數值計算課后答案4匯編

1、學習-好資料習題四解答1、設x0,x! =1，寫出f(x)的一次插值多項式L1 (x)，并估計插值誤差解：根據已知條件，有x01y1A e設插值函數為L|(x)=ax b，由插值條件，建立線性方程組為'a x 0 + b = 1 a 1 b =e 解之得a=e"lb=1則 L(x) = (e-1)x 1因為 y (x) - -e, y (x)二 e所以，插值余項為 -1 f ()二(x)r(x)f(x) -p(x)二1(n 1)!f(T()二(x)2!1-f ()(X -Xo)(X-G1 . (x -0)(x-1)(0,1)所以(x)#1矚le'max0童埜x(x-1

2、)1 q11=x e工=2 48。2、給定函數表Xi-0.10.30.71.1f (Xi)0.9950.9950.7650.454選用合適的三次插值多項式來近似計算f(0.2)和f(0.8)。解：設三次插值多項式為f(x) =a。a1x a2x2，由插值條件，建立方程組為廣23a0匯(0.1)+a2U-0.1) +a<0.1) =0.995a00.3 + a2 汽0.32 +a3 漢 0.33 = 0.995aah 0.a0.7a0.70.76523、a0F.1+a2 漢 1.1 +a3".1 =0.454'a。O.lai +0.01a2 0.001a3 =0.995a

3、0 +0.3ai +0.09a2 +0.027a3 =0.995a。+0.7ai +0.49a2 +0.343a3 = 0.765a。+1.1ai +1.21a2 +1.331a3 =0.454'a。-0.1ai +0.01a2 -0.001a3 =0.9950.4a1 +0.08a2 +0.028a3 = 00.8ai +0.48a2 +0.344a3 =1.760.4ai + 0.72a? + 0.988比=-0.311"a0 -0.1印 +0.01a2 -0.001a3 =0.9950.4印 +0.08a2 +0.028a3 =0'0.32a2 +0.288a3

4、 =1.76!-0.384a3 = -3.831解之得方0 =0.416= -6.29a2 = -3.48a3 =9.98則所求的三次多項式為f (x) =0.41 -6.29x-3.48x2 9.98x3。所以f (0.2) =0.41 - 6.29 0.2-3.48 0.22 9.98 0.23 0.91f (0.8) =0.41 -6.29 0.8-3.48 0.82 9.98 0.8 -1.743、設x(i =0,1,2,|(, n)是n+1個互異節(jié)點，證明：(1)n、Xikli(x) =xk(k =0,1,2,111,n)；i =0(2)n、(x -x)kli(x) =0(k =0,

5、1,2,111,n) oi =0證明：(1)由拉格朗日插值定理，以X0,X1,X2,Xn為插值節(jié)點，對y=f(x)=x作n次插值，插值多項式為nPn(x .： li(x)yi，i =0而 yi=xk,n二為 h(x)xki =0n所以 Pn(x)二為 li(x)yii=0同時，插值余項r(x) =xk - Pn(x)1(n 1)!(n1)(T(x) =1(n 1)!(n 1)二(x) =0n所以 v li(x)x = xki £結論得證。(2)取函數 f(x) =(x-t)k,k =0,1,2,|l(, n對此函數取節(jié)點x(i =0,12川,n)，則對應的插值多項式為n kPn(X)

6、八(Xj -1) h(X),7由余項公式，得kr(x)=(x-t)nk(xi _ t) 1 i (x)i衛(wèi)1(n 1)!D從古zk(n 1)兀(x) =0更多精品文檔所以nk k(X -t)八(xi -t) 1i (x)i令 t=x ,n(x -x)kli(x) =0i衛(wèi)4、給定數據(f (x) -、一 x )X2.02.12.22.4f(x)1.4142141.4491381.483201.54919(1)試用線性插值計算f(2.3)的近似值，并估計誤差；試用二次Newton插值多項式計算f(2.15)的近似值，并估計誤差。解：用線性插值計算f(2.3)，取插值節(jié)點為2.2和2.4,貝U相應

7、的線性插值多項式 是P(x)= 1.483201.54919 -1.483202.42.2(x-2.2)= 1.483200.32995( x-2.2)用x=2.3代入，得f(2.3) -1.483200.32995 (2.3 -2.2)=1.450205(2)作差商表如下Xf(x)一階差商二階差商三階差商2.01.4142140.35012.11.449138-0.0470.34074.10752.21.483201.5960.65992.41.54919根據定理2，f(x) = f(X0)+ fX0, X1(X-X0)+fX0，X1，X2(X-X0)(X-X1)+ +fX0，X1，,Xn(

8、X-X0)(X-X1)(X-Xn_1)+fx 0，X1，Xn，x n (x)。以表中的上方一斜行中的數為系數，得 f(2.15) = 1.41421+ 0.3501 X (2.15-2.0) 0.047 X (2.15-2.0) X (2.15-2.1) =1.663725指出： 誤差未討論。5、給定函數表x01245y01646880試求各階差商，并寫出牛頓插值多項式和插值余項 解：作差商表如下xf(x)一階差商二階差商r三階差商四階差商:0016116730522463762125348810938850根據定理2,以表中的上方一斜行中的數為系數，得57p(x) =0 16x 7x(x -

9、1) x(x-1)(x-2) x(x-1)(x -2)(x -4)。2 6指出： 余項未討論。5*、給定函數表x01234y01646880試求各階差分，并求等距節(jié)點插值。解：由已知條件，顯然，xo=O， h=1，x=t 作差分如下xf(x)一階差分二階差分三階差分四階差分001611614302246121404214236指出：在本題這種情況下，實際上Pn(t)二Pn(X),也就是說，在這樣的條件下,t的多項式就 是X的多項式，可以直接轉換。一般情況下，把t的關系轉換為X的關系需要根據X=XO+th，將t用X表示，即 將t代入得到的多項式。h6、給定數據表X0.1250.2500.3750

10、.5000.6250.750f(x)：0.796180.773340.743710.704130.656320.60228試用三次牛頓差分插值公式計算 f(0.1581)及f(0.636)解：所給節(jié)點是等距結點：Xo =0.125,h =0.125, Xi = Xo ih.0,1,2,3, 4,5。計算差分得Xf(x)一階差分二階差分三階差分四階差分五階差分0. 1250. 79618-0.022840. 2500. 77334-0.00679-0.02963-0.003160. 3750. 74371-0.009950.00488-0.039580.00172-0.004600. 5000.

11、 70413-0.008230.00028-0.047810.002000. 6250. 65632-0.00623-0.054040. 7500. 60228令x =，th(t =X X0),根據等距結點插值公式，得hpn(x0 th)二 pn(t) =0.79618 t (-0.02284)(-0.00679)t(t T)(t _2)(0.00316) t(t T)(t 2)(t _3)0.00488 t(t _1)(t _ 2)(t _3)(t _ 4)(0.00460) 3!4!5!則f (0.1581) ： Pn(0.1581)= Pn(0.125 0.2648h) =0.79029

12、4822,。f(0.636) ： pn(0.6363) = Pn(0.125 4.088h) = 0.6518048267、設f(x)在-4,4有連續(xù)的4階導數，且f(-1) =1,f(0) =2, f (00, f(3) =1, f (3) =1(1)試構造一個次數最低的插值多項式p(x)，使其滿足p(_1)= f(_1)=_1,p(0) = f(0) =2,p (0) = f (0) =0, p(3) = f(3) =1,p (3) = f (3) =1(2)給出并證明余項f(x)-p(x)的表達式。解：(1)由7*可以求出滿足p(0) = f(0) =2, p(0) = f (0) =0

13、, p(3H f(3) =1,p(3H f (3) =1的三次埃爾米特插值多項式532 2H(x) x x 2。27352設 p(x) = H (x) a(x -3)2x2x3x2 2 a(x -3)2x2，則 p(x)滿足273p(0) = f(0) =2, p(0) = f (0) =0, p(3) = f(3) =1,p(3) = f (3)=1，由 f(-1) =1 得527(-1)32 2 2 2 (-1)2 a(-1 -3) (-1) =1= a =31108所以2 25322p(x)二 H (x) a(x -3)2X2x3x2 22731108(x _3)2x210854-x22

14、(2)余項具有如下結構r(x)二 f(x) -p(x)二k(x)(x 1)x2(x-3)2作輔助函數，(t) = f(t)-p(t)-k(x)(t 1)t2(t-3)2則顯然(t)在點x, -1,0,3處有6個零點(其中0, 3是二重零點)，即(x0, ：( -1) =0, (0) =0, ： (0) =0, (3) =0, ： (3) =0，不妨假設x (-1,0)。由羅爾定理，存在 (-1,x)，廠(x,0),廠(0,3)，使得：(1)=0,( 2) =0,譏 3)=0，再注意到：(0)二0,=0，即(t)有5個互異的零點1 ： 03舟3再次由羅爾定理得，存在 < (1, 1), 2

15、,( 2,0), 3 (0, 3), / ( 3,3)，使得：(1)=0,( 2)=0,( 3)=0,( 4)=0第三次應用羅爾定理得，存在1(1, 2), > ( 2, 3), V ( 3, 4) 使得，(1)=0,八(2)W( 3) =0，第四次應用羅爾定理得，存在 ( 1, 2), 一 ( 2, 3)使得;:(4)(J10, ：(4)ei2) =0，第五次應用羅爾定理得，存在(，=)使得(.)=0注意到2(t) =r(t)5!k(x)二 f (t)5!k(x)(r(t) =f (t) 一 p(t)中p(t)是4次函數，其5次導數為0) 所以5!，f (E ) .佝(.)=f (5)

16、( .) 5!k(x)=0= k(x)二 ' 丿代入余項表達式，有2 2(x 1)x (x -3)。 5!f化)r(x) = f(x) -p(x)=指出: 本題是非標準插值問題，比較簡單的求解方法有: 求插值問題的基本方法是待定系數法。 以本題來說，有5個條件，可以確定 個4次的插值多項式，設為y - - a2x2 a3X3 - a3X3，將條件代入，建立-個5元的線性方程組，求出各參數，就可以求出插值多項式。 求插值問題的第二種方法是基函數法，即根據給定條件設定插值多項式的結構 和各基函數的結構，根據條件確定基函數即可。具體方法與拉格朗日插值基函數 構造和埃爾米特插值基函數構造相似。

17、 以標準插值為基礎的方法是一種更簡單的方法， 本題中，首先利用4個條件構 造一個埃爾米特插值，在此基礎上設定所求插值多項式的一般形式，保證其滿足埃爾米特插值條件，代入未利用條件解方程(組)，求出其中的未知參數，即可 求出插值多項式。本題也可以先利用p(1) = f (一1)= 1,p (0) = f (0)= 2p (3)=f (3卜構造一個2次插值多項式P2(x)，以此為基礎構造4次插值多項式P4(x)， P4(x)的結構是P4(x)二 P2(x) (ax b)(x 1)x(x -3)，滿足p(-1) = f (-1) 一1, p(0) = f(0H2, P(3H f(3) =1再根據p (

18、0H f (0H 0, P (3) = f (3) = 1列出兩個線性方程組成的方程組，求出a、 b兩個參數，即可求出所求的插值多項式。求插值函數余項r(x)的常用方法是：r(x)二f(x) -p(x)應具有如下形式(以本題為例)2 2r(x)二 f (x) - p(x)二 k(x)(x 1)x (x - 3)作輔助函數(t) = f(t)-p(t)-k(x)(t 1)t2(t -3)2則：(t)在點x,-1,0,3處有6個零點(其中0, 3是二重零點)。反復應用羅爾定理， 直到至少有一個(-4,4)，使得：(5) ( 0。此時即有f(匕)(.)二 f(5) ( .) 一 5!k(x)=0 =

19、 k(x)二5!代入余項表達式即可求出。7*、設f(x)在-4,4有連續(xù)的4階導數，且f(0) =2, f (0)0, f(3)1, f (3) =1試用兩種方法構造三次埃爾米特插值多項式H(x)，使其滿足p(0) = f(0) =2, p(0) = f (0) =0, p(3) = f(3) =1,p(3) = f (3) =1。 解一(待定系數法)：解：設 H (x) =a0 - ax a2x2 a3x3，貝U2H (x)二 a1 - 2a2X 3a3X , 由插值條件得，2 = H(0) =a°0 = H '(0)=印1 = H (1)=玄 +印 +a2 +a31 =日

20、(1)=印+2&2+3&3、25解之得 a0 = 2, ai = 0, a2, a3 ：3 27532 2所以 H (x)x x 2 o273解二(基函數法)：解：設 H3(x) = f(X。)： 0(x) f (xj： 1(x) f(X。)：0(x) f (xj ：1(x),因為線性拉格朗日插值基函數為l0(x)X X|x° - X1x - 30-3h(x)X X0X1 -X°x -0 x3-0 _3由得1 2： 0(x)打1 -2(X-X。)l°(x)X0 X1"1 -2(x-x。)X0 -X1二1 -2(x-0)/ '2X3

21、-x：I 32327-9x 2x27同理：1(X)二12(x -xjx° x./ 、2X - X°M x°c 2 c 39x -2x27由得v(x) =(x -Xo)2X _x(卞_Xi'2：1(X)=(x -Xi)x X°xi Xo/3 x 2=x.3_ x3 -3x2-9H(x x-x22。273&設f (x) =eX(O乞x乞1)，試作一個二次多項式p(x)，使其滿足p(o)= f (0), p (oh f (0), P(i) = f(i)，并導出余項估計式。解：設此二次式為p(x) a bx ex2，因為 f (x) ex, f

22、(x) ex， 所以，由已知條件p(O) = f (0) =1,p(0) = f (0) =1,P(1)= f(1) =e將其代入 p(x)二 a bx ex2, p (x)二 b 2ex，得a = 1a = 1IIb = 1= b = 1a b c=e c=e-2所以，要求的二次多項式為p(x) =1 x (e -2)x2 o因為0是2重零點，1是1重零點，因此可以設余項具有如下形式:2r(x)二 f(x) -p(x) = K(x)(x-0) (x-1)，其中K(x)為待定函數。固定x，作輔助函數(t)才(t) -K(x)(t -0)2(t-1)顯然(0) =0, :(0) =0, (x)

23、=0, (1) =0，不妨假設x (0,1) o由羅爾定理，存在 (0, x),(x,1)，使得:(10: ( 2) =0，再注意到(0)=0再次由羅爾定理得，存在1 (0, 1)(0,1), ( 1, 2)(0,1)，使得：(1)f ( 2)=0再次應用羅爾定理，存在 ( 1, 2)(0,1)使得：()=0 o注意到：(t) =r (t) 3!K(x) = f (t) 3!K(x)(r(t) =f (t) - p(t)中p(t)是2次函數，其3次導數為0) 所以()二 f ( ) 3!K(x)=0 二 K(x)=f ()3!代入余項表達式，有f"忙)2e 2r(x)二 f(x)-p

24、(x)(x-0)(x-1)=x(x-1)。3!3!指出: 石瑞民數值計算關于余項討論很清楚。9、給出sinx在0, n 上的等距結點函數表，用線性插值計算sinx的近似值,1使其截斷誤差為丄10鼻，問該函數表的步長h取多少才能滿足要求？2解：設x/k =0,1,|()為等距結點，步長為h，則Xk i = Xk h當x Xk , Xk 1 時，作f(x)的線性插值X Xk出X 兀Li(x)一 f (Xk) f (Xk 1)Xk Xk 十Xk+-Xk則有f ef(x) -L'x) = (x -Xk)(x -Xk 1)，2由此易知11 h2f (x)L!(x)| 蘭匚 max f "

25、;(x)|(xXk)(xXk*)咒沃丁，x“Xk,Xk卅2耳空空舛2 4因此h2由訂1104，得 h < 0.02f (x) -L1(x) -8指出：關于最大值的計算與12題相同10、求f (x) x4在區(qū)間a,b上的分段埃爾米特插值，并估計誤差 解：由分段三次埃爾米特插值多項式nH3(x)八f(x)i(x) f (Xi)L(x)i=0則f (x) =x4的分段埃爾米特插值為nH3(x)八f(xj：i(x) f (Xj) L(x) in八Xi(x) 4xi(x)i衛(wèi)其中f2x 一 x _ixi A _ xi：心)=1 2x-xJxi + _ xi ,Xj蘭x蘭Xj, i式0 lxi _

26、x 二丿f2x 一 x ,Xi 蘭 X 蘭 Xi * i 式 n lx 為卻0,其他/、2X X 1(x Xj) i, Xj 4 蘭 x 蘭 Xj, i 鼻 00 -Xi_Jx X-P(Xj) = <(x Xj) ,XjExXdi,iH nXj Xj* 丿0,其他其余項估計式為11、已知數據表i012Xj2.57.510f(Xj)4.07.05.0f Xj )0.13-0.13r(x)唱 maxf（4）（x）44!38416o求三次樣條插值函數。解：這是第一類邊界條件，要求解方程組*2 1 0 '*M?！保琙gQ”叫2禮M1g1312lM 2 其中hohi=X1 -X°

27、 = 7.5-2.5=5=X2 -X1 =10-7.5=2.5 h 200.66667h0 h13gogig2= 6（y y。）=0.564hih16y - y1y1 - y0（2 1 1 0） - -1.12002 hi h2h2h|6 y2 - y（y22 丄）=1.608h22 1 0、仏'氣2人M1=g13 1 2<M 2 jh2h2將以上數據代入方程組=1-叫=0.33333解之得M0 -0.807339Mj - -1.050678M2 =1.329334 將獲得的數據代入到 Si（x）=M（x fx -ba -b3（x-Xi）M i j 2 xi - xMi 2X-x

28、i+Mj +（%h ）十（ _一 hi）6h6h6 h6 h中，得3310.026911 x（7.5 x） 0.035023 x（x2.5） +0.127218 匯（7.5 x） +2.275565 x （x 2.5） s（x） =331-0.070045 "10 x） 0.088622 漢（x 7.5） + 3.237783 漢（5.0 x） +1.44611仆（x 7.5）12、設f(x) C2a,b(具有二階連續(xù)導數)，且f(a)=f(b)=0 ，證明:maxa g唾 證明:f (x)蘭】(ba)2max f "(x)8a <<以a、b為節(jié)點進行插值，得f

29、（x）二 pdx） r（x）x a1f兀 f（b）齊（）（x-a）（x-b）=2 f（ ）（x-a）（x -b）（a ：: b）因為（x -a）（x -b）在1Cb)處取得最大值，故學習-好資料1a：x：b-b)max f(x) 蘭一max f "(x) max (xa)(x a童蟲I* 1 2 a <<a童魚I12=評-a) max f "(X)8a玄蟲13.給定數據表更多精品文檔0. 10.10.40.921.6對a、b、c分別求偏導，并令偏導數等于0,得:L力52=為 2(a b為 ex ) - yj =0i 45 2二 7 (a bXj © )

30、 -yj =0i生555二 5a b' x c' x2二 yi = 0i 1i 1i 1丄.:b5八 2(a bXii 1cf) -yjx5 2二 x (a b cXj ) -yJXj =0i 45555二 a、 xi b' x2 c' xj _、片 =0i 呂i 1i=1i=1:L.:c5二2(a b ex：) - yjx：二 0 i A522n 送(a+bXi +c )yix =0i ±5555二 al xi2 b 二 xi3 c 二片4 '二 x'yj =0i =1i=1i =1i =1將各數據點的數值代入，得方程組為5a 1 c

31、 = 2. 9 I1 (b 二 4. 21 0a3d= 7解之得 a=0.4086, b=0。42, c=0.0857, 所以數據點所反映的函數的近似關系為 y 二 0.4086 0.42x 0.0857X2解二：設所求的擬合函數為a bx cx2,學習-好資料將數據代入方程得'a -2b +4c = -0.1a b +c =0.1Ia = 0.4a +b +c =0.9a 2b 4c =1.6-24z-0.r-110.100,B =0.4110.924<1.6 >方程組的系數矩陣和右端向量為11A= 11d因為1-2 4 1 1111 -1 1廣5010、AT A =-2

32、-10121 0 0=0 10 0>410141 1 1J0034.124'-0.1*1 1111、0.1*2.9、atb =-2-10120.44.2"10140.9<7IJ.6所以5010 “2.9、0100b=4.2<10034<cJ<7解之得 a=0.4086, b=0。42，c=0.0857,所以數據點所反映的函數的近似關系為y 二 0.4086 0.42x 0.0857x214、已知試驗數據x1925313844y19. 032. 349. 073. 397. 8用最小二乘法求形如y=a bx2的經驗公式，并計算均方誤差。解：設 y

33、二 a ' bx2則52 2L 八(a bXj )_yji 4對a、b分別求偏導，并令偏導數等于0,得jL5- y = 0八 2(a b2):ai 452x (a bXj ) -=0i 4555a bl： x2 二% =0i 4i 4jL5八 2(a bx：)-yix2 =0.:bi 45' (a b2) -yx：二 0i 4555a、xi2b、xi4-' x&i =0i 4i生i 1將數據代入得5a+b"192 +252 +312 十382 十442) (19.0十32.3 + 49.0 + 73.3+97.8) = 0a(192252 312382

34、442)b (194254314384444(19219.0 25232.3+312 x 49.0+ 382 x 73.3+442x 97.8) = 0化簡得5a 5327b -271.4 =05327a 7277699b -369321.5 = 0第二個方程減去第一個方程乘以1065進一步化簡得5a 5327b -271.4 =02a 1604444b-80279.5 =0解之得a =1.01b =0.05則x與y的函數關系是2y=1.01+0.05x。此時，平方逼近誤差為5L (a bx2) -yj2 =0.017i =1所以，均方誤差為、07 ".13。指出：均方誤差實際上就是

35、按最小二乘法則確定的殘差。15、時間t(s)00.91.93.03.95.0距離s(m)010305080110求運動方程。解：設運動方程為s= a+bt則6 6 6 62ti =14.7, ti =53.63 si =280,' tQ =1078i 1i 4i 4i 4將上述數據代入方程組666a b' tj 八 si二y6 6 6a' ti b' ti2 八 Isi 4i 4i 4得方程組6 a 14.7b =28014.7a 53.63b =1078解之得a 二-7.8550478b =22.25376所以，s - -7.8550478 22.25376t

36、。指出： 利用統(tǒng)計型計算器，有關中間數據可以簡單求出16、在某化學反應中，由實驗得分解物濃度與時間關系如下:時間t05101520253035濃度y©104)01.272.162.863.443.874.154.37時間t40455055濃度y("04)4.514.584.624.64用最小二乘法求y=f(t)。解：描草圖，觀察草圖可以發(fā)現，該組數據分布近似于指數函數曲線，而且隨著t的增大，y的增速放緩，故設by = aet。兩邊取對數，得1In y = I nab ，t1令 ln y 二 z, s,ln a =c，t則擬合函數轉化為線性擬合關系c bs11 11'

37、 Sj =0.6039755,' s2 =0.06232136i ±i =111 11送 Zi =13.639649,送 sz =0.5303303。i 1i 4將上述數據代入 11 1111c +b送 Sj =瓦 zii 4i£11 11 11c' S bl q2 八 SZii Ai 4i 4得11c 0.6039755b =13.6396490.6039755c 0.06232136b 二 0.5303303 解之得b - -7.4961692, c =1.6515592 二 a =5.2151048 所以7.4961692y =5.2151048e _

38、t。指出：(1) T=0，該擬合函數不適用(2)專業(yè)的變化規(guī)律(經驗函數)應當由專業(yè)人員給出。僅僅從有限數據的草圖得出的規(guī)律可能不具普遍性。17、給定數據表x7.22.73.54.14.8y6560535046用最小二乘法求形如y二aebx的經驗公式解：對y二aebx兩邊取對數，得In y = ln a bx，令 ln y 二Y,ln a 二 a°,b 二 a1， 則 丫二比 a1x，代入數據，建立方程組為5a0 17.3a1 =19.9796881517.3a0 64.23a, =68.55117703、a0解之得a = e0 二 85.9529b 二耳0.132329a0 =4.

39、45380 _© =-0.132329所以y=85.9529e°132329x。18、用最小二乘法求方程組'2x+4y =113x 5y = 3x 2y =6x 2y =14的近似解。分析：這是方程個數多于未知數個數的超定方程組，是矛盾方程組，用最小二乘解：設方程組中各個方程的一般形式為aiXby 二G，則0,得法求解4L =送(aiX +by) Ci2i 4對X、y分別求偏導，并令偏導數等于:L4=為 2gx Sy) -cJa =0-：Xi44二 x (ax dy) -cJa =0i 1444=x'X aj y 二 ab 二 a© = 0i占i

40、1i呂：|4一八 2(ajX by) -cjb =0.yi生4二 ' (ajX 陽)-cJb =0i ±444二 x'二 a© ' y X b2二 bQ = 0i=1i 1i=1將數據代入得15x -3y -51 =0-3x 49y _69 =0 解之得x =3.727y =1.63619、已知數據表X12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6它有形如P(XL為的擬合函數，試求本問題的最小二乘解1解：令y二-，貝U擬合函數變形為zZ二abx，原擬合問題轉化為線性擬合問題。8貝U L 二' (a)yi。

41、i T對a、b分別求偏導，并令偏導數等于0,得L 8八 2(aa i 4=8a b' N -' yi= 0i 4i 4_:L_:b8八 2(a bS -為=0i 48二 x (a bxj - yXi =0i 48 8 8二 a、xi b、好八 x yj = 0i 4i 4i 4將數據代入，得888a +b瓦 X -瓦 =0yy一8 8 8 a' x b' x2 -、 xy = 0 i 4i 1i 1解之得a =520.58b - -104.02所以，所求的擬合函數為8a 36b -419.9 =036a 204b -2479.48a 36b-419.9=0-84

42、b 8737.9 =01P(x)=520.58 -104.02 x20、在平面上給出三個點，它們的坐標是 為=(1,1) X二(2, 0)T *二(1.5,3亍，每 個點對應一個函數值 乙=1.8,z2 =2.6,z3 =3.1，找出一個通過這三個點的平面。 解：這實際上是求過三個點(1,1,1.8),(2,0,2.6),(1.5,3,3.1)的平面方程。由解析幾何知識可知，平面的三點式方程為%X2y1乙1y2Z2 1X3yZ31 將三點坐標代入，解此方程就可求出所求平面方程(以下從略)補充題(一)1、求次數不超過2和3的多項式P2(x)和P3(x)。使得P2(0)= P3(0) = 0，P2

43、(1) = P3(1) = 1，P2(2) = P3Q = 8，P3(3) = 27。解一：設二次多項式為p2(x)=a°+a1x+a2x2 ，則有a0 - a 0 a2 0所以，P2(x)=P2(0)+1 枚-0)+3 (X-0)(x-1)=3x -2x, =0I2<a0漢1 +a2 =<1 =12a0x2 +a2 匯2 =8解之得，ao =0, ai - -2 =3。所以2p2(x) - -2x 3x 。設三次多項式為p3(x)=a°+aix+a2x2 + a3xp3(x)=p3(0)+1(x-0)+3(x-0)(x-1)+1 (x-0)(x-1)(x-2)

44、=x。2、已知函數f(x)在節(jié)點一1, 0, 1處的值分別是0.3679,1.000,2.7182用待 定系數法和插值基函數法兩種方法求出拉格朗日插值。解1:設所求的多項式為P2(x)二a° - a/ a?x2，把已知條件代入得，則有23aa- xa<0 +a3x0 =023a0漢1+a2 =<1 +a3xl =1i23aa-a<2 +a3=<2 =823a° +ax3+a2 覽3 + a3 271 _解之得，a0 =0, a<)= 0, a2 = 0, a3 =1。所以P2(x)二 x3。解二：由題6,可以直接利用插值多項式公式求出所要求的多

45、項式來。 解三：在學習了差商和差分后，也可以利用牛頓插值公式或等距節(jié)點 插值公式求出所求多項式。對f(x)在0，1, 2, 3處求差商得xf(x)一階差商二階差商三階差商0011137128619327I 2a° 十耳 x(1) + a2 漢(1) =0.36792«a0 十印 x(0) +a2 漢(0)=1.0002a0x(1) + a2 x(1) =2.7182解之得a° = Iq = 1.751, a2 = 0.5431所以2p2(x) =1 1.1751x 0.5431x 。解2:由插值基函數公式I 丨(X - xk)更多精品文檔li(x) =k =0空n

46、l°(x)x(x -1)2n (x -兀)kF(x-0)(x-1)h(x)x-(-1)(x-1)0 -(-1)(° -1)-(x 1)(x -1)l2(X)x-(-1)(x-0)1-(-1)(1-0)x(x 1)2代入插值公式得p2(x) =0.3679l0(x) 1.000h(x)2.7182I2(x)即p2(x) =1 1.1751x 0.5431x2。3、設f(x)=x4,試利用拉格朗日插值余項定理寫出以一 點的三次插值多項式。1, 0, 1, 2為插值節(jié)解：記三次插值多項式為p(x)，由插值余項定理1f(x)-p* )- f(n1)T :x ()(n + 1) !1

47、= -f(4(t)x+ 1xf 心(X1)(2)4!=(x 1)(x-0)(x-1)(x-2)所以，p(x) =f(x) -(x 1)(x-0)(x-1)(x-2)=x4 -x(x2 T)(x-2)=2x3 x2 -2x思考:學習-好資料1用插值多項式公式直接求插值多項式與本題求出的多項式比較一下。4、已知 sin0.32=0.314 567,sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 27,用拋物線插 值計算 sin0.3367。解：sin0.3367= 0.330 3745、設lk(x)(k=0,1,2,是nn+1個互異節(jié)點X0,xi,X3,x上的n次基本插值多項式，證

48、明下面的恒等式成立n' xk°lk(x) =xm(m =0,1,2,|(,n)k衛(wèi)證明：由拉格朗日插值定理，以X0,X1,X2,x為插值節(jié)點，對y=f(x)=xm作n次插值，插值多項式為nPn(x)工為 li(x)yi ,i z0myi=xi所以n八 li(x)Ximi =0nPn(x)八 li(x)yii =0同時，插值余項r(x) =xm - Pn(x)1(n 1)!(n °()二(x)1(n 1)!(xm)(n 1)二(x) =0所以nx li(x)xmi =0結論得證。指出：本題說明，任何次數不超過n的多項式的n次拉格朗日插值多項式就是它本身。我們也可以證明：n二 l i (x) - 1 oi =06、設X0,X1,X2,x是任意給定的n+1個互異節(jié)點，證明 f(x)=a0+a1x+ anxn關于這組節(jié)點的n次插值多項式pn(x)就是f(x) o證明：記n次插值多項式為Pn(x)，由插值余項定理更多精品文檔心)一3 河 f(5(X)Rf0 6 川 HQ（n 1）二(X)=0 所以 Pn(X)二 f(X)。補充題(二)1、令x = 0,x1 = 1，寫出y(x) =e的一次插值多項式，并估計誤差2、已知、100 =10, .121 =11八144 =