《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》課后習(xí)題解答答案1-8章

1、精品文檔第一章事件與概率1.1 寫出下列隨機試驗的樣本空間及表示下列事件的樣本點集合。（1）10 件產(chǎn)品中有 1 件是不合格品，從中任取 2 件得 1 件不合格品。（2）個口袋中有 2 個白球、3 個黑球、4 個紅球，從中任取一球，（i ）得白球，（ii ）得紅球。解（1）記 9 個合格品分別為正-正2,正9，記不合格為次，則（ 正1,正2）（正1，正3），正1，正9）（正1，次）（正2，正3）（正2，正4）， （正2， 正9）（正2， 次），（正3，正4）,，（正3，正9），（正3，次），（正8，正9），（正8，次），（正9，次）A（正，次）,（正2，次），（正9，次）（2）記 2 個白球分

2、別為1，2，3 個黑球分別為b1，b2，b3，4 個紅球分別為r1，D，r3，5。則 1，2，b1，b2，b3，r1，D，r3，扁（i ）A1，2 （i）Br1，D，3， m1.2 在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生，令事件A 表示被選學(xué)生是男生，事件B 表示被選學(xué)生是三年級學(xué)生，事件C 表示該生是運動員。（1）敘述ABC的意義。（2）在什么條件下ABC C成立？（3）什么時候關(guān)系式C B是正確的？（4）什么時候A B成立？解（1）事件ABC表示該是三年級男生，但不是運動員。（2）ABC C等價于C AB，表示全系運動員都有是三年級的男生。（3）當(dāng)全系運動員都是三年級學(xué)生時。（4）當(dāng)全系女生都在三年

3、級并且三年級學(xué)生都是女生時。1.3 一個工人生產(chǎn)了n個零件，以事件A表示他生產(chǎn)的第i個零件是合格品（1 i n）。用A表示下列事件:（1）沒有一個零件是不合格品;（2）至少有一個零件是不合格品；（3）僅僅只有一個零件是不合格品;（4）至少有兩個零件是不合格品。n，可表示為AiAj；解（1）A；(2)i 1A( Aj)；i 1j 1（4）原事件即“至少有兩個零件是合格品”精品文檔ij11.4 證明下列各式:(1)A B B A; (2)ABBA(3) (A B) CA (B C); (4)(A B) C A (B C)精品文檔位及兩位以上乘客在同一層離開”相當(dāng)于“從9 層中任取 7 層，各有一位

4、乘客離開電梯”。所以包含A7個樣本點，于7是P（A）。91.10 某城市共有 10000 輛自行車，其牌照編號從 00001 到 10000。問事件“偶然遇到一輛自行車，其牌照號碼中 有數(shù)字 8”的概率為多大？(AB) C(A C)(BC)證明（1） （ 4）顯然，1.5 在分別寫有 2、4、6、(5)7、AAii 1i 1和（6）的證法分別類似于課文第10 12 頁（1.5 ）式和（1.6）式的證法。& 11、12、13 的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個數(shù)字組成一個分?jǐn)?shù)，求所解樣本點總數(shù)為A；8所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)必須分子分母或為7、11、13 中的兩個，或為 2、4、6、8、12

5、中的一個和 7、11、13 中的一個組合，所以事件A“所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)”包含A 2A3A52 3 6個樣本點。P(A)8 71.6 有五條線段，概率。2 3 69- 。14長度分別為1、3、5、7、9。從這五條線段中任取三條，求所取三條線段能構(gòu)成一個三角形的解樣本點總數(shù)為510。 所取3、5、7 或 3、7、9 或多或 5、7、9。所以事件A“所取三條線段能構(gòu)成一個三角形”包含33 個樣本點， 于是101.7 一個小孩用 13 個字母 代A,代C, E,H,I,I,M ,M ,N,T,T作組字游戲。如果字母的各種排列是隨機的（等可能的），問“恰好組成“ MATHEMATICIAN詞的概率為多

6、大?顯然樣本點總數(shù)為13!,事件A“恰好組成“ MATHEMATICIAN 包含3 !2 ! 2 !2 !個樣本點。所以P(A)3!2!2!2!4813!13!在中國象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”，求它們正好可以相互吃掉的概率。1.8解任意固定紅“車”的位置，黑“車”可處于9 10 1 89個不同位置，當(dāng)它處于和紅“車”同行或同列的9個位置之一時正好相互“吃掉”。故所求概率為P（A） 89891.9 一幢 10 層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7 位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯,設(shè)每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概

7、率。8 17解 每位乘客可在除底層外的9 層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7 位乘客，所以樣本點總數(shù)為97。事件A“沒有兩精品文檔9494解用A表示“牌照號碼中有數(shù)字 8”，顯然P（A）一，所以10000 10精品文檔i.ii任取一個正數(shù)，求下列事件的概率：(1) 該數(shù)的平方的末位數(shù)字是 1; (2)該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1; (3)該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1;1解(1)答案為丄。542(2) 當(dāng)該數(shù)的末位數(shù)是 1、3、7、9 之一時，其四次方的末位數(shù)是1,所以答案為 -105(3) 一個正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字，所以樣本空間包含示“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1 ”

8、，則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是 1，設(shè)最后第二位數(shù)字為a，則該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字為 1 和 3a的個位數(shù)，要使 3a的個位數(shù)是 1,必須a 7，因此A所包含的樣本點只有 71 這一點，于是1.12 一個人把 6 根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。 然后請另一個人把 6 個頭兩兩相接，6 個尾也兩兩相接。 求放開手以后 6 根草恰好連成一個環(huán)的概率。并把上述結(jié)果推廣到2n根草的情形。解(1)6 根草的情形。取定一個頭，它可以與其它的5 個頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個之一相接，最后將剩下的兩個頭相接，故對頭而言有5 3 1種接法，同樣對尾也有5 3 1種接法，所以樣本點總

9、數(shù)為(5 3 1)2。用A表示“6 根草恰好連成一個環(huán)”，這種連接，對頭而言仍有5 3 1種連接法，而對尾而言，任取一尾,它只能和未與它的頭連接的另4 根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2 根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為42。所以A包含的樣本點數(shù)為(5 3 1)(4 2)，于是(5 3 1)(4 2)2(5 3 1)(2)2n根草的情形和(1)類似得1.13 把n個完全相同的球隨機地放入N個盒子中(即球放入盒子后，只能區(qū)別盒子中球的個數(shù)，不能區(qū)別是哪個球進(jìn)入某個盒子，這時也稱球是不可辨的)。如果每一種放法都是等可能的，證明(1)某一個指定的盒子中恰好有

10、k個N n k 2球的概率為n k，0k nN n 1nNn 1(2)恰好有m個盒的概率為m N m 1，N n m N 1N n 1nm j 1 N m n j 1(3)指定的m個盒中正好有j個球的概率為m 1n j，1 m N ,0 j NN n 1n解略。1.14 某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)汽車站的時刻是任意的，求一個乘客候車時間不超過3P(A) 1-P(A)941ioooo14910102個樣本點。用事件A表P(A)815精品文檔分鐘的概率。3解所求概率為P(A)-5精品文檔n 111.15 在ABC中任取一點P，證明ABP 與 ABC的面積之比大于的概率為-2

11、nn1解截取CD CD，當(dāng)且僅當(dāng)點P落入n（1）X2位于X1與 X3之間的概率。AX1, AX2, AX3能構(gòu)成一個三角形的概率。1解(1)P(A)-31.18 在平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意地投擲一個三角形， 該三角形的邊長為a,b,c（均小于d）, 求三角形與平行線相交的概率。解 分別用A,A2,A3表示三角形的一個頂點與平行線相合，一條邊與平行線相合，兩條邊與平行線相交，顯然P(AJP(A2)0.所求概率為P(A3)。分別用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示邊a,b,c，二邊ab,ac, bc與平行線相交，則P(A3)P(AabAacAbc).顯然P ( Aa)P

12、(Aab)RAc),Pf)P(Aab)P(Abc),P(AJP(Aac)P(Abc)所以12 1P(A3)-P(Aa) P(Ab)P(Ac)(a b c)(a b c)22dd（用例 1.12 的結(jié)果）1.19 己知不可能事件的概率為零，現(xiàn)在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說明之。解 概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長度為 1 的線段內(nèi)隨機投點。則事件A“該點命中AB的中點” 的概率等于零，但A不是不可能事件。1.20 甲、乙兩人從裝有a個白球與b個黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直 到兩人中有一人取到白球時停止。試描述這一隨機現(xiàn)象的概率空間，

13、并求甲或乙先取到白球的概率。b個為P(A)A BC 有面積ABC 的面積- 2CD-2CD122CDn-2CD兩小時,解1.16 兩艘輪船都要停靠同一個泊位， 求有一艘船停靠泊位時必須等待一段時間的概率。分別用x,y表示第一、二艘船到達(dá)泊位的時間。一艘船到達(dá)泊位時必須等待當(dāng)且僅當(dāng)它們可能在一晝夜的任意時刻到達(dá)。設(shè)兩船?？坎次坏臅r間分別為 1 小時與y 2,0 y x 1。因此所求概率為21212242232222P(A) -2- 0.1212421.17 在線段AB上任取三點x, x2, x3，求:CAB之內(nèi)時n 1D，因此所求概率nP(B)解1表示白，2表示黑白，3表示黑黑白，br表示黑 黑

14、白,精品文檔b 1，并且P(1)P(3)a則樣本空間P(2)精品文檔P(i)代”十刀a b a b 1 a b (i(1)P(AA2)1 P(AJ P(“)P(AA2)；1 P(A1) P(A；) PS1A2) P(A1A2) P(AJ P(A2).證明(1)P(AA2)P(AA2)1P(A,A2)=1P(A1)P(A)P(A1A2)(2)由(1)和P(AA2)0得第一個不等式，由概率的單調(diào)性和半可加性分別得第二、三個不等式。1.23 對于任意的隨機事件A、B、C，證明：P(AB) P(AC) P(BC) P(A)證明P(A) PA(B C) P(AB) P(AC) P(ABC)P(AB) P

15、(AC) P(BC)1.24 在某城市中共發(fā)行三種報紙：甲、乙、丙。在這個城市的居民中，訂甲報的有45%訂乙報的有 35%訂丙甲取勝的概率為P(1)+P(3)+P(5)+ 乙取勝的概率為P(2)+P(4)+P(6)+ 1.21 設(shè)事件代B及AB的概率分別為p、q及r,求P(AB),解由P(A B)P(A)P(B)P(AB)得P(AB) P(A)P(B)P(AB) pq rP(AB) P(AAB)P(A)P(AB)r q,P(AB) r pP(AB) P(AB) 1P(AB) 1rb 1)aP(AB),P(AB),P(AB)P( b1)石1.22 設(shè)幾、A2為兩個隨機事件，證明:2) a b (

16、i 1)b!ab)(a精品文檔報的有 30%同時訂甲、乙兩報的有10%同時訂甲、丙兩報的有8%同時訂乙、丙兩報的有5%同時訂三種報紙的有 3%求下述百分比：(1) 只訂甲報的；(2) 只訂甲、乙兩報的；(3) 只訂一種報紙的；(4) 正好訂兩種報紙的；(5) 至少訂一種報紙的；(6) 不訂任何報紙的。解 事件A表示訂甲報，事件B表示訂乙報，事件C表示訂丙報。精品文檔(1)P(ABC)P(A(AB AC )=P(A)P(ABAC)=30%P(ABC)P(ABABC)7%P(BAC)P(B)P(AB)P(BC)P(ABC)23%P(CAB)P(C)P(AC)P(BC)P(ABC)20%P(ABC+

17、BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%P(ABCACBBC A)P(ABC)P(ACB)P(BC A)14(5)P(A B C) 90%(6)P(ABC) 1 P(A B C) 190%10%1.26 某班有n個學(xué)生參加口試，考簽共 N 張，每人抽到的考簽用后即放回，在考試結(jié)束后，問至少有一張考沒有 被抽到的概率是多少？解用Ai表示“第i張考簽沒有被抽到” ，i1,2,N,N。要求P( A )。i 1nN 1N 2nnN NP(Ai)NP(A Aj)NP(A1AN)0丿NNNN 1n八11NN 1nP(A)彳( 1)11彳i 11N1NnnNN 221NN 2P(A

18、iAj)(1)1 i N2N2NN所以P( A)N(1)i1Nnii 1ii 1N1.27 從n階行列式的一般展開式中任取一項，問這項包含主對角線元素的概率是多少？是等可能的)。解n階行列式的展開式中， 任一項略去符號不計都可表示為a1ha2i2anin，當(dāng)且僅當(dāng)1,2, ,n的排列(i1i2in)中存在k使ikk時這一項包含主對角線元素。用Ak表示事件“排列中ikk”即第k個主對角線元素出現(xiàn)于展開式的某項中。貝UZ(1 i j n)，n!11i!求至少有一個男孩的概率(假設(shè)一個小孩是男孩或是女孩P ( Ai)(n 1)!1n!P(AiAj)Nn所以P( A)( 1)i 1i 1i 1(n i

19、)!n!n(1)ii 11.29 已知一個家庭中有三個小孩，且其中一個是女孩,精品文檔解 用b,g分別表示男孩和女孩。則樣本空間為:精品文檔(b,b,b),(b,b, g),(b,g,b)(g,b,b), (b,g, g)g,b, g( g, g,b)(g, g,g)其中樣本點依年齡大小的性別排列。A表示“有女孩”，B表示“有男孩”，則P(B|A)込6/8P(A) 7/81.30 設(shè)M件產(chǎn)品中有m件是不合格品，從中任取兩件,(1) 在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。(2)在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。設(shè)A表示“所取產(chǎn)品中至少有一

20、件是不合格品B表示“所取產(chǎn)品都是不合格品”，則P(A)m M m1 1MP(B)P(B)需闖m 12M m 1(2)設(shè)C表示“所取產(chǎn)品中至少有一件合格品”D表示“所取產(chǎn)品中有一件合格品， 一件不合格品”。則P(C)m M m M m1 1 2M2P(D)P(D |C)P(CD)PC)P(D)P(C)2mM m 11.31n個人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得一張電影票，他們依次摸彩，求:(1)已知前k 1(k n)個人都沒摸到，求第k個人摸到的概率;第k(k n)個人摸到的概率。解設(shè)Ai表示(1)P(Ak|A Ak 1)1n (k 1)P(Ak)P(A1n 1 nAk 1Ak)n n2111nk 1np，

21、證明：一個母雞恰有r個下一代(即小雞)的概率為亠卩。r!解用Ak表示“母雞生k個蛋”，B表示“母雞恰有r個下一代”，則精品文檔P(A IB)P(AJP(B| AJ3P(Ak)P(B| Ak)k 12569P(A2|B)P(A2)P(B| A2)28369P(Ak)P(B|Ak)k 1P(A3)P(B|A3)3P(Ak)P(B| Ak)k 11.35 某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺數(shù)之比為 當(dāng)有一臺機床需要修理時，915，17P(A3|B)1669問這臺機床是車床的概率是多少?9:321，它們在一定時間內(nèi)需要修理的概率之比為123:1。32P(A2)-，P(A3)-，151523P(B|A2

22、)7，P(B|A3)P(AJP(B|A1)P(Ak)P(B|Ak)k 11.36 有朋友自遠(yuǎn)方來訪，他乘火車、輪船、汽車、1 1 1解則P(A1)P(B|AJ由貝時葉斯公式得P(A1| B)79221Pg和151，P(BA)-飛機來的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是丄、丄、，而乘飛機不會遲到。結(jié)果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多4312r!1.33 某射擊小組共有 20 名射手，其中一級射手 4 人，級射手 8 人，二級射手 7 人，四級射手一人，一、 三、四級射手能通過選拔進(jìn)入決賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一

23、組內(nèi)任選一名射手，該射手能通過選拔進(jìn)入決賽的概率。解 用Ak表示“任選一名射手為k級”，k 1,2,3,4，B表示“任選一名射手能進(jìn)入決賽”，則4P(B)P(Ak)P(B| Ak) 0.9 - 0.7 - 0.5 丄 0.2 0.645k 1202020201.34 在某工廠里有甲、乙、丙三臺機器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25% 35% 40%并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有 5% 4% 2%現(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率分別等于 多少？解 用A1表示“任取一只產(chǎn)品是甲臺機器生產(chǎn)”A2表示“任取一只產(chǎn)品是乙臺機器生產(chǎn)”A3表示“任取一只產(chǎn)品是丙臺機器生

24、產(chǎn)”B表示“任取一只產(chǎn)品恰是不合格品” 則由貝葉斯公式：P(B)P(AQP(B|Ak)k rk!pr(1kP)p)rr!(1 P)Lk r(kr)!P)r(iP)r!精品文檔解用Ai表示“朋友乘火車來” ，A2表示“朋友乘輪船來” ，A3表示“朋友乘汽車來” ，A4表示“朋友乘飛機來”B表示“朋友遲到了” 。則P(AIB)4P(A)P(B|A1)1P(Ak)P(B|A)2k 11.37 證明：若三個事件A、B、C獨立，則A B、AB及A B都與C獨立。證明 (1)P(A B)C) P(AC) P(BC) P(ABC)=P(A B)P(C)(2)PABC) P(A)P(B)P(C) P(AB)P

25、(C)(3)P(A B)C) P(A AB)C) P(AC ABC)=P(A B)P(C)少？精品文檔1.38 試舉例說明由P(ABC) P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)解 一方面P(A), P(B) 0,另一方面P(A)P(B) P(AB) 0,即P(A),P(B)中至少有一個等于0,所以解(1)nP( Ak)k 1nP(Ak)k 1n(1 Pk)k 1nn _nP(Ak)1P(Ak)1(1Pk)k 1k1k 1nn _nn _nnP(AkAj)(AkAj)Pk(1 Pk 1j 1j kk 1jJj 1k 1j 1i kj kj).1.40 已知事件代B相互獨立且互不相容，求P(A

26、)P(B)一定成立。解設(shè)2,3,14, 5，P( 1)64，P( 5：P(2)P(3)15P(4)A 164P(A) P(B)P(C)15 164644P(ABC)P(1)164P(A)P(B)P(C)但是P(AB)P(1)164P(A)P(B)1.39 設(shè)A, A2,An為n個相互獨立的事件，且P(Ak)1864，1，2，A 1,3，A 1，4則min( P(A), P(B)(注:min( x, y)表示x, y中小的一個數(shù))(1)n個事件全不發(fā)生；(2)n個事件中至少發(fā)生一件;(3)n個事件中恰好發(fā)生一件。Pk(1 k n)，求下列事件的概率:精品文檔min(P(A), P(B)0.1.4

27、1 一個人的血型為O,A, B, AB型的概率分別為 0.46、0.40、0.11、0.03 , 的概率(1) 兩個人為O型，其它三個人分別為其它三種血型;(2) 三個人為O型，兩個人為A型；(3) 沒有一人為AB。門擊中目標(biāo)的概率都是0.6，求同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機的概率是多少？又若有一架敵機入侵領(lǐng)空，欲以 99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮。(1)P(A1A2) 1 P(A1A2)1 0.420.84n _An)1 P( Ak) 1 0.4n0.99,k 1取n 6。至少需要 6 門高射炮，同時發(fā)射一發(fā)炮彈，可保證99%的概率擊中飛機。1.43 做一系列獨立的試驗，每次試驗

28、中成功的概率為p，求在成功n次之前已失敗了m次的概率。解 用A表示“在成功n次之前已失敗了m次”，B表示“在前n m 1次試驗中失敗了m次”，C表示“第n m次試驗成功”現(xiàn)在任意挑選五個人，求下列事件從 5 個人任選 2 人為O型，共有5種可能，在其余 3 人中任選一人為2A型，共有三種可能，在余下的2選一人為B型，共有2 種可能，另一人為AB型，順此所求概率為：0.4620.40 0.11 0.13 0.01680.46230.402(10.03)50.85871.42設(shè)有兩門高射炮，每一0.1557解用Ak表示“第k門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機”k 1,2,，B表示“擊中飛機”。則P(A

29、k)0.6，P(A1黑5.026則P(A) P(BC) P(B)P(C)n 1p (1mp) p1pn(1p)1.45 某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根。求他用完盒時另一盒中還有r根火柴(1 r n)的概率。解用A表示“甲盒中尚余i根火柴”用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”，C, D分別表示“第2n r次在甲盒精品文檔由對稱性知P(ArB0C) P(AoBrD)，所求概率為:2n r 1P(A0BrC ArB0D)2P(AoBrC) n 1第二章離散型隨機變量2.1 下列給出的是不是某個隨機變量的分布列？135123(1)(2)0.50.30.2

30、0.70.10.1012n1 2n11 121 1n1 11 122122 32 32 32 22解(1)是(2) 0.7(0.1 0.1 1，所以它不是隨機變量的分布列。(3)1 121 1 1n1 13,所以它不是隨機變量的分布列。2 232 32 34(4)1n0,n為自然數(shù)，n且丄，所以它是隨機變量的分布列。2n 121，所以C27382.4 隨機變量只取正整數(shù)N，且P(2N)與N成反比，求 的分布列。解根據(jù)題意知P(-C，其中常數(shù) C 待定。由于-C- 1，所以CA，即的分布列為Ni 2 3N1N26取”,“第2n r次在乙盒取”，A0BrC表示取了2nr次火柴，且第2nr次是從甲盒

31、中取的，即在前2n r 1在甲盒中取了n 1，其余在乙盒中取。所以P(AoBrC)n 1nr2n r 1 111n 12222n r 122.2 設(shè)隨機變量的分布列為：P( k)k,k 123,4,5,求(1)P(1151(2P(-5)；(3)P(12)。22解(1)P(11 或 2)2 11515 5(2)P(25)P(1) P(2) i；(3)P(12) P(1) P(2) I52)；精品文檔精品文檔2k解P( k)(0)kO由于e2e,得12,20(不合要求)。所以2.5 個口袋中裝有m個白球、n m個黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球， 直到取出黑球時停止。 設(shè)此時取出了 個白球，求 的分布

32、列。解 設(shè)“ k ”表示前k次取出白球，第k 1次取出黑球，則的分布列為:P( k)m(m 1) (m k 1)(n m),k 0,1,m.n(n 1) (n k)312.6 設(shè)某批電子管的合格品率為3，不合格品率為丄，現(xiàn)在對該批電子管進(jìn)行測試，設(shè)第 次為首次測到合格品,44求的分布列。k 1解P( k)13, k 1,2,.442.7 一個口袋中有 5 個同樣大小的球，編號為 1、2、3、4、5,從中同時取出 3 只球，以表示取出球的取大號碼，求的分布列。解P(2.8 拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為p(0 p 1)，設(shè) 為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時所需要的次數(shù)，求的分布列。解P( k)

33、qk 1ppk 1q , k 2,3,，其中q 1 p。2.9 兩名籃球隊員輪流投籃，直到某人投中時為止，如果第一名隊員投中的概率為 求每名隊員投籃次數(shù)的分布列。解 設(shè)，表示第二名隊員的投籃次數(shù)，則P(k)0.6k 10.4k 10.4+0.6k0.4k 10.60.76 0.24k 1,k1,2,；P(k)0.6k0.4k 10.60.6k0.4k0.40.76 0.6k0.4k 1,k 1,2,。2.10 設(shè)隨機變量服從普哇松分布，且P( 1) P( 2)，求P( 4)。k 12k3 4 5k)53,4,53P(N)22-?2N2N取正整數(shù)。0.4,第二名隊員投中的概率為0.6，精品文檔P

34、( 4)e2-e2。4!32.11 設(shè)某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7 的普哇松分布，問在月初進(jìn)貨時應(yīng)進(jìn)多少件此種商品，才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為0.999。解設(shè) 為該種商品當(dāng)月銷售數(shù)，x為該種商品每月進(jìn)貨數(shù)，則P( x) 0.999。查普哇松分布的數(shù)值表，得x 16。2.12 如果在時間t(分鐘)內(nèi)，通過某交叉路口的汽車數(shù)量服從參數(shù)與t成正比的普哇松分布。已知在一分鐘內(nèi)沒有汽車通過的概率為 0.2，求在 2 分鐘內(nèi)有多于一輛汽車通過的概率。解 設(shè) 為時間t內(nèi)通過交叉路口的汽車數(shù)，則P(k)(t)kek!(0),k0,1,2,t 1時,P(0) e0.2，所以ln 5；t 2時，t

35、2ln5，因而P( 1)P( 0)P( 1)(24In 25)/250.83。一本 500 頁的書共有 500 個錯誤, 求指定的一頁上至少有三個錯誤的概率。2.13每個錯誤等可能地出現(xiàn)在每一頁上(每一頁的印刷符號超過500 個)。試500在指定的一頁上出現(xiàn)某一個錯誤的概率1500，因而，至少出現(xiàn)三個錯誤的概率為5001k 500500 k4995005001500500 k499500利用普哇松定理求近似值，取np5001500是上式右端等于2151 e110.0803012.14 某廠產(chǎn)品的不合格品率為0.03 ,格品，那么每箱至少應(yīng)裝多少個產(chǎn)品？解 設(shè)每箱至少裝100 x個產(chǎn)品，其中有現(xiàn)

36、在要把產(chǎn)品裝箱，若要以不小于 0.9 的概率保證每箱中至少有100 個合k個次品，則要求x,使0.9k 0100 xk。.。血97100* *，利用普哇松分布定理求近似值，取(100 x) 0.033，于是上式相當(dāng)于0.9kx3k03k!eJ查普哇松分布數(shù)值表，2.15 設(shè)二維隨機變量(，)的聯(lián)合分布列為:P( n, m)n mn mp (1 p)e (0,0 p 1)m 0,1, ,n n 0,1,2,m!( n m!)求邊際分布列。精品文檔，求(，)的聯(lián)合分布列與各自的邊際分布列。(,)的聯(lián)合分布列及邊際分布列。2.21 設(shè)隨機變量與獨立，且P(1) P(1)p 0，又P(0) P(0)

37、1p0，定義1若為偶數(shù)，問p取什么值時與獨立？0若為奇數(shù)解P(1) P(0)P(0)P(1)P(1)=(1 p)22pP(0) P(0)P(1)P(0)P(1)2p(1 p)而 P(1,1)P(1, 1)2p，由P(1, 1)P( 1)P(1)得p122.22 設(shè)隨機變量與獨立，且P(1) P(1)2，定義，證明，,兩兩獨立，但不相互獨立。證明P( 1) P(1)P(1) P(1)P(1) iP(1) P(1)P(1)P(1)P(1)2解P(n)nP( n,m 0m)nnen!m一 、n mP(1 D)n!m 0nen!0,1,2,P( m)P(n 0n,mp enmn mm)p (1 p)!

38、n mm! (n m)!m(P) em!2.17 在一批產(chǎn)品中0,1,2,等品占50% 二等品占 30%三等品占20%從中任取 4 件，設(shè)一、二、三等品的件數(shù)分別解P(m,n,k)m!n!k!P(m)4m0.5m0.54 m， mP(n)40.3n0.74n， n0,1,2,3,4 m n k 4.P(k)k 4 k0.2 0.80,1,2,3,4。2.18 拋擲三次均勻的硬幣，以表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求01,2,3,4 ；0,123,4 ；n0.5m0.3n0.2k，m,n,k精品文檔因為P(1,1) P( 1,1)14P(1)P1)P(1,1)

39、P(1,1)1P(1)P1)P(1,1) P(1,1)1P(1)P(1)P(1,1) P(1,1)1P(1)P(4精品文檔所以，相互獨立。同理 與 相互獨立。但是P( 1,11) P( 1)P(1)P(1)，因而，不相互獨立。2.23 設(shè)隨機變量與獨立，且只取值1、2、3、4、5、6，證明不服從均勻分(即不可能有1P(k)護2,3,，12。證明設(shè)P(k) Pk,P(k) qk,k1,2,6。若P(k)丄,k112,3,12，則P(2)Pg111111(1)P(7)吋6P2q5P6q1(2)P(12)P6q6丄11(3)將(2)式減去(1)式;，得：(P6P1)q10， 于是P6p。冋理。因此P

40、6q6式矛盾。231解分布列為P( 2) -，P(423)P(的分布列為P(11)；，P(10)2，P(2.25 已知離散型隨機變量的分布列為12115617解P(0)-,P(51)，P(304)2.26設(shè)離散型隨機變量與的分布列為：01201321111，求的分布列。515301115P(9)5301331:0112，且與相互獨立，求8833卩口 ，與(3)112.24 已知隨機變量0 的分布列為2 ，求1 1 12與COS的分布列。1)精品文檔分布列。精品文檔012341 11 1 1 16 24 4 24 122.27 設(shè)獨立隨機變量與分別服從二項分布：b（k；np）與b（k; n2,p

41、），求 的分布列。解設(shè) 為片重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗中P（A） p）， 為n2重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗中P（A） p），而與相互獨立，所以而2.28 設(shè)與為獨立同分布的離散型隨機變量，其分布列為1P（ n） P（ n）歹，n1,2,求 的分布列。D E2(E )221 1-，因為級數(shù)丄發(fā)散，所以沒有數(shù)學(xué)期望。k 1kk 1k2.32 用天平秤某種物品的重量（砝碼僅允許放在一個秤盤中）， 物品的重量以相同的概率為1 克、2 克、10克，現(xiàn)有三組砝碼：（甲組）1, 2, 2, 5, 10 （克）為片 匕重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，因P(k)k n1n2kp

42、qk 0,1,n2。解P(n 1n 111n 1n)P(k)P(nk)k n k_nk 1k 12222.29設(shè)隨機變量具有分布 :P(k)1,k51,2,345，求E、E2及E(解，E丄(12 3 45)3,E222324252)1155E( 2)2E2+4E+4=272)22.30 設(shè)隨機變量具有分布:P(k),k1,2,，求Ekk 12kk12k2kk212.31 設(shè)離散型隨機變量的分布列為：Pk.(1)k尹12,，問是否有數(shù)學(xué)期望?2k|( 1)|k 1k精品文檔（乙組）1, 2, 3, 4, 10 （克）精品文檔（丙組）1, 1, 2, 5, 10 （克） 問哪一組砝碼秤重時所用的平

43、均砝碼數(shù)最少?解設(shè),、2、3分別表示及甲組、乙組、丙組砝碼秤重時所用的砝碼數(shù)，則有物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101于是E1丄(1122 122 3 3 1)1.8101 E2(1 111222331)1.710E3丄(1123122341)210所以，用乙組砝碼秤重時所用的平均砝碼數(shù)最少。2.33 某個邊長為 500 米的正方形場地，用航空測量法測得邊長的誤差為：0 米的概率是 0.49,10米的概率各是 0.16，20米的概率各是 0.08，30米的概率各是 0.05，求場地面積的數(shù)學(xué)期望。解設(shè)場地面積為S米2,邊長的誤差為米，則S （500）2且E0 E22(1020

44、.162020.083020.05)186所以ESE(500)2E21000E250000250186(米2)2.34 對三架儀器進(jìn)行檢驗，各儀器發(fā)生故障是獨立的，且概率分別為P1、P2、P3。試證發(fā)生故障的儀器數(shù)的數(shù)學(xué)P1+P2+P3。證令1第 i 架儀器發(fā)生故障匚1,2i0 第 i 架儀器未發(fā)生故障所以E E1E2E3P1+P2+P3。2.37 如果在 15000 件產(chǎn)品中有 1000 件不合格品，從中任意抽取 150 件進(jìn)行檢查，求查得不合格品數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 解設(shè)，2.38 從數(shù)字 0, 1，n 中任取兩個不同的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學(xué)期望。10則i的分布列為丄14，因而E1

45、515150150i，所以EEi10。設(shè) 為查得的不合格品數(shù)，則15為發(fā)生故障的儀器數(shù)，則EP(i1) Pi，i 1,2,3，精品文檔解設(shè)成功與失敗均出現(xiàn)時的試驗次數(shù)為，則解 設(shè) 為所選兩個數(shù)字之差的絕對值，則P(k)Wk1Z,n,0kU 字芻0(n 1)kk 1n 1 n(n 1)k 1k2晉 2.39 把數(shù)字1,2,小任意在排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上，則稱有一個匹配，求匹配數(shù)的數(shù)學(xué)期望。1 數(shù)字 k 出現(xiàn)在第 k 個位置上0 數(shù)字 k 不在第 k 個位置上則k的分布列為:P(k1)丄，設(shè)匹配數(shù)為，則n2.40為取非負(fù)整數(shù)值的隨機變量，證明:P(n 1n)；2 nP(n 1n

46、)E (E 1).證明(1)由于EnP(n 0n)存在，所以該級數(shù)絕對收斂。從而2.41nP(n 1n)nnP( n)1 i 1P( n)i 1 n iP(i)。存在，所以級數(shù)E(En2P(0n)也絕對收斂，從而1)n(n11)P(n) E (E1)niP(1 i 1nP(1n)E (E1)iP(n) E (E1)n)E(E1).在貝努里試驗中，每次試驗成功的概率為p，試驗進(jìn)行到成功與失敗均出現(xiàn)時停止，求平均試驗次數(shù)。精品文檔、n 1n 1sc,丄、n) p q ,n 2,3, (q 1 p)n 1 n 1、n)=1+(p q )n 22 .P P 1p(1 p)2.42 從一個裝有m個白球、

47、n個黑球的袋中摸球，直至摸到白球時停止。如果（1）摸球是為返回的，（2）摸球是返回的，試對這兩種不同的摸球方式求：取出黑球數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解略。2.43 對一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，如果檢查到第n。件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認(rèn)為這批產(chǎn)品合格，如在尚未抽到第no件時已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查，且認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格。設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，可以認(rèn)為每次檢查到不合格品的概率 都是p，問平均每批要檢查多少件？解略。2.44 流水作業(yè)線上生產(chǎn)出的每個產(chǎn)品為不合格品的概率p，當(dāng)生產(chǎn)出k個不合格品時即停工檢修一次。求在兩次 檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。解 設(shè)第i 1個不合格出現(xiàn)后到第i個不合格品出現(xiàn)時的產(chǎn)品數(shù)為i，i 1

48、,2, k.又在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)為k，則i 1因i獨立同分布，P(ij) qj1p,j 1,2, (q 1p），由此得Eijqj 1jp12.2 j 1EiJ q p2 p2，j 1pj 1pD一2/一21piEi(Ei)-2。pEkkEi ，DkDk(1 p)i2i 1pi 1p2.46 設(shè)隨機變量 與 獨立，且方差存在，則有D()DD(E )2DD(E )2(由此并可得D() D D)證明D()E22(E)2E2E2(E )2(E )2E2E2E2(E )2E2(E )2(E )2(E )2E2D(E)2DDD(E)2D D(E )22.47 在整數(shù) 0 到 9 中先后按下列兩種情況任

49、取兩個數(shù)，記為P(1)1,P(利用上題的結(jié)論，EP( 1) +P(（1）第一個數(shù)取后放回，再取第二個數(shù)；（精品文檔1解(1)P( i | k) i 0,1, ,9.101P( i | k) (i 0,1,9,i k),P( k | k) 092.49 在n次貝努里試驗中，事件A出現(xiàn)的概率為p，令qnr n rp qrnn)1 k1212分布是均勻分布，即P(i1|12r)2.50設(shè)隨機變量2相互獨立，分別服從參數(shù)為1與2的普哇松分布，試證:證明P(1k|、P(1k,2n)12n)n)P(1k)p(2P(12n k)n)由普哇松分布的可加性知2服從參數(shù)為2的普哇松分布, 所以P(1k|1n)k1

50、e k!n k12e(n k)!2.51 設(shè)1P(ik) qpk1,k1,2,(12)(1 2)en!，r為r個相互獨立隨機變量，,(1 i r),其中 q 1 p。試證明在i(1r)服從同一幾何分布，即有rn的條件下，(,r)的第一個數(shù)取后不放回就取第二個數(shù)，求在k(0 k 9)的條件下的分布列。求在1解P(i0|1 在第 i 次試驗中 A 出現(xiàn) 在第 i 次試驗中 A 不出現(xiàn)1,2, ,nr(0r)n)的條件下,i(0 i n)的分布列。P(i0,1P(1 2nr)P(1k|精品文檔1n1,rnr|12rn1 n r1其中n1n21證明P(1m,rnr|2P(1n1,rnrrP(1P(1n

51、,rnP(1rn)P(r相互獨立且服從同一幾何分布, 所以1，2 ,51rn)rn)nrn由于q qkpkpn np pr rq q從而P(1n)rq pn 1r n r彳q pr 1第三章連續(xù)型隨機變量3.1 設(shè)隨機變數(shù)的分布函數(shù)為F (x)，試以F(x)表示下列概率:(1)P(a)；(2) P( a) ；(3) P( a) ；(4) P( a)解:( 1)P(a) F(a 0) F(a)；(2)P( a) F(a0)(3)P(a)=l-F(a)；(4)P( a) 1 F(a 0)。3.2 函數(shù)F(x)J 是否可以作為某一隨機變量的分布函數(shù)，如果(1)(2) 0 x，在其它場合適當(dāng)定義;(3

52、) -x 0，在其它場合適當(dāng)定義。解:( 1)F(x)在(-)內(nèi)不單調(diào)，因而不可能是隨機變量的分布函數(shù);(2)F(x)在( 0，)內(nèi)單調(diào)下降，因而也不可能是隨機變量的分布函數(shù);(3)F(x)在(-,0)內(nèi)單調(diào)上升、連續(xù)且F( ,0)，若定義(x)F(：)則F(x)可以是某一隨機變量的分布函數(shù)。3.3 函數(shù)sinx是不是某個隨機變數(shù)的分布密度？如果的取值范圍為3(1)0,；(2)0,；( 3)0,2 2精品文檔(1)當(dāng)x 0,j時，sinx 0且o2sinxdx=1，所以sinx可以是某個隨機變量的分布密度;X(2)因為sinxdx=21，所以sinx不是隨機變量的分布密度;03(3)當(dāng)x ,時

53、，sinx 0，所以sinx2也是一個分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型?X2時，F(xiàn)1(X1)F,X2)，F(xiàn)2(XJ F2(X2)，于是F (x1) aF1(x1) bF2(x-i) aF1(x2) bF2(x2) F (x2)lim F(x) lim aF1(x) bF2(x)0XXlim F(x) limaF1(x) bF2(x) a b 1XXF(x 0) aF1(x 0) bF2(x 0) aF1(x) bF2(x) F(x)所以，F(xiàn)(x)也是分布函數(shù)。(3)P(a)1 P(a)1 2F(a)1 21 F(a)。3.5 設(shè)Fjx)與F2(X)都是分布函數(shù),又

54、a 0, b0是兩個常數(shù)，且a b 1。證明F(x)aF1(x) bF2(x)解:不是隨機變量的分布密度。3.4設(shè)隨機變數(shù)具有對稱的分布密度函數(shù)p(x),即p(x)p( X),證明：對任意的a 0,有(1 )F(a) 1F(a)a0p(x)dx；(2)P(a) 2F(a) 1；(3)P(a) 21 F(a)。證：(1)F( a)ap(x)dx 1p(x)dxap(x)dxa1 p(x) dxF(a)p(x)dx(2)ap(x)dx0a0p(x)dx；ap(x)dxaa0p(x)dx，由(1)1-F(a)a0p(x)dx證：因為F,x)與F2(X)都是分布函數(shù)，當(dāng)精品文檔2lim F(x)A B

55、-1取a b，又令20 x0 R(x)彳 1 x 0這時F(x)顯然，與F(x)對應(yīng)的隨機變量不是取有限個或可列個值,也不是連續(xù)型的。3.6 設(shè)隨機變數(shù)的分布函數(shù)為求相應(yīng)的密度函數(shù)，并求P( 1)。解：1(1 x)eX xex，所以相應(yīng)的密度函數(shù)為dx解：因為lim F(x) A B( -)0 x2F(x)1(1 x)exx 00 x 00 x0F2(x)x 0 x 11 x 10 x 01 x0 x 121x 1故F(x)不是離散型的，而F(x)不是連續(xù)函數(shù)，所以它3.7 設(shè)隨機變數(shù)的分布函數(shù)為xxex0p(x)0 x0P( 1)F(1)12。e0 x0F(x)Ax20 x 11x1求常數(shù)A

56、及密度函數(shù)。解：因為F(10)F(1)，所以A1,密度函數(shù)為2x 0 x 1p(x)0 其它3.8 隨機變數(shù)的分布函數(shù)為F(x)A Barctgx，求常數(shù)A與B及相應(yīng)的密度函數(shù)。精品文檔3.13 某城市每天用電量不超過一百萬度，以表示每天的耗電率(即用電量除以一萬度)，它具有分布密度為3.9 已知隨機變數(shù) 的分布函數(shù)為x0 x 1p(x) 2 x 1 x 20其它3.12在半徑為 R,球心為 O 的球內(nèi)任取一點 P,求0 x0ydy12x0 xx01解:F(x)12x12ydy1(2y)dy2x-x 1 12x21x2P(0.5)F (0.5)18P(1.3)1 P(1.3)1F(1.3)0.

57、245P(0.21.2)F(1.2)F(0.2)0.66(1)求相應(yīng)的分布函數(shù)F (x)； 2.求P(3.10 確定下列函數(shù)中的常數(shù)A，使該函數(shù)成為一元分布的密度函數(shù)。(1)p(x) Ae|x；(2) p( x)Acosx0(3)解:( 1)Ae%2A0e xdx2A 1 所以 A1；2(2)其它12Acosxdx 2A2cosxdx 2A 1，所以A=-；- 0 22Ax21 x 2p(x) Ax 2x30 其它2Ax2dx2Axdx29A 1,所以A629所以A1,B2因而1 1 1F(x) arctgx,P(x)F(X)0.5), P( 1.3), P(0.21.2)。oP的分布函數(shù)。精

58、品文檔3.13 某城市每天用電量不超過一百萬度，以表示每天的耗電率(即用電量除以一萬度)，它具有分布密度為解：當(dāng) 0 x R時F(x)P(x)43(R)3所以F(x)0(R)31精品文檔若該城市每天的供電量僅有 80 萬度， 求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量因此，若該城市每天的供電量為80 萬度，供電量不夠需要的概率為0.0272,若每天的供電量為90 萬度，則供電量不夠需要的概率為0.0037。3.14設(shè)隨機變數(shù) 服從（0，5）上的均勻分布，求方程24x24 x2 0有實根的概率。解：當(dāng)且僅當(dāng)(4 )216(2) 0（1）成立時，方程4x24 x20有實根。不等式（1）的解為：2或

59、1。因此，該方程有實根的概率513p P( 2) P( 1) P( 2)-dx -o255210-e22eQe2dy yp(x)12x(1 x)20 x 10 其它解:P( 0.8)；12x(1 x)2dx 0.0272 P(0.9)112x(1 x)2dx 0.00370.935(小時)x與a x之間的概率不小于0.9。解:(1)P(250) P(33001.43)=300P(-1.43)(1.43)0.9236；35x300（2）P(a xa x)P(3535xxx、()()2()10.93535353.17 某種電池的壽命服從正態(tài)N（a,2）分布，其中a 300（小時），（1）求電池壽命

60、在 250 小時以上的概率；（2）求x，使壽命在ax35即（）0.95所以35x1.65即x 57.75353.18 設(shè)（x）為N（0,1）分布的分布函數(shù)，證明當(dāng)0時，有1x(x)4)x證:(x) 1-2e2dyy2e2dyx21eT(2 x90 萬度又是怎樣呢?精品文檔F(x,y)求(，)的分布函數(shù)。解：當(dāng)0 x -，0 y時,2 2F(x,y) P( x, y)1蘭1所以1e2.112x3.21 證明：二元函數(shù)(X),2廠-4)。xlim F (xx 0 x, y)lim F(x, yy 0y)0=F(x, y)，x y 0時，lim F (xx,y)lim F(x, yy) 1=F(x,y)，x