專題一平面向量的概念及線性運算

1、專題一：平面向量的概念及線性運算fl知識梳理i.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有_又有_的量；向量的大小 叫做向量的平面向量是自由向量零向量長度為的向量；其方向是任意的記作：單位向量長度等于的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向或的非零向量0與任一向量或共線共線向量的非零向量又叫做共線向量相等向量長度且方向的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度且方向的向量0的相反向量為2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算/、卜£X平行凹溝堆怯則(1) 交換律：a+ b= b+ a.(2) 結(jié)合律：(a + b) + c= a+ (b+ c).減

2、法求a與b的相反向 量一b的和的運算 叫做a與b的差三角形法則a b= a+ ( b)數(shù)乘求實數(shù)入與向量a的積的運算(1) 1怡匸丨陽1；(2) 當40時，滄的方向 與a的方向相同；當X0時，怯的方向與a的方向相反；當匸0時，怯=0X ®)=(入歸；(入 + M a = X + 園；X a+ b)= X + ?b3. 共線向量定理向量a（0）與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)入使b=?a.考點自測1.設(shè)ao為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則a= |a|a0；若a與a0平行，則a= |a|ao； 若a與ao平行且|a|= 1,則a= a°.上述命題中，假命題的個數(shù)是 （）A

3、. 0 B. 1 C. 2 D. 32 .已知0,A,B是平面上的三個點，直線AB上有一點C,滿足2AC + CB= 0,則OC等于（）ff2 f 1 f1 f 2 fA . 20A-OB B . OA + 20B C.OA 3OB D . 3OA + OB3 .已知D為三角形ABC的邊BC的中點，點P滿足PA+ BP+ CP= 0, AP= 沅，則實數(shù) 入 的值為.4. 在?ABCD 中，AB= a, AD = b, AN = 3NC, M 為 BC 的中點，則 MN =.（用 a,b表示）題型分類深度剖析題型一 平面向量的概念例1給出下列命題： 若|a|=|b|,則a= b;若A, B,

4、C, D是不共線的四點，則“ AB= DC”是“四邊形 ABCD為平行四邊形”的充要條件；若a = b, b= c,則a= c;a = b的充要條件是|a|= |b|且a / b.其中正確命題的序號是 .跟蹤訓練1下列命題中，正確的是 .（填序號） 有向線段就是向量，向量就是有向線段； 向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反； 向量AB與向量CD共線，則A、B、C、D四點共線; 如果a / b, b/ c,那么a / c； 兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.題型二 平面向量的線性運算例2 （1）如圖，正方形 ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三 “二.等分點，那么E

5、F等于（）1 f 1 fA.1AB- 1AD1 -fB. -AB +41 f 1 fc.3ab+1DA1 f 2 fD.2AB - 2ad（2）在厶ABC中，AB = c, AC= b,若點D滿足BD = 2DC，則AD等于（）2 1a3 b+ 3 C5 2B.3C- 3b2 1C3b 3c1 2D3b+3Cfvj (1)如圖，在正六邊形abcdef 中，Ba + Cd + ef等于( )A. 0 b.Be c.ad d.cf1 2(2)設(shè) D, E 分別是 ABC 的邊 AB, BC 上的點，AD = AB, BE= _BC.BE若De =AAB+MC（d h為實數(shù)），貝U入+矗的值為題型三

6、共線定理的應用例3設(shè)兩個非零向量 a與b不共線,(1)若 aB= a + b, BC = 2a+ 8b, Cd = 3(a- b),求證：A、B、D 三點共線;試確定實數(shù)k,使ka+ b和a+ kb共線.朮咗門F 如圖，在 ABC中，點D是BC邊上靠近B的三等分點,則AD等于(2 f 1 fA. 3AB- 3ACB.3AB+£aCc.|ab+£aCD.AB-|aC已知平面上不共線的四點O, A, B, C,若OA-4OB + 3OC= 0，則1等于(|BC|A . 3 B . 4 C. 5 D . 6方程思想在平面向量的線性運算中的應用典例：（12分）如圖所示，在 ABO中

7、，0C= ：oA , OD = OB , AD與BC 相交于點 M，設(shè)OA = a, (5B= b.試用a和b表示向量OM.練出高分A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：45分鐘)1.下列說法正確的個數(shù)是()溫度、速度、位移、功這些物理量都是向量；零向量沒有方向；向量的模一定是正數(shù)；非零向量的單位向量是唯一的.A. 0 B. 1 C. 2 D. 32 .已知向量 a= (2,4), b= ( 1,1)，貝U 2a b等于()A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7) D. (3,9)3 .設(shè)a, b不共線，AB = 2a+ pb, BC= a+ b, CD = a 2b,若A, B, D三點共線，

8、則實數(shù)p的值是()A. 2 B. 1 C. 1 D. 24 .已知點O ABC外接圓的圓心，且 OA + OB + OC= 0,則厶ABC的內(nèi)角A等于()A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°5. 在厶ABC中，AB = 2, BC= 3, / ABC = 60 °, AD為BC邊上的高，0為AD的中點，若aO=瓜B +啟C，貝U H卩等于()八,m 1 J2A. 1 B.? C.3 D.36 .下列命題： 如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么 a+ b的方向必與a, b之一方向相同； 三角形 ABC中，必有AB+ BC+

9、 CA = 0； 若AB + BC+ CA = 0，貝U A, B, C為三角形的三個頂點; 若a, b均為非零向量，則|a+ b與ai+ |b|定相等.其中假命題的序號為.7 設(shè)0是厶ABC內(nèi)部一點，且0A+ OC= 2OB，則 AOB與厶AOC的面積之比為 8. 在 ABC中，已知D是AB邊上一點，若AD = 2IDB, CD = #CA+ CB,貝V匕9. 已知向量a= 2ei 3e2, b= 2& + 3e?，其中、e不共線，向量c= 2e! 9血.問是否存在這 樣的實數(shù)入內(nèi)使向量d= ?a +山與c共線？,t 2 tA10.如圖所示，在 ABC中，D、F分別是BC、AC的中點

10、，AE = 3AD ,ttAB= a, AC = b. c（1）用 a、b 表示向量 AD, AE, AF , BE, BF求證：B, E, F三點共線.B組專項能力提升（時間：25分鐘）11. 已知點O, A, B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且20P = 20）A+ Ba,則（）A .點P在線段AB上B .點P在線段AB的反向延長線上C .點P在線段AB的延長線上D .點P不在直線AB上12. 如圖，已知AB是圓0的直徑，點C, D是半圓弧的兩個三等分點,AB= a, AC = b,則 AD等于()11 11A . a 2bB.qa b C. a+qbD.qa + b13 .設(shè)G為厶ABC的重心，且sin A GA + sin B GB+ sin C GC= 0，貝V B的大小為()A. 45° B . 60°C. 30° D. 1514.如圖所示，在 ABC中，點0是