正方形的性質(zhì)與判定例題精講和練習(xí)題及答案---侯老師

1、第三講正方形的性質(zhì)與判定、知識要點1. 正方形的定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.2. 正方形的性質(zhì)正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性質(zhì):1邊的性質(zhì)：對邊平行，四條邊都相等.2角的性質(zhì)：四個角都是直角.對角.3對角線性質(zhì)：兩條對角線互相垂直平分且相等，？每條對角線平分一組4對稱性：正方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.平行四邊形、矩形、菱形和正方形的關(guān)系：（如圖）3. 正方形的判定1:對角線相等的菱形是正方形2:對角線互相垂直的矩形是正方形，正方形是一種特殊的矩形3:四邊相等，有一個角是直角的四邊形是正方形4： 一組鄰邊相等的矩形是正方形5

2、: 組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形典型例題例1 如圖12-2-14，已知過正方形 ABC%角線BD上一點P，作PE± BC于E，作PF丄CD于F.試說明AP= EF.甘 E.V 12-2U4分析：由PE丄BC, PF丄CD知，四邊形PECF為矩形，故有 EF= PC,這時只需證 AP= CP, 由正方形對角線互相垂直平分知AP= CP解：連結(jié)AC PC,四邊形ABCD為正方形， BD垂直平分 AC AP= CP./ PE丄BC, PF丄CD / BCD= 90°,四邊形PECF為矩形， PC= EF, AP= EF.注意：在正方形中，常利用對角線互相垂直平分

3、證明線段相等.無論是正方形還是矩形經(jīng)常通過連結(jié)對角線證題，這樣可以使分散條件集中.思考：由上述條件是否可以得到 API EF.提示：可以，延長 AP交EF于N,由PE/ AB,有/ NPE=Z BAN又/ BAN=Z BCP 而/ BCP=Z PFE 故/ NPE=Z PFE而/ PFE+Z PEF= 90°，所以/ NPEFZ PEF= 90°，貝U API EF.例 2 如圖 12-2-15 , ABC中，Z ABC= 90°, BD平分Z ABC DEI BC, DF丄AB 試說 明四邊形BEDF是正方形.解：I/ ABC= 90°, DEL BC

4、, DE/ AB,同理，DF/ BC BEDF是平行四邊形./ BD平分/ ABC DEL BC, DFL AB, DE= DF.又/ ABC= 90°, BEDF是平行四邊形，四邊形BEDF是正方形.思考：還有沒有其他方法？提示：（有一種方法可以證四邊形 DFBE為矩形，然后證 BE= DE可得.另一種方法, 可證四邊形DFBE為菱形，后證一個角為 90°可得）注意：靈活選擇正方形的識別方法.例3 如圖12-2-16所示，四邊形 ABCD是正方形， ADE是等邊三角形，求/ BEC的大小.分析：等邊三角形和正方形都能提供大量的線段相等和角相等，常能產(chǎn)生一些等腰三角形，十分

5、便于計算.在本題中，必須注意等邊三角形與正方形不同的位置關(guān)系在（1）圖中, ABE和厶DCE都是等腰三角形， 頂角都是150°,可得底角/ AEB與/ DEC都是15°,貝 BEC為30°.而在 圖中，等邊三角形在正方形內(nèi)部，ABE和厶DCE是等腰三角形，頂角是30°,可得底角/ AEB和/ DEC為75°,再利用周角可求得/ BEC= 150° .解： 當(dāng)?shù)冗?ADE在正方形 ABCD外部時，AB= AE,/ BAE= 90°+ 60°= 150°,所 以/ AEB= 15° .同理可得/ D

6、EC= 15°，則/ BEC= 60° 15° 15°= 30 ° .(2)當(dāng)?shù)冗?ADE在正方形 ABCD內(nèi)部時，AB= AE,/ BAE= 90° 60 ° = 30°，所以/AEB= 75° .同理可得/ DEC= 75°，則/ BEC= 360° 75° 75° 60°= 150° .【中考考點】會用正方形的性質(zhì)來解決有關(guān)問題，并能用正方形的定義來判斷四邊形是否為正方形.【命題方向】本節(jié)出題比較靈活，填空題、選擇題、證明題均可出現(xiàn).正方形

7、是特殊的平行四邊形，考查正方形的內(nèi)容，實質(zhì)上是對平行四邊形知識的綜合, 涉及正方形知識的題型較多，多以證明題形式出現(xiàn).【常見錯誤分析】已知如圖12-2-18 , ABC中，/ C= 90°，分別以 AC和BC為邊向外作正方形 ACFH和 正方形BCED HML BA的延長線于 M, DK AB的延長線于 K 試說明 AB= DK+ HM錯解：延長DK到S,使KS= HM連結(jié)SB./ 2=Z 3,Z 2+Z 4= 90°,/ 3+Z 4= 90°.在厶ABC SDB中，/ ACB=Z SBD= 90°,BC= BD，/ 2= 90°/ 4=Z 5

8、 ABC SDB重合， AB= SD= SKDK,即 AB= HM DK.分析指導(dǎo)：由于S、B C三點共線未經(jīng)證明，所以/ 2 =/ 3的理由是不充足的，因此又犯了思維不嚴(yán)密的錯誤.正解：如圖12-2-18，延長DK交CB延長線于S,下面證 KS= MH在厶 ACB SBD中,/ BD= BC, / SBD=/ ACB= 90 ° ,又/ 2=/ 3=/ 5, ACB與 SBD重 合， AB= DS, BS= AC= AH.在厶 BKS和 AMH中,/ 1=/ 2=/ 3,/ AM=/ SKB= 90°, BS= AH, BKS與 AMHt 合， KS= HM， AB= D

9、K HM.【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】正方形是最特殊的平行四邊形，它既是一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角為直角的菱形，所以它的性質(zhì)最多，易混淆.故最好把平行四邊形、矩形、菱形、正方形列表寫出它們的定義、性質(zhì)、判定，這樣更容易記憶和區(qū)分三、作業(yè)正方形的判定選擇題（共 8 小題） 1已知四邊形 ABCD是平行四邊形，再從AB=BC/ ABC=90，AC=BDACLBD 四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯誤的是（ ）A. 選 B .選 C .選D .選2下列說法中，正確的是（）A. 相等的角一定是對頂角B. 四個角都相等的四邊形一定是正方形C. 平行四邊形的對

10、角線互相平分D. 矩形的對角線一定垂直3. 下列命題中是假命題的是（）A. 組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形B. 組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形C. 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D. 組鄰邊相等的矩形是正方形4. 已知四邊形 ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的有（）當(dāng)AB=BC時，它是菱形；當(dāng) ACL BD時，它是菱形；當(dāng)/ ABC=90時，它是矩形； 當(dāng)AC=BD寸，它是正方形.A. 1組B . 2 組C . 3組 D . 4組5. 四邊形ABCD勺對角線AC=BD ACLBD分別過 A B、C、D作對角線的平行線，所成的 四邊形EFMh（）A.正方形 B .菱形 C

11、.矩形 D .任意四邊形6如果要證明平行四邊形 ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎(chǔ)上，進一步證明（）A. AB=AD且 ACL BD B. AB=AD且 AC=BD C . Z A=/B 且 AC=BD D. AC和 BD互相垂直 平分7.下列命題中，真命題是（）A. 對角線相等的四邊形是矩形B. 對角線互相垂直的四邊形是菱形C. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形&如圖，在厶ABC中，Z ACB=90 , BC的垂直平分線 EF交BC于點D,交AB于點E,且BE=BF 添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形

12、的是（）A. BC=AC B. CFL BF C. BD=DFD. AC=BF二.填空題（共6小題）9.能使平行四邊形 ABCD為正方形的條件是 （填上一個符合題目要求的條件即可）.10 .如圖，在Rt ABC中，Z C=90 , DE垂直平分 AC, DFL BC當(dāng)厶ABC滿足條件 時，四邊形DECF是正方形.（要求：不再添加任何輔助線，只需填一個符合要求的條件）11. 如圖，菱形 ABCD的對角線相交于點 0,請你添加一個條件：_ ，使得該菱形為正方形.12. 如圖，在四邊形 ABCD中, AB=BC=CD=DA對角線AC與BD相交于點0,若不增加任何字 母與輔助線，要使四邊形 ABCD是

13、正方形，則還需增加一個條件是_.13. 已知四邊形ABCD中, / A=Z B=Z C=90 ,若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形， 那么這個條件可以是.14要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為 .三.解答題（共8小題）15. 已知：如圖， ABC中，/ ABC=90 , BD是/ ABC的平分線，DEL AB于點E, DF丄BC于點F.求證：四邊形 DEBF是正方形.16. 如圖，在四邊形 ABCD中, AB=BC對角線 BD平分/ ABC P是BD上一點，過點P作PMLAD, PNL CD垂足分別為 M N.(1 )求證：/ ADBM CDB(2)若/ ADC=90，求證：四邊形

14、MPND正方形.17. 如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90，過點 C的直線 MN/ AB D為AB邊上一點，過點 D 作DEIBC交直線 MN于E,垂足為F,連接CD BE(1) 求證：CE=AD(2) 當(dāng)D在AB中點時，四邊形 BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；(3) 若D為AB中點，則當(dāng)/A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你 的理由.18. 如圖，在 ABC中，點 D E分別是邊 AB AC的中點，將 ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得到 CFE(1) 求證：四邊形 ADCF是平行四邊形.(2) 當(dāng)厶ABC滿足什么條件時，四邊形 ADCF是正方形？請說明

15、理由.A19如圖，分別以線段 AB的兩個端點為圓心，大于 AB的長為半徑作弧，兩弧交于 M N兩 點，連接 MN交AB于點 D C是直線 MN上任意一點，連接 CA CB過點D作DEL AC于點 E, DFL BC 于點 F.(1) 求證： AEDA BFD(2) 若AB=2當(dāng)CD的值為時，四邊形 DECF是正方形.20 .如圖，AB是CD的垂直平分線，交 CD于點M過點 M作MEL A C, MFL AD垂足分別為E、F.(1 )求證：/ CABM DAB(2)若/ CAD=90，求證：四邊形 AEMF是正方形.21. 如圖， ABC中，點 0是邊AC上一個動點，過 0作直線 MN/ BQ

16、設(shè) MN交/ACB的平分 線于點E,交/ ACB的外角平分線于點 F.(1) 探究：線段 0E與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(2) 當(dāng)點0運動到何處時，且 ABC滿足什么條件時，四邊形 AECF是正方形？(3) 當(dāng)點0在邊AC上運動時，四邊形 BCF 是菱形嗎？(填“可能”或“不 可能”)3CD22. 已知：如圖， ABC中，點0是AC上的一動點，過點 0作直線 MN/ AC設(shè) MN交/ BCA 的平分線于點E,交/ BCA的外角/ACG的平分線于點F,連接AE、AF.(1 )求證：/ ECF=90 ;(2)當(dāng)點0運動到何處時，四邊形 AECF是矩形？請說明理由;(3) 在(2)的條件下， AB

17、C應(yīng)該滿足條件：_ ，就能使矩形 AECF變?yōu)檎叫?(直接添加條件，無需證明)參考答案與試題解析一選擇題（共 8 小題）1已知四邊形 ABCD是平行四邊形，再從AB=BC/ ABC=90，AC=BDACLBD 四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯誤的是（ ）A. 選B.選C.選D.選考點：正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì)分析：要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形.解答：解：A、由得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形 ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意;B由得有一個角是直角的平行

18、四邊形是矩形，由得對角線相等的平行四邊形是矩形， 所以不能得出平行四邊形 ABCD是正方形，錯誤，故本選項符合題意；C由得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形 ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意；D由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由得對角線互相垂直的平行四邊形是菱 形，所以平行四邊形 ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意.故選： B.點評：本題考查了正方形的判定方法： 先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等； 先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角. 還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定.2.

19、下列說法中，正確的是（）A. 相等的角一定是對頂角B 四個角都相等的四邊形一定是正方形C 平行四邊形的對角線互相平分D 矩形的對角線一定垂直考點：正方形的判定；對頂角、鄰補角；平行四邊形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)分析：根據(jù)對頂角的定義，正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)對各選項分析判斷利用排除法求解解答：解：A、相等的角一定是對頂角錯誤，例如，角平分線分成的兩個角相等，但不是對頂角，故本選項錯誤；B四個角都相等的四邊形一定是矩形，不一定是正方形，故本選項錯誤；C平行四邊形的對角線互相平分正確，故本選項正確；D矩形的對角線一定相等，但不一定垂直，故本選項錯誤.故選： C點評：本題考查了正方形的判

20、定， 平行四邊形的性質(zhì)， 矩形的性質(zhì)， 對頂角的定義，熟記各性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵.3. 下列命題中是假命題的是（）A. 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形B. 一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形C. 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D. 一組鄰邊相等的矩形是正方形考點：正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定.專題：證明題.分析：做題時首先熟悉各種四邊形的判定方法，然后作答.解答：解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，（平行四邊形判定定理）；正確B 組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形，不一定是矩形，還可能是不規(guī)則四邊 形，錯誤C 一組鄰邊相等的平行

21、四邊形是菱形，正確；D 組鄰邊相等的矩形是正方形，正確.故選 B點評：本題主要考查各種四邊形的判定，基礎(chǔ)題要細(xì)心.4. 已知四邊形 ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的有（） 當(dāng)AB=BC寸，它是菱形；當(dāng) ACL BD時，它是菱形；當(dāng)/ ABC=90時，它是矩形； 當(dāng)AC=BD寸，它是正方形.A.1 組B. 2 組C. 3組D. 4組考點：正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定.分析：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可判斷正確； 根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等，可判斷正確；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可判斷正確；根據(jù) 對角線相等的平行四邊形是矩形可以判斷出錯誤.解答：解

22、：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形,當(dāng)AB=BC寸，它是菱形正確； 四邊形ABCD是平行四邊形， BO=OP/ ACL BD AB2=BO2+AO2P AD2=DO2+AO2P AB=ADP四邊形ABCD是菱形，故正確； 根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可知正確； 根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知當(dāng)AC=BD寸，它是矩形，不是正方形，故錯誤;故不正確的有1個.故選：A.點評：此題主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握三種特殊平行四邊形的判定定理.5. 四邊形ABCD勺對角線AC=BD ACLBD,分別過 A B、C、D作對角線的平行

23、線，所成的 四邊形EFMN()A.正方形B.菱形C.矩形D.任意四邊形考點：正方形的判定.分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定得出/ NAOM AODM N=90 ,EN=NM=FM=ERS而判斷即可.解答：證明：如圖所示：分別過A B C D作對角線的平行線， AC/ MN EF, EN/ BD/ MF對角線 AC=BD ACL BD/ NAOM AODM N=90 , EN=NM=FM=EF四邊形EFMN是正方形.故選：A.V點評：此題主要考查了正方形的判定以及平行線的性質(zhì)和判定等知識，熟練掌握正方形的判定定理是解題關(guān)鍵.6 如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行

24、四邊形的基礎(chǔ)上，進一步證明（）A.AB=AD且 ACL BD B.AB=AD且 AC=BD C ./ A=/B 且 AC=BD D AC 和 BD互相垂直平分考點：正方形的判定.分析：根據(jù)正方形的判定對各個選項進行分析從而得到最后的答案.解答：解：A、根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，或者對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以不能判斷平行四邊形ABCD是正方形；B根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；C 一組鄰角相等的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形也是矩形，即只能證明四邊形ABCD是矩形，不能判斷四邊形 ABCD是正

25、方形；D對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以不 能判斷四邊形ABCD是正方形.故選B.點評：本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種： 先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等;先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角.7下列命題中，真命題是（）A. 對角線相等的四邊形是矩形B. 對角線互相垂直的四邊形是菱形C. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形考點：正方形的判定； 平行四邊形的判定； 菱形的判定； 矩形的判定； 命題與定理.分析：A、根據(jù)矩形的定義作出判斷；B根據(jù)菱形的性質(zhì)作出

26、判斷；C根據(jù)平行四邊形的判定定理作出判斷;D根據(jù)正方形的判定定理作出判斷.解答：解：A、兩條對角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項錯誤；B對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項錯誤；C對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項正確；D對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項錯誤;故選 C.點評：本題綜合考查了正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定.解答此題時，必須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關(guān)系.&如圖，在厶ABC中，/ ACB=90 , BC的垂直平分線 EF交BC于點D,交AB于點E,且BE=BF, 添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（

27、）A.BC=ACB. CF丄 BFC. BD=DFD. AC=BF考點：正方形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì).分析：根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=ECBF=FC進而得出四邊形 BECF是菱形；由菱形的性質(zhì)知，以及菱形與正方形的關(guān)系，進而分 別分析得出即可.解答：解： EF垂直平分BC BE=EC BF=CF/ BF=BE BE=EC=CF=BF四邊形BECF是菱形；當(dāng)BC=AC寸，/ ACB=90 ,則/A=45°時，菱形 BECF是正方形./ A=45°,Z ACB=90 , / EBC=45 / EBF=2/ EBC=2< 45&#

28、176; =90°菱形BECF是正方形.故選項A正確，但不符合題意；當(dāng)CF丄BF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項B正確，但不符合題意;當(dāng)BD=DF寸，禾U用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項 C正確，但不符合題意；當(dāng)AC=BF時，無法得出菱形 BECF是正方形，故選項 D錯誤，符合題意.故選：D.點評：本題考查了菱形的判定和性質(zhì)及中垂線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的判定等知識，熟練掌握正方形的相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵.二.填空題（共6小題）9. 能使平行四邊形 ABCD為正方形的條件是AC=BD且ACLBD （填上一個符合題目要求的條件即可）.考點：

29、正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì).專題：開放型.分析：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形是矩形，矩形和菱形的結(jié)合體是正方形.解答：解：可添加對角線相等且對角線垂直或?qū)蔷€相等，且一組鄰邊相等；或?qū)蔷€垂直，有一個內(nèi)角是 90°.答案不唯一，此處填：AC=BEfi ACLBD點評：本題考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的結(jié)合.10. 如圖，在 Rt ABC中，/ C=9C° , DE垂直平分 AC, DF丄BC當(dāng)厶ABC滿足條件 AC=BC 時，四邊形DECF是正方形.（要求：不再添加任何輔助線，只需填一個符合要求的條件）考點:正方形的判定.專題:計算

30、題；開放型.分析：由已知可得四邊形的四個角都為直角，因此再有四邊相等即是正方形添加條件.此題可從四邊形 DECF是正方形推出.解答：解：設(shè)AC=BC即厶ABC為等腰直角三角形，/ C=90 , DE垂直平分 AC DF丄 BC/ C=Z CEDM EDF2 DFC=90 ,DF=AC=CE2DE=BC=CF2 DF=CE=DE=CF四邊形DECF是正方形，故答案為：AC=BC點評：此題考查的知識點是正方形的判定，解題的關(guān)鍵是可從四邊形DECF是正方形推出 ABC滿足的條件.11. 如圖，菱形 ABCD勺對角線相交于點 0,請你添加一個條件：AC=BD或AB丄BC ，使得該菱形為正方形.考點：正

31、方形的判定；菱形的性質(zhì).專題：壓軸題.分析：根據(jù)正方形判定定理進行分析.解答：解：根據(jù)對角線相等的菱形是正方形，可添加： AC=BD根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB丄BC故添加的條件為： AC=BD或 AB! BC點評：本題答案不唯一，根據(jù)菱形與正方形的關(guān)系求解.12. 如圖，在四邊形 ABCD中，AB=BC=CD=DA寸角線AC與BD相交于點0,若不增加任何字 母與輔助線，要使四邊形 ABCD是正方形，則還需增加一個條件是AC=BD或AB丄BC .考點：正方形的判定；菱形的判定.專題：開放型.分析：根據(jù)菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答.解答：解：在四邊形 ABCD中,

32、AB=BC=CD=DA四邊形ABCD是菱形要使四邊形 ABCD是正方形，則還需增加一個條件是：AC=BD或 AB丄BC點評：解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理，即有一個角是直角的菱形是正方形.13. 已知四邊形ABCD中, / A=Z B=Z C=90 ,若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形, 那么這個條件可以是AB=AD或ACL BD等 .考點：正方形的判定；矩形的判定與性質(zhì).專題：開放型.分析：由已知可得四邊形 ABCD是矩形，則可根據(jù)有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直的矩形是正方形添加條件.解答：解：由/A=Z B=Z C=90可知四邊形 ABCD是矩形，根據(jù)根據(jù)有一組鄰邊相等或?qū)?/p>

33、線互相垂直的矩形是正方形，得到應(yīng)該添加的條件為：AB=AD或ACL BD等.故答案為：AB=AD或 ACL BD等.點評：本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種： 先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等； 先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角.14. 要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為有一個角是直角或?qū)蔷€相等.考點：正方形的判定；菱形的性質(zhì).專題：開放型.分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)及正方形的判定進行分析，從而得到最后答案.解答：解：要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為：有一個角是直角或?qū)蔷€相等.點評：解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理：

34、(1) 有一個角是直角的菱形是正方形；(2 )對角線相等的菱形是正方形.三.解答題(共8小題)15. 已知：如圖， ABC中，/ ABC=90 , BD是/ ABC的平分線，DEL AB于點E, DF丄BC 于點F.求證：四邊形 DEBF是正方形.考點：正方形的判定.專題：證明題.分析：由DEL AB DF丄BC / ABC=90，先證明四邊形DEBF是矩形，再由 BD是/ ABC的平分線，DEL AB于點E, DFL BC于點F得出DE=DF判定四邊形 DEBF是正方形.解答：解：T DEL AB DFL BC/ DEBM DFB=90 ,又/ ABC=90 ,四邊形BEDF為矩形，/ BD

35、是/ABC 的平分線，且 DEL AB DFL BC DE=DF矩形BEDF為正方形.點評：本題考查正方形的判定、角平分線的性質(zhì)和矩形的判定.要注意判定一個四邊形是正方形，必須先證明這個四邊形為矩形或菱形.16. 如圖，在四邊形 ABCD中, AB=BC對角線 BD平分/ ABC P是BD上一點，過點P作PMLAD PNL CD垂足分別為 M N.(1 )求證：/ ADBM CDB(2) 若/ ADC=90，求證：四邊形 MPN是正方形.專題:證明題.分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明厶 ABDA CBD由全等三角形的性質(zhì)即可得到：/ ADB=/ CDB（2）若/ ADC

36、=90，由（1）中的條件可得四邊形 MPND!矩形，再根據(jù)兩邊相等的四邊形 是正方形即可證明四邊形 MPND!正方形.解答：證明：（1）V對角線BD平分/ ABC / ABDM CBD 在厶ABD和厶CBD中,AB=CB一,-,BD=BD ABDA CBD( SAS , / ADBM CDB(2)TPMLAD PNL CD/ PMDWPND=90 ,/ ADC=90 ,四邊形MPND!矩形，/ ADBM CDB/ ADB=45 PM=MD四邊形MPND!正方形.點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記各種幾何圖形的性質(zhì)和判定.1

37、7. 如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90，過點 C的直線 MN/ AB, D為AB邊上一點，過點 D 作DEL BC交直線 MN于E,垂足為F,連接CD BE(1) 求證：CE=AD(2) 當(dāng)D在AB中點時，四邊形 BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；(3) 若D為AB中點，則當(dāng)/A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你 的理由.考點：正方形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.專題：幾何綜合題.分析：(1)先求出四邊形 ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可;(2) 求出四邊形 BECD是平行四邊形，求出 CD=B D根據(jù)菱形的判定推出即可；(3

38、) 求出/ CDB=90，再根據(jù)正方形的判定推出即可.解答：(1)證明：T DEL BC/ DFB=90 ,/ ACB=90 ,/ ACBM DFB AC/ DE/ MN/ AB 即 CE/ AD四邊形ADEC是平行四邊形， CE=AD(2) 解：四邊形 BECD是菱形，理由是：TD為AB中點， AD=BD/ CE=AD BD=CE/ BD/ CE四邊形BECD是平行四邊形，/ ACB=90 , D 為 AB 中點， CD=B，D四邊形BECD是菱形；(3) 當(dāng)/A=45時，四邊形 BECD是正方形，理由是：解：/ ACB=90，/ A=45, / ABCM A=45, AC=BC，D為BA中

39、點， CDL ABM CDB=90 ，四邊形BECD是菱形，四邊形BECD是正方形，即當(dāng)/ A=45時，四邊形 BECD是正方形.點評：本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力.18. 如圖，在 ABC中，點 D E分別是邊 AB AC的中點，將 ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得到 CFE(1) 求證：四邊形 ADCF是平行四邊形.(2) 當(dāng)厶ABC滿足什么條件時，四邊形 ADCF是正方形？請說明理由.考點：正方形的判定；平行四邊形的判定.分析：(1 )利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點A E、C三點共線，點D、E、F三點共線

40、，且AE=CD DE=FE即可得出答案；(2)首先得出CDLAB即/ADC=90，由(1)知，四邊形 ADCF是平行四邊形，故四邊形 ADCF是矩形.進而求出 CD=AD即可得出答案.解答：(1)證明： CFE是由 ADE繞點E旋轉(zhuǎn)180°得到，點A、E、C三點共線，點 D、E、F三點共線，且 AE=CE DE=FE故四邊形ADCF是平行四邊形.(2 )解：當(dāng)/ ACB=90 , AC=BC寸，四邊形 ADCF是正方形.理由如下：在厶ABC中，T AC=BC AD=BD CDL AB 即/ ADC=90 .而由(1)知，四邊形 ADCF是平行四邊形， 四邊形ADCF是矩形.又/ AC

41、B=90 , CD冷紀(jì)二AD，故四邊形ADCF是正方形.點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，得出四邊形ADCF是矩形是解題關(guān)鍵.19如圖，分別以線段 AB的兩個端點為圓心，大于 AB的長為半徑作弧，兩弧交于 M N兩 點，連接 MN交AB于點 D C是直線 MN上任意一點，連接 CA CB,過點D作DEL AC于點 E, DFL BC 于點 F.(1) 求證： AEDA BFD(2) 若AB=2當(dāng)CD的值為 1 時，四邊形 DECF是正方形.考點：正方形的判定；全等三角形的判定.分析：(1)先由作圖知 MN是線段AB的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出CA=CB AD

42、=BD由等邊對等角得到/ A=Z B,然后利用 AAS即可證明厶AEDA BFD(2)若AB=2,當(dāng)CD的值為1時，四邊形 DECF是正方形.先由 CD=AD=BD=1 MNLAB得出 ACD與 BCD都是等腰直角三角形，則/ ACDM BCD=45，/ ECF=90，根據(jù)有三個角是 直角的四邊形是矩形證明四邊形DECF是矩形，再由等角對等邊得出ED=CE從而得出矩形DECF是正方形.解答：(1)證明：由作圖知， MN是線段AB的垂直平分線，C是直線 MN上任意一點，MN交AB于點D, CA=CB AD=BD/ A=Z B.在厶AED與厶BFD中，上 AED 二 ZBFD 二Za=Z&

43、，AD=BD AEDA BFD( AAS ；(2)解：若AB=2,當(dāng)CD的值為1時，四邊形DECF是正方形.理由如下: / AB=2 AD=BD=AB=1./ CD=AD=BD=1MNL AB ACD與厶BCD都是等腰直角三角形，/ ACDM BCD=45 ,/ ECF=/ ACD# BCD=90 ,/ DEC# DFC=90 ,四邊形 DECF是矩形，/ CDE=90 - 45° =45°,# ECD# CDE=45 , ED=CE矩形DECF是正方形.故答案為1.點評：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難度適中.

44、20 .如圖，AB是CD的垂直平分線，交 CD于點M過點 M作MEI A C, MH AD垂足分別為E、F.(1 )求證：/ CAB=/ DAB(2)若/ CAD=90，求證：四邊形 AEMF是正方形.考點：正方形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：(1)根據(jù)AB是CD的垂直平分線，得到 AC=AD然后利用三線合一的性質(zhì)得到/ CABd DAB即可；(2 )首先判定四邊形 AEMF是矩形，然后證得 ME=MF利用鄰邊相等的矩形 AEMF是正方形 進行判定即可.解答：(1)證明：T AB是CD的垂直平分線， AC=AD又 AB丄 CD/ CABd DAB(等

45、腰三角形的三線合一)；(2)證明：T MEL A C, MFL AD / CAD=90 ,即/ CADd AEMdAFM=90 , 四邊形AEMF是矩形,又/ CABd DAB MEI A C, MH AD ME=M,F矩形AEMF是正方形.點評：本題考查正方形的判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)的知識，綜合性較強，難度不大.21. 如圖， ABC中，點 0是邊AC上一個動點，過 0作直線 MN/ BC 設(shè) MN交/ACB的平分 線于點E,交/ ACB的外角平分線于點 F.(1) 探究：線段 0E與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(2) 當(dāng)點0運動到何處時，且 ABC滿足什么條件時，四邊形 AECF是正方形？(3) 當(dāng)點0在邊AC上運動時，四邊形 BCFE不可能 是菱形嗎？(填“可能”或“不可 能”)考點：正方形的判定；菱形的判定.分析：(1)由直線 MN/ BC MN交d BCA的平分線于點 E,交/ BCA的外角平分線于點F,易證得 0EC與A0FC是等腰三角形，則可證得0E=0F=QC(2)正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線0A=0C所以0為AC的中點，同樣在 ABC中，當(dāng)/ACB=90時，可滿足其為正方形；(3 )菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直.解答：解：(1) 0E=0F理由如下：/ CE是/ACB的角平