特征值與特征向量定義與計(jì)算

1、特征值與特征向量特征值與特征向量的概念及其計(jì)算定義 1. 設(shè) A 是數(shù)域 P 上的一個(gè) n 階矩陣 ,是一個(gè)未知量，_anl _a2n " 久一=晉+務(wù)礦 4 + 廻礦 +坷 + g稱為 A 的特征多項(xiàng)式，記（） =| E-A| ，是個(gè) P 上的關(guān)于的 n 次多項(xiàng)式， E 是單位矩陣 莎 j（） =1 E-A|= n+ +?+ n = 0 是一個(gè) n 次代數(shù)方程，稱為A 的特征方程。特征方程（） =| E-A|=0 的根 （如： o）稱為 A 的 特征根（或特征值 ） 。n 次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且僅有n 個(gè)根，而在實(shí)數(shù)域內(nèi)不一定有根，因此特征根的多少和有無(wú)，不僅與A 有關(guān) ,與數(shù)域

2、 P 也有關(guān)。以 A 的特征值 o 代入 （E-A ）X=, 得方程組 （o E-A ）X=, 是一 個(gè)齊次方程組 歩，稱為 A 的關(guān)于 o 的特征方程組。因?yàn)?| oE-A|=O , （oE-A ）X=必存在非零解Xo）臣 1，於 o） 稱為 A 的屬于 o 的特征向量。所有 o 的特征向量全體構(gòu)成了o 的特征向量空間。一. 特征值與特征向量的求法對(duì)于矩陣 A, 由 AX= oX,oEX=AX得 : oE-AX=即齊次線性方程組=0- 屯聲 1 + 為一 12 2 - 呂血匚 =0廠盟L-% 百 一（九一百）有非零解的充分必要條件是:_alS=0即說(shuō)明特征根入是特征多項(xiàng)式 |oE-A| =0

3、 的根，由代數(shù)基本定 _aU - ai3_ ain一 - 沁 n有 n 個(gè)復(fù)根 1,2,n , 為 A 的 n 個(gè)特征根歡迎下載2當(dāng)特征根i (1=1,2,n)求出后， ( i E-A)X= 是齊次方程，均會(huì)使 | iE-A|=O ,( i E-A)X= 必存在非零解，且有無(wú)窮個(gè)解向量，(i E-A)X= 的基礎(chǔ)解系澎 1 以及基礎(chǔ)解系的線性組合眇 1 都是 A 的特 征向量。例 1. 求矩陣 A= 3 -5 3 的特征值與特征向量6 -54解：由特征方程X-l3-S13 3dct（AE -S X+5 -S=（A-1X+5- SA）=-66X-4F2）06入一=（入 + 2）3CA-4 ）=0

4、4解得 A 有 2 重特征值1=2=-2 ，有單特征值3=4對(duì)于特征值1=2=-2 ，解方程組（-2E-A ）x=-3 3 -Si r 1 -1 1"-2E-A= -3 3 -S 000- 6 畐-Jb u得同解方程組x 1 -X 2+X 3=0解為 X1=X 2-X 3 （X 2,X 3 為自由未知量 #1）歡迎下載3分別令自由未知量1-1得基礎(chǔ)解糸E 1= 00I;:比所以 A 的對(duì)應(yīng)于特征值1=2=-2的全部特征向量為x=k i i+k 2 2 （ki,k2 不全為零）可見(jiàn)，特征值=-2 的特征向量空間是二維的。注意,特征值在重根時(shí)，特征向量空間的維數(shù)特征根的重?cái)?shù)。對(duì)于特征值3

5、=4, 方程組 （ 4E-A ）x=4E-A =012 -6-600X1 - Aj 0得同解方程組為 2X, - 丄 X = fl2 2 31Xj = - ；X3: （嘉任意）歡迎下載4令自由未知量X3=2 得基礎(chǔ)解系 3= 1所以 A 的對(duì)于特征值3=4得全部特征向量為x= k 3 342-5例 2. 求矩陣 A= 6 4 -9 的特征值與特征向量5 3-7解：由特征方程1- 4-25det(AE- A) = -6 丸一 49 =a?(X- 1)= 0-53A.+ 7解得 A 有單特征值 1 = 1 ，有 2 重特征值2=3=0對(duì)于1=1 ，解方程組( E-A) x =-3-25_10-1E

6、A=-6-39- > 0 1-1-5-380 00歡迎下載5同解為hi =屯'll令自由未知量X3=1, 得基礎(chǔ)解系& = 1所以 A 的對(duì)應(yīng)于特征值1=1的全部特征向量為x=k i i (k i 0)對(duì)于特征值2=3=0，解方程組( OE-A) 二-4-2 510-1A = -6-49- > 01；-5-370 00得同解方程組為通解為'E = ha令自由未知量X3=1 ，得基礎(chǔ)解系此處，二重根=0 的特征向量空間是一維的，特征向量空間的維數(shù)；特征根的重?cái)?shù)1 1，這種情況下，矩陣A 是虧損的 X!所以 A 的對(duì)應(yīng)于特征值2=3 = 0得全部特征向量為X=k

7、 2 310 0例 3. 矩陣 A= 0 0 -1 的特征值與特征向量0 1 0歡迎下載6解：由特征方程X-1? 0dct(AE-A)=0 X 1 = (A-1)(21? + 1) = 00-1%解得 A 的特征值為1=1,2=i,3 =-i對(duì)于特征值1=1, 解方程組( E-A) 二，由?00010"EA= 411-> 001°-11° 00得通解為:& 厲任意 )令自由未知量x 1 = 1 ，得基礎(chǔ)解系1=(1,0,0)T，所以 A 的對(duì)應(yīng)于特征值1 =1 得全部特征向量為x=k 1 1對(duì)于特征值2=i，解方程組(iE-A)=歡迎下載7i-1ft

8、0100iE-A =01- > 01i10-1i000得同解方程組為嚴(yán) =0= ?通解為( s,=0 為任意 )令自由未知量X3=1，得基礎(chǔ)解系2=(0,i,1)T, 所以 A 對(duì)應(yīng)于特征值2 =1的全部特征向量為x=k 2 2 (k2 0)。對(duì)于特征值3=-i，解方程組 ( -E-A)x=，由-1-10010LE-A =0一 11- > 410-1-i00得同解方程組為k 十= 0通解為歡迎下載8令自由未知量X3=1, ，得基礎(chǔ)解系3=（0,-i,1 ） T，所以A 的對(duì)應(yīng)于3=-i 的全部特征向量為X=k 3 3 。特征根為復(fù)數(shù)時(shí)，特征向量的分量也有復(fù)數(shù)出現(xiàn)。特征向量只能屬于一

9、個(gè)特征值。而特征值i 的特征向量卻有無(wú)窮多個(gè)，他們都是齊次線性方程組（i E-A ）x= 的非0 解。其中，方程組（iE-A ）x= 的基礎(chǔ)解系就是屬于特征值i 的線性無(wú)關(guān)的特征向量。性質(zhì) 1. n 階方陣 A= （aj）的所有特征根為1,2,n（包括重根 ）,則S.j +=1=1|證第二個(gè)式子 : + dTj11-5+= 0歡迎下載9由偉達(dá)定理 ,12n=(-1)又| E-A|= J i “+. 計(jì) n-i 1 + n 中用 =0 代入二邊，得 :1卜 A|= n, 而 |A| = ( -1 )性質(zhì) 2?若 是可逆陣 A 的一個(gè)特征根， x 為對(duì)應(yīng)的特征向量，則1 1亠是 A-的一個(gè)特征根，

10、 x 仍為對(duì)應(yīng)的特征向量。X證：= 二邊左 得：再二邊左 乘?得： =x = A -1 Ax =可見(jiàn) ' 是 A-1 的一個(gè)特征根。其中0,這是因?yàn)?0 不會(huì)為可逆陣的特征根，不然，若i=0,|A|=1 2n=0,A 奇異，與 A 可逆矛盾。性質(zhì) 3.若 是方陣 A 的一個(gè)特征根， x 為對(duì)應(yīng)的特征向量，則“是 A T 的一個(gè)特征根，x 仍為對(duì)應(yīng)的特征向量。歡迎下載10證： 1) Ax= x , 二邊左乘A,得： Ax=A x= Ax= x=2x,可見(jiàn) 2 是 A2 的特征根；2) 若 m 是 Am 的一個(gè)特征根， Amx= °X,二邊左乘A, 得： Am+1 x=AAX=A m x= mAx= m x= m+1 x,得 m+1 是 Am+1 的特征根用歸納法證明了m 是 Am 的一個(gè)特征根。性質(zhì) 4.設(shè) 1，2 ,m 是方陣 A 的互不相同的特征值。Xj 是屬于i 的特征向量(i=1,2,m) ，則 x i,x 2,x m 線性無(wú)關(guān)，即不相同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。性質(zhì) 4 給出了屬于不相同特征值的特征向量之間的關(guān)系，因而是一個(gè)很重要的結(jié)論。性質(zhì) 4 可推廣為：設(shè)1，2， ,m 為方陣A 的互不相同的特征值， xil ,x