趙樹(shù)嫄微積分第四版第九章-微分方程與差分方程簡(jiǎn)介培訓(xùn)講學(xué)

1、趙樹(shù)嫄微積分第四版第九章趙樹(shù)嫄微積分第四版第九章-微微分方程與差分方程簡(jiǎn)介分方程與差分方程簡(jiǎn)介定義定義 含有自變量，自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)含有自變量，自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的若干階導(dǎo)數(shù)或微分的函數(shù)方程稱為的若干階導(dǎo)數(shù)或微分的函數(shù)方程稱為微分方程微分方程. . 定義定義 出現(xiàn)在微分方程中的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或出現(xiàn)在微分方程中的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)，稱為微分方程的微分的階數(shù)，稱為微分方程的階階. . 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程常微分方程，未，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程偏微分方程.

2、 .在本書(shū)在本書(shū)中只討論常微分方程，如下例：中只討論常微分方程，如下例： ,xyy ,0dd)(2 xxtxt,e32xyyy 一階一階二階二階一階一階012 xxtxxyydd 定義定義 使方程成為恒等式的函數(shù)稱微分方程的使方程成為恒等式的函數(shù)稱微分方程的解解。微分方程的解的分類：微分方程的解的分類：(1)(1)通解通解：微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且獨(dú)立且獨(dú)立任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同。任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同。(2)(2)特解特解：不含任意常數(shù)的解不含任意常數(shù)的解。, yy 例例;exCy 通通解解,0 yyxCxCycossin21 通解

3、通解定解條件：定解條件：用來(lái)確定任意常數(shù)的條件用來(lái)確定任意常數(shù)的條件。,0 yyxxCCy ee21通通解解初始條件：初始條件：規(guī)定微分方程中的未知函數(shù)及其若干階規(guī)定微分方程中的未知函數(shù)及其若干階導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)處的取值導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)處的取值。過(guò)定點(diǎn)的積分曲線過(guò)定點(diǎn)的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線。過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線。初值問(wèn)題：初值問(wèn)題：求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題。求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題。xyo xxxfd2)( ,2Cx ,2 C得得.2 2 x

4、y所所求求曲曲線線方方程程為為，代代入入將將3, 1 yx解解例例 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1, 3), 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程。等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程。設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知xy2 (1, 3)函數(shù)函數(shù))(xf的原函數(shù)的圖形稱為的原函數(shù)的圖形稱為)(xf的的積分曲線積分曲線族族. . 第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程引例引例微分方程微分方程, )(xfy 兩邊積分即可。兩邊積分即可。,2xy xxyd2.313Cx ? 22yxy ,dd22yxxy 分離變量，分離變量，改寫成

5、改寫成,dd22xxyy 兩邊積分，兩邊積分，,3113Cxy 通解為通解為.333Cxy ( (一一) )可分離變量的一階微分方程可分離變量的一階微分方程( (一一) )可分離變量的一階微分方程可分離變量的一階微分方程xxfyygd)(d)( xxfyygd)(d)(設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的某某個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), CxFyG )()(為微分方程的通解。為微分方程的通解。兩邊積分兩邊積分,為為可分離變量的方程?？煞蛛x變量的方程。稱稱則則第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程可分離的微分方程的解法可分離的微分方程的解法 (1)分離變量分離變量 g(

6、y)dy f(x)dx (2)兩邊同時(shí)積分兩邊同時(shí)積分 cdxxfdyyg)()( 其中其中c是任意常數(shù)是任意常數(shù) 這就是可分離變量微分方程的通解這就是可分離變量微分方程的通解 求方程求方程22ddxyxy 的通解的通解. . 解解分分離離變變量量，xxyyd2d2 ， 積分積分 Cxy 21, , 所以通解為所以通解為 Cxy 21. . 例例求求方方程程xyxy2dd 的的通通解解. . 解解分分離離變變量量, , xxyyd2d , , 積積分分 Cxy 2|ln, , 或?qū)憺榛驅(qū)憺?2eexCy , , 記記 CCe1 , , 則則通通解解為為 2e1xCy . . 可簡(jiǎn)寫為：可簡(jiǎn)寫為

7、：分分離離變變量量, , xxyyd2d , , 積分積分 Cxylnln2 , , 則則通通解解為為 2exCy . . 例例積分積分 Cxylnlnln , , 則則通通解解為為 Cyx . . 求方程求方程xyxy dd的通解的通解. . 解解分分離離變變量量, , xxyydd , , 練習(xí)練習(xí)求求方方程程0d)ee (d)ee ( yxyyxxyx的的通通解解. . 解解分離變量：分離變量：0d1eed1ee xyxxyy, , 兩兩邊邊積積分分: : Cxyln)1eln()1eln( , , 即所求通解為即所求通解為 Cyx )1e)(1e (. . 例例求求方方程程2cos2c

8、osddyxyxxy 的的通通解解. . 2cos2cosddyxyxxy ,2sin2sin2yx ,d2sin2sin2d xxyy|2cot2csc|lnyy 為所求通解為所求通解.解解Cx 2cos2例例Cxxxxxx |cotcsc|lndcscsind求求方方程程)1(122xxyyy 滿滿足足2)1( y的的特特解解. . 解解例例xxxyyyd)1(1d122 分離變量，分離變量，兩邊積分兩邊積分)1ln(212y 222d)1(121xxx 222d)111(21xxxCxxln211ln2122 通解為通解為 ,11222xxCy 將將2)1( y代代入入得得 10 C，

9、所求特解為所求特解為.1101222xxy 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模( (二二) )齊次方程齊次方程)(ddxyfxy 的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程。形如形如例如例如22ddxxyyxy 可化為可化為;1)(dd2 xyxyxy0d)2(d)(22 yxyxxyxy可化為可化為xyxyxyxy2dd22 .)(21)()(2xyxyxy 齊次方程的解法齊次方程的解法 解齊次方程)(xyfdxdy的過(guò)程是 第一步 作變換xyu 將方程化為)(ufdxduxu 第二步 分離變量 得xdxuufdu)( 第三步 兩端積分 得cxdxuudu)( 第四步 作逆變換xy代替u 例例求求方方程程

10、xyxyxytan3dd 的的通通解解. . 解解作作變變量量代代換換 xyu , , 代代入入原原方方程程得得 uuxuxutan3dd , , ,uxy ,ddddxuxuxy 此題不能分離變量此題不能分離變量, , 是齊次方程是齊次方程, ,分分離離變變量量得得 xxuud3tand , , 積積分分得得 Cxulnln3)ln(sin , , .sin 3xCxy 即即得得原原方方程程通通解解為為例例1)1( y的的特特解解. . 解解作作變變量量代代換換 xyu , , 代代入入原原方方程程得得 1dd2 uuxuxu, , 求求方方程程xyxyxyxydddd22 滿滿足足初初始始

11、條條件件 即即 11dd2 uuuuuxux, , ,uxy ,ddddxuxuxy 22ddxxyyxy 原方程變形為原方程變形為 ,1)(2 xyxy積積分分得得：Cxuulnlnln , , 或或?qū)憣懗沙?Cxuuln)ln( , , 再將再將xyu 代入代入, ,得通解為得通解為 yCxy e； 分離變量得分離變量得 xxuudd)11( , , 再再由由初初始始條條件件1)1( y, , 得得e C, , 于于是是得得所所求求特特解解為為 1e xyy. . 即即 11dd2 uuuuuxux, , 或或 yxCu e, , 練習(xí)練習(xí)求求方方程程 0)()( yxyyx 的的通通解解

12、. . 解解11 xyxy, , 作變量代換作變量代換 xyu , , ,uxy ,ddddxuxuxy 是齊次方程是齊次方程, ,xyxyxy dd原方程變形為原方程變形為 代入原方程得代入原方程得 11dd uuxuxu, , 分分離離變變量量得得 xxuuudd112 , , 積積分分得得 Cxuuln|ln)1ln(21arctan2 , , 或?qū)懗苫驅(qū)懗?uCuxarctan2e1 , , 再將再將xyu 代入代入, ,得通解為得通解為 分分離離變變量量得得 xxuuudd112 , , .earctan22xyCyx ( (三三) )一階線性微分方程一階線性微分方程一階線性微分方程

13、一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(ddxQyxPxy , 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上述方程稱為上述方程稱為齊次的齊次的.上述方程稱為上述方程稱為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)例如例如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的, 非齊次非齊次非線性的非線性的. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.ed)( xxPCy1、線性齊次方程、線性齊次方程一階線性微分方程的一階線性微分方程的解法：解法：使用分離使用分離變量法變量法這這里里記記號(hào)號(hào) xxP

14、d)(表表示示)(xP的的某某個(gè)個(gè)確確定定的的原原函函數(shù)數(shù). . 2、線性非齊次方程、線性非齊次方程)()(ddxQyxPxy 常數(shù)變易法：常數(shù)變易法：作變換作變換 xxPxuyd)(e)(,e)()(e)(d)(d)( xxPxxPxPxuxuy代代入入原原方方程程得得和和將將yy ),(e)(d)(xQxuxxP ,de)()(d)(CxxQxuxxP 積分得積分得所以原方程的通解為所以原方程的通解為:de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP .sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ )desin(ed1d1 Cxxxyxxxx)desin(e

15、lnln Cxxxxx)dsin(1 Cxxx. )cos(1Cxx 解解de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 例例通解為通解為 求求方方程程2e22ddxxxyxy 滿滿足足1)0( y的的特特解解. . 解解由由初初始始條條件件1)0( y, , 1 C, , 即即所所求求特特解解為為 )1(e22 xyx. . 例例)d2(e2Cxxx , )(e22Cxx )dee2(ed2d22Cxxyxxxxx 通解為通解為 de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 解解 方程改寫為方程改寫為 所以所求解為所以所求解為 ,1ln1xyxxy 一階線性方程，一階線性方程， 將將1)e(

16、y代代入入，C 211，得得21 C， 0d)ln(dln xxyyxx，且且1e)( y。 )de1(elndlndCxxyxxxxxx )ln21(ln12Cxx )dln(ln1Cxxxx .)ln1(ln21xxy 例例,lnln21xCx 解解這是這是一階線性一階線性微分微分方程方程，通解為，通解為 求求 3)1(12 xyxy 的的通通解解。 de)1(ed123d12Cxxyxxxx 練習(xí)練習(xí)de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP d)1(1)1()1(232Cxxxx d)1()1(2Cxxx .)1()1(2124 xCx)1(21)1(22Cxx 求求方方程程0d)(

17、d3 yyxxy的的通通解解. . 解解方方程程含含有有3y, ,故故不不是是關(guān)關(guān)于于未未知知函函數(shù)數(shù)y線線性性方方程程, , 可可把把y視視為為自自變變量量, ,把把方方程程改改寫寫為為 此此即即一一階階線線性性方方程程, ,解解得得通通解解為為 例例,dd2yyxyx )de(ed12d1Cyyxyyyy )d(12Cyyyy .43yyC 數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模-價(jià)格調(diào)整模型價(jià)格調(diào)整模型 設(shè)某商品的價(jià)格主要取決于市場(chǎng)供求關(guān)系，或者說(shuō)供設(shè)某商品的價(jià)格主要取決于市場(chǎng)供求關(guān)系，或者說(shuō)供給量給量S與需求量與需求量D只與該商品的價(jià)格只與該商品的價(jià)格p有關(guān)。設(shè)有關(guān)。設(shè) ,bpaS ,pD 其其中中 , b

18、a均均為為常常數(shù)數(shù)，且且0, 0 b。 當(dāng)當(dāng)DS 時(shí)時(shí)，bap e，稱稱為為均均衡衡價(jià)價(jià)格格。 一般，若供過(guò)于求一般，若供過(guò)于求)(DS ，價(jià)格將下跌；若供不，價(jià)格將下跌；若供不應(yīng)求應(yīng)求)(DS ，價(jià)格將上漲。所以，視價(jià)格，價(jià)格將上漲。所以，視價(jià)格 p 為時(shí)為時(shí)間的函數(shù)間的函數(shù))(tpp 。 設(shè)設(shè)價(jià)價(jià)格格)(tpp 的的變變化化率率tpdd與與超超額額需需求求量量SD 成成正正比比，即即設(shè)設(shè) , )(ddSDktp 其中其中 k 為正的常數(shù)，用來(lái)反映價(jià)格的調(diào)整速度。為正的常數(shù)，用來(lái)反映價(jià)格的調(diào)整速度。 )(ddpptpe ，其其中中 0)( kb ， 通解為通解為 tCptp e)(e， 假假

19、定定初初始始價(jià)價(jià)格格0)0(pp ，代代入入得得 e0ppC 。 于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為 tppptp e )()(e0e由由0 知知，e)(limptpt ，即即表表明明價(jià)價(jià)格格最最終終將將趨趨向向于于均均衡衡價(jià)價(jià)格格。 第三節(jié)第三節(jié) 幾種二階微分方程幾種二階微分方程( (一一) )最簡(jiǎn)單的二階微分方程最簡(jiǎn)單的二階微分方程解解例例.exxy 解法：兩邊積分解法：兩邊積分兩兩次即可次即可。, )(xfy 形如形如積分一次得積分一次得 xxyxde,e)1(1Cxx 再積分一次，得通解為再積分一次，得通解為 xCxyxde)1(1.e)2(21CxCxx ( (二二

20、) ),(yxfy 型型, , 不不顯顯含含y 解法：令解法：令)(xpy ，化為，化為),(pxfp . . 一階微分方程一階微分方程求求方方程程0)21( yyx的的通通解解. . 解解令令 yp , ,則則方方程程化化為為 分離變量分離變量, ,得得xxppd121d , , 積積分分得得 1ln)12ln(21lnCxp , , 或或 211)12( xCyp, , 再再積積分分, ,得得原原方方程程的的通通解解為為 2211) 12(CxCy . . 例例,dd)21(pxpx 。的的通通解解求求方方程程xxyxye1 解解練習(xí)練習(xí)令令)(xpy ，方程方程化為化為 )dee(ed1

21、d1Cxxpxxxxx ,e1xxpxp 這是這是一階線性一階線性微分微分方程方程，通解為，通解為 )d1e(Cxxxxx , )e (1Cxx .2e) 1(221CxCxyx 所以原方程通解為所以原方程通解為, )e (1 Cxyx 即即( (三三) )原原方方程程化化為為 ),(ddpyfypp . . ),(yyfy 型型, ,不不顯顯含含x 解解法法：令令)(ypy ， 則則 xpydd xyypdddd ，yppdd 把把 y 視為自變量視為自變量求求方方程程02 yyy的的通通解解. . 解解令令xypdd , , 即即0)dd( pypyp. . 分分離離變變量量, ,0dd

22、yypp, , 解解得得yCp , , 即即 yCxy dd, , 分分離離變變量量 xCyydd , , 則則yppydd 例例，0dd2 pyppy.212CxCy 若若0dd pypy, , 代入原方程代入原方程, ,得得 積分得通解為積分得通解為 0 y 也也是是方方程程的的解解, ,不不過(guò)過(guò)已已包包含含在在上上述述通通解解中中； 若若0 p, ,可可得得Cy , ,這這也也包包含含在在上上述述通通解解中中. . 原方程可化為原方程可化為 0)( yy, , 積分得積分得 1Cyy , , 即即 xCyydd , , 于于是是得得到到原原方方程程的的通通解解 212CxCy . . 即

23、即0)dd( pypyp. . 若若0dd pypy, , .212CxCy 積分得通解為積分得通解為 本題還可用下面的簡(jiǎn)單解法本題還可用下面的簡(jiǎn)單解法：求求方方程程02 yyy的的通通解解. . 解解例例求求方方程程223yy 滿滿足足1)3(, 1)3( yy的的特特解解。 解解令令xypdd , , 分分離離變變量量, ,0d3d22 yypp， 積積分分得得132Cyp , , 即即 23ddyxy , , 分分離離變變量量 xyydd23 , , 則則yppydd ， 練習(xí)練習(xí)，223ddyypp 代入原方程代入原方程, ,得得 由由1)3(, 1)3( yy，得得01 C， 于是于

24、是23yp ， 積積分分得得 2212Cxy , , 由由1)3( y，得得52 C， 所求特解為所求特解為 2)5(4 xy。 即即 23ddyxy , , 分分離離變變量量 xyydd23 , , 第四節(jié)第四節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)線性齊次齊次微分方程微分方程其中其中 p, q 是常數(shù)是常數(shù).(2) )(xfyqypy (1) 0 yqypy其其中中0)( xf。 二階常系數(shù)線性二階常系數(shù)線性非齊次非齊次微分方程微分方程( (一一) )二階常系數(shù)二階常系數(shù)齊次齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法線性方程解的性質(zhì)及求解法1、方程、方程(1)的任意兩個(gè)解

25、的任意兩個(gè)解的的和仍是和仍是(1)的解；的解；證證設(shè)設(shè))(),(21xyxy是是(1)的的兩兩個(gè)個(gè)解解，即即 ,0111 yqypy,0222 yqypy所以所以)()()(212121yyqyypyy )()(212121yyqyypyy 即即21yy 也也是是( (1 1) )的的解解。 ,0222111 qyypyqyypy(1) 0 yqypy2、方程、方程(1)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(1)的解的解。證證設(shè)設(shè))(1xy是是(1)的解，即的解，即 ,0111 yqypy所以所以)()()(111kyqkypky ,0)(111 qyypyk即即1ky也也是是(1

26、)的的解解。 ( (一一) )二階常系數(shù)二階常系數(shù)齊次齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法線性方程解的性質(zhì)及求解法1、方程、方程(1)的任意兩個(gè)解的任意兩個(gè)解的的和仍是和仍是(1)的解；的解；(1) 0 yqypy如如果果)(),(21xyxy是是方方程程(1)的的兩兩個(gè)個(gè)解解, ,則則 )()(2211xyCxyCy 也是也是(1)的解，的解，( (稱稱線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)),),則上式為則上式為(1)的的通解通解. .定理定理1 1常常數(shù)數(shù)如如果果 )()(21 xyxy其其中中21,CC為為任任意意常常數(shù)數(shù)。 2、方程、方程(1)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(1)的解的解。( (

27、一一) )二階常系數(shù)二階常系數(shù)齊次齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法線性方程解的性質(zhì)及求解法1、方程、方程(1)的任意兩個(gè)解的任意兩個(gè)解的的和仍是和仍是(1)的解；的解；(1) 0 yqypy下下面面來(lái)來(lái)尋尋找找方方程程(1)的的形形如如 xrye 的的特特解解. . 將將xrye 代代入入方方程程(1), ,得得 0e)(2 xrqprr, , 而而0e xr, ,于于是是有有 代數(shù)方程代數(shù)方程(3)稱為微分方程稱為微分方程(1)的的特征方程特征方程，(3) 02 qprr(1) 0 yqypy它的根稱為它的根稱為特征根特征根. . 得得到到方方程程(1)的的兩兩個(gè)個(gè)特特解解xry1e1 , ,x

28、ry2e2 , , 而而Cxyxyxrr )(2121e)(/ )(, , 下下面面來(lái)來(lái)尋尋找找方方程程(1)的的形形如如 xrye 的的特特解解. . 若若0 , , 記記 qp42 , , 情形情形1 1 (3) 02 qprrxrxrCCy21ee21 22, 1 pr則特征方程則特征方程(3)有兩個(gè)相異的實(shí)根有兩個(gè)相異的實(shí)根 故它們線性無(wú)關(guān)故它們線性無(wú)關(guān), , 因此因此(1)(1)的通解為的通解為 若若 0 , , 只得到方程只得到方程(1)的一個(gè)特解的一個(gè)特解 xry1e1 , , 設(shè)設(shè))(/12xuyy , , 即即xrxuy1e)(2 , , 代代入入方方程程(1), ,并并約約

29、去去 xr1e, ,得得 因因?yàn)闉?r是是方方程程02 qprr的的二二重重根根, , 故故有有0121 qprr, ,021 pr, , 0 u, , 取取特特解解 xu , , 即即得得xrxy1e2 , , 情形情形2 2 ,22, 1pr 2y, ,使使 12/ yy常常數(shù)數(shù). . 需要求另一個(gè)特解需要求另一個(gè)特解,0)()2(1211 uqprrupru則特征方程則特征方程(3)有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根 于是于是(1)的通解為的通解為 xrxCCy1e)(21 方方程程(1)有有兩兩個(gè)個(gè)特特解解 xiy)(1e , ,xiy)(2e , , 由歐拉公式由歐拉公式 知知， si

30、ncoseii 若若 0 , , 情形情形3 3 則特征方程則特征方程(3)有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根 ,2, 1 ir )sincos(e21xCxCyx 仍然是仍然是(1)的解的解, 且線性無(wú)關(guān)且線性無(wú)關(guān), , 所以方程所以方程(1)的通解為的通解為 由疊加原理由疊加原理, , xiyyyxyyyxx sine2/ )(cose2/ )(212211 )sin(cose)sin(cose21xixyxixyxx xyy tan12 0 二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法：二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法：(1) 0 yqypy02 qprr特征方程特征方程 特征根的情況特征根的情況通解的表

31、達(dá)式通解的表達(dá)式 ,0 21rr ir 2, 1xrxrCCy21ee21 xrxCCy1e)(21 )sincos(e21xCxCyx 21rr ,0 ,0 解解特征方程為特征方程為故所求通解為故所求通解為求求微微分分方方程程0103 yyy的的通通解解. . 例例例例.0134的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,01342 rr解得解得,3221ir ，故所求通解為故所求通解為. )3sin3cos(e212xCxCyx ,01032 rr.ee5221xxCCy ,5, 221 rr特征根為特征根為解解特征方程為特征方程為故通解為故通解為求求微微分分方方程程0dd2

32、dd22 ststs滿滿足足初初始始條條件件 2)0(, 4)0( ss的特解的特解. . 22 C, , 所所以以所所求求特特解解為為 tts e)24(. . 例例,0122 rr,121 rr特征根為特征根為.e)(21ttCCs ,4)0(1 Cs,e)(212ttCCCs ,2)0( 12 CCs訓(xùn)練：求下列微分方程的通解訓(xùn)練：求下列微分方程的通解2、075 yyy 解解,235ir . )23sin23cos(e2125xCxCyx 1 1、043 yyy 解解方程通解為方程通解為特征方程特征方程, 0432 rr特征根特征根，4121 rr.ee421xxCCy 解解通解為通解為

33、,01442 rr,212, 1 r.e)(2121xxCCy 044 3 yyy、,0752 rr通解為通解為( (二二) )二階常系數(shù)二階常系數(shù)非齊次非齊次線性方程解的性質(zhì)及解法線性方程解的性質(zhì)及解法1、方程、方程(2)的任意兩個(gè)解的任意兩個(gè)解的差的差是是(1)的解；的解；證證設(shè)設(shè))(),(21xyxy是是(2)的的兩兩個(gè)個(gè)解解，即即 , )(111xfyqypy , )(222xfyqypy 所以所以)()()(212121yyqyypyy )()(212121yyqyypyy 即即21yy 是是(1)的的解解。 )(222111yqypyyqypy ,0)()( xfxf(2) )(x

34、fyqypy (1) 0 yqypy2、方程方程(1)的一個(gè)解加上方程的一個(gè)解加上方程(2)的一個(gè)解是的一個(gè)解是(2)的解的解.證證設(shè)設(shè))(1xy是是(1)的的一一個(gè)個(gè)解解，)(2xy是是(2)的的一一個(gè)個(gè)解解，即即 ,0111 yqypy, )(222xfyqypy 所以所以)()()(212121yyqyypyy )()(212121yyqyypyy 即即21yy 是是(2)的的解解。 )()(222111yqypyyqypy , )()(0 xfxf ( (二二) )二階常系數(shù)二階常系數(shù)非齊次非齊次線性方程解的性質(zhì)及解法線性方程解的性質(zhì)及解法(2) )(xfyqypy (1) 0 yqy

35、py對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程(1) 0 yqypy yYy定理定理2 2設(shè)設(shè))(xy 是是方方程程( (2 2) )的的一一個(gè)個(gè)特特解解, , )(xY是是(1)的的通通解解, , 那么方程那么方程(2)的通解為的通解為問(wèn)題歸結(jié)為求方程問(wèn)題歸結(jié)為求方程(2)的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。只討論只討論 f (x)的兩種類型。的兩種類型。用待定系數(shù)法求解。用待定系數(shù)法求解。二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法：二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法：(2) )(xfyqypy 其其中中 是是一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，)(xPm是是m次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式. . 設(shè)設(shè)xxQy e)( , ,其中其中)(xQ是多項(xiàng)式是多項(xiàng)式, , 代

36、代入入方方程程)(xfyqypy , , 整整理理并并約約去去x e, ,得得 )()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 型型、xmxPxf e)()(1 則則xxxQxQy e)(e)()( xxxxQxQxQy e)(e)(2e)()(2 即即02 qp , , 則則可可設(shè)設(shè))(xQ為為次次數(shù)數(shù)與與)(xPm次次數(shù)數(shù)相相同同的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式： 情形情形1 若若 不是特征根不是特征根, , , )()(xQxQm xmxQy e)( 即即情形情形2 2 而而 02 p , , 若若 是特征方程的單根是特征方程的單根, , 即即02 qp , , , )()( xQxxQm 則則

37、令令即即xmxQxy e)( )()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 情形情形3 3 若若是特征方程的是特征方程的二重二重根根, , 即即02 qp , , , )()(2 xQxxQm 則則令令即即且且 02 p , , xmxQxy e)(2 )()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 綜上討論綜上討論 )(xQ不是特征根不是特征根 xmxPyqypy e)( 設(shè)特解為設(shè)特解為，)(xQm是單特征根是單特征根 ，)(xxQm是二重特征根是二重特征根 ，xxQy e)( 其中其中，)(2xQxm然然后后將將 y代代入入原原方方程程，或或根根據(jù)據(jù)恒恒等等式式( (*

38、 *) )來(lái)來(lái)確確定定)(xQ, ,從從而而得得到到特特解解 y. . ，若若)()(xPxfm 可看成是可看成是0 的特殊情形。的特殊情形。 )()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程012 r特征根特征根1121 rr，,ee21xxCCY 求求微微分分方方程程xyy5 的的通通解解。 因因?yàn)闉? 不不是是特特征征根根, , 0, 5 BA, , 所以特解所以特解 xy5 , , 即即原原方方程程的的通通解解為為 xCCyxx5ee21 . . 例例代入原方程代入原方程, ,得得 xBAx5)(3 ,BAxy 設(shè)特解為設(shè)特解

39、為解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程0322 rr特征根特征根1321 rr，,ee231xxCCY 求求微微分分方方程程1332 xyyy的的通通解解. . 因因?yàn)闉? 不不是是特特征征根根, , 31, 1 BA, , 所所以以特特解解 31 xy, , 即即原原方方程程的的通通解解為為 31ee321 xCCyxx. . 練習(xí)練習(xí)代入原方程代入原方程, ,得得 13)(32 xBAxA,BAxy 設(shè)特解為設(shè)特解為求微分方程求微分方程xxyyye23 的通解。的通解。 例例解解,0232 rr2, 1 r因?yàn)橐驗(yàn)? 是單特征根，所以設(shè)特解為是單特征根，所以設(shè)特解為xBAx

40、xye)( ， 代代入入原原方方程程得得xBAAx 22， 原原方方程程的的通通解解為為 xxxxxCCye2)(21ee221 . . ,e)(2xBxAxy ,e)2()(2xBAxxBAxy ,e)222()(2xABAxBAxxBAxy 解得解得1,21 BA， 特特解解為為xxxye)2(21 ， 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,0962 rr特征根特征根，32, 1 r.e)(321xxCCY 求求微微分分方方程程xxyyy3e96 的的通通解解. . 因因?yàn)闉? 是是二二重重特特征征根根, , 解解得得 0,61 BA, , 所所以以特特解解 xxy33e6

41、1 , , 從從而而方方程程的的通通解解為為 xxxxCCy33321e61e)( . . 例例代入原方程代入原方程, 得得,e)(323xBxAx ,26xBAx xBAxxy32e)( 所以設(shè)特解為所以設(shè)特解為注意：注意：實(shí)實(shí)際際計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)，只只要要將將23)(BxAxxQ 代代入入 )()()2(2xPQqpQpQm 現(xiàn)即現(xiàn)即, )()(xPxQm 即得即得.26xBAx 這樣比代入原方程要簡(jiǎn)便得多。這樣比代入原方程要簡(jiǎn)便得多。解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,0962 rr特征根特征根，32, 1 r.e)(321xxCCY 求求微微分分方方程程xxyyy3e96

42、 的的通通解解. . 因因?yàn)闉? 是是二二重重特特征征根根, , 例例,e)(323xBxAx xBAxxy32e)( 所以設(shè)特解為所以設(shè)特解為訓(xùn)練：求下列微分方程的通解訓(xùn)練：求下列微分方程的通解1、xyy84 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,042 r特征根特征根，ir22, 1 .2sin2cos21xCxCY 因因?yàn)闉? 不不是是特特征征根根, , 解得解得 0, 2 BA, , 所以特解所以特解 xy2 , , 從從而而方方程程的的通通解解為為 xxCxCy22sin2cos21 . . 代入原方程代入原方程, 得得, BAxy 所以設(shè)特解為所以設(shè)特解為,844x

43、BxA 2、xyyy e343 3、xyyye2 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,0432 rr特征根特征根412, 1， r.ee421xxCCY 因因?yàn)闉? 是是單單特特征征根根, , 所所以以特特解解 xxy e53, , 從從而而方方程程的的通通解解為為 xxxxCCy e53ee421. . 代入原方程代入原方程, 得得,e xxAy 所所以以設(shè)設(shè)特特解解為為,53 A2、xyyy e343 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,0122 rr特征根特征根，12, 1 r.e)(21xxCCY 因因?yàn)闉? 是是二二重重特特征征根根, , 所所以以

44、特特解解 xxye212 , , 從從而而方方程程的的通通解解為為 xxxxCCye21e)(221 . . 代入原方程代入原方程, 得得,21 A3、xyyye2 所所以以設(shè)設(shè)特特解解為為xAxye2 , , 型型、sincose)(2xbxaxfx 可以證明，方程可以證明，方程 (2) 具有如下形式的特解：具有如下形式的特解：sincosexBxAxyxk 是是特特征征根根不不是是特特征征根根 , 1 , 0iik 是是待待定定系系數(shù)數(shù)，其其中中BA,解解求求微微分分方方程程xyyy2sin1022 的的通通解解. . 因因?yàn)闉?2, 0 , ,ii2 不不是是特特征征根根, ,故故設(shè)設(shè)特

45、特解解為為 例例，xBxAy2sin2cos ，xxBAxBA2sin102sin)24(2cos)42( 所求所求通解為通解為 對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,0222 rr特征根特征根，ir 12, 1.)sincos(e21xCxCYx 代入原方程代入原方程, ,得得 1024042BABA.2sin2cos2)sincos(e21xxxCxCyx ,12 BA解解求求微微分分方方程程xyy2sin104 的的通通解解. . 因因?yàn)闉?2, 0 , ,ii2 是是特特征征根根, ,故故設(shè)設(shè)特特解解為為 例例，)2sin2cos(xBxAxy ，xxAxB2sin102s

46、in42cos4 所求所求通解為通解為 對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,042 r特征根特征根，ir22, 1 .2sin2cos21xCxCY 代入原方程代入原方程, ,得得 10404AB.2cos252sin2cos21xxxCxCy ,025 BA訓(xùn)練訓(xùn)練解解特特征征方方程程 012 r， 因?yàn)橐驗(yàn)閕i 是特征根，是特征根， 特特征征根根 ir ， 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 .sincos21xCxCY 代入原方程得代入原方程得 xxbxasincos2sin2 ， 解得解得 0,21 ba， 即即 xxycos21 ， 所以原方程通解為所以原方程通解

47、為 xxxCxCycos21sincos21 . . )sincos(xbxaxy 所以設(shè)特解為所以設(shè)特解為求求微微分分方方程程xyysin 的的通通解解. . 第五節(jié)第五節(jié) 差分方程的一般概念差分方程的一般概念 微分方程刻劃了自變量微分方程刻劃了自變量 x 是是連續(xù)連續(xù)變化的過(guò)程中變變化的過(guò)程中變量量 y 的變化率，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，有的變化率，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，有些自變量往往不是連續(xù)變化的，而是取一系列些自變量往往不是連續(xù)變化的，而是取一系列離散離散的值的值, ,例如按年、月、日等，此時(shí)要描述這種自變例如按年、月、日等，此時(shí)要描述這種自變量是離散的變化關(guān)系就是本節(jié)要介紹

48、的差分方程。量是離散的變化關(guān)系就是本節(jié)要介紹的差分方程。 顯然微分方程和差分方程是兩類不同的方程，但顯然微分方程和差分方程是兩類不同的方程，但它們有許多共同點(diǎn)，因此與微分方程對(duì)照，采用類它們有許多共同點(diǎn)，因此與微分方程對(duì)照，采用類比的方法是學(xué)習(xí)差分方程有效的方法。比的方法是學(xué)習(xí)差分方程有效的方法。 ( (一一) ) 差分概念差分概念 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(tfy 為為定定義義在在整整數(shù)數(shù)集集上上的的函函數(shù)數(shù), ,簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記,ty 一階差分一階差分： tttyyy 1一一階階差差分分的的差差分分稱稱為為ty的的二二階階差差分分, , ttxtyyyy 12)(三階差分三階差分： )(23ttyy tty

49、y212 ,33123ttttyyyy tttyyy 122tttyyy 122一般地，一般地，k 階差分階差分定義為定義為,)1(0 kiiktikiyC)(1tktkyy tktkyy111 , 2, 1 k例例1 1設(shè)設(shè),2tyt 求求 .,32tttyyy ty, 2)12(1)1(2)12()(2 tttyytt.022)2()(23 ttyy, 12)1(221 tttyytt( (二二) ) 差分方程的一般概念差分方程的一般概念 含含有有未未知知函函數(shù)數(shù)ty在在 t 的的兩兩個(gè)個(gè)或或兩兩個(gè)個(gè)以以上上的的函函數(shù)數(shù)值值,1 ttyy的的函函數(shù)數(shù)方方程程稱稱為為差差分分方方程程；差差分

50、分方方程程中中所所出出現(xiàn)現(xiàn)的的未未知知函函數(shù)數(shù)下下標(biāo)標(biāo)的的最最大大值值與與最最小小值值的的差差稱稱為為差差分分方方程程的的階階. . 定義定義, 0),(1 ntttyyytG.0),(2 tntttyyyytF差分方程的解：差分方程的解： 定義定義 若一個(gè)函數(shù)代入差分方程后若一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩邊恒等方程兩邊恒等，則稱此函數(shù)為該差分方程的則稱此函數(shù)為該差分方程的解解。 若差分方程的解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)且個(gè)若差分方程的解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)且個(gè)數(shù)恰好等于差分方程的階數(shù)數(shù)恰好等于差分方程的階數(shù)，則稱該解為差分方程的則稱該解為差分方程的通解通解。差分方程滿足初始條件的解稱為該問(wèn)

51、題的差分方程滿足初始條件的解稱為該問(wèn)題的特解特解。第六節(jié)第六節(jié) 一階和二階常系數(shù)線性差分方程一階和二階常系數(shù)線性差分方程( (一一) )一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式 其其中中, 2, 1, 0 t，常常數(shù)數(shù)0 a， 函函數(shù)數(shù))(tf當(dāng)當(dāng), 2, 1, 0 t 時(shí)有定義。時(shí)有定義。如如果果當(dāng)當(dāng) , 2, 1, 0 t時(shí)時(shí)有有0)( tf，則則稱稱方方程程 為為一階常系數(shù)一階常系數(shù)齊次齊次線性差分方程線性差分方程， 否則，稱為否則，稱為一階常系數(shù)一階常系數(shù)非齊次非齊次線性差分方程線性差分方程。)(1tfayytt (1)01 ttayy(2)(2)稱為稱為(1)對(duì)應(yīng)

52、的對(duì)應(yīng)的齊次線性差分方程。齊次線性差分方程。)(1tfayytt (1)01 ttayy(2)不難證明，不難證明，(2)的通解為的通解為,)()(tcaCty C為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 可以證明可以證明, ,一階常系數(shù)線性差分方程的通解與一階一階常系數(shù)線性差分方程的通解與一階線性微分方程有相同的結(jié)構(gòu)，即有線性微分方程有相同的結(jié)構(gòu)，即有 定理定理( (一階常系數(shù)線性差分方程通解的結(jié)構(gòu)一階常系數(shù)線性差分方程通解的結(jié)構(gòu)) ) 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程(1)的通解可表示為的通解可表示為 tttyaCy )(其其中中ty是是(1)的的一一個(gè)個(gè)特特解解, , 2, 1, 0 t，C

53、是是任任意意常常數(shù)數(shù). 當(dāng)當(dāng) f( (x) )是多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函是多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和差或乘積時(shí)，一般可用數(shù)以及它們的和差或乘積時(shí)，一般可用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求求(2)的一個(gè)特解的一個(gè)特解. . 討論三種情形：討論三種情形：情形情形1 1)()(tPxfm 情形情形2 2tmdtPxf)()( 情形情形3 3tNtMtf sincos)( 例例1 1求求一一階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性差差分分方方程程2321 tyytt 的通解的通解. . 設(shè)設(shè)特特解解BtAyt ， 解解代入方程得代入方程得 ttyy21 BAtA )(2)1(BtABtA 23

54、t,1, 3 BA得特解為得特解為,13 tyt從而通解為從而通解為,132 tCyttC為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 設(shè)設(shè)特特解解BtAyt ， 代入方程得代入方程得 ttyy 1A )()1(BtABtA ,23 t例例2 2求求一一階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性差差分分方方程程231 tyytt 的通解的通解. . 解解沒(méi)有這樣的特解。沒(méi)有這樣的特解。例例2 2求求一一階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性差差分分方方程程231 tyytt 的通解的通解. . 解解設(shè)特解設(shè)特解)(BtAtyt 代入方程得代入方程得 ttyy 1,23 t,2tBtA )()1()1(22tBtAtBtA BAtA 2,27,

55、23 BA得特解為得特解為,27232ttyt 從而通解為從而通解為C為任意常數(shù)為任意常數(shù). . ,27232ttCyt 一般一般, 當(dāng)當(dāng))(tf是多項(xiàng)式是多項(xiàng)式)(tPm時(shí)，可按下表設(shè)定非時(shí)，可按下表設(shè)定非齊次差分方程齊次差分方程)(1tfayytt 的一個(gè)特解的一個(gè)特解 ty： )(tf系數(shù)系數(shù) a 的取值的取值 特特解解 ty的的形形式式 )(tPm1 a)(tQm)(tPm1 a)(tQtm 表表中中)(tQm是是待待定定系系數(shù)數(shù)的的 m 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式. 設(shè)特解設(shè)特解ttBtAy2)( ， 代入方程得代入方程得 例例3 3求一階常系數(shù)線性差分方程求一階常系數(shù)線性差分方程ttttyy

56、21 的的通解通解。 解解ttyy 1tBtABAtA2)222( tBAtA2)2( ,2tt ,2, 1 BA得特解為得特解為,2)2(ttty 從而通解為從而通解為,2)2(tttCy C為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 設(shè)特解設(shè)特解ttBtAy2)( ， 代入方程得代入方程得 ttyy 1tBAtBAtA2)(2 tA22 ,2tt 不存在這樣的特解。不存在這樣的特解。例例4 4求求一一階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性差差分分方方程程ttttyy221 的的通通解解。 解解設(shè)設(shè)特特解解ttBtAty2)( ， 代入方程得代入方程得 例例4 4求求一一階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性差差分分方方程程tttty

57、y221 的的通通解解。 解解ttyy 1ttBtAtBtA2)1()1( 222 tt2 tBAtA2)2(2 ,41,41 BA得特解為得特解為,2)1(41tttty 從而通解為從而通解為,2)44(2ttttCy C為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 一般一般, 當(dāng)當(dāng)tmdtPtf)()( 時(shí)， 可按下表設(shè)定非齊次時(shí)， 可按下表設(shè)定非齊次差分方程差分方程)(1tfayytt 的一個(gè)特解的一個(gè)特解 ty： )(tfd 與系數(shù)與系數(shù) a 的關(guān)系的關(guān)系特特解解 ty的的形形式式 tmdtP)(tmdtP)(表表中中)(tQm是是待待定定系系數(shù)數(shù)的的 m 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式. 0 datmdtQ)(0

58、datmdtQt)(設(shè)設(shè)特特解解tBtAyt2sin2cos ， 代入方程得代入方程得 ttyy21 例例5 5求求線線性性差差分分方方程程tyytt2cos521 的的通通解解。 解解tBtA2cos2sin )2sin2cos(2tBtA tBAtAB2sin)2(2cos)2( t2cos5 ,1, 2 BA得特解為得特解為,2sin2cos2ttyt 通解為通解為,2sin2cos22ttCytt C為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。一般一般, , 當(dāng)當(dāng)tNtMtf sincos)( , ,其中其中 , NM是常數(shù)，且是常數(shù)，且 20 , , ，可以，可以設(shè)特解為設(shè)特解為 如果所給差分方程不是標(biāo)

59、準(zhǔn)形式的，必須首先如果所給差分方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式的，必須首先把它化為把它化為標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式才能應(yīng)用上面給出的通解公式和才能應(yīng)用上面給出的通解公式和選取特解的有關(guān)結(jié)論選取特解的有關(guān)結(jié)論. . 其其中中BA,是是兩兩個(gè)個(gè)待待定定常常數(shù)數(shù). tBtAyt sincos ( (二二) ) 二二階常系數(shù)線性差分方程階常系數(shù)線性差分方程標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式 其其中中, 2, 1, 0 t，常常數(shù)數(shù)0 b， 函函數(shù)數(shù))(tf當(dāng)當(dāng), 2, 1, 0 t 時(shí)有定義時(shí)有定義. . 如如果果當(dāng)當(dāng) , 2, 1, 0 t時(shí)時(shí)有有0)( tf，則則稱稱方方程程 為為二階常系數(shù)二階常系數(shù)齊次齊次線性差分方程線性差分方程， 否

60、則，稱為否則，稱為二階常系數(shù)二階常系數(shù)非齊次非齊次線性差分方程線性差分方程. . )(12tfbyayyttt (1)012 tttbyayy(2)(2)稱為稱為(1)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的齊次線性差分方程齊次線性差分方程. . 二階常系數(shù)二階常系數(shù)齊次齊次差分線性方程解的性質(zhì)差分線性方程解的性質(zhì)1、方程、方程(2)的任意兩個(gè)解的任意兩個(gè)解的的和仍是和仍是(2)的解；的解；2、方程、方程(2)的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是的任意一個(gè)解的常數(shù)倍仍是(2)的解；的解；如果如果)(),(21tyty是方程是方程(2)的兩個(gè)解的兩個(gè)解, ,則則 )()(2211tyCtyCyt 也是也是(2)的解的解. .( (稱稱