī)律。振幅分布因子諧振動(dòng)因子駐波中各質(zhì)點(diǎn)均以同一頻率 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 15.4.3 駐 波（續(xù)2）駐波的相位特點(diǎn)駐波的能量特點(diǎn)同一時(shí)刻,相鄰兩波節(jié)之間的各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位相同,波節(jié)兩側(cè)的各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相反；駐波不是振動(dòng)相位的傳播過(guò)程，駐波的波形不發(fā)生定向傳播最大 其它各質(zhì)點(diǎn)同時(shí)通過(guò)平衡位置時(shí)波節(jié)體積元不動(dòng)，動(dòng)能其它各質(zhì)點(diǎn)同時(shí)到達(dá)最大位移時(shí) 波腹其它質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能波節(jié)處變最大 勢(shì)能最大波腹附近

17、各點(diǎn)速度最大波節(jié)及其它點(diǎn)無(wú)形變駐波的能量不作定向傳播，其能量轉(zhuǎn)移過(guò)程是動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)移以及波腹與波節(jié)之間的能量轉(zhuǎn)移。聲 源水空氣聲 源水玻璃由波密媒質(zhì)到波疏媒質(zhì)界面反射由波疏媒質(zhì)到波密媒質(zhì)界面反射當(dāng)形成駐波時(shí)反射界面上總是出現(xiàn)波腹反射界面上總是出現(xiàn)波節(jié)振源固定端反射軟繩自由端反射總是出現(xiàn)波腹總是出現(xiàn)波節(jié)當(dāng)形成駐波時(shí)由入射波與反射波產(chǎn)生駐波“半波損失”與15.5 波的衍射波的衍射 15.5.1 惠更斯菲涅耳原理 惠更斯原理：介質(zhì)中波動(dòng)傳播到的各點(diǎn)，都可以看成是發(fā)射子波的波源，其后的任一時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)面就是新的波陣面。 惠更斯菲涅耳原理：介質(zhì)中波動(dòng)傳播到的各點(diǎn)，都可以看成是發(fā)射子波的波源

18、，其后的任一時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)面就是新的波陣面，波陣面上的每一點(diǎn)不僅可以看成是發(fā)射子波的波源，而且這些子波波源是相干波源，它們發(fā)出的子波是相干波，相干波的干涉決定波的強(qiáng)度。15.5 波的衍射波的衍射 15.5.2 波的衍射 當(dāng)波長(zhǎng)與障礙物可比擬的時(shí)候，波就可以繞過(guò)障礙物而傳播，并且子波的包跡組成新的波振面15.5 波的衍射波的衍射 15.5.3 波的反射和折射反射：因?yàn)樵谕唤橘|(zhì)中波速相同，所以有1uBCt BCtuAD1ABCADCDCABACiBAC iDCA ii 1uBCt tuAD2ACDiBAC,sinsin21ACtuADiACtuBC211221sinsinnnnuui折射：在兩種介質(zhì)中相等時(shí)間內(nèi)有15.6 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng) 當(dāng)觀察者與波源之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者所測(cè)得的頻率不同于波源頻率的現(xiàn)象，稱為多普勒效應(yīng)。 設(shè)觀察者和波源在同一直線上運(yùn)動(dòng)波在媒質(zhì)中的傳播速率（取決于媒質(zhì)的性質(zhì)，與波源運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)）波源相對(duì)于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速率先明確幾個(gè)頻率概念波源在單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)s（1）波源的頻率（3）波的頻率單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)介質(zhì)中某點(diǎn)的整波的個(gè)數(shù)觀察者相對(duì)于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速率單位時(shí)間內(nèi)接收到的次數(shù)（2）觀察者接收的頻率分別討論下述四種情況觀察者所測(cè)得的（1）（2）相對(duì)于介質(zhì)波源靜止、觀察者運(yùn)動(dòng).相對(duì)于介質(zhì)鳳察者靜止、波源運(yùn)動(dòng)（3）相驪于介質(zhì)波源和