數(shù)列復(fù)習(xí)提綱帶答案

1、數(shù)列復(fù)習(xí)提綱知識(shí)網(wǎng)絡(luò)要點(diǎn)歸納一數(shù)列的概念及表示方法(1)定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)(2)表示方法：列表法、圖象法、通項(xiàng)公式法和遞推公式法(3)分類：按項(xiàng)數(shù)有限還是無(wú)限分為有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；按項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列和常數(shù)列二求數(shù)列通項(xiàng) 1 由Sn與an的關(guān)系求an （或Sn）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，則an注意：一定不要忘記對(duì)n取值的討論！最后，還應(yīng)檢驗(yàn)當(dāng)n=1的情況是否符合當(dāng)n2的關(guān)系式，從而決定能否將其合并。2由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解.(1)當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時(shí)，用累加法求解；(

2、2)當(dāng)出現(xiàn)f(n)時(shí)，用累乘法求解；(3)當(dāng)出現(xiàn)an1panq時(shí)，將an1panq的遞推關(guān)系式可以化為(an1t)p(ant)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，其中t.三等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法(1)定義法：an1and(常數(shù))an是等差數(shù)列；q(q為常數(shù)，q0)an是等比數(shù)列(2)中項(xiàng)公式法：2an1anan2an是等差數(shù)列；aan·an2(an0)an是等比數(shù)列3)通項(xiàng)公式法：（a,b為常數(shù)）為等差數(shù)列；anc·qn(c，q為非零常數(shù))an是等比數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：（A,B為常數(shù)）為等差數(shù)列。；Snaqna(a，q為常數(shù)，且a0，q0，q1，nN*)an是等比數(shù)列后兩

3、種方法只能用來(lái)判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來(lái)證明等差數(shù)列，主要適合在選擇題中簡(jiǎn)單判斷.四等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)1等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和.(1)若mnpq(m，n，p，qN+)，則有amanapaq.(2)等差數(shù)列an的單調(diào)性：當(dāng)d0時(shí)，an是遞增數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，an是遞減數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，an是常數(shù)列.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN+)是公差為md的等差數(shù)列.(4)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列.(5)當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則；.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)， ； ；S奇S偶a中(中間項(xiàng)). 。2等比數(shù)列的性質(zhì)已知a

4、n是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(1)若klmn(k，l，m，nN+)，則有ak·alam·an.(2)等比數(shù)列an的單調(diào)性：當(dāng)q1，a10或0q1，a10時(shí)，數(shù)列an是遞增數(shù)列； 當(dāng)q1，a10或0q1，a10時(shí)，數(shù)列an是遞減數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列an是常數(shù)列.(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，akm，ak2m，仍是等比數(shù)列，公比為qm.(4)若an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，an·bn，仍是等比數(shù)列.(5)當(dāng)q1，或q1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.五求數(shù)列的前n項(xiàng)和的基本

5、方法(1)公式法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn公式；(2)分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列(3)裂項(xiàng)(相消)法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和常見的裂項(xiàng)公式 . .(4)錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和(5)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)(6)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.題型一方程的思想解數(shù)列問(wèn)題在等差數(shù)列

6、和等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和公式Sn共涉及五個(gè)量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中首項(xiàng)a1和公差d(或公比q)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1，an，n，d(或q)，Sn的方程組，通過(guò)方程的思想解出需要的量例1 設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S721，S1575，Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn的最大值解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則Snna1n(n1)d.S721，S1575，即解得a19，d2.Snna1d9n(n2n)10nn2.則10n.1，數(shù)列是以9為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列Tnn2n(n)2.nN*，當(dāng)n9，或n10時(shí)，Tn有最大值45.

7、跟蹤演練1記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)S312，且2a1，a2，a31成等比數(shù)列，求Sn.解設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題設(shè)有即解得或因此Snn(3n1)或Sn2n(5n)題型二轉(zhuǎn)化與化歸思想求數(shù)列通項(xiàng)由遞推公式求通項(xiàng)公式，要求掌握的方法有兩種，一種求法是先找出數(shù)列的前幾項(xiàng)，通過(guò)觀察、歸納得出，然后證明；另一種是通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再采用公式求出例2 (2016·鐵嶺質(zhì)檢)已知數(shù)列an中，a1，an1.(1)求an；(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且bn·1，求證：Sn1.(1)解由已知得an0則由an1，得，即，而2，是以2為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列.2

8、(n1)，an.(2)證明bn·1，則由(1)得bn，Snb1b2bn1關(guān)于n單調(diào)遞增，Sn1.跟蹤演練2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求證：數(shù)列Sn2是等比數(shù)列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，a12×12；當(dāng)n2時(shí)，a12a2(a1a2)4，a24；當(dāng)n3時(shí)，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)證明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當(dāng)n2時(shí)，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn

9、12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列題型三函數(shù)思想求解數(shù)列問(wèn)題數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問(wèn)題時(shí)，若涉及參數(shù)取值范圍，最值問(wèn)題或單調(diào)性時(shí)，均可考慮采用函數(shù)的思想指導(dǎo)解題值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或其真子集，這一特殊性對(duì)問(wèn)題結(jié)果可能造成影響例3已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d>0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn (nN*)，Snb1b2bn，是否存在t，使得

10、對(duì)任意的n均有Sn>總成立？若存在，求出最大的整數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由題意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.d>0，d2.a11.an2n1(nN*)(2)bn()，Snb1b2bn(1)()()(1).假設(shè)存在整數(shù)t滿足Sn>總成立，又Sn1Sn>0，數(shù)列Sn是單調(diào)遞增的S1為Sn的最小值，故<，即t<9.又tZ，適合條件的t的最大值為8.跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)，數(shù)列an滿足a11，an1f ()，nN*，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn.解(1)a

11、n1f()an，an是以為公差的等差數(shù)列又a11，ann.(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)·(2n23n)題型四數(shù)列的交匯問(wèn)題數(shù)列是高中代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它始終處在知識(shí)的交匯點(diǎn)上，如數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等其他知識(shí)有較多交匯處它包涵知識(shí)點(diǎn)多、思想豐富、綜合性強(qiáng)，已成為近年高考的一大亮點(diǎn)例4已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，對(duì)任意正整數(shù)n，Sn(nm)an1<0

12、恒成立，試求m的取值范圍解(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q.依題意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420，解得或又an單調(diào)遞增，an2n.(2)bn2n·log2nn·2n，Sn1×22×223×23n×2n，2Sn1×222×233×24(n1)×2nn×2n1，得Sn222232nn×2n1n×2n12n1n×2n12.由Sn(nm)an1<0，得2n1n×2n12n×2n1m

13、5;2n1<0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，m·2n1<22n1，即m<1對(duì)任意正整數(shù)n恒成立1>1，m1，即m的取值范圍是(，1跟蹤演練4在數(shù)列an中，a12，an14an3n1，nN.(1)證明：數(shù)列ann是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(3)證明：不等式Sn14Sn對(duì)任意nN皆成立 (1)證明由題設(shè)an14an3n1得an1(n1)4(ann)，nN.又a111，ann是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列(2)解由(1)可知ann4n1，于是數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n1n，數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.(3)證明對(duì)任意的nN.Sn14Sn4(3n2n4)0.不

14、等式Sn14Sn對(duì)任意nN皆成立數(shù)列復(fù)習(xí)題一、選擇題1. 數(shù)列0，1，0，1，0，1，0，1，的一個(gè)通項(xiàng)公式是an等于()A. B.cos C.cos D.cos 解析令n1，2，3，逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)，易得D正確.答案D2. (2016·黃岡模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn22n2，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()A.an2n3 B.an2n3C.an D.an解析當(dāng)n1時(shí)，a1S11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n3，由于a1的值不適合上式，故選C. 3. (2016·洛陽(yáng)統(tǒng)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9等于()A.63 B.45 C.

15、36 D.27解析 由an是等差數(shù)列，得S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列.即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故選B.4. 設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則S5()A.5 B.7 C.9 D.11解析an為等差數(shù)列，a1a52a3，得3a33，則a31，S55a35，故選A.答案A5設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項(xiàng)和，若S10S11，則a1()A18 B20 C22 D24解析：選BS10S11，a110，即a110d0.a110d20.6.已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值

16、是()A0 B1 C2 D4解析：選Dx，a，b，y成等差數(shù)列，abxy，又x，c，d，y成等比數(shù)列，cdxy.224.當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是4.7在數(shù)列an中，已知a12，a27，an2等于anan1(nN+)的個(gè)位數(shù)，則a2 015()A.8 B.6C.4 D.2解析由題意得a34，a48，a52，a66，a72，a82，a94，a108.所以數(shù)列中的項(xiàng)從第3項(xiàng)開始呈周期性出現(xiàn)，周期為6，故a2 015a335×65a52.答案D8. 若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20()A.20 B.50 C.70 D

17、.80解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a10a11a9a122e5，所以a10·a11e5，于是ln a1ln a2ln a2010ln(a10·a11)10ln e550. 答案B9. 設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若3，則()A.2 B. C. D.3解析由等比數(shù)列的性質(zhì)及題意，得S3，S6S3，S9S6仍成等比數(shù)列，由已知得S63S3，即S9S64S3，S97S3，.答案B10. (2016·杭州質(zhì)量檢測(cè))設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，(n1)SnnSn1(nN+).若1，則()A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最

18、小值是S7解析由條件得，即，所以anan1，所以等差數(shù)列an為遞增數(shù)列.又1，所以a80，a70，即數(shù)列an前7項(xiàng)均小于0，第8項(xiàng)大于零，所以Sn的最小值為S7，故選D.答案D11. (2016·西安質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足a11，an1·an2n(nN+)，則S2 016()A.22 0161 B.3·21 0083C.3·21 0081 D.3·21 0072解析a11，a22，又2.2.a1，a3，a5，成等比數(shù)列；a2，a4，a6，成等比數(shù)列，S2 016a1a2a3a4a5a6a2 015a2 016(a1a3a5a2 015)(a2a

19、4a6a2 016)3·21 0083.故選B.答案B12. (2016·青島一模)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a1a2a35，a7a8a910，則a4a5a6等于()A.5 B.7 C.6 D.4解析把a(bǔ)1a2a3，a2a3a4，a7a8a9各看成一個(gè)整體，由題意知它們分別是一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第4項(xiàng)和第7項(xiàng)，這里的第4項(xiàng)剛好是第1項(xiàng)與第7項(xiàng)的等比中項(xiàng).因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a4a5a65. 答案A二、填空題13. 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n+a, 則a=_.14. (2016·濰坊一模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式an

20、_.解析當(dāng)n1時(shí)，a1S1a1，a11.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1anan1，.數(shù)列an為首項(xiàng)a11，公比q的等比數(shù)列，故an.答案15. 已知數(shù)列an：，若bn，那么數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn為_.解析an，bn4，Sn44.答案16. 正項(xiàng)數(shù)列an滿足a11，a22，2aaa(nN+，n2)，則a7_.解析由2aaa(nN+，n2)，可得數(shù)列a是等差數(shù)列，公差daa3，首項(xiàng)a1，所以a13(n1)3n2，an，a7.答案17. 在等差數(shù)列an中，a10，a10·a110，若此數(shù)列的前10項(xiàng)和S1036，前18項(xiàng)和S1812，則數(shù)列|an|的前18項(xiàng)和T18的值是_.解析由a10，a10·a