(華師版初中數(shù)學(xué)教案及隨堂練習(xí)全)_勾股定理

1、(華師版初中數(shù)學(xué)教案及隨堂練習(xí)全)第十四章_勾股定理尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校第十四章：勾股定理§14.1勾股定理一 知識(shí)點(diǎn)：1. 對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、 b，斜邊為c，那么一定有abc，這種關(guān)系我們稱為勾股定理我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的稱為股，斜邊稱為弦勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系2. 直角三角形的判定：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、 b、 c有關(guān)系： abc，那么這個(gè)三角形是直角三角形。222222二學(xué)習(xí)過(guò)程：1按教材的思路講解，帶著同學(xué)一起做推導(dǎo)的例子，并歸納相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。2. 和學(xué)生一

2、起完成課后習(xí)題。3. 講下關(guān)于勾股定理的史話。三例題及習(xí)題：教材中的題目。§14.2 勾股定理的應(yīng)用一 知識(shí)點(diǎn)：1. 能夠用勾股定理解決涉及直角三角形的實(shí)際問(wèn)題。二學(xué)習(xí)過(guò)程：1按教材的思路講解，帶著同學(xué)一起做推導(dǎo)的例子，并歸納相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。2. 和學(xué)生一起完成課后習(xí)題。三例題及習(xí)題：教材中的題目。勾股定理經(jīng)典例題1勾股定理是把形的特征三角形中有一個(gè)角是直角，轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系a2b2=c2，不僅可以解決一些計(jì)算問(wèn)題，而且通過(guò)數(shù)的計(jì)算或式的變形來(lái)證明一些幾何問(wèn)題，特別是證明線段間的一些復(fù)雜的等量關(guān)系. 在幾何問(wèn)題中為了使用勾股定理，常作高或垂線段等輔助線構(gòu)造直角三角形.2勾股定理的逆定理是

3、把數(shù)的特征a2b2=c2轉(zhuǎn)化為形的特征三角形中的 1尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校一個(gè)角是直角，可以有機(jī)地與式的恒等變形，求圖形的面積，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成綜合題，關(guān)鍵是挖掘“直角這個(gè)隱含條件.ABC中 CRtÛa2b2=c23為了計(jì)算方便，要熟記幾組勾股數(shù)： 3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 8、15、17； 9、40、41. 4勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地說(shuō)，在平面幾何中，經(jīng)常利用直線間的位置關(guān)系，角的相互關(guān)系而判定直角，從而判定直角三角形，而勾股定理那么是通過(guò)邊的計(jì)算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一個(gè)三角形是否是直角三角形，一般步

4、驟是： 1確定最大邊；2算出最大邊的平方，另外兩邊的平方和；3比擬最大邊的平方與另外兩邊的平方和是否相等，假設(shè)相等，那么說(shuō)明是直角三角形；5勾股數(shù)的推算公式 羅士琳法那么羅士琳是我國(guó)清代的數(shù)學(xué)家17891853任取兩個(gè)正整數(shù)m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一組勾股數(shù)。k2-1k2+1 如果k是大于1的奇數(shù)，那么k, ,是一組勾股數(shù)。22æKöæKö 如果k是大于2的偶數(shù)，那么k, ç÷-1,ç÷+1是一組勾股數(shù)。è2øè2ø 如果a,b,

5、c是勾股數(shù)，那么na, nb, nc (n是正整數(shù))也是勾股數(shù)。典型例題分析例1 在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖1所示)，斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，那么S1+S2+S3+S4=_22 依據(jù)這個(gè)圖形的根本結(jié)構(gòu)，可設(shè)S1、S2、S3、S4的邊長(zhǎng)為a、b、c、d 那么有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2 S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=42尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校 例2 線段a，求作線段a 分析一：a5a24a2+a2 5a是以2a和a為兩條直角邊的直角三角形的斜邊

6、。 分析二：5a9a-4a2 a是以3a為斜邊，以2a為直角邊的直角三角形的另一條直角邊。 作圖略例3 如圖：(1)以RtABC的三邊長(zhǎng)為邊作三個(gè)等邊三角形，那么這三個(gè)等邊的面積，S1、S2、S3之間有何關(guān)系，說(shuō)明理由。(2)如圖(2)，以RtABC的三邊長(zhǎng)為直徑作三個(gè)半圓，那么這三個(gè)半圓的面積S1，S2，S3之間有何關(guān)系？(3)如果將圖(2)中斜邊上的半圓沿斜邊翻折180°，成為圖(3)，請(qǐng)驗(yàn)證：“兩個(gè)陰影局部的面積之和正好等于直角三角形的面積(此陰影局部在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙) 分析：(1)中S1，S2，S3的表示均與直角三角形的邊長(zhǎng)有關(guān)。 2 所以根據(jù)勾股定理可得出S1

7、，S2，S3的關(guān)系，S1+S2=S3 (2)類似于(1)：S1+S2=S3 (3)圖中陰影局部的面積是S1+S2+SABC-S3S陰影=SABC 例4. 如圖3，圖中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，假設(shè)所有的正方形的面積之2和為507cm，試求最大的正方形的邊長(zhǎng)。分析：此題顯然與勾股定理的幾何意義有關(guān)，即S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S陰所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S陰從而有3S陰=507，即S陰=169(cm2)3尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校 最大的正方形的邊長(zhǎng)為13cm 例5 圖(7)中，假設(shè)大正方形EFGH的邊長(zhǎng)為1，將這個(gè)正方形的四個(gè)角剪掉，得到四

8、邊形ABCD，試問(wèn)怎么剪才能使剩下的圖形ABCD仍為正方形，且剩以下圖形的面積為原正方形面積的5/9 (3)設(shè)剪去的四個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a，b且a>b，那么將正方形EFGH的邊長(zhǎng)三等分，使順次連結(jié)A、B、C、D，所得正方形ABCD的面積即為原正方形面積的 ，只要剪去ABE，BCF，CDG，DAH即可。 二、要學(xué)會(huì)用方程觀點(diǎn)解題例6. ：如圖7，ABC中，AB=3，BC=4，B=90°，假設(shè)將ABC折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，求折痕EF的長(zhǎng)。 分析：當(dāng)解這樣的問(wèn)題時(shí)，由軸對(duì)稱的概念，自然想到連AF。由，可得 ，因此欲求EF，只要求AF的長(zhǎng)。設(shè)AF=x，那么FC=x，BF

9、=4-x只要利用RtABF中，AF2-BF2=AB2這個(gè)相等關(guān)系布列方程x2-(4-x)2=9，問(wèn)題就可以解決 例7. 在RtABC中，C=90°，假設(shè)a，b，c為連續(xù)整數(shù)(a<b<c)，求a+b+c 分析：有的同學(xué)認(rèn)為，在RtABC中，a、b、c為連續(xù)整數(shù)，a=3,b=4,c=5，即a、b、c不可能是別的數(shù)。這個(gè)同學(xué)的結(jié)論是正確的，但沒有推理論證，正確的解法是設(shè)b=x(x為正整數(shù)，且x2)，由，那么 a=x-1，c=x+1c2-a2=b2 (x+1)2-(x-1)2=x2即4x=x2，又x>0， 只有x=44尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校 a+b+c=(

10、x-1)+x+(x+1)=3x=12 例8. ：如圖8，ABC中，AB=13，BC=21，AC=20，求ABC的面積。分析：為了求ABC中，ADBC，ABCDACBD,求證：ABAC證明：設(shè)AB，AC，BD，CD分別為b,c,m,n那么c+n=b+m, c-b=m-nADBC，根據(jù)勾股定理，得 AD2c2-m2=b2-n2c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b) =(m+n)(c-b)(c+b)(c-b) (m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0c+b>m+n, c-b=0 即c=bABAC 例11 .：正方形ABCD

11、的邊長(zhǎng)為1，正方形EFGH求：b-a的值35尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校 解：根據(jù)勾股定理2a2+b2=EF2SEFGH ;314SAEFSABCDSEFGH 2ab= 3G1得 a-b2= b-a33例12 .ABC中，ARt，M是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在AB，AC，MEMF 2求證：EFBE2CF2 答案 .延長(zhǎng)EM到N，使MNEM，連結(jié)CN，顯然MNCMEB，NCBE，NFEFC 例13 .RtABC中，ABC90o，C600，BC2，D是AC的中點(diǎn)，從D作DEAC與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，以AB、BE為鄰邊作矩形ABEF，連結(jié)DF，那么DF的長(zhǎng)是。 答案與提示：. 可證DFDE236尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校

12、答案(2p)2+102 練習(xí)1 在邊長(zhǎng)為整數(shù)的ABC中，AB>AC，如果AC = 4，BC = 3，求AB的長(zhǎng).分析：此題沒有指明是直角三角形，因此只能用三角形三邊的關(guān)系定理求解，從AC< AB< AC+ BC知：4< AB<7，得AB為5或6. 2 如圖，在等腰ABC中，ACB=90°，D、E為斜邊AB上的點(diǎn)，且DCE=45°。222求證：DE=AD+BE。EE分析：利用全等三角形的旋轉(zhuǎn)變換，進(jìn)行邊角的全等變換，將邊轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中，并構(gòu)造直角三角形。 3 如圖，在A BC中，AB=13,BC=14,

13、A C=15，那么BC邊上的高A D= 。答案12。D4 如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，BC=4，將長(zhǎng)方形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，那么重疊局部AFC的面積是 。E設(shè)EF=x，那么AF=CF=8-x，AE+EF=AF,所以4+x=(8-x),解得x=3， S=4*8/2-3*4/2=10答案：10 5 如圖，長(zhǎng)方體的高為3 cm，底面是邊長(zhǎng)為2 cm的正方形. 現(xiàn)有一小蟲從頂點(diǎn) 7尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體側(cè)面到達(dá)頂點(diǎn)C處，小蟲走的路程最短為多少厘米? 8尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校 答案AB=5A 6 在ABC中，AB=15 ,AC=20,BC邊上的高A D=12，試求BC邊的長(zhǎng).答案25或

14、7 AA CBDBD7 在A BC中，D是BC所在直線上一點(diǎn)，假設(shè)AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC的面積。 A答案84或36 CD D B?勾股定理?練習(xí)題 一、選擇題每題3分，共30分1如果以下各組數(shù)是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是( )A7，24，25 B311111，4，5 C3，4，5 D4，7，8 222222如果把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的( )A1倍 B2倍 C3倍 D4倍3在以下說(shuō)法中是錯(cuò)誤的 A在ABC中，CA一B，那么ABC為直角三角形B在ABC中，假設(shè)ABC523那么ABC為直角三角形34C在ABC

15、中，假設(shè)ac，bc，那么ABC為直角三角形 55D在ABC中，假設(shè)abc224，那么ABC為直角三角形4四組數(shù):9，12，15；7，24，25；32，42，52；3a，4a，5a(a0)中， 9尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校可以構(gòu)成直角三角形的邊長(zhǎng)的有( )A4組B3組C2組D1組5三個(gè)正方形的面積如圖1，正方形A的面積為 A 6 B 36 C 64 D 8 A 圖2C 6一塊木板如圖2所示，AB4，BC3，DC12，AD13，B90°，木板的面積為( )A60 B30 C24 D127直角三角形的兩直角邊分別為5cm，12cm，其中斜邊上的高為 3060A6cm B85cm Ccm Dcm 13

16、138兩只小鼴鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分鐘挖8cm，另一只朝左挖，每分鐘挖6cm，10分鐘之后兩只小鼴鼠相距 A50cm B100cm C140cm D80cm9小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1m，當(dāng)它把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，那么旗桿的高為 A8cm B10cm C12cm D14cm10在ABC中，ACB90°，AC40，CB9，M、N在AB上且AMAC，BNBC，那么MN的長(zhǎng)為 A6 B7 C8 D9 二、填空題每題3分，共30分11在ABC中，C90°，假設(shè) a5，b12，那么 c12在ABC中，C90°，

17、假設(shè)c10，ab34，那么ab 13等腰ABC的面積為12cm2，底上的高AD3cm，那么它的周長(zhǎng)為14等邊ABC的高為3cm，以AB為邊的正方形面積為15直角三角形三邊是連續(xù)整數(shù)，那么這三角形的各邊分別為16在RtABC中，斜邊AB2，那么AB2+BC2+CA217有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高3米，兩樹相距4米一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了米18一座橋橫跨一江，橋長(zhǎng)12m，一般小船自橋北頭出發(fā)，向正南方駛?cè)ィ蛩髟虻竭_(dá)南岸以后，發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭5m，那么小船實(shí)際行駛m19一個(gè)三角形的三邊的比為51213，它的周長(zhǎng)為60cm，那么它的面積是220在RtABC中，C90

18、°，中線BE13，另一條中線AD331，那么AB10尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校 三、解答題每題8分，共40分21某車間的人字形屋架為等腰ABC，跨度AB24m，上弦AC13m求中柱CDD為底AB的中點(diǎn) 22有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線長(zhǎng)，門寬4尺求竹竿高與門高 23如圖3，臺(tái)風(fēng)過(guò)后，一希望小學(xué)的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部8m處，旗桿原長(zhǎng)16m，你能求出旗桿在離底部什么位置斷裂的嗎？請(qǐng)你試一試 圖3 A A 圖4 B B 24如圖4所示，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O 的距離為2m，梯子的頂端B到地面

19、的距離為7m現(xiàn)將梯子的底端A向外移動(dòng)到A,使梯子的底端A到墻根O的距離為3m，同時(shí)梯子的頂端B下降到B，那么BB也等于1m嗎? 25在ABC中，三條邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，an21，b2n，cn2+1(n1，且n為整數(shù))，這個(gè)三角形是直角三角形嗎？假設(shè)是，哪個(gè)角是直角？與同伴一起研究 參考答案：一、1B 2B 3D 4B 5B 6C 7D 8B 9C 10C 11尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校 二、1113 1248 1318 1412 153、4、5 168 175 1813 192400 2020三、215米22設(shè)門高為x尺，那么竹桿長(zhǎng)為(x+1)尺，依題意由勾股定理，得x2+42(x+1)2，解得x7

20、5，所以門高為75尺，那么竹桿長(zhǎng)為85尺23設(shè)旗桿在離底部xm位置斷裂，那么根據(jù)題意，得(x+1)2x264，解得x6，即旗桿在離底部6m位置斷裂24在RtABO中，梯子AB2AO2+BO222+7253在RtABO中，梯子AB253AO2+BO232+BO2，所以，BO2×36所以BBOBOB1242224222225因?yàn)閍n2n+1，b4n，cn+2n+1，a+bc，所以ABC是直角三角形，C為直角八年級(jí)(上)數(shù)學(xué)開平方及勾股定理單元試卷一、填空題20%1. -的絕對(duì)值是 ；42. 的平方根是 93.27 的立方根是。F4.比擬大小：6_75.如圖：以直角三角形斜邊為邊的正方形面

21、積是 6._.誤差小于17.如右圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是 A8.寫一個(gè)無(wú)理數(shù)，使它與2的積是有理數(shù)9.當(dāng)x_時(shí)，x-3有意義；10.a-2+(b+3)2=0，那么a-b二、選擇題12%11.以下說(shuō)法中，正確的選項(xiàng)是 A數(shù)軸上的點(diǎn)表示的都是有理數(shù) B無(wú)理數(shù)不能比擬大小C無(wú)理數(shù)沒有倒數(shù)及相反數(shù) D實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的12尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校 12.以下各式中，正確的選項(xiàng)是 A. (-2)2=-2 B. (-)2=9 C. ±=±3 D. -9=-313. 滿足-3<x<5的整數(shù)x是 A、-2,-1,0,1,2,3 B、-1,0,1,2C、-2,-1,0,1,2,3

22、 D、-1,0,1,2,314.。7.07.5之間 6.57.0之間7.58.0之間 8.08.5之間15.以下各組數(shù)中互為相反數(shù)的是 、與(-2)2 、與-8 、與-1 、-2與2 216.圓的面積增加為原來(lái)的4倍，那么它的半徑是原來(lái)的 A. 1倍； B. 2倍 C. 2倍 D. 4倍。三、解答題17把以下各數(shù)分別填在相應(yīng)的集合 ;無(wú)理數(shù)集合: ;正數(shù)集合: ;負(fù)數(shù)集合: .18.快速口答題此題18分 9= (-2)2=(-3)3=647= 27= 32+42=12·3= (2)2=19.計(jì)算每題3分，共30分13+ 2 2- 3 (24-)964 13尤新教育輔導(dǎo)學(xué)校 4·-5 5(2+3)(2-) 6(-64)´(-81) 7 8(-2)2 963+28 106248-330 -1-3-24 20.請(qǐng)?jiān)谕粋€(gè)數(shù)軸上用尺規(guī)作出 -2 的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)并估算-2的值誤差小于