高中數(shù)學(xué)選修2-1-空間向量與立體幾何

1、 空間向量與立體幾何一、知識網(wǎng)絡(luò)：空間向量與立體幾何空間向量及其運算立體幾何中的向量方法空間向量的加減運算空間向量的數(shù)乘運算空間向量的數(shù)量積運算空間向量的坐標(biāo)運算共線向量定理共面向量定理空間向量基本定理平行與垂直的條件向量夾角與距離直線的方向向量與平面的法向量用空間向量證平行與垂直問題求空間角求空間距離二典例解析題型1：空間向量的概念及性質(zhì)例1、有以下命題：如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；為空間四點，且向量不構(gòu)成空間的一個基底，那么點一定共面；已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底。其中正確的命題是（ ）。 題型2：空間向量的基本運算例2、如圖：

2、在平行六面體中，為與的交點。若，則下列向量中與相等的向量是（ ） 例3、已知：且不共面.若,求的值.例4、底面為正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D為AC的中點，求證：AB1平面C1BD.（三）強化鞏固導(dǎo)練1、已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點F是側(cè)面CDD1C1的中心，若，求xy的值.2、在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是( )。A-abc Babc Ca-bcD-a-bc3、（2009四川卷理）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè) 棱的中點，則異面直線所成的角的大是 。 第二課時 空間向量的坐標(biāo)運算（一）、基礎(chǔ)知識過關(guān)（二）典型題型

3、探析題型1：空間向量的坐標(biāo)例1、（1）已知兩個非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（）A. ：|=：|B.a1·b1=a2·b2=a3·b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實數(shù)k，使=k（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，則x+y的值是（）A. 3或1 B.3或1 C. 3 D.1（3）下列各組向量共面的是（）A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D.

4、 =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)例2、已知空間三點A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4）。設(shè)=，=，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k2互相垂直，求k的值.題型2：數(shù)量積例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量和的夾角為120°，且|=2，|=5，則（2）·=_.（2）設(shè)空間兩個不同的單位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0<，>。題型3：空間向量的應(yīng)用例4、（1）已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=

5、1，求證：+4。（2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點M1（1，-2，1）移到點M2(3，1，2)，求物體合力做的功。（三）、強化鞏固訓(xùn)練1、(07天津理，4)設(shè)、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（·）（·）= |<| （·）（·）不與垂直 （3+2）（32）=9|24|2中，是真命題的有（ ）A. B. C. D.2、已知為原點，向量，求第三課時 空間向量及其運算強化訓(xùn)練（1） 、基礎(chǔ)自測1.有4個命題：若p=xa+yb，則p與a、b共面；若p與a

6、、b共面，則p=xa+yb；若=x+y，則P、M、A、B共面；若P、M、A、B共面，則=x+y.其中真命題的個數(shù)是（ ）。A.1 B.2C.3D.42.下列命題中是真命題的是( )。A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B.若|a|=|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反C.若向量，滿足|，且與同向，則D.若兩個非零向量與滿足+=0，則3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且ab，則（ ）。A.x=1,y=1B.x=，y=-C.x=，y=-D.x=-，y=4.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），點Q在直線OP上運動，

7、當(dāng)·取最小值時，點Q的坐標(biāo)是 . 5.在四面體O-ABC中，=a,=b, =c,D為BC的中點,E為AD的中點，則= (用a,b,c表示). （二）、典例探析例1、如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)=a，=b，=c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量： （1）；（2）；（3）+.例2、如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點.（1）求證：MNAB，MNCD；（2）求MN的長；（3）求異面直線AN與CM夾角的余弦值.例3、 （1）求與向量a=(2,-1,2)共線且滿足方程a&#

8、183;x=-18的向量x的坐標(biāo)；（2）已知A、B、C三點坐標(biāo)分別為（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求點P的坐標(biāo)使得=（-）；（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：a·b；a與b夾角的余弦值；確定，的值使得a+b與z軸垂直，且（a+b）·（a+b）=53.（三）、強化訓(xùn)練：如圖所示，正四面體VABC的高VD的中點為O，VC的中點為M.（1）求證：AO、BO、CO兩兩垂直；（2）求,.補充：1、已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E、F分別是BC、AD的中點，則·的值為（ C ）A.a2B.C.D.2、已知A

9、（4，1，3），B（2，-5，1），C為線段AB上一點，且=，則C點的坐標(biāo)為( C )A.B. C.D. 3、如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°. (1)求AC1的長；（2）求BD1與AC夾角的余弦值.立體幾何中的向量方法 -空間夾角和距離（三）、基礎(chǔ)鞏固導(dǎo)練1、在平行六面體ABCD中，設(shè)，則x+y+z=（A ）A. B. C. D. 2、在正方體ABCD中，M是棱DD1的中點，點O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點，則異面直線OP與AM所成角的大小為（ C ）A. B. C. D. 與P點位置無關(guān) 3、如

10、圖，正方體ABCD中，E、F分別是AB、CC1的中點，則異面直線A1C與EF所成角的余弦值為（ B ）A. B. C. D. 4、 如圖所示，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF平面ACE。 （1）求證：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的大??；（3）求點D到平面ACE的距離。10、（1）略（2）（3） 第二課時 用向量法求空間夾角熱點考點題型探析（一）熱點考點題型探析題型1：異面直線所成的角A1B1C1D1ABCDExyz例1、已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點E為棱AB的中點。求：D1E與平面BC1D所成角的大小（用余弦

11、值表示）題型2：直線與平面所成的角EFO例2、（09年高考試題）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90°，側(cè)棱AA12，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。求A1B與平面ABD所成角的大小（結(jié)果用余弦值表示）；題型3：二面角例3、（08年高考）在四棱錐PABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa，E為BC中點。（1）求平面PDE與平面PAB所成二面角的大?。ㄓ谜兄当硎荆?；（2）求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。第三課時 用向量法求空間的距離ABCDOS圖2（一）熱點考點題型探析題型1：異面

12、直線間的距離例1、如圖2，正四棱錐的高，底邊長。求異面直線和之間的距離？題型2：點面距離例2、如圖，已知為邊長是的正方形，分別是，的中點，垂直于所在的平面，且，求點到平面的距離。BACD題型6：線面距離例3、已知正三棱柱的底面邊長為8，對角線，D是AC的中點。（1）求點到直線AC的距離。（2）求直線到平面的距離。例4、如圖，已知邊長為的正三角形中， 、分別為和的中點，面，且，設(shè)平面過且與平行。 求與平面間的距離？（二）、強化鞏固訓(xùn)練長方體ABCD中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點，求：（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直

13、線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。立體幾何空間向量知識點總結(jié)知識網(wǎng)絡(luò)：【典型例題】 例1. 已知P是平面四邊形ABCD所在平面外一點，連結(jié)PA、PB、PC、PD，點E、F、G、H分別為PAB、PBC、PCD、PDA的重心。求證：E、F、G、H四點共面。 例2. 如圖所示，在平行六面體中，P是CA'的中點，M是CD'的中點，N是C'D'的中點，點Q是CA'上的點，且CQ：QA'=4：1，用基底表示以下向量：（1）；（2）；（3）；（4）。 例3. 已知空間四邊形OABC中，AOB=BOC=AOC，且OA=OB=OC。M、N分別是OA、BC

14、的中點，G是MN的中點。求證：OGBC。 例4. 已知空間三點A（0，2，3），B（2，1，6），C（1，1，5）。（1）求以為鄰邊的平行四邊形面積；（2）若，且垂直，求向量的坐標(biāo)。解：（1）由題中條件可知以為鄰邊的平行四邊形面積：（2）設(shè)由題意得解得第二講 直線的方向向量、平面的法向量及其應(yīng)用一、直線的方向向量及其應(yīng)用 1、直線的方向向量 直線的方向向量就是指和這條直線所對應(yīng)向量平行（或共線）的向量，顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個 2、直線方向向量的應(yīng)用 利用直線的方向向量，可以確定空間中的直線和平面（1）若有直線l, 點A是直線l上一點，向量是l的方向向量，在直線l上取，則對于直線l上

15、任意一點P，一定存在實數(shù)t，使得，這樣，點A和向量不僅可以確定l的位置，還可具體表示出l上的任意點（2）空間中平面的位置可以由上兩條相交直線確定，若設(shè)這兩條直線交于點O,它們的方向向量分別是和，P為平面上任意一點，由平面向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使得，這樣，點O與方向向量、不僅可以確定平面的位置，還可以具體表示出上的任意點二、平面的法向量1、所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有無數(shù)個，它們是共線向量2、在空間中，給定一個點A和一個向量，那么以向量為法向量且經(jīng)過點A的平面是唯一確定的三、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關(guān)系中的

16、應(yīng)用1、若兩直線l1、l2的方向向量分別是、，則有l(wèi)1/ l2/，l1l22、若兩平面、的法向量分別是、，則有/， 若直線l的方向向量是，平面的法向量是，則有l(wèi)/，l/四、平面法向量的求法 若要求出一個平面的法向量的坐標(biāo)，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：1、設(shè)出平面的法向量為2、找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)3、根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組4、解方程組，取其中一個解，即得法向量五、用向量方法證明空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系（一）用向量方法證明空間中的平行關(guān)系 空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行 1、線線平行 設(shè)直線l1、

17、l2的方向向量分別是、，則要證明l1/ l2，只需證明/，即2、線面平行 （1）設(shè)直線l的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明，即. （2）根據(jù)線面平行的判定定理：“如果直線（平面外）與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行”，要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可（3）根據(jù)共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，那么這個向量與這兩個不共線向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可3、面面平行（1）由面面平行的判定定理，要證明

18、面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可（2）若能求出平面、的法向量、，則要證明/，只需證明/ （二）用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系 空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直1、線線垂直 設(shè)直線l1、l2的方向向量分別是、，則要證明l1 l2，只需證明，即 2、線面垂直（1）設(shè)直線l的方向向量是，平面的法向量是，則要證l，只需證明/ （2）根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直3、面面垂直（1）根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直（2）證明兩個平面的法向量互相垂直六、用向量方法求空間的角（一）兩條異面直線所成的角1、定義：設(shè)a、b是

19、兩條異面直線，過空間任一點O作直線，則與所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角2、范圍：兩異面直線所成角的取值范圍是3、向量求法：設(shè)直線a、b的方向向量為、，其夾角為，則有4、注意：兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但兩者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角（二）直線與平面所成的角1、定義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角2、范圍：直線和平面所成角的取值范圍是3、向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則有（三）二面角1、二面角的取值范圍：2、二面角的向量求法（1）若A

20、B、CD分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角（如圖（a）所示）（2）設(shè)、是二面角的兩個角、的法向量，則向量與的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大?。ㄈ鐖D（b）所示）七、用向量的方法求空間的距離（一）點面距離的求法如圖（a）所示，BO平面，垂足為O，則點B到平面的距離就是線段BO的長度若AB是平面的任一條斜線段，則在RtBOA中，cosABO=。如果令平面的法向量為，考慮到法向量的方向，可以得到B點到平面的距離為。 因此要求一個點到平面的距離，可以分以下幾步完成： 1、求出該平面的一個法向量 2、找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量 3、求出法向

21、量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離 由于可以視為平面的單位法向量，所以點到平面的距離實質(zhì)就是平面的單位法向量與從該點出發(fā)的斜線段向量的數(shù)量積的絕對值，即另外，等積法也是點到面距離的常用求法（二）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離用求點面距的方法進行求解。（三）兩異面直線距離的求法如圖（b）所示，設(shè)l1、l2是兩條異面直線，是l1與l2的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是l1、l2上的任意兩點，則l1與l2的距離是?！镜湫屠}】 例1. 設(shè)分別是直線l1、l2的方向向量，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1與l2的位置關(guān)系。（1）=（2，3，1），=（6，9，3）；（2）=

22、（5，0，2），=（0，4，0）；（3）=（2，1，4），=（6，3，3）解：（1），=（6，9，3），l1/l2（2）=（5，0，2），=（0，4，0），l1l2（3）（2，1，4，），=（6，3，3）不共線，也不垂直l1與l2的位置關(guān)系是相交或異面 例2. 設(shè)分別是平面、的法向量，根據(jù)下列條件判斷、的位置關(guān)系：（1）=（1，1，2），=（3，2，）；（2）=（0，3，0），=（0，5，0）；（3）=（2，3，4），=（4，2，1）。解：（1）=（1，1，2），=（3，2，） （2）=（0，3，0），=（0，5，0）（3）=（2，3，4），=（4，2，1）既不共線、也不垂直，與相交點評：應(yīng)熟

23、練掌握利用向量共線、垂直的條件。 例3. 已知點A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一個單位法向量。解：由于A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），=（3，4，0），=（3，0，5）設(shè)平面ABC的法向量為（x，y，z）則有即取z=1，得，于是=（），又平面的單位法向量是例4. 若直線l的方向向量是=（1，2，2），平面的法向量是=（1，3，0），試求直線l與平面所成角的余弦值。分析：如圖所示，直線l與平面所成的角就是直線l與它在平面內(nèi)的射影所成的角，即ABO，而在RtABO中，ABO=BAO，又BAO可以看作是直線l與平面的垂線所成的銳角，這樣BA

24、O就與直線l的方向向量a與平面的法向量n的夾角建立了聯(lián)系，故可借助向量的運算求出BAO，從而求出ABO，得到直線與平面所成的角。解：=（1，2，2，），=（1，3，0），若設(shè)直線l與平面所成的角是則有因此，即直線l與平面所成角的余弦值等于。例5. 如圖（a）所示，在正方體中，M、N分別是、的中點。求證：（1）MN/平面；（2）平面。（1）證法一：如圖（b）所示，以D為原點，DA、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則可求得M（0，1，），N（，1，1，），D（0，0，0），（1，0，1），B（1，1，0），于是=（，0，）。設(shè)平面的法向量是（x，y，z）

25、則，得取x=1，得，=（1，1，1）又=（，0，）·（1，1，1）=0，MN/平面證法二：，證法三： 即線性表示，故是共面向量/平面A1BD，即MN/平面A1BD。（2）證明：由（1）求得平面的法向量為=（1，1，1）同理可求平面B1D1C的法向量=（1，1，1）平面A1BD/平面B1D1C 例6. 如圖，在正方體中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點。求證：A1O平面GBD。證明：設(shè)，則而 同理，又，面GBD。例7. （2004年天津）如圖（a）所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點。（1）證明：PA/平面EDB；（2

26、）求EB與底面ABCD所成角的正切值。（1）證明：如圖（b）所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點設(shè)DC=a，連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG依題意得A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，）底面ABCD是正方形G是此正方形的中心故點G的坐標(biāo)為（，0）=（a，0，a），=（，0，），這表明PA/EG而EG平面EDB，且PA平面EDBPA/平面EDB（2）解：依題意得B（a，a，0），C（0，a，0）如圖（b）取DC的中點F（0，0），連結(jié)EF、BF=（0，0， ），=（a，0），=（0，a，0），F(xiàn)EFB，F(xiàn)EDC。tanEBFEB與底面ABCD所成角的正切值為 例8. 正方體中，E、F分

27、別是、的中點，求：（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角CAEF的余弦值的大小。解：不妨設(shè)正方體棱長為2，分別取DA、DC、所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F(xiàn)（1，1，2）（1）由=（1，0，2），=（1，1，2），得，=104=3又，所求值為（2）=（0，1，0）=（1，0，2）·（0，1，0）=0AEEF，過C作CMAE于M則二面角CAEF的大小等于M在AE上，則=（m，0，2m），=（2，2，0）（m，0，2m）=（m2，2，2m）MCAE=（m2，2，2m）·（1，0，2）=

28、0，=（0，1，0）·（，2，）=020=2又二面角CAEF的余弦值的大小為 例9. 已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，H是EF與AC的交點，CG面ABCD，且CG=2。求BD到面EFG的距離。分析：因BD/平面EFG，故O到面EFG與BD到面EFG距離相等，證明OM垂直于面EFG即可。解：如圖所示，分別以CD、CB、CG所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。易證BD/面EFG，設(shè)=O，EF面CGH，O到面EFG的距離等于BD到面EFG的距離，過O作OMHG于M，易證OM面EFG，可知OM為所求距離。另易知H（3，3，0），G（0，0，2），O（2，2，

29、0）。設(shè)，=（3，3，2）則又，即BD到平面EFG的距離等于【勵志故事】習(xí)慣父子倆住山上，每天都要趕牛車下山賣柴。老父較有經(jīng)驗，坐鎮(zhèn)駕車，山路崎嶇，彎道特多，兒子眼神較好，總是在要轉(zhuǎn)彎時提醒道：“爹，轉(zhuǎn)彎啦！” 有一次父親因病沒有下山，兒子一人駕車。到了彎道，牛怎么也不肯轉(zhuǎn)彎，兒子用盡各種方法，下車又推又拉，用青草誘之，牛一動不動。到底是怎么回事？兒子百思不得其解。最后只有一個辦法了，他左右看看無人，貼近牛的耳朵大聲叫道：“爹，轉(zhuǎn)彎啦！”牛應(yīng)聲而動。牛用條件反射的方式活著，而人則以習(xí)慣生活。一個成功的人曉得如何培養(yǎng)好的習(xí)慣來代替壞的習(xí)慣，當(dāng)好的習(xí)慣積累多了，自然會有一個好的人生?？臻g向量與立體

30、幾何知識要點。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）。 ;運算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。當(dāng)我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。（2）共線向量定理：空間任意兩個向量、（）

31、，/存在實數(shù)，使。4. 共面向量 （1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實數(shù)使。5. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系： （1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向

32、量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)。（2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示。（3）空間向量的直角坐標(biāo)運算律：若，則， ， 。若，則。一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。（4）模長公式：若，則，（5）夾角公式：。（6）兩點間的距離公式：若，則，或 7. 空間向量的數(shù)量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。（2）向量的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。（3）向量的

33、數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：。（5）空間向量數(shù)量積運算律：。（交換律）。（分配律）。【典型例題】例1. 已知平行六面體ABCD，化簡下列向量表達式，標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。； ； ； 。例2. 對空間任一點和不共線的三點，問滿足向量式： （其中）的四點是否共面？ 例3. 已知空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點，點在線段上，且，用基底向量表示向量。例4. 如圖，在空間四邊形中，求與的夾角的余弦值。說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如易錯寫成，切記！例5. 長方體中，為與的交點，為與的交點，又，求長方體的高?！灸M試題】1. 已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是

34、的中點，化簡下列各表達式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：（1）； （2）； （3）。2. 已知平行四邊形ABCD，從平面外一點引向量。（1）求證：四點共面；（2）平面平面。3. 如圖正方體中，求與所成角的余弦。4. 已知空間三點A（0，2，3），B（2，1，6），C（1，1，5）。求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；若向量分別與向量垂直，且|，求向量的坐標(biāo)。5. 已知平行六面體中，求的長。 參考答案1. 解：如圖， （1）；（2）。；（3）。2. 解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，共面；（2）解：，又，。所以，平面平面。3. 解：不妨設(shè)正方體棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，。 。4. 分析：B

35、AC60°，設(shè)（x，y，z），則解得xyz1或xyz1，（1，1，1）或（1，1，1）。5. 解： 所以，。專題四：立體幾何第三講 空間向量與立體幾何【最新考綱透析】1空間向量及其運算（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示。（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示。（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。2空間向量的應(yīng)用（1）理解直線的方向向量與平面的法向量。（2）能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關(guān)系。（3）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括

36、三垂線定理）。（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用?！竞诵囊c突破】要點考向1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系考情聚焦：1平行與垂直是空間關(guān)系中最重要的位置關(guān)系，也是每年的必考內(nèi)容，利用空間向量判斷空間位置關(guān)系更是近幾年高考題的新亮點。2題型靈活多樣，難度為中檔題，且?？汲Ｐ?。考向鏈接：1空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)?？疾榈囊粋€重要內(nèi)容，一方面考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個方面考查“向量法”的應(yīng)用。2空間中線面的平行與垂直的證明有兩個思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量來論

37、證。例1：（2010·安徽高考理科·18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，為的中點。 (1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的大小?！久}立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。 【思路點撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明?！疽?guī)范解答】AEFBCDHGXYZ(1)(2)(3) 【方法技巧】1、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行；2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化

38、到一個合適的三角形中進行求解。4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題進行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用。要點考向2：利用空間向量求線線角、線面角考情聚焦：1線線角、線面角是高考命題的重點內(nèi)容，幾乎每年都考。2在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題。考向鏈接：1利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公式為:（1）異面直線所成角設(shè)分別為異面直線的方向向量，則（2）線面角設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則2運用空間向量坐標(biāo)運算求空間角的一般步驟為：（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。（2）求出相關(guān)點

39、的坐標(biāo)。（3）寫出向量坐標(biāo)。（4）結(jié)合公式進行論證、計算。（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。例2：（2010·遼寧高考理科·19）已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.（）證明：CMSN；（）求SN與平面CMN所成角的大小.【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。【思路點撥】建系，寫出有關(guān)點坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，計算的數(shù)量積，寫出答案；求平面CMN的法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案?！疽?guī)范解答】設(shè)PA

40、1，以A為原點，射線AB、AC、AP分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖。則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, )，N(,0,0)，S(1,0)（I）【方法技巧】（1）空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。 （2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決。 （3）線面角的范圍是0°90°，因此直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦是非負的，要取絕對值。要點考向3：利用空間向量求二面角考情聚焦：1二面角是高考命題的重點內(nèi)容，是年年必考的知識點。2常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題。考向鏈接：求二面角最常用

41、的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。其計算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補或相等， 例3：（2010·天津高考理科·9）如圖，在長方體中，、分別是棱,上的點，,求異面直線與所成角的余弦值；證明平面求二面角的正弦值。【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力?！舅悸伏c撥】建立空間直角坐標(biāo)系或常規(guī)方法處理問題。【規(guī)范解答】方法一：以A為坐標(biāo)原點，AB所在

42、直線為X軸，AD所在直線為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè),依題意得,易得,，于是，所以異面直線與所成角的余弦值為。證明：已知,于是·=0，·=0.因此，,又所以平面(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為要點考向4：利用空間向量解決探索性問題考情聚焦：立體幾何中已知結(jié)論尋求結(jié)論成立的條件（或是否存在問題），能較好地考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力，是今后考查的重點，也能很好地體現(xiàn)新課標(biāo)高考的特點。例4：（2010·福建高考理科·18）如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個三棱柱AB

43、C-A1B1C1,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑。（I）證明：平面A1ACC1平面B1BCC1；（II）設(shè)ABAA1,在圓柱OO1內(nèi)隨機選取一點，記該點取自三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為p。（i）當(dāng)點C在圓周上運動時，求p的最大值；（ii）記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為（）。當(dāng)p取最大值時，求cos的值?！久}立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想?！舅悸伏c撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再

44、由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長方體的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計算出幾何概率。立體幾何中我們可以利用向量處理角度問題，立體幾何中涉及的角：有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關(guān)于角的計算，均可歸結(jié)為兩個向量的夾角。對于空間向量，有，利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中的角的問題。【規(guī)范解答】 （I）平面，平面，又是的直徑，又，平面，而平面，所以平面平面；（II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時取得最大值。又因為點在圓周上運動，所以當(dāng)時，的面積最大，進而，三棱柱ABC-

45、A1B1C1,的體積最大，且其最大值為，故的最大值為； （ii）由（i）知，取最大值時，于是，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面，是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，由于，所以平面的一個法向量為，。【方法技巧】立體幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的（II）（i）也可以采用向量法進行證明：以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)圓柱的底面半徑為， ，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時取得最大值。，所以當(dāng)時的的面積最大，進而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；【高考真題探究】 1. （2010&#

46、183;廣東高考理科·0）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),滿足條件=-2,則= .【命題立意】本題考察空間向量的坐標(biāo)運算及向量的數(shù)量積運算.【思路點撥】 先算出、，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出【規(guī)范解答】，由得，即，解得【答案】22. （2010·浙江高考理科·20）如圖， 在矩形中，點分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）點分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長。 【命題立意】本題主要考察空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間向量的應(yīng)用，同時考查空間想象能力和

47、運算求解能力。 【思路點撥】方法一利用相應(yīng)的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題；方法二利用幾何法解決求二面角問題和翻折問題。 【規(guī)范解答】方法一：（）取線段EF的中點H，連結(jié)，因為=及H是EF的中點，所以,又因為平面平面.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則（2，2，），C（10，8，0），F(xiàn)（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個法向量，所以。取，則。又平面的一個法向量，故。所以二面角的余弦值為（）設(shè)，則， 因為翻折后，與重合，所以， 故， ，得， 所以。3. （2010·陜西高考理科·8）

48、如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F(xiàn)分別是AD,PC的中點.（）證明：PC平面BEF；（）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直、以及二面角的求解問題，考查了同學(xué)們的空間想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧?！舅悸伏c撥】思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；思路二：利用幾何法求解.【規(guī)范解答】解法一 （）如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.AP=AB=2， BC=，四邊形ABCD是矩形.A，B，C，

49、D的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0，0)，P(0,0,2)又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，E(0，0),F(1，1).=（2，-2）=（-1，1）=（1,0,1），·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，PCBF,PCEF, ,PC平面BEF（II）由（I）知平面BEF的法向量平面BAP 的法向量 設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為，則， 平面BEF與平面BAP的夾角為4. （2010·重慶高考文科·20）如題圖，四棱錐中，底面為矩形，點是棱的中點. （I）證明：；（II）若，求二面角的平面角的余弦值.【命題立意】本小

50、題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查余弦定理及其應(yīng)用，考查空間向量的基礎(chǔ)知識和在立體幾何中的應(yīng)用，考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.【思路點撥】（1）通過證明線線垂直證明結(jié)論：線面垂直，（II）作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)、余弦定理等知識求余弦值.或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算證明垂直和求出有關(guān)角的三角函數(shù)值.【規(guī)范解答】（I）以為坐標(biāo)原點，射線分別為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示.設(shè)設(shè)，則，。于是，則，所以，故.（II）設(shè)平面BEC的法向量為，由（）知，故可取.設(shè)平面DEC的法向量，則，由，得D，G，從而，故，所以，可取，則，從而.【方法技巧】（1）用幾何法推理證明、計算求解；（2）空間向量坐標(biāo)法，通過向量的坐標(biāo)運算解題.5. （2010·江西高考文科·）如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直線與平面