傅里葉描述子研究應用docx

1、 傅里葉描述子研究應用姓 名：李羅川學 號：ZY1403222完成時間：2015年 05 月 06 日目錄1傅里葉描述子概述11.1概念與特點11.2現(xiàn)狀與發(fā)展12一維傅里葉描述子33二維傅里葉描述子6參考文獻91 傅里葉描述子概述1.1 概念與特點傅里葉分析的理論始于1822年,當時是由法國數(shù)學家傅里葉(Fourier J)提出的傅里葉級數(shù)的概念。目前,傅里葉理論已經發(fā)展了近二百年,作為一種有力的信號分析處理工具,廣泛應用在各個領域,但在20世紀六十年代初,才被Cosgriff引用到形狀分析領域中來。傅里葉描述子(Fourier Descriptor)是一種基于頻域變換的形狀表示算法。傅里葉

2、描述子是首先將物體輪廓線表示成一個一維的輪廓線函數(shù)，然后對該函數(shù)作傅里葉變換，由傅里葉系數(shù)構成形狀描述子。同一形狀不同的輪廓線函數(shù)，會產生不同的傅里葉描述子，如切角函數(shù)、曲率函數(shù)、中心距離函數(shù)、三角形面積函數(shù)等。FD是目前形狀表示方法中應用最多的描述子之一。通過把形狀在頻域進行表示,可以很好的解決描述子對存在噪聲和邊界變化的敏感度。傅里葉描述子按照基于輪廓和基于區(qū)域的分類方式可以分為兩類:基于輪廓的一維傅里葉描述子(1-D FD)和基于區(qū)域的二維傅進葉描述子(2-D FD)。傅里葉描述子不僅是目前應用最廣泛的描述子,而且是最具有發(fā)展?jié)摿Φ男螤畋硎舅惴ㄖ?。傅里葉描述子作為全局形狀特征的一種描述

3、方式，具有計算簡單，抗噪性強，較高的形狀區(qū)分能力，但不包含局部形狀信息，對形狀的細節(jié)辨識能力較弱。1.2 現(xiàn)狀與發(fā)展傅里葉描述子(Fourier Descriptor)是目前形狀表示方法中應用最多的描述子之一。傅里葉描述子按照基于輪廓和基于區(qū)域的分類方式可以分為兩類:基于輪廓的一維傅里葉描述子(1-D FD)和基于區(qū)域的二維傅進葉描述子(2-D FD)。傳統(tǒng)的一維傅里葉描述子只能處理根據(jù)形狀圖像提取出的閉合曲線,它依賴于邊緣檢測算法對形狀輪廓線的準確提取。Lin和Mitchell等經過研究和變形將1-D FD應用于部分閉合曲線。Arbter等首次提出了具有仿射變換不變性的1-DFDo Gran

4、lund提出了可以描述軸對稱形狀的傅里葉不變量。Eichmann等利用短時傅里葉變換(SFD)來提取傅里葉描述子。同時,Zhang和Lu證明了 SFD描述子在形狀檢索上的性能要優(yōu)于傳統(tǒng)的傅里葉描述子31。這是因為SFD雖然不能提取目標形狀的整體特征,但是它在提取目標物體的局部特征時有很高的準確率。目前,有些研究者們提出了同樣是基于變換域的小波形狀描述子(WaveletDescriptor)。因為小波變換在時域和頻域同時具有多分辨率使得WD存在一定的優(yōu)勢,但是隨著WD在時域上分辨率的增加,頻域上的分辨率肯定會有所降低,并且通常我們都采用少量的低頻系數(shù)來進行形狀表示。更重要的是,WD特征向量之間的

5、相似度比較方法比較復雜,使得WD不適合用于實時的形狀檢索。設L為小波變換的分辨率級數(shù),N為標準化后的形狀邊界像素點個數(shù),則WD形狀匹配時的計算復雜度為。不但WD形狀匹配的復雜度高,而且還依賴于目標物體的輪廓邊界的復雜度。因此,小波傅里葉描述子因為具有難以克服的缺點而難以普遍運用。1-D FD在已經發(fā)展成熟的Fourier的強大理論支持下,使得1-D FD具有很多利用其他特征提取的形狀描述子不能具備的優(yōu)點,如計算簡單、每個傅里葉系數(shù)都有明確的物理意義、容易進行標準化,使得形狀匹配時的計算復雜度很低和能同時提取局部和全局的形狀特征等特點。1-D FD克服了其他簡單的全局描述符都具有的缺點,并且具有

6、很好的抗噪能力和容易進行標準化的特點。目前,1-DFD主要用于進行特征識別和目標分類中。其中累積角函數(shù)和復坐標函數(shù)是兩種最常用也是最經典的提取一維傅里葉描述子的方法。同時,Zhang和Lu經過研究發(fā)現(xiàn)質心函數(shù)同樣也是一種提取1-DFD很好的方法。并且他們也發(fā)現(xiàn),10個傅里葉系數(shù)已經能夠很好的進行形狀表示,這與以前經常采用的60個系數(shù)進行對比,很大程度上降低了計算復雜度。并且同時證明了 1-DFD在檢索準確率性能和魯棒性上的性能都優(yōu)于曲率尺度空間描述子(CSS)。這些研究成果都是我們對一維傅里葉描述子進行研究的理論基礎和實驗依據(jù)。二維傅里葉描述(2-D FD)和Zernike矩方法是兩種非常經典

7、的基于區(qū)域的形狀表示算法。雖然Zemike矩描述子具有很好的魯棒性能,但是它也有一定的缺點。首先,Zemike矩的計算核計算復雜,所有形狀首先要標準化成單位圓后才能提取矩特征。其次,Zemike矩的徑向特征和環(huán)形特征不一致,前者存在于時域,而后者存在于頻域中。并且,在徑向方向,Zemike矩不允許進行形狀的多分辨率分析。第三,Zemike矩的環(huán)形特征在頻域中不能均勻分布,這可能會損失一部分形狀表示中需要用到的重要特征。為了克服這些缺點,Zhang和Lu在2002年提出了二維傅里葉描述子。2-D FD通過在形狀圖像的極坐標光柵中應用二維傅里葉變換得到。與Zemike矩描述子相比較,2-D FD更

8、加容易計算,而且特征向量中的數(shù)值代表是純頻域特征。由于可以同時對形狀的徑向和環(huán)向進行多分辨率分析,所以2-DFD在形狀檢索中有更優(yōu)的性能。對于經過平移,旋轉和尺度變換的形狀,2-D FD都能進行準確的描述,并得到極為相似的特征向量。Zhang和Lu已經證明,2-DFD在形狀表示上的性能優(yōu)于基于輪廓的形狀表示描述子如曲率尺度空間描述子(CSS)、1-DFD和基丁區(qū)域的形狀表示描述子如Zemike矩、幾何矩和基于網格的形狀表示算法等等。2 一維傅里葉描述子經典的l-D傅里葉描述子是將一維傅里葉變換直接應用在形狀圖像的封閉輪廓線上,然后將得到的傅里葉系數(shù)組成的向量直接作為目標形狀的特征由于傅里葉描述

9、子表示的是形狀的頻域特征,所以其具有很好的抗噪能力和對邊界細微變化的不敏感性。一維傅里葉描述子的計算下圖顯示了一個由N個像素點組成的封閉邊界,其中任意一點的坐標為將XY坐標系與復數(shù)坐標系UV平面重合,這樣邊界上的每個點都可以用一個復數(shù),即。以邊界上任意一個點為起點,沿著逆時針方向跟蹤形狀的邊界,就可以得到一個復數(shù)序列,這種復數(shù)坐標的表示方法的優(yōu)點是將一個二維的目標形狀轉變成了一維函數(shù)。對離散序列進行一維離散傅里葉變換(DFT),得到: 傅里葉系數(shù)組成的一維行向量就是傅里葉描述子,可以代表目標形狀邊界所具有的特征。將傅里葉系數(shù)進行DFT反變換,就可以還原表示形狀邊界的復數(shù)序列通常,我們只保留傅里

10、葉系數(shù)的前K個系數(shù)作為傅里葉描述子就可以近似的表示目標形狀,換言之,傅里葉系數(shù)的低頻系數(shù)決定了目標的整體形狀,高頻系數(shù)描述的是形狀的細節(jié)部分但是,傅里葉描述子中存在的主要問題是應該保留多少個傅里葉系數(shù)來表示形狀,或者說特征向量的維數(shù)應該怎樣選取。通常來說,保留的傅里葉系數(shù)越少,描述子的魯棒性越好,但其形狀之間的區(qū)分能力越弱;反之,如果保留的傅里葉描述子越多,則反應形狀細節(jié)部分特征的能力越強,但對噪聲也越敏感。所以,目前沒有一個通用的選擇標準,需要在實驗中根據(jù)具體的應用來進行特征向量維數(shù)的最優(yōu)選擇。一維傅里葉描述子的不變性構造利用傅里葉系數(shù)組成的特征向量并不具有形狀的平移、旋轉和尺度變換不變性。

11、由于邊界的起始點是任意選擇的,所以描述子也需要具備對起始點變化的不變性。當形狀發(fā)生平移變換時,復數(shù)坐標序列在水平和垂直方向上都附加一個位移常量,變?yōu)楦鶕?jù)傅里葉變換的性質,當函數(shù)加上一個常量后,傅里葉變換的結果除直流分量a(0)以外,對其他傅里葉系數(shù)沒有影響,如下式所示,我們可以通過舍棄a(0)項的方法解決。當形狀發(fā)生旋轉變換,旋轉角為時,復數(shù)坐標序列變?yōu)橥瑯痈鶕?jù)傅里葉變換的性質,此時的傅里葉變換結果為如下式所示,因此,旋轉變換只是帶給每一個傅里葉系數(shù)都乘上一個常數(shù)項的影響,所以我們可以通過選取傅里葉系數(shù)的幅度值,忽略其相位值的方法解決。當形狀發(fā)生尺度變換,尺度變換因子為時,復數(shù)坐標序列變?yōu)?。?/p>

12、時DFT變換結果也是將每一個傅里葉系數(shù)都乘以一個因子,如下式所示,我們可以通過將傅里葉系數(shù)的每一項都除以a(l)項,消除尺度因子對傅里葉系數(shù)的影響。當形狀輪廓的起始點移位個像素點時,復數(shù)坐標序列變?yōu)椤４藭rDFT變換結果下式所示。此時傅里葉系數(shù)的變化也可以通過只選取傅里葉系數(shù)的幅度值解決,或者也可以將起始點的變換看作形狀邊界進行了一定角度的旋轉變換。因此,進行平移、旋轉和尺度變換歸一化后的一維傅里葉描述子表示為:其中,K為選取的傅里葉描述子的個數(shù)。傅里葉分析的理論始于1822年,當時是由法國數(shù)學家傅里葉(Fourier J)提出的傅里葉級數(shù)的概念。目前,傅里葉理論已經發(fā)展了近二百年,作為一種有力

13、的信號分析處理工具,廣泛應用在各個領域,但在20世紀六十年代初,才被Cosgriff引用到形狀分析領域中來目前,基于一維傅里葉變換的1-D傅里葉描述子和基于二維傅里葉變換的2-D傅里葉描述子已經成為形狀分析領域的經典算法。3 二維傅里葉描述子123一維傅里葉描述子是基于輪廓的形狀描述子,它只利用形狀圖像邊界上的像素信息,所以1-DFD依賴于邊緣檢測算子對形狀邊界曲線的準確提取,但是由于其算法簡單,計算速度快,適用于形狀比較簡單和對檢索速度要求比較高的情況,但是其平均檢索精度還有待進一步提高。二維傅里葉描述子是基于區(qū)域的形狀描述子,它利用了圖像整個形狀區(qū)域的像素信息,因此應用范圍廣,檢索準確率高

14、并且形狀區(qū)分能力強,但是由于其信息量大,算法復雜,所以對形狀圖像的特征提取比較長_?？梢哉f,1-DFD和2-DFD有各自的優(yōu)缺點,需要根據(jù)具體的應用要求進行選擇。經典的2-D傅里葉描述子如果對一幅離散的形狀圖像直接進行二維離散傅里葉變換,得到:其中U和V分別代表頻域圖像中的第U行和第V列的頻域信息,對形狀圖像應用二維傅里葉變換可以完全不用考慮形狀的邊界信息,但是這樣得到的傅里葉描述子是不具有旋轉不變性的。經典的2-D FD是由Zhang和Lu在2002年提出的,也稱作GFD(GenericFourier Descriptorp,他們首先想到的是將二維DFT變換應用在極坐標系下采樣的圖像中,得到

15、其中, R 和T 分別為徑向頻率和角頻率。然而由于式中的存在于正弦函數(shù)中, 使得的物理意義不再是第m個角頻率,因此提取出的特征向量PF失去了在環(huán)向方向上的物理意義。為了解決這個問題,Zhang和Lu提出了一個修正的極坐標傅里葉變換。即首先將形狀圖像放在極坐標空間中進行重新采樣得到,其中極坐標的原點放置在形狀的質心.上 R是區(qū)域形狀內的半徑。其中:然后將重新放回至二維笛卡爾坐標系中進行表示,得到一幅橫坐標為,縱坐標為r的矩形圖像。對其進行二維DFT變換,得到:其中R和 T 同樣分別為徑向頻率和角度頻率。接下來需要考慮特征向量的平移、旋轉和尺度變換的不變性。首先得到的特征向量FD2是具有平移不變性

16、的,因為在極坐標中是以圖像的質心為坐標原點的。為了得到尺度不變性,我們需要將特征向量中的第一個系數(shù)除以區(qū)域形狀內部的面積,而其他的系數(shù)除以第一個系數(shù)來進行尺度歸一化。旋轉不變性可以通過忽略傅里葉系數(shù)的相位信息,只保留其幅值信息來得到保證。因此,具有平移、旋轉和尺度變換不變性的特征向量FD2為:其中area為區(qū)域形狀內部的面積,m為選取的徑向頻率系數(shù)的個數(shù),n為選取的環(huán)向頻率系數(shù)的個數(shù)。與一維傅葉描述子相同,一般根據(jù)其體情況來選取FD2其中的一部分低頻系數(shù)組成二維傅里葉描述子特征向量。參考文獻1章毓晉等.閣像工程M.北京:潔華大學出版社,2005.2丁險峰,吳洪,張宏江等.形狀匹配綜述J.自動化

17、學報,2001' 27(5): 678-694.3Zhang D S, Lu G Review of shape representation and description techniques J.Pattern Recognition, 2004, 37(1): 1-19.4ConellJ H,Brady M. Learning shape descriptionsC/ Proceedings ofInternational Joint Conference on Artificial Intelligence, 1985: 922-925.5周瑜,劉俊濤,白翔.形狀匹配方法研究與展望J.自動化學報,2012,28(6):879-910.6趙小川.現(xiàn)代數(shù)字圖像處理技術提高及應用案例詳解M,