機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)第四章多自由度系統(tǒng)

1、將具體的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成：多個(gè)以各種方式相連接的離散將具體的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成：多個(gè)以各種方式相連接的離散質(zhì)量、彈性元件和阻尼元件組成的質(zhì)量、彈性元件和阻尼元件組成的離散振動(dòng)系統(tǒng)離散振動(dòng)系統(tǒng)。這種系統(tǒng)稱(chēng)為多自由度振動(dòng)系統(tǒng)。描述它振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)這種系統(tǒng)稱(chēng)為多自由度振動(dòng)系統(tǒng)。描述它振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為微分方程為常微分方程組常微分方程組。 第第4章章 多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng) 23231221222222122121111111)()()()()()(xcxkxxcxxktFxmxxcxxkxcxktFxm )(tFxKxCxM 本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：1) 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的基本理論，多自由度系統(tǒng)的多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的基

2、本理論，多自由度系統(tǒng)的固有固有頻率和振型的理論頻率和振型的理論；2) 分析多自由度系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)常用的分析多自由度系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)常用的振型迭加方法振型迭加方法；3) 用用變換方法變換方法求多自由度系統(tǒng)求多自由度系統(tǒng)動(dòng)力（態(tài)）響應(yīng)動(dòng)力（態(tài)）響應(yīng)的問(wèn)題。的問(wèn)題。 4.1 運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程n個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫(xiě)為個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫(xiě)為)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 一般一般 MCK 不會(huì)同時(shí)為對(duì)角矩陣，方程存在耦合。不會(huì)同時(shí)為對(duì)角矩陣，方程存在耦合。解解耦是在時(shí)域內(nèi)求解方程的重要一環(huán)。耦是在時(shí)域內(nèi)求解方程的重要一環(huán)。 分別叫：分別叫：矩陣矩陣 向量

3、向量在靜力學(xué)中，各自由度的位移在靜力學(xué)中，各自由度的位移x、系統(tǒng)的剛度矩陣、系統(tǒng)的剛度矩陣K、各自由度上所受到的外力關(guān)系為：各自由度上所受到的外力關(guān)系為：剛度矩陣剛度矩陣K的元素的元素kij的意義的意義 ：xKf如系統(tǒng)第如系統(tǒng)第j個(gè)自由度沿其坐標(biāo)正方向有一個(gè)個(gè)自由度沿其坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位位移單位位移，其余其余各個(gè)自由度的位移保持各個(gè)自由度的位移保持為零為零，為保持系統(tǒng)這種變形狀，為保持系統(tǒng)這種變形狀態(tài)態(tài)需要在需要在各個(gè)自由度各個(gè)自由度施加外力施加外力，其中在第其中在第i個(gè)自由度上施個(gè)自由度上施加的外力就是加的外力就是kij。 11121112122222j 1212 0010jjnjjnjj

4、jjjnjjnnnjnnnjfKekkkkkkkkkkkkkkkkkkkk K的定義：外力的定義：外力f正好是剛度矩陣正好是剛度矩陣K的第的第 j 列。列。 系統(tǒng)第系統(tǒng)第j個(gè)自由度有一個(gè)正向單位位移，其余自由度位移個(gè)自由度有一個(gè)正向單位位移，其余自由度位移為零這種變形狀態(tài)可以由向量為零這種變形狀態(tài)可以由向量xej描述。描述。為使系統(tǒng)保持為使系統(tǒng)保持ej的變形狀態(tài)，所加的外力為：的變形狀態(tài)，所加的外力為： 例例 4.1 求圖示的簡(jiǎn)化的汽車(chē)求圖示的簡(jiǎn)化的汽車(chē)4自由度模型的剛度矩陣。自由度模型的剛度矩陣。 解：取解：取yA,yB,y1,y2為描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)，即為描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)，即 x

5、=yA,yB,y1,y2T 各個(gè)自由度原點(diǎn)均取靜平衡位置，各個(gè)自由度原點(diǎn)均取靜平衡位置，向上為正向上為正。(1) 求求K的第一列：設(shè)的第一列：設(shè)yA沿坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位位沿坐標(biāo)正方向有一個(gè)單位位 移，其余廣義坐標(biāo)位移為零，則只有移，其余廣義坐標(biāo)位移為零，則只有k2被伸長(zhǎng)，此時(shí)：被伸長(zhǎng)，此時(shí)：外力外力f=?f1=k2; f2=0;f3=-k2;f4=011121112122222j 1212 0010jjnjjnjjjjjnjjnnnjnnnjfKekkkkkkkkkkkkkkkkkkkk k11=k2; k21=0;k3l=-k2;k41=0(2)求求K的第二列：的第二列：yB k120，

6、k22k4， k32=0， k42=-k4 坐標(biāo)坐標(biāo)x=yA,yB,yl,y2T(3)求求K的第三列。設(shè)的第三列。設(shè)yl k13-k2， k230， k33=k2+k1， k43=0 (4)求求K的第四列。設(shè)的第四列。設(shè)y2 k14=0， k24=-k4， k34=0， k44k2+k4 434212442200000000kkkkkkkkkkK三種求三種求K的方法：？的方法：？牛頓法、求偏倒法（能量法）、定義法。牛頓法、求偏倒法（能量法）、定義法。坐標(biāo)坐標(biāo)x=yA,yB,yl,y2T212121xKxUxCxDxMxETTTTjiTijxxEm 2jiijxxDc2jiijxxUk2 jii

7、jjiijjiijjiijjiijTjiTijkxxUxxUkcxxDxxDcmxxExxEm222222質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣均是對(duì)稱(chēng)矩陣。質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣均是對(duì)稱(chēng)矩陣。 用求偏倒的方法寫(xiě)用求偏倒的方法寫(xiě)M C K矩陣：矩陣：定義法和牛頓法比較麻煩，一般用能量法比較方便：定義法和牛頓法比較麻煩，一般用能量法比較方便：1) 寫(xiě)系統(tǒng)的動(dòng)寫(xiě)系統(tǒng)的動(dòng)能、能量耗散能、能量耗散函數(shù)和勢(shì)能函數(shù)和勢(shì)能 2) 求求偏導(dǎo)偏導(dǎo)3) 得到矩陣得到矩陣222211222121222ymymLyyIyyMEABBAT針對(duì)本例：系統(tǒng)的動(dòng)能為桿的平動(dòng)針對(duì)本例：系統(tǒng)的動(dòng)能為桿的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與兩個(gè)質(zhì)量的

8、動(dòng)能動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與兩個(gè)質(zhì)量的動(dòng)能之和，設(shè)桿的質(zhì)心在桿的中點(diǎn)，質(zhì)之和，設(shè)桿的質(zhì)心在桿的中點(diǎn)，質(zhì)量為量為M。系統(tǒng)的動(dòng)能為：。系統(tǒng)的動(dòng)能為： 044434242314132221122222441212332222222211mmmmmLIMyyEmmmyEmmyEmLIMyEmLIMyEmBATTTBTAT21222200000000440044mmLIMLIMLIMLIMM坐標(biāo)系坐標(biāo)系 x=yA,yB,y1,y2TjiTijxxEm 2xKfxCfxMfsim 由系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣可以得到系統(tǒng)由系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣可以得到系統(tǒng)的慣性力、阻尼力和彈性力：的慣性力、阻

9、尼力和彈性力：它們的分量分別為施加于它們的分量分別為施加于各個(gè)自由度上各個(gè)自由度上的慣性力、阻的慣性力、阻尼力和彈性力。尼力和彈性力。求解方程：求解方程：)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 求解一種方法是尋找一個(gè)新廣義坐標(biāo)系，使得系統(tǒng)求解一種方法是尋找一個(gè)新廣義坐標(biāo)系，使得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣。也就是。也就是解耦解耦。新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系存在新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系存在線(xiàn)性變換線(xiàn)性變換關(guān)系，因此，要關(guān)系，因此，要尋找一個(gè)尋找一個(gè)可逆線(xiàn)性變換矩陣可逆線(xiàn)性變換矩陣u，將質(zhì)量矩陣、阻尼矩，將質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣變換為對(duì)角矩陣。陣

10、和剛度矩陣變換為對(duì)角矩陣。為此，我們討論為此，我們討論線(xiàn)性變換前后線(xiàn)性變換前后多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分分方程的關(guān)系方程的關(guān)系。 設(shè)有可逆線(xiàn)性變換設(shè)有可逆線(xiàn)性變換u，使得，使得 yux ,yuxyux 因而有因而有稱(chēng)稱(chēng)x為舊坐標(biāo)系，為舊坐標(biāo)系，y為新坐標(biāo)系。為新坐標(biāo)系。 2121)()(21211yCyyuCuyyuCyuxCxDTTTTT2121)()(21211yMyyuMuyyuMyuxMxETTTTTT2121)()(21211yKyyuKuyyuKyuxKxUTTTTT系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和能量耗散函數(shù)與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和能量耗散函數(shù)與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)

11、，它們是坐標(biāo)變換下的不變量也就是說(shuō)，它們是坐標(biāo)變換下的不變量, 因此有：因此有：111uKuKuCuCuMuMTTT新舊坐標(biāo)系下矩陣的關(guān)新舊坐標(biāo)系下矩陣的關(guān)系：系：兩邊左乘兩邊左乘uT ，根據(jù)：，根據(jù)：111pfuyKyCyMT fyuKyuCyuM 將將x=uy代入方程：代入方程：得到，新坐標(biāo)系得到，新坐標(biāo)系y下的運(yùn)動(dòng)微分方程：下的運(yùn)動(dòng)微分方程： fupT111uKuKuCuCuMuMTTT得到：得到：其中：其中：是新坐標(biāo)是新坐標(biāo)y下的下的廣義激勵(lì)廣義激勵(lì)。 )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 1yMxMuT此時(shí)，方程此時(shí)，方程解耦解耦了！了！為求為求x=uy的逆變換，在其兩邊左乘的

12、逆變換，在其兩邊左乘uTM得得 即：即： 11xMuMyT坐標(biāo)系坐標(biāo)系y下的初始條件為：下的初始條件為：)0()0()0()0(1111xMuMyxMuMyTT111pfuyKyCyMT 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)y 微分方程的定解微分方程的定解 )0()0()0()0(1111xMuMyxMuMyTT思路：思路：x坐標(biāo)系下坐標(biāo)系下的微分方程的微分方程和初試條件和初試條件x坐標(biāo)系下坐標(biāo)系下的微分方程解的微分方程解y坐標(biāo)系下坐標(biāo)系下的微分方程的微分方程和初試條件和初試條件耦合，不能求耦合，不能求解解u坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)轉(zhuǎn)換解耦解耦y坐標(biāo)系下坐標(biāo)系下的微分方程解的微分方程解微分方程相微分方程相互，可求

13、解互，可求解uT坐標(biāo)逆轉(zhuǎn)換坐標(biāo)逆轉(zhuǎn)換4.2 固有頻率與振型固有頻率與振型 系統(tǒng)的系統(tǒng)的固有頻率和振型一一對(duì)應(yīng)固有頻率和振型一一對(duì)應(yīng)。系統(tǒng)求解的思路：系統(tǒng)求解的思路：1) 設(shè)系統(tǒng)解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)：設(shè)系統(tǒng)解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)：2) 代入微分方程：代入微分方程：3) 得到廣義特征值問(wèn)題：得到廣義特征值問(wèn)題：4) 得到得到特征方程特征方程或或頻率方程：頻率方程：5) 求得求得w w1 1，w w2 2并取并取w w1 1w w2 2 ;6) 代回廣義特征值問(wèn)題，求得振型代回廣義特征值問(wèn)題，求得振型u。)cos()(wtAtg0)()(tguKtguM 0)(2uMKw0)(22MKww0 xKxM tuxwcos

14、 無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：在在特殊初始激勵(lì)特殊初始激勵(lì)下，系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)是下，系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，也，也就是固有振動(dòng)。形式為：就是固有振動(dòng)。形式為：其中，其中，u和和w w是待求的振型和固有頻率。是待求的振型和固有頻率。0cos)(2tuKuMww0)(2uKMw02ijijmkw這就是這就是頻率方程頻率方程。 0)(2rruMKw nr, 2 , 1 將將代入方程代入方程得到得到 tuxwcos0 xKxM 方程有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式為零，即：方程有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式為零，即： 這是以這是以w

15、 w2 2為未知數(shù)的為未知數(shù)的n次代數(shù)方程次代數(shù)方程，解之可得，解之可得n個(gè)根個(gè)根，w w1 1， w w2 2 ，. . . w. . . wn 。依次代入廣義特征值問(wèn)題方程可以得到。依次代入廣義特征值問(wèn)題方程可以得到n個(gè)方程個(gè)方程廣義特征值問(wèn)題廣義特征值問(wèn)題求出與求出與w w2r相對(duì)應(yīng)的非零的相對(duì)應(yīng)的非零的ur 。就是與固有頻率。就是與固有頻率對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的振型。振型。0)(2rruMKw由：由：固有頻率固有頻率振型振型如果如果w w2r是是頻率方程（是是頻率方程（4.13）的）的k重根（重根（k正整數(shù)，正整數(shù)，k0。 這是一個(gè)這是一個(gè)對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為彈簧是的中點(diǎn)。它有兩，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

16、彈簧是的中點(diǎn)。它有兩種固有振動(dòng)：種固有振動(dòng)：mmMkkkkK00,1)寫(xiě)寫(xiě)K M：mk /2, 021ww2) 由特征方程計(jì)算固有頻率：由特征方程計(jì)算固有頻率： 3) 取取w wr2的正平方根的正平方根w wr，稱(chēng)為系統(tǒng)的第，稱(chēng)為系統(tǒng)的第r階固有頻率，而相階固有頻率，而相應(yīng)地稱(chēng)應(yīng)地稱(chēng)ur為系統(tǒng)的第為系統(tǒng)的第r階固有振型，簡(jiǎn)稱(chēng)振型。并將固階固有振型，簡(jiǎn)稱(chēng)振型。并將固有頻率按由小到大的順序編號(hào)有頻率按由小到大的順序編號(hào)nwww21系統(tǒng)的固有頻率和振型與激勵(lì)無(wú)關(guān)，由系統(tǒng)的固有頻率和振型與激勵(lì)無(wú)關(guān)，由K和和M決定。決定。 同樣，由能量法可獲得相同的結(jié)果：同樣，由能量法可獲得相同的結(jié)果：0)(22MKw

17、w如果振型如果振型ur 滿(mǎn)足滿(mǎn)足則對(duì)任意非零常數(shù)則對(duì)任意非零常數(shù)c，cur也滿(mǎn)足上式。也滿(mǎn)足上式。即振型只是給出了振動(dòng)方向和即振型只是給出了振動(dòng)方向和相對(duì)振幅相對(duì)振幅，而振型大小，而振型大小需要人為指定。需要人為指定。稱(chēng)指定振型的大小為稱(chēng)指定振型的大小為振型的正規(guī)化振型的正規(guī)化。0)(2rruMKw(1)令令ur滿(mǎn)足滿(mǎn)足 1rTruMu此時(shí)在式此時(shí)在式(4.14)兩邊左乘兩邊左乘urT可得可得 22rrTrrrTruMuuKuww振型正規(guī)化振型正規(guī)化方案有多種，常用的有以下幾種：方案有多種，常用的有以下幾種：0)(2rruMKw(2)令令ur的某一分量（常取的某一分量（常取絕對(duì)值最大絕對(duì)值最大

18、的分量的分量 ）為）為1；其他分量等比縮小。其他分量等比縮小。 如：如： ur=2, 1.4, 0.8, 0.6正規(guī)化正規(guī)化 得到：得到：ur=1, 0.7, 0.4, 0.3振型的性質(zhì)：振型的性質(zhì)：屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交，這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交，這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為振型的正交性振型的正交性。 00rTsrTsuKuuMusr srww前提：前提：數(shù)學(xué)表示為：數(shù)學(xué)表示為： 證明過(guò)程：證明過(guò)程： 由由0)(2rruMKw可得可得2rrruMuKw2sssuMuKwsrww這里這里左乘左乘usT 得：得：2rrruMu

19、Kw2sssuMuKw左乘左乘urT ，再轉(zhuǎn)置得：，再轉(zhuǎn)置得：2rTsrrTsuMuuKuw2rTssrTsuMuuKuw)(022rTssruMuww不為不為0因此：因此：00rTsrTsuKuuMusr srww即：振型的正即：振型的正交性交性振型正交性的物理意義：振型正交性的物理意義： 假定系統(tǒng)的位移可以表示為第假定系統(tǒng)的位移可以表示為第s和第和第r階兩個(gè)振型的線(xiàn)性組階兩個(gè)振型的線(xiàn)性組合，即：合，即： )()(srutbutax其中：其中：ur、us 對(duì)對(duì)質(zhì)量矩陣歸一質(zhì)量矩陣歸一；a(t)、b(t)是時(shí)間的標(biāo)是時(shí)間的標(biāo)量函數(shù)。量函數(shù)。 則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能為則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能為 ：)()(

20、21)()()()(212122tbtautbutaMutbutaxMxEsrTsrTT令：令：srTsTrTUUUEEE則：則：)(21),(21)(21),(21222222tbUtaUtbEtaEssrrTsTrww)()(21)()()()(212122tbtautbutaMutbutaxMxEsrTsrTT)()(21)()()()(21212222tbtautbutaKutbutaxKxUsrsrTsrTww它們分別是第它們分別是第r、s階振型單獨(dú)存在時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，階振型單獨(dú)存在時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能，稱(chēng)為系統(tǒng)的第稱(chēng)為系統(tǒng)的第r、s階動(dòng)能和勢(shì)能。階動(dòng)能和勢(shì)能。 這個(gè)結(jié)論對(duì)這個(gè)結(jié)論

21、對(duì)位移是任意位移是任意k k ( (k kn n) )個(gè)振型的線(xiàn)性組合的情況個(gè)振型的線(xiàn)性組合的情況也成立。也成立。 更進(jìn)一步：更進(jìn)一步：各個(gè)振型之間的動(dòng)能、勢(shì)能不交換各個(gè)振型之間的動(dòng)能、勢(shì)能不交換。各振型。各振型在振動(dòng)時(shí)相互獨(dú)立、互不影響，如同一組彼此沒(méi)有關(guān)系在振動(dòng)時(shí)相互獨(dú)立、互不影響，如同一組彼此沒(méi)有關(guān)系的單自由度系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)的情形一樣。的單自由度系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)的情形一樣。 mkk122wmk1w由全體振型構(gòu)成的向量組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的由全體振型構(gòu)成的向量組是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。是一個(gè)。是一個(gè)基基。 響應(yīng)響應(yīng)x 可以被系統(tǒng)的振型線(xiàn)性表出可以被系統(tǒng)的振型線(xiàn)性表出 ：2211nnuyuyuyx即：即：展開(kāi)定理展開(kāi)定

22、理。振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)是系統(tǒng)。振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)是系統(tǒng)n個(gè)振型的線(xiàn)性組合。個(gè)振型的線(xiàn)性組合。矩陣形式：矩陣形式：x=uy )0()0()0()0(02xMuyxMuyyyTTr w0 xKxM 振型的正規(guī)正交化條件：振型的正規(guī)正交化條件： 1)先引入符號(hào)先引入符號(hào) srsrrs01是單位矩陣是單位矩陣E的元素的元素 )(rsE2)振型的正規(guī)正交化條件可寫(xiě)為：振型的正規(guī)正交化條件可寫(xiě)為： nsruKuuMursrrTsrsrTs,12w定義振型矩陣定義振型矩陣u，它的列向量為相應(yīng)的振型它的列向量為相應(yīng)的振型，即，即 ,21nuuuu因此，有因此，有 ,21nuMuMuMuM且且 ,2121nTnTTTuMu

23、MuMuuuuMu212221212111EuMuuMuuMuuMuuMuuMuuMuuMuuMunTnTnTnnTTTnTTTnsruKuuMursrrTsrsrTs,12w同樣同樣 000000222221rnTuKuwwwwnsruKursrrTs,12w因此：屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和因此：屬于不同固有頻率的振型彼此以系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為權(quán)正交，這就是剛度矩陣為權(quán)正交，這就是振型的正交性振型的正交性。更進(jìn)一步，證明：更進(jìn)一步，證明：由全體振型由全體振型ur構(gòu)成的向量組構(gòu)成的向量組u是線(xiàn)性是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的無(wú)關(guān)的。 1)線(xiàn)性無(wú)關(guān)定義：線(xiàn)性無(wú)關(guān)定義：如果一組向量如果一組向

24、量x1，x2，xn由方程由方程 02211nnxxx只能得出，只能得出，則向量則向量x1，x2，xn線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，。也就是說(shuō)，它們它們是是xx空間的一個(gè)正交基?？臻g的一個(gè)正交基。 021n2) 同樣，如果同樣，如果u空間（振型空間）有：空間（振型空間）有：02211nnuuu則方程兩邊左乘則方程兩邊左乘u1TM得：得： 01212111nnuMuuMuuMu由于振型的正交性，有由于振型的正交性，有 0111uMu不為不為0所以有所以有 013)按此方法，依次對(duì)按此方法，依次對(duì)兩邊左乘兩邊左乘 ，將得到，將得到 MuTr02211nnuuu021n4) 因此振型因此振型u1，u2，

25、un是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。 振型矩陣振型矩陣u的列向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的；的列向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的； 振型矩陣振型矩陣u為為可逆矩陣可逆矩陣。 振型振型ur是是n維向量空間的一個(gè)向量，且維向量空間的一個(gè)向量，且n個(gè)振型是線(xiàn)性無(wú)個(gè)振型是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，因此：關(guān)的，因此：n個(gè)振型構(gòu)成了個(gè)振型構(gòu)成了n維向量空間中的一個(gè)基維向量空間中的一個(gè)基，任何一個(gè)向量都可以被這任何一個(gè)向量都可以被這n個(gè)振型個(gè)振型線(xiàn)性表出線(xiàn)性表出。系統(tǒng)系統(tǒng)n個(gè)振型構(gòu)成的廣義坐標(biāo)為個(gè)振型構(gòu)成的廣義坐標(biāo)為振型坐標(biāo)振型坐標(biāo)，系統(tǒng)所有的響系統(tǒng)所有的響應(yīng)振動(dòng)，都是這個(gè)基的線(xiàn)性組合應(yīng)振動(dòng)，都是這個(gè)基的線(xiàn)性組合。三維向量空間的直角坐標(biāo)基三維向量空間的直

26、角坐標(biāo)基三維向量空間的柱坐標(biāo)基三維向量空間的柱坐標(biāo)基n自由度振動(dòng)系統(tǒng)的自由度振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)響應(yīng)x也是也是n維向量，可以被系統(tǒng)的維向量，可以被系統(tǒng)的振型振型ur線(xiàn)性表示線(xiàn)性表示，即有，即有:2211nnuyuyuyx這就是這就是展開(kāi)定理展開(kāi)定理，其中，其中yr(r1，2，n)是是響應(yīng)響應(yīng)x在第在第r個(gè)個(gè)基向量基向量ur下的坐標(biāo)（系數(shù)）。下的坐標(biāo)（系數(shù)）。 振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)是系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)是系統(tǒng)n個(gè)振型的線(xiàn)性組合。個(gè)振型的線(xiàn)性組合。 展開(kāi)定理的矩陣形式為：展開(kāi)定理的矩陣形式為： x=uy 其中，其中，y的分量為的分量為響應(yīng)響應(yīng) x x 在系統(tǒng)振型在系統(tǒng)振型 u u 下的坐標(biāo)下的坐標(biāo)。以式以式(4

27、.29)取代式取代式(4.5)，可以得到在振型坐標(biāo)下，可以得到在振型坐標(biāo)下n自由自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 在振型在振型u坐標(biāo)下坐標(biāo)下n自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為微分方程為 )0()0()0()0(02xMuyxMuyyyTTr w分量形式分量形式為：為： ), 2 , 1()0()0()0()0(02nrxMuyxMuyyyTrTrrrr wN個(gè)獨(dú)立的單自由度方程個(gè)獨(dú)立的單自由度方程4.3 動(dòng)力響應(yīng)分析動(dòng)力響應(yīng)分析多自由度系統(tǒng)在外部激勵(lì)作用下的響應(yīng)分析稱(chēng)為多自由度系統(tǒng)在外部激勵(lì)作用下的響應(yīng)分析稱(chēng)為動(dòng)

28、動(dòng)力響應(yīng)分析力響應(yīng)分析。 常用方法常用方法有有：振型疊加方法和逐步積分方法振型疊加方法和逐步積分方法。特點(diǎn)：適。特點(diǎn)：適于已知系統(tǒng)的于已知系統(tǒng)的M、C、K和激勵(lì)和激勵(lì)f，求系統(tǒng)響應(yīng)，求系統(tǒng)響應(yīng)x(t)的情況。的情況。 振型疊加方法求解振型疊加方法求解n-DOF的振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的步的振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的步驟如下：驟如下： )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 1) 求出系統(tǒng)的固有頻率和振型矩陣。求出系統(tǒng)的固有頻率和振型矩陣。 2) 做變換做變換 yux 代入式代入式并兩邊左乘并兩邊左乘uT，可得，可得:)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM pfuyKyuCuyMTrTr

29、)0()0(001001yxMuMyyxMuMyTrTr只有當(dāng)只有當(dāng) C C 滿(mǎn)足一定條件滿(mǎn)足一定條件時(shí)時(shí)uTCu才為才為對(duì)角對(duì)角矩陣矩陣（對(duì)角化）。（對(duì)角化）。 3) 方程解耦，采用單自由度系統(tǒng)求解方法。方程解耦，采用單自由度系統(tǒng)求解方法。工程上常設(shè)阻尼為工程上常設(shè)阻尼為Rayleigh阻尼，即：阻尼，即： rrrTCKMuCuCr是對(duì)角矩陣，它的第是對(duì)角矩陣，它的第r個(gè)對(duì)角元素為個(gè)對(duì)角元素為Cr，稱(chēng)，稱(chēng)Cr為系統(tǒng)為系統(tǒng)的的第第r階模態(tài)阻尼階模態(tài)阻尼或廣義阻尼。類(lèi)似于單自由度系統(tǒng)，定或廣義阻尼。類(lèi)似于單自由度系統(tǒng)，定義義系統(tǒng)的第系統(tǒng)的第r階阻尼比階阻尼比 ：rrrrKMC2此時(shí)，式此時(shí)，式(

30、4.33)可視為可視為n n個(gè)相互獨(dú)立的單自由系統(tǒng)個(gè)相互獨(dú)立的單自由系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。微分方程。 pyKyuCuyMrTr 寫(xiě)成分量形式為寫(xiě)成分量形式為 nryyyypyKyCyMrrrrrrrrrr,.,2 , 1)0(,)0(00 4) 如果振型矩陣如果振型矩陣u不能將阻尼矩陣不能將阻尼矩陣C對(duì)角化，即對(duì)角化，即uTCu不是對(duì)角矩陣，則式不是對(duì)角矩陣，則式(4.33)可寫(xiě)為可寫(xiě)為 ： pyKyCyMrnr 準(zhǔn)確求解式準(zhǔn)確求解式(4.38)的方法比較復(fù)雜。多數(shù)情況下，的方法比較復(fù)雜。多數(shù)情況下，實(shí)實(shí)踐證明：踐證明：在系統(tǒng)的各階固有頻率間隔較大，阻尼較小的在系統(tǒng)的各階固有頻率間隔較大，

31、阻尼較小的條件下，對(duì)阻尼矩陣進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，以方便計(jì)算。條件下，對(duì)阻尼矩陣進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，以方便計(jì)算。 簡(jiǎn)化方法：簡(jiǎn)化方法： a) 最簡(jiǎn)單的處理方法：把最簡(jiǎn)單的處理方法：把Cn的的非對(duì)角元素全認(rèn)為是零非對(duì)角元素全認(rèn)為是零。如果系統(tǒng)的阻尼較小，各階固有頻率之間的間隙較大，如果系統(tǒng)的阻尼較小，各階固有頻率之間的間隙較大，這種處理方法的精度一般還能滿(mǎn)足工程上的要求。這種處理方法的精度一般還能滿(mǎn)足工程上的要求。b) 有時(shí)阻尼矩陣不容易求得，在求得各階固有頻率和振有時(shí)阻尼矩陣不容易求得，在求得各階固有頻率和振型后，可以型后，可以按經(jīng)驗(yàn)或規(guī)范給出按經(jīng)驗(yàn)或規(guī)范給出各階的阻尼比各階的阻尼比 r。 c) 在實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)

32、分析中，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的是系統(tǒng)的固有頻在實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的是系統(tǒng)的固有頻率、振型，阻尼則往往是給出率、振型，阻尼則往往是給出各階的阻尼比各階的阻尼比。在振型。在振型迭加法中，有各階的阻尼比已經(jīng)足夠用。迭加法中，有各階的阻尼比已經(jīng)足夠用。 rrrrKMC2經(jīng)過(guò)近似處理后，式經(jīng)過(guò)近似處理后，式(4.38) 解耦，可以采用第二章講過(guò)的解耦，可以采用第二章講過(guò)的任一種方法求解。得到任一種方法求解。得到y(tǒng)，再由，再由展開(kāi)定理展開(kāi)定理得到系統(tǒng)響應(yīng)得到系統(tǒng)響應(yīng)x。 pyKyCyMrnr 2211nnuyuyuyx系統(tǒng)的各階系統(tǒng)的各階固有頻率、振型固有頻率、振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛

33、度、模態(tài)阻尼和阻尼比稱(chēng)為系統(tǒng)的模態(tài)阻尼和阻尼比稱(chēng)為系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)模態(tài)參數(shù)。 當(dāng)系統(tǒng)的當(dāng)系統(tǒng)的M、K和和C確定后，響應(yīng)確定后，響應(yīng)x在系統(tǒng)振型在系統(tǒng)振型u下的下的坐標(biāo)坐標(biāo) y y 大小取決于外載荷大小取決于外載荷 f f 。 對(duì)多數(shù)實(shí)際載荷，對(duì)多數(shù)實(shí)際載荷， f 中與低階振型有關(guān)的部分大，中與低階振型有關(guān)的部分大，與高階振型有關(guān)的部分小。因而，一般不必求出全部，一與高階振型有關(guān)的部分小。因而，一般不必求出全部，一般取前幾階或十幾階固有頻率和振型已足夠。般取前幾階或十幾階固有頻率和振型已足夠。復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化模型誤差模型誤差高階振型的可靠高階振型的可靠性較差性較差。多計(jì)入高階振

34、型不一定會(huì)得到更好的結(jié)果。多計(jì)入高階振型不一定會(huì)得到更好的結(jié)果。 例例4.3 設(shè)多自由度系統(tǒng)在設(shè)多自由度系統(tǒng)在t=0時(shí)在第時(shí)在第j個(gè)自由度受到一個(gè)單個(gè)自由度受到一個(gè)單位脈沖力作用，位脈沖力作用，初始條件為零初始條件為零，其他自由度上無(wú)激勵(lì)。求，其他自由度上無(wú)激勵(lì)。求系統(tǒng)的響應(yīng)。系統(tǒng)的響應(yīng)。 解：解：考慮考慮阻尼矩陣可以被振型矩陣解耦阻尼矩陣可以被振型矩陣解耦的情況。激勵(lì)可寫(xiě)的情況。激勵(lì)可寫(xiě)為為 )()(tetfj因此因此 )()(,)()(21tutuuuteutpTjnjjjT由于在振型坐標(biāo)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程解耦，可得由于在振型坐標(biāo)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程解耦，可得到到n個(gè)彼此獨(dú)立的單自由度運(yùn)

35、動(dòng)微分方程：個(gè)彼此獨(dú)立的單自由度運(yùn)動(dòng)微分方程： nryytuyyyrrjrrrrrrr,.2 , 1, 0)0(, 0)0()(22 wwnryytuyyyrrjrrrrrrr,.2 , 1, 0)0(, 0)0()(22 ww上式的解為上式的解為 )0(,.,2 , 1sintnrteuydrtdrjrrrrwww根據(jù)展開(kāi)定理，系統(tǒng)的響應(yīng)為根據(jù)展開(kāi)定理，系統(tǒng)的響應(yīng)為 nrrdrtdrjrnrrruteuutyxrr11sin)(www因此，系統(tǒng)因此，系統(tǒng)第第i個(gè)自由度個(gè)自由度在第在第j個(gè)自由度受到一個(gè)單個(gè)自由度受到一個(gè)單位脈沖力作用后的響應(yīng)為位脈沖力作用后的響應(yīng)為 nitteuuxnrdrt

36、drjririrr,.,2 , 1)0(sin1www根據(jù)展開(kāi)定理，系統(tǒng)的響應(yīng)為根據(jù)展開(kāi)定理，系統(tǒng)的響應(yīng)為 nrrdrtdrjrnrrruteuutyxrr11sin)(www這個(gè)響應(yīng)是由這個(gè)響應(yīng)是由n個(gè)單自由度系統(tǒng)的阻尼自由振動(dòng)迭加而成；個(gè)單自由度系統(tǒng)的阻尼自由振動(dòng)迭加而成；定義此時(shí)的定義此時(shí)的響應(yīng)為脈沖響應(yīng)響應(yīng)為脈沖響應(yīng) ：nitteuuthnrdrtdrjririjrr,.,2 , 1)(sin)(1www下標(biāo)下標(biāo)i表示表示響應(yīng)響應(yīng)的空間位置，的空間位置，j表示表示脈沖力脈沖力的空間位置。的空間位置。 依次取依次取j1，2，n，即對(duì)各個(gè)自由度依次施加一個(gè)單，即對(duì)各個(gè)自由度依次施加一個(gè)單位

37、脈沖力，可以得到位脈沖力，可以得到n2個(gè)脈沖響應(yīng)，得到個(gè)脈沖響應(yīng)，得到脈沖響應(yīng)矩陣脈沖響應(yīng)矩陣： )()(ththij由于脈沖響應(yīng)矩陣可以由振動(dòng)試驗(yàn)測(cè)得，所以，它常由于脈沖響應(yīng)矩陣可以由振動(dòng)試驗(yàn)測(cè)得，所以，它常常用來(lái)識(shí)別系統(tǒng)的振動(dòng)系統(tǒng)。常用來(lái)識(shí)別系統(tǒng)的振動(dòng)系統(tǒng)。 04.4 動(dòng)力響應(yīng)分析中的變換方法動(dòng)力響應(yīng)分析中的變換方法 用用傅里葉變換和拉普拉斯變換傅里葉變換和拉普拉斯變換求多自由度系統(tǒng)的動(dòng)求多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。力響應(yīng)。1) 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：對(duì)向量做傅里葉變換和拉普拉斯變換對(duì)向量做傅里葉變換和拉普拉斯變換分分別對(duì)向量的各分量別對(duì)向量的各分量做傅里葉變換和拉普拉斯變換。做傅里葉變換和拉普

38、拉斯變換。 如，如，x(t)x1(t)，x2(t)，xn(t)T的傅里葉變換為的傅里葉變換為 )(),.,(),()(),.,(),()(1121wwwsTsXXXtxFtxFtxFtxF對(duì)多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式對(duì)多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式兩邊做拉普拉斯變換，根據(jù)拉普拉斯變換的性質(zhì)有兩邊做拉普拉斯變換，根據(jù)拉普拉斯變換的性質(zhì)有 )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM )()()(0002sFxCxMxMssXKCsMs其中：其中：X(s)和和F(s)分別為系統(tǒng)響應(yīng)分別為系統(tǒng)響應(yīng)x(t)和激勵(lì)和激勵(lì)f(t)的的拉普拉斯變換；拉普拉斯變換；稱(chēng)稱(chēng) 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的機(jī)械阻抗矩陣機(jī)械阻抗矩陣

39、；它的逆；它的逆矩陣為矩陣為 ： 稱(chēng)為系統(tǒng)的稱(chēng)為系統(tǒng)的傳傳遞函數(shù)矩陣遞函數(shù)矩陣 )(2KCsMssZ121)()()(KCsMssZsH因此，式因此，式(4.38)()()(000 xCxMxMssFsHsXpyKyCyMrnr 可以改寫(xiě)為可以改寫(xiě)為 )()()(0002sFxCxMxMssXKCsMs然后，求出然后，求出X(s)的拉普拉斯逆變換就可以得到響應(yīng)的拉普拉斯逆變換就可以得到響應(yīng)x(t) )0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 思路：思路：)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM nrrdrtdrjrnrrruteuutyxrr11sin)(www困難，復(fù)雜的微困難，復(fù)雜的微分

40、方程求解分方程求解)()()(000 xCxMxMssFsHsX變換變換)()()(0002sFxCxMxMssXKCsMs簡(jiǎn)單的代數(shù)方程簡(jiǎn)單的代數(shù)方程求解求解逆變換逆變換對(duì)于對(duì)于初始條件為零初始條件為零的情況，如果激勵(lì)的情況，如果激勵(lì)f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換存在，則可對(duì)式存在，則可對(duì)式)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 兩邊做傅里葉變換得到兩邊做傅里葉變換得到)()()(2wwwwFXCiMK稱(chēng)稱(chēng) 12)()(CiMKHwww為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣頻響函數(shù)矩陣。 因此：因此： )()()(wwwFHX用變換方法求系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)用變換方法求系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)：得到了系統(tǒng)的傳遞

41、函：得到了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣或頻響函數(shù)矩陣，則數(shù)矩陣或頻響函數(shù)矩陣，則不必考慮方程解耦不必考慮方程解耦的問(wèn)題，的問(wèn)題，不不必求必求系統(tǒng)的系統(tǒng)的固有頻率和振型固有頻率和振型。 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣的元素的定義元素的定義（以傳遞函數(shù)矩陣（以傳遞函數(shù)矩陣H(s)的元素的元素Hij(s)為例）為例） 系統(tǒng)的系統(tǒng)的初始條件為零初始條件為零只在第只在第j個(gè)自由度上有激勵(lì)個(gè)自由度上有激勵(lì)fj(t)各個(gè)自由度各個(gè)自由度均會(huì)有響應(yīng)均會(huì)有響應(yīng)，第，第i個(gè)自由度的響應(yīng)為個(gè)自由度的響應(yīng)為xi(t)。則：。則： )()()(sFsXsHjiij依次取依次取j=1，2，n，可

42、以得到傳遞函數(shù)矩陣，可以得到傳遞函數(shù)矩陣H(s)的全的全部元素部元素Hij(s) 。nitteuuthnrdrtdrjririjrr,.,2 , 1)(sin)(1www多多自由度系統(tǒng)的自由度系統(tǒng)的響應(yīng)為脈沖響應(yīng)響應(yīng)為脈沖響應(yīng)同樣，可以定義系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。同樣，可以定義系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。)()()(wwwjiijFXH因此：因此：系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) hij(t)和和Hij(s)是一對(duì)是一對(duì)拉普拉斯變換拉普拉斯變換對(duì)對(duì)，和，和Hij(w w)是一對(duì)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)傅里葉變換對(duì)。同樣，系統(tǒng)的脈沖響。同樣，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣應(yīng)矩陣h(t)和傳遞函數(shù)矩陣和傳遞函數(shù)矩陣H(s)是一對(duì)拉

43、普拉斯變換對(duì)，是一對(duì)拉普拉斯變換對(duì)，和頻響函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣H(w w)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣h(t)、傳遞函數(shù)矩陣、傳遞函數(shù)矩陣h(s)和頻和頻響函數(shù)矩陣響函數(shù)矩陣H(w w)都反映了系統(tǒng)的振動(dòng)特性。都反映了系統(tǒng)的振動(dòng)特性。 頻響函數(shù)矩陣頻響函數(shù)矩陣H(w w)也可以由也可以由振動(dòng)試驗(yàn)測(cè)得振動(dòng)試驗(yàn)測(cè)得，因而常常用，因而常常用來(lái)識(shí)別系統(tǒng)的振動(dòng)參數(shù)：來(lái)識(shí)別系統(tǒng)的振動(dòng)參數(shù)： 設(shè)系統(tǒng)的阻尼矩陣可以被設(shè)系統(tǒng)的阻尼矩陣可以被振型矩陣解耦振型矩陣解耦，做變換，做變換 ：yux 在在振型坐標(biāo)振型坐標(biāo)下系統(tǒng)的下系統(tǒng)的阻抗矩陣阻抗矩陣為為 ：)()()

44、(222rrTTrCsEsuKCsMsuusZusZw即即振型坐標(biāo)下振型坐標(biāo)下阻抗矩陣也為阻抗矩陣也為對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣，對(duì)角元素為：，對(duì)角元素為： nrsCssZrrr,.,2 , 1)(22w)(2KCsMssZ為求傳遞函數(shù)矩陣為求傳遞函數(shù)矩陣H(s)，對(duì)，對(duì)Zr(s)求逆，有求逆，有 TrusZusZ)()(111TrusZusZsH)()()(11寫(xiě)成向量形式，有：寫(xiě)成向量形式，有：nrnrrrTrrTrrrTsTTrnTrsCsuuuusZuuusZuuuusZusH11221211211)()(,.,)()(w同樣，頻響函數(shù)矩陣同樣，頻響函數(shù)矩陣H(w w)也可以寫(xiě)成也可以寫(xiě)成 ：nrrrTrrCiuuH122)(wwww這就是這就是：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣與：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣和頻響函數(shù)矩陣與系系統(tǒng)的統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)模態(tài)參數(shù)的關(guān)系的關(guān)系。它們是。它們是試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的理論基礎(chǔ)的理論基礎(chǔ)之一。試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析專(zhuān)門(mén)討論之一。試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析專(zhuān)門(mén)討論如何從振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如何從振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)和物理參數(shù)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)和物理參數(shù)的問(wèn)題。的問(wèn)題。 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題，有許多求解方法，并不限多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題，有許多求解方法，并不限