競賽講座13平面三角

1、競賽講座13平面三角三角函數(shù)與反三角函數(shù)，是五種基本初等函數(shù)中的兩種，在現(xiàn)代科學(xué)的很多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用同時它也是高考、數(shù)學(xué)競賽中的必考內(nèi)容之一一、三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 三角函數(shù)的性質(zhì)大體包括：定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值等這里以單調(diào)性為最難它們在平面幾何、立體幾何、解析幾何、復(fù)數(shù)等分支中均有廣泛的應(yīng)用【例1】求函數(shù)y=2sin(-2x)的單調(diào)增區(qū)間。解：y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。由2k-2x+2k+，kZ，得k-xk-，kZ。即原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：k-，k-（kZ）?！纠?】 若（0，），比較sin(cos)，cos(sin)，cos這三者之間的大小。解

2、：在（0，）中，sinx<x<tgx，而0<cosx<1<，sin(cos)< cos。在（0，）中，y=cosx單調(diào)遞減，cos< cos(sin)。sin(cos)< cos< cos(sin)。【例3】 已知x,y-，aR，且。求cos(x+2y)的值。解：原方程組化為。x,-2y-，函數(shù)f(t)=t3+sint在-，上單調(diào)遞增，且f(x)=f(-2y)x=2y，cos(x+2y)=1?！纠?】求證：在區(qū)間（0，）內(nèi)存在唯一的兩個數(shù)c、d(cd)，使得 sin（cosc） c， cos（sind） d證明：考慮函數(shù)f（x）cos（si

3、nx）x，在區(qū)間0，內(nèi)是單調(diào)遞減的，并且連續(xù)，由于f（0）cos（sin0）0=1>0，f（）cos（sin）= cos 1<0，存在唯一的d（0，），使f（d）0，即cos（sind） d對上式兩邊取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind）=sin d，sin（cosc）=c。顯然c（0，）。且由y=sinx在（0，）上的單調(diào)性和d的唯一性，知c也唯一。故存在唯一的cd，使命題成立。【例5】、（0，），且ctg=，sin(ctg)=，ctg(sin)=。比較、的大小。解：、（0，），ctg>0，0< sin<<。=sin(ctg)< ct

4、g，=ctg(sin)> ctg。作出函數(shù)y=ctgx在（0，）上的圖象，可看出：<<?！纠?】 nN，n2，求證：cos·cos· ··· ·cos>。證明：0<<<···<<<1，0<sin<，cos2=1-sin2>1-=，k=2，3，n。(cos·cos· ··· ·cos)2>(·)·(·)·(·)

5、83;··(·)=·>>()2，cos·cos· ··· ·cos>。二、三角恒等變換眾多的三角公式，構(gòu)成了豐富多彩的三角學(xué)。要靈活地進(jìn)行三角恒等變換，除熟練地掌握三角公式以及一般的代數(shù)變形技巧外，更重要的是抓住三角式的結(jié)構(gòu)特征，從角和函數(shù)名入手，深入分析，靈活解題?！纠?】（1）已知cos= -，sin(+)= ，且0<<<<，求sin的值。（2）已知sin(-)= ，求的值。提示：（1）sin=。（2）sin2=1-2 sin2(-)=；=。【說明】

6、三角變換重在角的變換?！纠?】求coscoscoscos的值。解法1：利用公式coscos2cos4···cos2n=，得coscoscoscos= -，coscoscoscos=。又coscos=，cos=，coscoscoscos=××=。解法2：coscoscoscos=··· ··· ·=。解法3：利用公式coscos(+)cos(-)= cos3，取=、?！纠?】求cos420°+cos440°+cos480°的值。解：由倍角公式得co

7、s4=()2= (1+2cos2+cos22)= +cos2+cos4，cos420°+cos440°+cos480°= ×3+(cos40°+ cos80°+ cos160°)+(cos80°+ cos160°+ cos320°)= +(cos40°+ cos80°+ cos160°)= +(2cos60° cos20°- cos20°)= ?！纠?】若sin+cos=，cos+sin=，求sincos的值。解：令=-，則(1)

8、47;(2)得tg=， cos(+)=，sincos=sinsin= - cos(+)+ cos(-) = -?！纠?】已知f(x)=sin(x+)+cos(x-)是偶函數(shù)，0<<，求。解法一：由偶函數(shù)的定義，可得(cos+sin)sinx=0對任意xR成立。cos+sin=0，2 sin(+)=0，+=k，而0<<，=。解法二：由f(-)=f()，得=，然后驗證f(x)是偶函數(shù)?！纠?】方程sinx+cosx+a=0在（0，2）內(nèi)有相異兩根、，求實數(shù)a的取值范圍，以及+的值。解：sinx+cosx+a=0，sin (x+)= -。令t= x+，則t(，)，sint=

9、-。作出函數(shù)y= sint，t(,)的圖象：由圖象可以看出：當(dāng)-1< -<1且-即-2<a<-或-<a<2時，sint= -有相異兩根t1、t2，原方程有相異兩根、，并且當(dāng)-2<a<-時，t1+t2=(+)+(+)=，+=；當(dāng)-<a<2時，t1+t2=(+)+(+)=3，+=?！纠?】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。解：由已知得，(1)2+(2)2得cos(x-y)= -，同理，cos(y-z)= -，cos(z-x)= -。x，y，z中任意兩角的終邊夾角為，不妨設(shè)x=y+2m,mZ，y=z+2n,nZ，x= z+2(m+n)，x+y+z= 3z+2(m+2n+1)，s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz= tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz= tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz= tg3z+ tgz tg(+z)tg(-z)=0?！菊f明】如能熟練