【精品】淺談數(shù)學(xué)歸納法論文

1、編號逐什命翁哮陵3學(xué)士學(xué)位論文肉談數(shù)學(xué)歸納出學(xué)生姓名：孟素芳學(xué)號：20080102030系部：數(shù)學(xué)系專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級：08級指導(dǎo)教師：王衛(wèi)東完成口期：2012 年 5月口中文摘要數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與口然數(shù)77有關(guān)的命題的數(shù)學(xué)證明方法典型 的用于確定一個表達式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個其他形 式在一個無窮序列是成立的在數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)中，對數(shù)學(xué)歸納法的作用不難 理解，對方法的操作步驟也不難掌握，但對其真實可靠的原因卻不一定能理解 到位，理解和掌握“歸納一一猜想一一證明”這一探索發(fā)現(xiàn)的思維方法頗為重 要首先對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，即理解數(shù)學(xué)歸納法證明的嚴密性與有效性

2、. 其次假設(shè)的利用，即如何利用假設(shè)證明當(dāng)n = k + 時結(jié)論正確并掌握其實質(zhì). 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；歸納；證明；實質(zhì)on the mathematical inductionabstractmathematical induction is a mathematical method of proof used to prove and natural number n is related to the correctness of the proposition. typically used to determine an expression in the range of all

3、natural numbers is established or used to determine the other forms in an infinite sequence is established. in the learning of mathematical induction, the role of mathematical induction is not difficult to understand the steps of the method is not difficult to grasp, but its real reason is not neces

4、sarily able to understand the place, to understand and master the "induction - guess - proof "way of thinking of this discovery is very important. first, the understanding of the principle of mathematical induction, that is to understand the mathematical induction to prove the rigor and ef

5、fectiveness. secondly, assume that the use of, namely, how to use the assumptions prove correct conclusion when n = k + 1. and always keeping in mind changing them and grasp its essence.key words： mathematical induction; induction; proof; in real terms中文摘要abstractii目錄iii弓i言11 歸納法及數(shù)學(xué)歸納法的定義及思想方法21.1歸納

6、法21歸納法的定義21.1.2歸納法的特點21.1.3歸納法的思想方法21.2數(shù)學(xué)歸納法3121數(shù)學(xué)歸納法的定義122數(shù)學(xué)歸納法的思想方法32.1數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)52.1.1理論依據(jù)52.2數(shù)學(xué)歸納法的表現(xiàn)形式62.2.1第一數(shù)學(xué)歸納法6222第二數(shù)學(xué)歸納法6223反向歸納法7224螺旋式歸納法73. 第一數(shù)學(xué)歸納法與第二數(shù)學(xué)歸納法的聯(lián)系與區(qū)別4. 數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)及幾何方面的應(yīng)用.4.1數(shù)學(xué)歸納法在初籌代數(shù)中的應(yīng)用114.2數(shù)學(xué)歸納法在幾何方面的應(yīng)用5. 數(shù)學(xué)歸納法在應(yīng)用時易錯分析及做題技巧125.1易錯分析125.2做題技巧13修士摩俛槍夂ba chelor 's th

7、esis結(jié)束語14參考文獻15致謝16引言數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法就得具備以下対 個條件：當(dāng)” =1的時候，這個命題是正確的當(dāng)n=k時，這個命題也是正確的. 那么當(dāng)n = k+l的時候，這個命題是否也是正確的.抽象的進行數(shù)學(xué)歸納.首先我 們要了解歸納法與數(shù)學(xué)歸納法的思想，通過思想來解決實際問題.我們在中學(xué)階 段所學(xué)習(xí)的比較淺顯，對此需要進行整理疏通總結(jié)其實質(zhì)數(shù)學(xué)歸納法有各種各 樣的表達形式，我們在做題的時候選哪一個會比較方便各種形式之間有什么聯(lián) 系與區(qū)別，對第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法要著重掌握，要學(xué)以致用其思 想.了解數(shù)學(xué)歸納法在小學(xué)代數(shù)及幾何問題方便的應(yīng)用，在應(yīng)

8、用數(shù)學(xué)歸納法時所 需的一些問題進行整理更深刻總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的重難點及解題技巧，選取典型 例題來體現(xiàn)這一思想，抓住其最基木的步驟并掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明方法.1 歸納法及數(shù)學(xué)歸納法的定義及思想方法1.1歸納法1.1.1歸納法的定義歸納論證是一種由個別到一般的論證方法它通過許多個別的事例或分論 點，然后歸納出它們所共有的特性，從而得出一個一般性的結(jié)論.1.1.2歸納法的特點（1）歸納法是根據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象，因而，由歸納所得的結(jié)論，超 越了前提所包含的內(nèi)容.（2）歸納法是依據(jù)若干己知的不完盡的現(xiàn)象推斷上屬未知的現(xiàn)象，因而結(jié) 論具有猜測的性質(zhì).（3）歸納法的前提是單個事實、特殊情況，所以歸納是立足

9、于觀察、經(jīng)驗 或?qū)嶒灥幕A(chǔ)上的.1.1.3歸納法的思想方法歸納推理是從特殊性到一般的認識過程.歸納推理的前提是一些關(guān)于個別 事物或現(xiàn)象的認識，而結(jié)論則是關(guān)于該類事物或想象的普遍性認識歸納推理的 結(jié)論所斷定的知識范圍超岀了前提所給定的知識范圍，因此，歸納推理的前提 與結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的.也就是說，其前提真而結(jié)論假 是可能的，所以，歸納推理乃是一種或然性推理歸納推理只告訴我們在給定的 經(jīng)驗性證據(jù)基礎(chǔ)上怎樣的結(jié)論才是可能的，并不能具體的幫助我們解決數(shù)學(xué)問 題.例如（1）冰是冷的.推斷出普遍的命題如：所有冰都是冷的.或：在太陽下沒有冰.（2）比如在我們買葡萄的時候就用了歸納法，我

10、們往往先嘗一嘗，如果都很 甜，就歸納出所有的葡萄都很甜的，就放心的買上一大串.傳統(tǒng)上，根據(jù)前提所考察對彖范圉的不同，把歸納推理分為完全歸納推理和 不完全推理完全歸納推理考察了某類事物的全部對象，不完全歸納推理則僅僅 考察了某類事物的部分對彖并進一步根據(jù)前提是否揭示對彖與其屬性間的因 果聯(lián)系，把不完全歸納推理分為簡單枚舉歸納推理和科學(xué)歸納推理.1.2數(shù)學(xué)歸納法1.2. 1數(shù)學(xué)歸納法的定義數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正 整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在高屮數(shù)學(xué)屮常用來證明不等式成立和數(shù)列通項公式成 立.1.2.2數(shù)學(xué)歸納法的思想方法(1) 數(shù)學(xué)歸納法中的歸納思想對于一個與自

11、然數(shù)有關(guān)的命題pg,數(shù)學(xué)歸納法將命題ps)理解為一系列 問題:p，p，p，即p(n) = p(n) |nen.然后有命題 p(l), p,p(3),都成立去下決定“命題ps)成立”，為數(shù)學(xué)歸納法中的歸納 思想.所謂歸納，是指從特姝到一般，從局部到整體的推理命題ps)是-般的、 整體的，而命題p(l), p(2), p(3),.中的每一個都是特殊的、局部的，即使從 所有命題p(l), p,p(3),.都成立去概括得出命題ps)成立，其思想也是歸 納的思想(完全歸納).(2) 數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想在數(shù)學(xué)歸納法中，除了命題p(l)是直接證明以外，我們通常不直接去證明 "(1) 、命題p(

12、2),p(3),成立(除非有必耍)，而是采取了遞推的思想.=>p(k)=>p(kl)卩p(2),=>p(3),.如此循環(huán)往復(fù)遞推，命題p(2), p(3),.都成立."(«)=>"伙+1)簡單地說就是，由p推得p,由p(2)推得，p(3)，即p(l) => p(2)=> p(3), .這個過程類似于多米諾骨牌，其中歸納遞推：p伙)a p(k + v)起著 至關(guān)重要的作用，正因為如此，在用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，有一點是不可回 避的，即找出命題p伙)與命題p伙+ 1)的聯(lián)系.(3) 數(shù)學(xué)歸納法屮的無窮思想證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的數(shù)學(xué)

13、歸納法，兒乎就是數(shù)學(xué)歸納法公理的“直 譯” 因此，數(shù)學(xué)歸納法的正確性的依據(jù)就是“自然數(shù)公理”.正是自然數(shù)既存 在“最小的一個起始數(shù)” 乂是“一個接一個的、有序的排著”，所以由歸納與歸 納遞推構(gòu)成的“反復(fù)遞推”得以遍及“所有的自然數(shù)”，從而實現(xiàn)從有限到無限 的跨越.(4) 數(shù)學(xué)歸納法屮的模式思想所謂模式，其實就是解決某一類問題的方法論，當(dāng)你把解決某類問題的方 法總結(jié)歸納到理論高度，那就是模式對于無窮命題序列：p,p(2), p(3),， 如果逐個的去考察命題p(l), p(2), p(3),等，那就是“沒完沒了”的事情，如 果具體的去看p(l) n p(2)、p(2)n p(3)等等，也解決不了

14、問題.數(shù)學(xué)歸納 法為我們提供了種模式：p(k) = p(k + 1),說出來就是：只要有前一個，就 必然有后一個.為什么模式p伙)n f伙+ 1)能解決無窮命題序列： p(l), p(2), p(3),問題呢？這是自然數(shù)的結(jié)構(gòu)所決定的，通俗的講，自然數(shù) 從1開始，每個自然數(shù)都有唯一的一個后繼數(shù)，直至無窮，而且全體自然數(shù)都在 其中因而所有自然數(shù)可以有序的排成一列:1,2,3.自然數(shù)的這種單向、有序、 可數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，被模式p伙)np(k + l)盡數(shù)概括.2. 數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)及表現(xiàn)形式2. 1數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)2. 1. 1理論依據(jù)（1）理論依據(jù)是自然數(shù)的皮亞諾（peano, 1858年

15、-1932年，意大利數(shù)學(xué)家） 公理，其中一條叫做歸納定理：“如果某一正整數(shù)的集合m含有1,而且只要m 含有正整數(shù)k,就一定含有k后面緊挨著的那個正整數(shù)k + 1,那么m就是止 整數(shù)集本身”現(xiàn)設(shè)p是一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，用m表示使p（n）成立的正整數(shù) 的集合由數(shù)學(xué)歸納法的第一個步驟，可知命題p（l）成立，所以m含有1再由 數(shù)學(xué)歸納法的第二個步驟，可知在假設(shè)n = k時命題p伙）成立后，可以推岀 n = k+時命題p（k +1）也成立；換句話說，只要m含有正整數(shù)k ,就一定含有k 后面緊挨著的那個正整數(shù)£ + 1因此根據(jù)歸納公理，m就是正整數(shù)集本身，即 命題ps）對于所有正整數(shù)都成立

16、.（2）數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可.1. 當(dāng)= 1時，這個命題是正確的.2. 假設(shè)n = k時，這個命題是正確的，那么當(dāng)n = k + 時，這個命題也 事正確的.（3）根據(jù)實際問題確定使命題成立的第一個正整數(shù)可能是1 也可能是 2, 3等（有時還可能取 =0或- 1等）耍切實理解命題p（）中的正整數(shù)在各 種實際問題中代表什么.（4）在完成第二個步驟時，要運用命題p伙）成立這一歸納假定，去推導(dǎo) 命題p伙+1）也成立不能離開p伙）成立這一條件,用其他方法導(dǎo)出戶伙+1）成立的結(jié)果，因為這樣就看不出p伙)成立到p伙+ 1)成立這一遞推關(guān)系了.2.2數(shù)學(xué)歸納法的表現(xiàn)形式2. 2.1第一數(shù)學(xué)歸納法主義：

17、在教科書里我們常見到的就是第一數(shù)學(xué)歸納法，介紹如下：原理： 設(shè)有一個與正整數(shù)斤有關(guān)的命題p(n).如果：(1)當(dāng) =1時命題成立(2)假設(shè) n = k時命題成立(3)若能證明n = k + 時命題也成立.證明：反證法假設(shè)該命題不是對于一切正整數(shù)都成立令s表示使該命題 不成立的正整數(shù)作成的集合，那么s h 0,于是出最小數(shù)原理，s中有最小數(shù)g, 因為命題對于斤=1時成立，所以dhl, dl,從而d-1是個正整數(shù)，又由于條 件(3)當(dāng)n = a也成立.因此導(dǎo)致矛盾，因此該命題對于一切正整數(shù)都 成立，定理證畢.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時，有些命題不一定從c開始的，這時在敘述上只要將 換成/7 = c即可，第

18、一數(shù)學(xué)歸納法主要可概括為以下三步：(1)歸納基礎(chǔ)： 證明c時命題成立(2)歸納假設(shè)：假設(shè)n = k時命題成立(3)歸納遞推；曲歸納 假設(shè)推出n = k-時命題也成立.2.2.2第二數(shù)學(xué)歸納法第二數(shù)學(xué)歸納法與第一數(shù)學(xué)歸納法時等價的，在有些情況下，由歸納法“假 設(shè)n = k時命題成立”還不夠，而需要更強的假定.也就是說，對于命題p(n), 在證明p伙+ 1)成立，不僅依賴p伙)成立，而且依賴于前而各步成立這時一般 要選用第二數(shù)學(xué)歸納法.第二數(shù)學(xué)歸納法原理：設(shè)有一個與正整數(shù)川有關(guān)的命題p的.如果：(1)當(dāng) =1時命題成立(2)在假設(shè)命題對于一切正整數(shù)n<k成立時(3)若能證明 n = k +

19、時命題也成立，則這個命題對于一切正整數(shù)n都成立其證明方法與上述 證明方法類似，在這個地方就不重復(fù)了.第二數(shù)學(xué)歸納法可概括為一卜-三步：(1)歸納基礎(chǔ)：證明 =1時命題成'、/： (2)歸納假設(shè)：假設(shè)n<k時命題成 立(3)歸納遞推：由歸納假設(shè)推出n = k + 時命題也成立第二數(shù)學(xué)歸納法與第 一數(shù)學(xué)歸納法基本形式的區(qū)別在于歸納假設(shè).2.2.3反向歸納法反向歸納法是數(shù)學(xué)家柯西最先使用的，原理：設(shè)有一個與正整數(shù)有關(guān)的 命題ps)如果：(1)命題p5)對于無限多個正整數(shù)料成立(2)假設(shè)n = k時命 題成立(3)若能證明n = k-時命題也成立，則這個命題對一切正整數(shù)料都成 立.2.2

20、.4螺旋式歸納法對兩個與口然數(shù)有關(guān)的命題ps), q(n),(1) 驗證n = /?0時ps)成立；(2) 假設(shè)p 伙心)成立，能推出q仗)成立，假設(shè)0成立，能推出p伙+ 1) 成立；綜合(1) (2),對一切自然數(shù)n «(> 7?0), p(n), 0(/2)都成立.3. 第一數(shù)學(xué)歸納法與第二數(shù)學(xué)歸納法的聯(lián)系與區(qū)別第一數(shù)學(xué)歸納法(簡稱“一歸”)和第二數(shù)學(xué)歸納法(簡稱“二歸”)的關(guān)系， 指擊“一歸”和“二歸”是等效的，并加以證明.設(shè)w表示全體口然數(shù)集合；p(q表示含有自然數(shù)斤的一個命題；“aob” 表示4和b互為充要條件；對“v”表示“任意的”或“所有的”；“ 表 示“有一個”

21、 “存在一個”所謂“一歸”是指，對0個p(n)：(1)當(dāng)料=1時，驗證p真；（2）若當(dāng)斤=k時"，p真,證明當(dāng)n = k + 時，p伙+ 1）真從而斷定對 a, p（n）都真.所謂“二歸”是指，對v_個p（n）：（1）當(dāng)斤=1時，驗證p真；（2）若對n<k時，ps）都真即p（l）, p（2）, p（3）,，p都真，來證明 當(dāng)n = k + 時，p伙+ 1）真.從而斷定 h , p（）對都真.“一歸”和“二歸”都是數(shù)學(xué)證明方法，這是可以從理論上加以嚴格證明的， 現(xiàn)在著重談一下它們之間的關(guān)系實際上“一歸”和“二歸”是等效的，即“一 歸”證明的ps）可以用“二歸”證明，反之亦然.下面

22、就從理論上來證明上面 的結(jié)論.定理一 設(shè)v個戶），戶）能用“一歸”證明真ops）能用“二歸”證 明真.證明 必要性（=>）.先分析一下如何證明證明.對卩）下面的“一歸” 的條件都成立，即（1）當(dāng)*1時,p（l）真（2）若當(dāng)n = k時,p真，則當(dāng) zi = r + l時，p（k + 1）真.這是已知條件，來證明“二歸”的條件（1） （2）對戶（斤） 真.事實上，“一歸”和“二歸”的條件（1）是相同的，只須證明“二歸”的條 件（2）對ps）也真即可，也即證明：若對 時，p伙）真，則當(dāng)斤=£ + 1時， p伙+ 1）真即可.事實上，因為當(dāng)n<k時，p（n）真 即戶（1）, p

23、（2）, p（3）,，p（k） 都真,所以特別當(dāng)歸時,p伙）真.由“一fi ”條件（2）對p5）成立,故p伙+ 1） 真所以若當(dāng)n<k時，pg）真，貝u當(dāng)n = k + l時，p仗+ 1）真.所以“二歸”的條 件（1） （2）對p（q都真，故ps）能用“二歸”證明真.充分性(u).由“二歸”的條件(1) (2)對ps)成立來證明“一歸”的條件(1) (2)對ps)也成立因它們的條件(1)相同，只須證明: 若當(dāng)n<k時，p伙)真，能推出p伙+ 1)真時，則若p仗)真，能推lt p(k +1)真 即可.用反證法來證明.事實上，若出p伙)真推出p伙+ 1)真不能對p kwn都 成立，則m

24、 w n,使得由p伙°)真推不岀p伙。+ 1)真.n屮這樣的心組成一個非 空的自然數(shù)的集合n。，由最小數(shù)原理(任意非空的自然數(shù)的集合中都有一個最 小數(shù))知,n。中有一個最小數(shù),設(shè)為因為“二歸”的條件(1) (2)對pg) 真，所以對,當(dāng)n < m時p(z?)真可以推出p(n + 1)真(這里n < m的“是 存在的，因為“二歸”的條件知p真，故p(2)真，所以加h1)所以 p,p,p(3),，p(m-l)都真故由“二歸”的條件(2)知p(加)真,因而 p(l), p(2), p(3),p(m-l) p(m)都真再由“二歸”的條件(2)知 p(m 4-1) 真 所以加不屬于

25、n。這與m e n.矛盾因此，nq中不能有最小數(shù)加，即no是 空集所以對p kwn ,由p伙)真都能推出p伙+ 1)真.由“一歸”的條件(1)(2)知對p()真，所以pg)能用“一歸”證明真.4. 數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)及幾何方面的應(yīng)用4.1數(shù)學(xué)歸納法在初等代數(shù)中的應(yīng)用例1求證：/13 +5n(n en+)能被6整除證明:(1)當(dāng) =1時，i3 +5x1 = 6能被6整除，命題成立(2)假設(shè)n = k時，命題成立，即k3+5k能被6整除當(dāng) =£ + 1 時，有伙 + l)3+5(r + l) = (t+3/+3r+l) + (5k+5)=(k 3+5r) + 3r 伙+ 1) +

26、6因為兩個連續(xù)的正整數(shù)的乘積k(k +1)是偶數(shù)，所以缺伙+1)能被6整 除則伙彳+5幻+ 3r伙+ 1) + 6能被6整除，即當(dāng)n = k + 時命題也成立 綜上所述，對一切正整數(shù)命題都成立.例2是否存在正整數(shù)m , o /= (2n + 7)x3”+9對任意自然數(shù)斤都能 被加整除？若存在，求出最人的血值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理 由.證明：由 /(n) = (2n + 7)x3w+9,得/= 36, /(2) = 3x36, /= 10x36, f (4) = 34 x 36,由此猜想 m 36.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1) 當(dāng)7? = 1時，顯然成立.(2) 假設(shè)m = p時,

27、/伙)能被36整除，即.f伙)= (2£ + 7)x3"+9能被36整除 ；當(dāng) n = k + 時 ，2(r +1) + 7x3切 +9 = 3(2k + 7)x3* + 9 + 18(3a_1-1),由于 一 1 是 2的倍數(shù)，故18(少"-1)能被36整除這就是說，當(dāng)77斗+ 1時，f(n) 也能被36整除.由(1) (2)可知對一切正整數(shù)兀都有/(n) = (2n + 7)x3w+9能被36整除，加 的最大值為36例3 試證：當(dāng)1時，有：加(山)"證明：(1)當(dāng)斤=2時，2!<(-)2=-,所以原不等式成立.24(2)假設(shè)n = k時，k!&

28、lt; ()a不等式成立./+1那么：伙+ 1)! = r!伙+ 1)<()*伙+ 1)如果能證明：2伙+ 1)<(心2)(3)【1】則原不等式當(dāng)n = kl時，就成立了.2 2現(xiàn)在來證明【1】式，將它改寫一下，即證2<(1 +丄)曲)但由二項式定理, k + v確有(1 +丄)(z=l +伙+ 1)丄+ .2于是【1】式成立，依數(shù)學(xué)歸納法，原 k + £ + 1不等式當(dāng)n > 1時成立.4. 2數(shù)學(xué)歸納法在幾何方面的應(yīng)用例4求證：凸邊形(h > 3)個內(nèi)角z和等于180°(h - 2)證明：(1)當(dāng)斤=3時，凸兀邊形就是三角形而三角形的三個內(nèi)

29、角和等t18o0,所以命題成立.(2)假設(shè)n = k(k> 3)時命題成立也就是說假設(shè)凸k邊形時其 內(nèi)角z和等t 180°(/2-2) 現(xiàn)在要證明凸e+1邊形時，其內(nèi)角之和等于 180°伙+ 1) 2事實上，當(dāng)n = k時，這時的凸邊形就是凸r + 1邊形我們可以任選 定其一個頂點，過這個頂點的兩個頂點作凸r + 1邊形的一條對角線在這條 對角線的兩側(cè)一邊是三角形，另一側(cè)是一個凸r邊形.則凸r+1邊形的內(nèi)角z和恰好等于這個三角形的內(nèi)角z和(已知三角形的三個內(nèi)角和等于180° ) 加上這個凸k邊形的內(nèi)角之和(已設(shè)凸k邊形的內(nèi)角之和為180°伙-2)的

30、總 和.這就證明了，當(dāng)2 1時，命題成立.所以，凸兀邊形(77 > 3)個內(nèi)角之和等于 180°(n-2) 例5平面上有,2個圓，每兩個圓交于兩點，每三個圓不過同一點，求證這72個圓分平面為n2-n + 2個部分.證明：(1)當(dāng)n = 1 il'j*,川2-九+ 2 = 1-1 + 2 = 2,而一個圓把平面分成兩部 分，所以/? = 1時命題成立.(2)設(shè)當(dāng)歸時,命題成立，即r個圓分平面為k2-k + 2個部 分，貝ij = r+l時，第r+1個圓與前r個圓有2r個交點,這2r個交點把第r + 1 個圓分成次段，每一段把原來的所在平面一分為二，故共增加了 2k個平面塊

31、， 共有疋_£ + 2 + 2鳥二伙+ 1)2伙+ 1) + 2個部分.所以 當(dāng)斤=£ + 1時，命題也成立. 所以平面上有個圓，每兩個圓交于兩點，每三個圓不過同一點，這個圓分 平面為/?2-n + 2個部分.5. 數(shù)學(xué)歸納法在應(yīng)用時易錯分析及做題技巧5.1易錯分析t在數(shù)學(xué)歸納法使用過程中的兩步都是必不可少的，否則，就會在沒有驗證第一步的情況下，而得；ll錯誤的結(jié)論的問題.例如：數(shù)學(xué)歸納法證明：2 + 4 + 6 + 2n = z?+n + l假設(shè)當(dāng)n = k時，等式成立，當(dāng) = k+l 時，2 + 4 + 6 + + 2n + 2o + l) = 5 + 1)2+( +

32、1) + 1 ,驗ijf 等式也成立，從而得出對任何口然數(shù)等式成立的結(jié)論，但是當(dāng) =1時，左邊等于2,右邊等于3,命題不成立.ii 在應(yīng)用第一數(shù)學(xué)歸納法時，只第一步驟而無第二步驟的歸納證明可能 導(dǎo)致錯誤的結(jié)論.例 在函數(shù) /(/?) = /i2+n + 17 中,由 /(1) = 19 , /(2) = 23 , /(3)二29 ,，/(15)二257等都是質(zhì)數(shù)，便說:n為任何自然數(shù)時 于二卅+卄巧的值都是質(zhì)數(shù)”便是錯誤的，因為： /(16) = 162 + 16 + 17 = 16(16 + 1) + 17 = 17(16 + 1) = 172 =289就不是質(zhì)數(shù)，女口果缺少 了第二步，則不

33、論對于多少個自然數(shù)來驗證命題八町的正確性，都不能肯定命 題對所有口然數(shù)都止確.例如：歌徳巴赫猜想“對于不小于6的偶數(shù)都可以表示成兩個質(zhì)數(shù)之和”， 雖然對大量偶數(shù)進行了具體驗證，但因缺少第二步歸納遞推，所以仍只停留在 歸納的第一步，至今只是個猜想而已第二步在證明7(/7 +1)為真時，一定要用 到歸納假設(shè)，即要由卩)為真,推出t(n + 1)為真.iii 并不是凡與白然數(shù)相關(guān)的命題八)都要用數(shù)學(xué)歸納法來證明，而且也 不是所有這類命題都能用數(shù)學(xué)歸納法給以證明.5.2做題技巧1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，在不易證得或不能直接 證得時，可以適當(dāng)?shù)倪x擇另一個與原命題相關(guān)的命題以便比較地推證.2. 運用數(shù)學(xué)歸納法要注意充分利用(即可多次使用)歸納假設(shè)