使用遺傳算法對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行多目標(biāo)設(shè)計(jì)優(yōu)化

1、 使用遺傳算法對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行多目標(biāo)設(shè)計(jì)優(yōu)化Shantanu Guptaa Rajiv Tiwarib, and Shivashankar B. Naira, a. 印度理工大學(xué)，計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程系；印度，阿薩姆邦 781039.b. 印度理工大學(xué)，機(jī)械工程系；印度，阿薩姆邦 781039.接收：2006.3.8 修訂：2006.9.6 錄用：2006.10.2 可引用：2006.12.28 摘要滾動(dòng)軸承的設(shè)計(jì)要滿足很多不同的約束，如幾何、運(yùn)動(dòng)學(xué)以及力量，同時(shí)還要性能優(yōu)良、壽命長(zhǎng)、可靠性高。這個(gè)需要一個(gè)最優(yōu)的設(shè)計(jì)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)集體,即多目標(biāo)優(yōu)化。在本文中,一個(gè)滾動(dòng)軸承三個(gè)主要的目標(biāo),即動(dòng)態(tài)載

2、荷Cd)、靜態(tài)載荷(Cs)和流體最小膜厚(Hmin)已經(jīng)分別進(jìn)行了優(yōu)化,同時(shí)采用了先進(jìn)的雙向的多目標(biāo)優(yōu)化算法:NSGA II(單程排序遺傳算法為基礎(chǔ))。這些多種目標(biāo)是滾動(dòng)軸承的績(jī)效衡量,彼此競(jìng)爭(zhēng)給我們一個(gè)交換地區(qū)即他們成為“同時(shí)最優(yōu)”,即帕累托最優(yōu)。為了觀察軸承性能參數(shù)的變化,我們完成了一個(gè)各種設(shè)計(jì)參數(shù)敏感性分析，結(jié)果表明,除了內(nèi)溝曲率半徑,沒(méi)有其他設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)性能參數(shù)有不利影響。 關(guān)鍵詞：滾動(dòng)軸承；多目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化；NSGA II；機(jī)械設(shè)計(jì)；敏感性分析； 文章概要：1.引言2滾動(dòng)軸承的宏觀幾何圖形3. 滾動(dòng)軸承設(shè)計(jì)的問(wèn)題公式化3.1設(shè)計(jì)參數(shù)3.2.目標(biāo)函數(shù)3.2.1 動(dòng)態(tài)載荷（Cd）3.2.2

3、彈流最小膜厚（Hmin）3.2.3 靜態(tài)載荷（Cs）3.3 約束條件4多目標(biāo)優(yōu)化5.應(yīng)用和結(jié)果5.1.NSGA II算法實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用5.2.參數(shù)靈敏度分析5.3.貢獻(xiàn)6.總結(jié)附錄A.附錄附錄B. Hmin with Q的靈敏度參考文獻(xiàn)1 引言作為一種重要的組件在大多數(shù)的機(jī)械和航空航天工程領(lǐng)域被廣泛使用。家眷電器、汽車、航天、航空、微-納米機(jī)應(yīng)用程序的發(fā)展促進(jìn)了滾動(dòng)軸承的設(shè)計(jì)的技術(shù)進(jìn)步。這種動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)工程師提出一個(gè)設(shè)計(jì)技術(shù),使持久的、更高效和可靠的軸承設(shè)計(jì)。這些目標(biāo)很難滿足,從而使這一數(shù)值成為富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。此外,我們需要優(yōu)化它們集體。數(shù)值的韌性以及優(yōu)化它們的需求共同保證了一個(gè)應(yīng)用進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化

4、。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)是動(dòng)態(tài)能力(Cd)、靜態(tài)容量(Cs)和流體最小膜厚(Hmin)。由于上述韌性的問(wèn)題，已經(jīng)很少有優(yōu)化這些目標(biāo)的嘗試了。許多研究已經(jīng)報(bào)道了各種機(jī)器元素的優(yōu)化工作,然而,很少有文獻(xiàn)可在滾動(dòng)軸承的優(yōu)化方面進(jìn)行闡述。Asimow在長(zhǎng)度和直徑的徑向軸承的最優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)使用了牛頓迭代法，這是支持一個(gè)給定負(fù)載和一定的速度。目標(biāo)函數(shù)是要最小化加權(quán)和的摩擦損失以及軸輪轉(zhuǎn)。Seireg和Ezzat2利用一個(gè)基于梯度搜索優(yōu)化軸承長(zhǎng)度、徑向間隙和平均粘度的潤(rùn)滑劑。目標(biāo)函數(shù)被選擇用來(lái)最小化軸承潤(rùn)滑劑使用量的加權(quán)和及其溫升。Maday和Wylie使用有界變量微積分的方法來(lái)來(lái)確定水動(dòng)力軸承的最優(yōu)配置。以軸承的最大

5、負(fù)荷能力來(lái)選擇設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。Seireg回顧一些在設(shè)計(jì)機(jī)械元素和系統(tǒng)中使用優(yōu)化技術(shù)的說(shuō)明性的例子。這些包括齒輪、徑向軸承、旋轉(zhuǎn)圓盤、壓力容器、軸彎曲和扭轉(zhuǎn),梁下受縱向影響和問(wèn)題的彈性接觸和負(fù)載分布。Hirani 等人的設(shè)計(jì)方法提出了一種發(fā)動(dòng)機(jī)軸頸軸承。徑向間隙和軸承長(zhǎng)度的選擇過(guò)程被最小膜厚、最大壓力和最高溫度所限制。所有上述的文獻(xiàn)主要關(guān)注徑向軸承設(shè)計(jì)。然而,內(nèi)部幾何圖形的徑向軸承遠(yuǎn)比滾動(dòng)軸承的簡(jiǎn)單。Changsen描述了通過(guò)使用基于梯度數(shù)值對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行優(yōu)化的一種設(shè)計(jì)方法。他建議到,滾動(dòng)軸承的五個(gè)目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì):最大疲勞壽命,最大磨損壽命,最大靜態(tài)負(fù)荷等級(jí),最低摩擦力矩和最低自旋滾比。多目標(biāo)滾動(dòng)軸承

6、優(yōu)化的概念也被提出了。只有基本的概念和優(yōu)化問(wèn)題的解決技術(shù)沒(méi)有任何插圖。滾動(dòng)軸承最優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)在本質(zhì)上是非線性的，此外,與幾何和運(yùn)動(dòng)學(xué)約束也有聯(lián)系。Choi 和Yoon通過(guò)考慮最大化的生活單位為目標(biāo)函數(shù)，使用氣體優(yōu)化汽車輪軸承單元。Periaux討論了天然氣的應(yīng)用到航空和渦輪機(jī)械。Chakraborthy等人通過(guò)基于需求的最長(zhǎng)疲勞壽命使用氣體，描述了設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題的滾動(dòng)體軸承的5個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)。他們提出了軸承內(nèi)部幾何參數(shù)源于不同的軸承邊界尺寸。該方法的主要限制是使用單目標(biāo)函數(shù)和一些約束條件是不現(xiàn)實(shí)的。裝配角度被認(rèn)為和其他約束的值常量都被選擇(任意)固定來(lái)解決優(yōu)化問(wèn)題。最近,Rao和Tiwari開(kāi)發(fā)了

7、一種滾動(dòng)軸承設(shè)計(jì)方法，是在氣體的幫助下將改進(jìn)和現(xiàn)實(shí)的約束加進(jìn)單目標(biāo)優(yōu)化。一個(gè)工作在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的滾動(dòng)軸承需要加權(quán)組合這些個(gè)體目標(biāo)函數(shù)即動(dòng)態(tài)能力、靜態(tài)能力和最小膜厚。多目標(biāo)問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為標(biāo)量?jī)?yōu)化問(wèn)題。本工作在求解標(biāo)量?jī)?yōu)化問(wèn)題的約束時(shí)利用了確定性和隨機(jī)算法。作為確定性方法，當(dāng)模擬退火和遺傳算法作為隨機(jī)方法，內(nèi)部罰函數(shù)法也被使用。這種相結(jié)合的多重“競(jìng)爭(zhēng)”目標(biāo)和優(yōu)化得到的標(biāo)量目標(biāo)的方式有一些明顯的缺點(diǎn)。（1）一個(gè)算法的運(yùn)行將給只有一個(gè)權(quán)衡點(diǎn)（2）解決非凸點(diǎn)前無(wú)法取得平衡（3）沒(méi)有為每個(gè)目標(biāo)函數(shù)的存在選擇權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)。本文提出的工作處理所有這些問(wèn)題。任何基于組合方法的重量都有缺點(diǎn)就像未知的選擇不同目標(biāo)的權(quán)

8、重,得到一個(gè)點(diǎn)上運(yùn)行,和不能探索非凸區(qū)域的權(quán)衡,即帕累托前沿。因此,需要使用一個(gè)更好的多目標(biāo)(進(jìn)化)算法(MOEA)解決這一問(wèn)題。Coello給了一個(gè)關(guān)于MOEA的調(diào)查。另一項(xiàng)調(diào)查中給出了Zitzler博士論文的理論。因?yàn)閚sga II(基于遺傳算法的單程排序精英II)低的計(jì)算需求,精英的方法,參數(shù)少共享方法；它被選為該算法測(cè)定之間的權(quán)衡競(jìng)爭(zhēng)的表現(xiàn),即產(chǎn)生帕累前沿。本文的組織結(jié)構(gòu)如下：第二部分：介紹了滾動(dòng)軸承的基本幾何。第三部分：?jiǎn)栴}的數(shù)學(xué)模型為一組目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計(jì)參數(shù)和約束。第四部分：介紹了多目標(biāo)優(yōu)化的概念,論述了確定性或隨機(jī)方法是否更適合這個(gè)問(wèn)題。第五部分：詳細(xì)介紹了應(yīng)用方法,優(yōu)化結(jié)果和敏感

9、性分析。第六部分：總結(jié)了目前的工作,其次是重要的參考。取得了滿意的結(jié)果,并給出一個(gè)好的洞察的優(yōu)缺點(diǎn)以及它們之間的滾動(dòng)軸承的性能的措施。除了數(shù)值意義得到的最優(yōu)解,這些結(jié)果可以幫助我們更好的理解參數(shù)的有效設(shè)計(jì)及背后的滾動(dòng)軸承。2. 滾動(dòng)軸承的宏觀幾何圖形 滾動(dòng)軸承有一個(gè)簡(jiǎn)單的外部幾何,但其內(nèi)部幾何形狀可以對(duì)應(yīng)力的數(shù)量、撓度和它可以處理的應(yīng)在分布產(chǎn)生各種不同的影響。因此,內(nèi)部幾何可以直接影響軸承的壽命和性能。圖1顯示了一個(gè)典型滾動(dòng)軸承的常見(jiàn)術(shù)語(yǔ)。 圖1宏觀幾何圖形的一個(gè)徑向滾珠軸承。用最簡(jiǎn)單的形式,一個(gè)軸承的幾何形狀可以定義為三個(gè)維度,即邊界,內(nèi)徑(d),外直徑(d)和軸承寬度(Bw)。這些邊界尺寸

10、已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化。幫助定義完整的內(nèi)部幾何的一個(gè)給定的滾動(dòng)軸承(即對(duì)于給定的邊界尺寸)的參數(shù)是球直徑(Db),節(jié)圓直徑的軸承(Dm),內(nèi)外滾道曲率系數(shù)(fi和fo),和數(shù)量的滾動(dòng)元素(Z)。3滾動(dòng)軸承設(shè)計(jì)的公式化我們?cè)噲D找出完整的內(nèi)部幾何形狀(如球和螺距直徑,內(nèi)外滾道曲率系數(shù),和數(shù)量的滾動(dòng)元素)的軸承(指定的標(biāo)準(zhǔn)軸承邊界尺寸),而優(yōu)化其性能特點(diǎn)和整體壽命。存在不止一個(gè)目標(biāo)會(huì)使問(wèn)題進(jìn)入域的多目標(biāo)優(yōu)化。任何約束多優(yōu)化優(yōu)化問(wèn)題實(shí)際上是由三部分組成,即設(shè)計(jì)參數(shù),目標(biāo)函數(shù)和約束條件(定義可行設(shè)計(jì)參數(shù)空間)。我們?cè)谝院蟮恼鹿?jié)中簡(jiǎn)潔討論這些組件目前的問(wèn)題。3.1 設(shè)計(jì)參數(shù)設(shè)計(jì)參數(shù)向量可以寫(xiě)成:X=Dm,Db,Z,f

11、i,fo,KDmin,KDmax,e, （1）而， （2）確定軸承內(nèi)部的幾何圖形的參數(shù)是Dm,Db,Z,fi和fo (見(jiàn)附錄一的術(shù)語(yǔ))。然而,KDmin,KDmax,e和屬于約束的部分(參考章節(jié)3.2和3.3節(jié)),不代表任何直接測(cè)量軸承內(nèi)部的幾何圖形。后者通常保持不變而設(shè)計(jì)軸承7,但目前情況下這些次要參數(shù)也視為變量。由于靈活性和魯棒性提出的采用基于遺傳算法的方法已經(jīng)成為可能。所有角度是用弧度來(lái)度量的,尺寸使用毫米除了最小膜厚(Hmin)測(cè)量時(shí)用微米和牛頓(N)。裝配角度(o)的一個(gè)軸承(見(jiàn)圖2)也形成一個(gè)重要的約束數(shù)的滾動(dòng)的元素?；趲缀瓮茖?dǎo)了11,可以得出以下公式為裝配角度,此時(shí)，T=D-d

12、-2Db.（4）圖2. 一個(gè)顯示裝配角度的滾動(dòng)軸承。3.2.目標(biāo)函數(shù) 正如前面提到的,有三個(gè)重要的滾動(dòng)軸承性能的績(jī)效評(píng)估。這些即是動(dòng)態(tài)容量(Cd),最小膜厚(機(jī)構(gòu))和靜態(tài)容量(Cs)。它們必須同時(shí)最大化,獲得最佳性能的軸承。接下來(lái)的部分將對(duì)這些性能參數(shù)進(jìn)行更詳細(xì)的討論。3.2.1.動(dòng)態(tài)電容（Cd）滾動(dòng)軸承在不同目的下動(dòng)態(tài)能力(Cd)是最重要的,因?yàn)檫@是直接形成軸承最長(zhǎng)疲勞壽命的基礎(chǔ)。動(dòng)態(tài)能力,也被稱為動(dòng)態(tài)負(fù)載評(píng)級(jí),被定義為“恒徑向載荷,是一群完全相同并可以持續(xù)內(nèi)環(huán)一百萬(wàn)年的轉(zhuǎn)數(shù)的軸承(用于固定負(fù)載和固定外環(huán))”。表示為7： （5）此時(shí)， =Dbcos/Dm. （7） 這里的因素并不是一個(gè)獨(dú)立的

13、參數(shù)。對(duì)于當(dāng)前的討論中,深溝球軸承一直認(rèn)為,接觸角,是零。因此,= Db / Dm。仔細(xì)檢查Eq。（5）可以觀察到,動(dòng)態(tài)能力取決于(2/3)rd的力量數(shù)量的滾子和1.8次方球的直徑。因此,在優(yōu)化中，我們期望的最大可能的球直徑將帶給我們更好的動(dòng)態(tài)能力。此外,由于更大的球直徑,少數(shù)量的球?qū)⒈蝗菁{在一個(gè)給定的空間。動(dòng)態(tài)能力可以由旋轉(zhuǎn)原理及競(jìng)爭(zhēng)時(shí)發(fā)生在接觸區(qū)之下的八面體剪應(yīng)力來(lái)推導(dǎo)出。因此,應(yīng)該指出的是,約束相關(guān)的強(qiáng)度與剪切應(yīng)力不會(huì)出現(xiàn),尤其是在約束部分。3.2.2. 彈流最小膜厚(Hmin) 另一個(gè)關(guān)于滾動(dòng)軸承的非常重要的要求是最長(zhǎng)磨損壽命。這直接關(guān)系到潤(rùn)滑劑的最小膜厚(Hmin),因?yàn)樗苊饬藵L動(dòng)

14、軸承里滾動(dòng)基礎(chǔ)與跑道間金屬與金屬之間的接觸。彈性流體動(dòng)力的潤(rùn)滑（EHL）理論成功地預(yù)測(cè)到最小膜厚7?？紤]到要求的低磨損,theoptimisation問(wèn)題旨在最大化給定的軸承邊界尺寸的最小膜厚。 公式分別適用于Hmin的內(nèi)部和外部; 因此,為了達(dá)到最好的效果,我們最大限度地少的兩個(gè)。在Eq（8）中，環(huán)可以承擔(dān)內(nèi)部或者外部作用；看看在Eq(9)中的用法。最小膜厚度的完全目標(biāo)函數(shù)可以這樣給出： Hmin=min(Hmin,inner,Hmin,outer) （9）此時(shí)i代表行數(shù)。目前情況下,已考慮到單列深溝滾動(dòng)軸承此時(shí)i等于1。子表達(dá)式用于最終的目標(biāo)函數(shù)如下所列 （10） （11） （12）應(yīng)該指

15、出的是,自然的方程式(8)和(10)近似而且使用他們時(shí)應(yīng)當(dāng)謹(jǐn)慎。然而,一個(gè)完整的負(fù)載分布分析(即找到最高負(fù)荷,Q)基于彈流潤(rùn)滑(EHL)綜合方法(即同時(shí)獲得機(jī)構(gòu))遇到的困難7固有的收斂問(wèn)題時(shí)在計(jì)算上非常昂貴,更不用說(shuō),它是為一個(gè)單一的解決方案。在優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)實(shí)施這一分析,將是非常困難的而且在計(jì)算時(shí)間方面也是不可行的,因?yàn)樗蟠祟惙治龅妮S承要執(zhí)行超過(guò)幾十萬(wàn)次(在本案中)。另一個(gè)也應(yīng)該注意這些方程式。(8)和(10)對(duì)彈流最小膜厚度和最大負(fù)荷給出了保守的估計(jì)。3.2.3.靜態(tài)載荷（Cs） 基本額定載荷(Cs)(或靜態(tài)容量)的滾動(dòng)軸承的定義是“荷載加到一個(gè)非旋轉(zhuǎn)軸承,將導(dǎo)致永久變形發(fā)生位置的最大加載

16、滾動(dòng)體”。靜態(tài)容量被定義為內(nèi)部以及外部水溝。目標(biāo)函數(shù)取兩個(gè)值的最小值,并將其最大化。這種方法類似于一個(gè)用于Hmin。 （13） Cs=min(Cs,inner,Cs,outer) （14）根據(jù)推導(dǎo)的靜態(tài)容量最大接觸應(yīng)力發(fā)生在滾動(dòng)體和軌道。因此,約束相關(guān)的接觸應(yīng)力將不會(huì)明顯地反映在約束上。3.3.約束條件約束使得參數(shù)空間減小到可行的參數(shù)空間。本節(jié)總結(jié)了9個(gè)問(wèn)題的約束。除了幾何約束,我們?cè)谝粋€(gè)給定的軸承還保持一個(gè)直觀的約束球的數(shù)量。第一個(gè)約束,最大折扣組裝角是11 （15）這建立在軸承裝配和球數(shù)數(shù)量上的方便，可以插入在之間的內(nèi)部和外部的軌道上。組裝角（o)在Eq(3)里出現(xiàn)，其中有重要的設(shè)計(jì)變量。

17、球的直徑通過(guò)下列約束有一個(gè)上界和下界。2Db-KDmin(D-d)0,(16)KDmax(D-d)-2Db0.(17)此外,一個(gè)基于軸承寬度額外的約束限制了球的最大容許直徑,是Bw-Db0.(18)為了保證運(yùn)行流動(dòng)的軸承,我們必須確保在一個(gè)軸承中節(jié)圓直徑和平均直徑之間的差異應(yīng)小于一定值。內(nèi)圈的厚度也必須超過(guò)外環(huán)的厚度,因此,Dm-0.5(D+d)0(19)(0.5+e)(D+d)-Dm0.(20)在外層水溝底一個(gè)軸承套圈的厚度不應(yīng)少于參數(shù)D,這個(gè)參數(shù)是考慮到外環(huán)而得到簡(jiǎn)單的強(qiáng)度。約束條件是，0.5(D-Dm-Db)-Db0.(21)曲率半徑的槽的內(nèi)部和外部的調(diào)心軸承不應(yīng)小于0.515分貝7,這

18、確保了滾動(dòng)體滾在沒(méi)有任何干擾的自由調(diào)。因此，fi0.515,(22)fo0.515.(23)4.總結(jié) 本文的程序優(yōu)化,提出了滾動(dòng)軸承設(shè)計(jì)。這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題具有以下特點(diǎn):非線性和多目標(biāo)以及受到限制。靜態(tài)和動(dòng)態(tài)能力和流體最小厚度一直作為目標(biāo)函數(shù)最大化。約束在本質(zhì)上主要是運(yùn)動(dòng)學(xué)。NSGA II(單程排序遺傳算法為基礎(chǔ))已經(jīng)應(yīng)用到目前的問(wèn)題。以下的結(jié)論可以得出目前的結(jié)果:動(dòng)態(tài)和靜態(tài)能力同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化。參數(shù)用于約束方程(KDmin,KDmax,e)收斂到一個(gè)非常狹窄的范圍。單平衡值(每個(gè)軸承幾何)表所示為雙優(yōu)化和三重優(yōu)化是一個(gè)在幾個(gè)權(quán)衡點(diǎn)給出的算法。雙權(quán)衡可以幫助有效的軸承設(shè)計(jì)。取舍方面可能被用于研究各種參數(shù)

19、的影響背后的計(jì)算能力的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)的軸承。使用幾何精確的公式,使計(jì)算有用的對(duì)實(shí)際應(yīng)用的軸承。觀察表明,圖每年年底的GA代,算法給出了數(shù)以百計(jì)的權(quán)衡點(diǎn)。我們可以執(zhí)行參數(shù)的研究,發(fā)現(xiàn)變化的取舍與改變操作條件。動(dòng)態(tài)和靜態(tài)能力被發(fā)現(xiàn)對(duì)滾道曲率系數(shù)的變化非常敏感。參考文獻(xiàn)1 M. Asimow, Introduction to Engineering Design, McGraw Hill, New York (1966).2 A. Seireg and H. Ezzat, Optimum design of hydrodynamic journal bearings, Transactions of A

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