初一暑假小班北師舊版(7)—平面幾何

1、方信教育 方信教育小班教學教案 Lanzhou Fangxin Century Education Technology Ltd.小班教學輔導(dǎo)教案年級：初一 學科：數(shù)學 任課教師：李兆桓 授課時間：2011年8月1日(星期一)姓名性別學?？傉n時13第7課教學課題線段、射線、直線、角，直線的平行與垂直，尺規(guī)作圖教學目標知識點：線段、射線、直線、角、余角與補角，直線的平行與垂直，直線平行的判定與性質(zhì)，尺規(guī)作圖考點：線段、射線、直線、角；平行、垂直；余角與補角；直線平行的判定與性質(zhì)；尺規(guī)作圖能力：掌握直線、射線、線段的概念及關(guān)系，掌握角的表示及度量以及角平分線，余角與補角概念與性質(zhì)，掌握平行線的判定

2、定理與性質(zhì)定理，掌握尺規(guī)作圖的基本作圖及一般步驟方法：知識點歸納，習題講解難點重點重點：線段、射線、直線、角、余角與補角，直線的平行與垂直，直線平行的判定與性質(zhì)，尺規(guī)作圖難點：線段、射線、直線，角、余角與補角，直線平行的判定與性質(zhì)，尺規(guī)作圖的方法與技巧課前檢查作業(yè)完成情況：優(yōu) 良 中 差 建議_一、線段、直線、射線1. 線段：直線上不同的兩點和這兩點之間的部分叫做線段，這兩個點叫做線段的端點。線段可以用表示兩個端點的大寫字母來表示，如，可以表示為線段AB，其中A，B是線段的兩個端點；也可以用一個小寫字母來表示，如線段；線段的性質(zhì)：兩點之間，線段最短；這是說平面內(nèi)任意兩個點之間的所有連線中，線段

3、最短。兩點之間線段的長度，叫做兩點之間的距離。如果線段上有一點把一條線段分成兩條相等的線段，那么該點叫做線段的中點。如圖：，線段AB上一點M，如果有AMBM，則點M為線段AB的中點。此時有AMBMAB。這里的相等是指線段的長度間的等量關(guān)系。例1.已知如圖（1），點A，B在直線的兩側(cè)，在直線上求一點P，使得PA+PB最小 圖（1） 圖（2）解析：根據(jù)兩點之間，直線段最短的定理，要求一點P使PAPB最小，連接A、B兩點與直線的交點就是所求點P如圖（2）。例2. 如圖，線段AB上的點數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段AB上有三個點時，線段總共有3條，如果線段AB上有4個點時，線段總數(shù)有6條，如果線段

4、AB上有5個點時，線段總數(shù)共有10條， （1）當線段AB上有6個點時，線段總數(shù)共有多少條？（2）當線段AB上有n個點時，線段總數(shù)共有多少條？解析：當線段上的3個點時，共有3條線段：3；當有4個點時，共有6條線段：6，當有5個點時，共有10條線段：10如此可推出當線段上有n個點時，共有條線段。解：（1）當線段上有6個點時，線段總數(shù)為：15； （2）當線段上有n個點時，線段總數(shù)為：。舉一反三：1. 如圖，AB8cm，CB5cm，D是AC的中點，求DC的長。2.如圖，直線m的同側(cè)有兩點A、B，在直線上找一點C，使ACBC最短。3. 往返于A、B兩地的客車，中途必須?？緾、D、E三個站點，根據(jù)你所學的

5、知識回答：（1）需要制定多少種不同的票價？ （2）需要設(shè)計多少種不同的車票？ 2. 射線：直線上一點和它一旁的部分叫做射線。射線有一個端點，只向不是端點的那一方向無限延伸。射線可以用表示射線的端點和射線上不同于端點的任意一點的大寫字母來表示，如：，可以表示為射線AB，其中A是射線的端點，B是表示射線上不同于端點的任意一點的大寫字母；也可以用一個小寫字母來表示，如射線；射線是直線的一部分，把射線反向延長后就得到一條直線，直線上一點把這條直線分成兩條射線。3. 直線：將線段向兩個方向無限延長就形成了直線；直線沒有端點、可以向兩端無限延伸、是不可測量長度的。直線可以用直線上任意表示不同兩點的大寫字母

6、來表示，如：，可以表示為直線AB，其中A，B是表示直線上表示不同的兩點的字母；也可以用一個小寫字母來表示，如直線；直線的性質(zhì)：過兩點有且只有一條直線，也就是說兩點確定一條直線。小結(jié)：直線沒有端點，可以向兩端無限延伸，不能測量長度，也不能比較大小；射線有一個端點，可以向一方無限延伸，也不能測量長度，不能比較大小；線段有兩個端點，有長度，可以測量也可以比較大小。例3.如圖，A、B、C、D是不在同一條直線上的四個點，過每兩個點畫一條直線，一共可以畫出多少條直線？ 解析：過A點可以畫出三條通過其他三點的直線，過B點也可以畫出三條通過其他三點的直線，過C點也可以畫出三條通過其他三點的直線，過D點也可以畫

7、出三條通過其他三點的直線。這樣，一共得到3×412條直線，但其中每條直線都重復(fù)過一次，所以再除以2，因此，圖中一共有6條直線。解：如圖，一共有6條直線。舉一反三：1.關(guān)于直線，射線，線段的描述正確的是（ ）A. 直線最長，線段最短 B. 直線沒有端點，射線有一個端點，線段有兩個端點C. 射線是直線長度的一半 D. 直線、射線及線段的長度都不確定。2. 如圖，下列說法中正確說法的個數(shù)是（ ）直線AB和直線BA是同一條直線 射線AB與射線BA是同一條射線線段AB和線段BA是同一條線段 圖中有兩條射線A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.過兩點有且只有一條直線，過三點最多有三條直線，

8、過四點最多有6條直線，那么：（1）過5點最多有多少條直線？ （2）過6點最多有多少條直線？（3）探索過n點最多有多少條直線？二、角、余角與補角1.角：同一平面內(nèi)，有公共端點的兩條不重合的射線組成的圖形叫做角。這個公共頂點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。角的定義也可以定義為：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。角有兩個要素：有公共端點的兩條射線，也就是組成角的兩邊；角的頂點，也就是兩條射線的公共端點。2. 角的表示：角可以用三個大寫的字母來表示，如AOB，其中O是角的頂點，A，B是角的兩邊上的任一點，表示的時候要將頂點的字母寫在中間；也可以用一個大寫字母來表示，如A，用

9、這種方法表示的時候，一定要注意角的頂點處只有一個角，如果有多個角，就不能用這種方法表示，否則容易引起混淆；也可以用一個數(shù)字或希臘字母來表示，如1，2，等。3. 角的分類：按角大小可以分為：銳角：大于0°小于90°的角；直角：等于90°的角；鈍角：大于90°小于180°的角。平角：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)，當終止位置和起始位置在同一條直線上時，所成的角叫平角。周角：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)，當終止位置又回到起始位置，也就是重合時，所成的角叫周角。平角是180°，周角是360°.4. 角的度量：角可以用量角器來度量，度量單位是：

10、度（°）、分（）、秒（）；度量單位之間的換算關(guān)系是：1°=60，1=60（即1度等于60分，1分等于60秒）.1直角=90°，一平角=180°，一周角=360°.5. 角平分線：在同一平面內(nèi)，如果從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。例4. 如圖，已知：AOE=100°，BOF=80°， OE平分BOC，OF平分AOC，求EOF的度數(shù)。 解析：本題已知AOE和BOF，又OE平分BOC，OF平分AOC，所以可以利用轉(zhuǎn)化的思想，把EOF轉(zhuǎn)化成COE+COF，再利用條件去求。解：OF平

11、分AOC，OE平分BOC 設(shè)BOECOE1，COFAOF2 則有：AOE221100° BOF21280° 得：3（12）180° 1260°即EOF1260°。舉一反三：如圖，直線AB與CD相交于點O，OP是BOC的平分線，OEAB，OFCD，AOD=40°求：POB，EOF的度數(shù)6.余角與補角余角：如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角。其中一個角是另一個角的余角。如：A+B=90°,則A與B互為余角，其中A是B的余角，同樣，B是A的余角。補角：如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補角

12、。其中一個角是另一個叫的補角。如：A+B=180°，則A與B互為補角，其中A是B的補角，同樣B是A的補角。如果給定一個銳角，它的余角就是（90°），它的補角就是（180°）。7. 余角與補角的性質(zhì)定理余角性質(zhì)：同角的余角相等。如A+B=90°,A+C=90°,則：C=B. 等角的余角相等。如A+B=90°,D+C=90°,A=D則：C=B.補角性質(zhì)：同角的補角相等。如A+B=180°,A+C=180°,則：C=B. 等角的補角相等。如A+B=180°,D+C=180°,A=D則：C=B

13、.例5.一個角的余角與這個角的3倍互補，求這個角的度數(shù)。解：設(shè)這個角為，則它的余角為（90º），則根據(jù)題意得： （90º）3180º 解得：45º。小結(jié)：解決這類問題，一般將未知的角設(shè)出來，再把它的余角與補角表示出來，根據(jù)題意列出方程求解。舉一反三：1.已知一個角的補角等于這個角的余角的4倍，求這個解的度數(shù)。2.一個角的余角比它的補角的還少20º，求這個角。三、相交線與垂線1.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、對頂角如圖三條直線，相交所成的八個角中：同位角：2和6都在截線的同側(cè)，又分別處在兩條被截直線，同側(cè)的位置，像這樣具有這種位置關(guān)系的角稱為同位角。

14、同樣地，1和5，3和7等都是同位角；內(nèi)錯角：3和5在截線的兩側(cè)，又處在兩條被截直線，之間，像這樣具有這種位置關(guān)系的角稱為內(nèi)錯角。同樣地，4和6也是內(nèi)錯角；同旁內(nèi)角：3和6都在截線的同側(cè)，又處在兩條被截直線，之間，像這樣具有這種位置關(guān)系的角稱為同旁內(nèi)角。同樣地，4和5也是同旁內(nèi)角。對頂角：如果一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，那么這兩個角稱為對頂角。3的兩邊的反向延長線分別是1的兩邊，且1與3有公共頂點，則1與3是對頂角，同樣2與4，5與7，6與8也是對頂角。對頂角性質(zhì)：對頂角相等。兩個角成對頂角所滿足的條件：對頂角是同一平面內(nèi)兩條直線相交所成的角；這兩個角有一個共同的頂點；這兩個角

15、的兩邊互為延長線.小結(jié)：準確識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所截也就是說，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線。例6. 如圖，直線a，b，c兩兩相交，123，265°，求4的度數(shù)解析：1與2是對頂角，3與4是對頂角，根據(jù)對頂角的性質(zhì)：對頂角相等解決本題。解：舉一反三：直線AB，CD，EF相交于點O，且AOD=100°，1=30°，求2的度數(shù)2.垂線兩條直線相交所成的4個角中有一個是直角，就說這兩條直線互相垂直，它們的交點叫做垂足.垂直關(guān)系用符號“”表示。垂直是相交的一種特殊情況，兩條直線的垂直是相互的，如中，是

16、的垂線，同時也是的垂線。在同一平面內(nèi)，過直線外一點做這條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段，垂線段的長度就是該點到這條直線的距離。垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，這一點可以在直線上，也可以在直線外；直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短。例7. 如圖，CDAB，垂足為C，1=130°，求2的度數(shù)解：1130°3=180°130°50°CDABBCD90°290°390°50°40°。例8. 如圖所示，已知OAOC于點O，AOB=COD，試判斷OB和OD

17、的位置關(guān)系并說明理由證明：OAOC AOC90º 即AOBBOC90º 又AOBCOD CODBOC90º 即BOD90º OBOD。例9. 如圖，ACBC，AC=9，BC=12，AB=15（1）試說出點A到直線BC的距離；點B到直線AC的距離；（2）點C到直線AB的距離是多少？ 解析：考查點到直線的距離的定義，利用三角形面積公式求出點C到直線AB的距離。解：（1）ACBC，AC9，BC12 點A到直線BC的距離為AC9 點B到直線AC的距離為BC12. （2）設(shè)點C到直線AB的距離為h，則： ABC的面積BC·ACAB·h 15h1

18、2×9 h 點C到直線AB的距離為。舉一反三：1. 如圖，直線AB與CD交于O，EOAB于O，AOD=150°，求COE的度數(shù)2. 如圖，已知OAOB，1與2互補，求證：OCOD3. 如圖，ACBC，AC=3，BC=4，AB=5，求點C到AB的距離是多少？四、平行線1. 平行公理及推論公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，也就是說，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，如若，則.例10. 如圖，如果CDAB，CEAB，那么C，D，E三點是否共線？你能說明理由嗎？解析：利用過直線外一點有且只有一條直線

19、與已知直線平行來證明。證明：CDAB，CEAB，且CD與CE都經(jīng)過點C 過直線AB外一點C有且只有一條直線與直線AB平行 CD與CE在同一條直線上 C，D，E三點共線。舉一反三：如圖，已知OACD，OBCD，那么AOB是平角，為什么？3.直線平行的判定 圖1 圖2 圖3兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；如圖1，直線和被直線所截，1和2是同位角，如果1=2，那么.簡單地說：同位角相等，兩直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行；如圖2，直線和被直線所截，1和2是內(nèi)錯角，如果1=2，那么.簡單地說：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩條直線被第三條直

20、線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行；如圖3，直線和被直線所截，1和2是同旁內(nèi)角，如果1與2互為補角，那么.簡單地說：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；小結(jié)：、是判定直線平行的主要方法，另外還可以根據(jù)平行公理的推論（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）和在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行來判定，熟練掌握這些判定方法，根據(jù)不同的題目，選擇適當?shù)姆椒ㄅ卸ㄖ本€的平行。例11. 如圖，直線EF分別與AB，CD交于點G，H，1250°說明ABCD的理由。證明：1250°（已知）2GHD（對頂角相等） 1GHD（等量代換） ABCD（同位角相等，兩直

21、線平行）例12. 如圖，E、F分別在AB、CD上，1D，2與C互余，ECAF。求證：ABCD證明：ECAF（已知） 1C90º 又2C90º（已知） 12（同角的余角相等） 又1D（已知） 2D（等量代換） ABCD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）例13. 如圖，若CABCED+CDE，求證：ABCD證明：在ECD中 CCDECED180º（三角形內(nèi)角和定理） 又CABCEDCDE（已知） CCAB180º（等量代換） ABCD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）小結(jié)：運用判定定理證明直線平行時，要理清是哪兩條直線是平行直線，哪條直線是截線，然后正確找出“三線八角”中

22、的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是解題的關(guān)鍵。舉一反三：1. 如圖，CE平分ACD，1B，請說明ABCE的理由2. 如圖：AE平分DAC，DAC120°，C=60°，試證明：AEBC。3. 如圖，已知AE、CE分別是BAC、ACD的平分線，且1+2AEC證明：ABCD。4.直線平行的性質(zhì)兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，簡記為：兩直線平行，同位角相等；兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，簡記為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，簡記為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.另外還學習過了平行線的另兩個性質(zhì)：平行線且有傳遞性，即如果兩條直線都和第

23、三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；小結(jié)：平行的判定定理是由確定“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的相等或互補關(guān)系，就可以判定兩直線平等；而性質(zhì)定理是已知兩直線平行這一前提，來確定同位角、內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補的數(shù)量關(guān)系。例14. 如圖，已知AECA+C，試說明：ABCD。分析：過點E作輔助線EFAB，利用平行線的性質(zhì)，可證明AB與CD都平行于EF，從而證得ABCD。證明：如圖，過E作EFAB AAEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 又AECAC（已知） AECAEFC（等量代換） 又AECAEFCEF CCEF CDEF（內(nèi)錯角相等，兩直線

24、平行） ABCD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）例15. 如圖，ABCD，12，34，證明：ADBE證明：ABCD（已知） 415（兩直線平行，同位角相等） 又12（已知） 425（等量代換） 又34（已知） 325（等量代換） 即：3DAC ADBE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）舉一反三：1. 已知ABC中，B70°，CD平分ACB，23，求1的度數(shù)2. 如圖，已知：AF、BD、CE、ABC、DEF均是直線，EQFAPB，CD求證：AF證明：EQFAPB（已知）EQFAQC（對頂角相等）APBAQC（等量代換） _DB_EC（ 同位角相等，兩直線平行） _ABPC （ 兩直線平行

25、，同位角相等）CD（已知） _ABPD（ 等量代換） _DF_AC（ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行）AF （ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等）五、尺規(guī)作圖1.尺規(guī)作線段和角，就是用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作與已知線段相關(guān)或與已知角大小相關(guān)的線段和角。尺規(guī)作圖限定的作圖工具只有沒有刻度的直尺和圓規(guī)。最基本的作圖：（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個角等于已知角；（3）作已知角的角平分線；（4）作線段的垂直平分線2.尺規(guī)作圖的一般步驟：寫出已知：根據(jù)題意，寫出已知的量或量的關(guān)系；寫出求作：寫出要求作的圖形，并表示出與已知量的關(guān)系；比如相等、平分、或者倍數(shù)等關(guān)系。寫出作法：也就是寫出求作圖形的一般過程；證明：寫

26、出證明，證明通過上述步驟所作的圖形就是我們要求的圖形。根據(jù)題目的要求而言，如沒有特別說明，一般不需要寫出證明過程。例16. 作圖：求作一個角，使其等于已知角的倍（要求：寫出已知、求作，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）。解析：寫出已知，求作。已知AOB，先作AOB的角平分線OD，再以O(shè)B為一邊，在AOB外部作BOC，使BOCBOD，則AOC就是所求作的角。已知：AOB，如圖； 求作：AOC，使AOCAOB。例17. 作一個等腰ABC，使底邊長BCa，底邊上的高為h（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出已知，求作，不寫作法和證明）解析：寫出已知，求作。先作底邊長BC，使BCa，再作BC的垂直平分線E

27、F，交BC于D，在DE上截取DAh，連接AB、AC，則ABC為求作的等腰三角形。已知：，；求作：等腰ABC，使底邊BCa,高ADh。例18. 某縣計劃在A、B兩村之間建一座定點醫(yī)療站P，A、B兩村座落在兩相交公路內(nèi)（如圖所示）醫(yī)療站必須滿足下列條件：使其到兩公路距離相等；到張、李兩村的距離也相等請你通過作圖確定P點的位置解析：如圖，醫(yī)療站P即要到兩條公路的距離相等，又要到A、B兩村的距離相等，則P即要在MON的平分線上，又要在線段AB的垂直平分線上，故分別作MON的平分線與線段AB的垂直平分線，兩條直線的交點就是P所在的位置。舉一反三：1.作一三角形ABC，使其兩邊與已知線段a，b相等，夾角與

28、已知角相等（要求：寫出已知、求作，保留作圖痕跡，不寫作法、證明）2. 如圖，MN為河流，A、B分別表示甲、乙兩間工廠，現(xiàn)要在河岸上修建一痤污水處理廠，為使A、B兩廠到污水處理廠的排污管道最短，確定污水處理廠應(yīng)建在河邊的什么位置？（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫出作法、證明）3.如圖，有三個居民小區(qū)A、B、C，現(xiàn)要在這三個小區(qū)內(nèi)部修建一健身中心，使健身中心到這三個小區(qū)的距離相等，試確定健身中心的位置（要求：用尺規(guī)作圖，保留傻痕跡，不寫作法、證明）課后作業(yè)：一、填空1. 線段有_個端點，射線有_個端點，直線_端點；2. 如圖所示，已知ABAC，ACAD，且ABACAD32，則AB_，AC_，AD_； 3. 已知點C是線段AB的中點，AB的長度為10cm，則AC的長度為_cm；4. 已知點A、點B、點C是直線上的三個點，則下圖中有_條線段，有_條射線，有_條直線；5. 如圖，C、D是線段AB上的兩個點，CD8cm，M是AC的中點，N是DB的中點，MN12cm，那么線段AB的長等于_cm；6.如圖1，已知AOC60º，OD平分AOC，那么AOD_，BOC_；7.如圖2，OE平分BOC，OF平分AOC，則AOFBOE_；8.如圖3，已知AOCBOD90°，BOC20°，則AOD_； 圖1 圖2 圖39. 若與互補，且：4:5，那么_，_