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文檔簡介
1、精品文檔第一章事件與概率1.1 寫出下列隨機試驗的樣本空間及表示下列事件的樣本點集合。(1)10 件產品中有 1 件是不合格品,從中任取 2 件得 1 件不合格品。(2)個口袋中有 2 個白球、3 個黑球、4 個紅球,從中任取一球,(i )得白球,(ii )得紅球。解(1)記 9 個合格品分別為正-正2,正9,記不合格為次,則( 正1,正2)(正1,正3),正1,正9)(正1,次)(正2,正3)(正2,正4), (正2, 正9)(正2, 次),(正3,正4),,(正3,正9),(正3,次),(正8,正9),(正8,次),(正9,次)A(正,次),(正2,次),(正9,次)(2)記 2 個白球分
2、別為1,2,3 個黑球分別為b1,b2,b3,4 個紅球分別為r1,D,r3,5。則 1,2,b1,b2,b3,r1,D,r3,扁(i )A1,2 (i)Br1,D,3, m1.2 在數學系的學生中任選一名學生,令事件A 表示被選學生是男生,事件B 表示被選學生是三年級學生,事件C 表示該生是運動員。(1)敘述ABC的意義。(2)在什么條件下ABC C成立?(3)什么時候關系式C B是正確的?(4)什么時候A B成立?解(1)事件ABC表示該是三年級男生,但不是運動員。(2)ABC C等價于C AB,表示全系運動員都有是三年級的男生。(3)當全系運動員都是三年級學生時。(4)當全系女生都在三年
3、級并且三年級學生都是女生時。1.3 一個工人生產了n個零件,以事件A表示他生產的第i個零件是合格品(1 i n)。用A表示下列事件:(1)沒有一個零件是不合格品;(2)至少有一個零件是不合格品;(3)僅僅只有一個零件是不合格品;(4)至少有兩個零件是不合格品。n,可表示為AiAj;解(1)A;(2)i 1A( Aj);i 1j 1(4)原事件即“至少有兩個零件是合格品”精品文檔ij11.4 證明下列各式:(1)A B B A; (2)ABBA(3) (A B) CA (B C); (4)(A B) C A (B C)精品文檔位及兩位以上乘客在同一層離開”相當于“從9 層中任取 7 層,各有一位
4、乘客離開電梯”。所以包含A7個樣本點,于7是P(A)。91.10 某城市共有 10000 輛自行車,其牌照編號從 00001 到 10000。問事件“偶然遇到一輛自行車,其牌照號碼中 有數字 8”的概率為多大?(AB) C(A C)(BC)證明(1) ( 4)顯然,1.5 在分別寫有 2、4、6、(5)7、AAii 1i 1和(6)的證法分別類似于課文第10 12 頁(1.5 )式和(1.6)式的證法。& 11、12、13 的八張卡片中任取兩張,把卡片上的兩個數字組成一個分數,求所解樣本點總數為A;8所得分數為既約分數必須分子分母或為7、11、13 中的兩個,或為 2、4、6、8、12
5、中的一個和 7、11、13 中的一個組合,所以事件A“所得分數為既約分數”包含A 2A3A52 3 6個樣本點。P(A)8 71.6 有五條線段,概率。2 3 69- 。14長度分別為1、3、5、7、9。從這五條線段中任取三條,求所取三條線段能構成一個三角形的解樣本點總數為510。 所取3、5、7 或 3、7、9 或多或 5、7、9。所以事件A“所取三條線段能構成一個三角形”包含33 個樣本點, 于是101.7 一個小孩用 13 個字母 代A,代C, E,H,I,I,M ,M ,N,T,T作組字游戲。如果字母的各種排列是隨機的(等可能的),問“恰好組成“ MATHEMATICIAN詞的概率為多
6、大?顯然樣本點總數為13!,事件A“恰好組成“ MATHEMATICIAN 包含3 !2 ! 2 !2 !個樣本點。所以P(A)3!2!2!2!4813!13!在中國象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”,求它們正好可以相互吃掉的概率。1.8解任意固定紅“車”的位置,黑“車”可處于9 10 1 89個不同位置,當它處于和紅“車”同行或同列的9個位置之一時正好相互“吃掉”。故所求概率為P(A) 89891.9 一幢 10 層樓的樓房中的一架電梯,在底層登上7 位乘客。電梯在每一層都停,乘客從第二層起離開電梯,設每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的,求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概
7、率。8 17解 每位乘客可在除底層外的9 層中任意一層離開電梯,現有7 位乘客,所以樣本點總數為97。事件A“沒有兩精品文檔9494解用A表示“牌照號碼中有數字 8”,顯然P(A)一,所以10000 10精品文檔i.ii任取一個正數,求下列事件的概率:(1) 該數的平方的末位數字是 1; (2)該數的四次方的末位數字是1; (3)該數的立方的最后兩位數字都是1;1解(1)答案為丄。542(2) 當該數的末位數是 1、3、7、9 之一時,其四次方的末位數是1,所以答案為 -105(3) 一個正整數的立方的最后兩位數字決定于該數的最后兩位數字,所以樣本空間包含示“該數的立方的最后兩位數字都是1 ”
8、,則該數的最后一位數字必須是 1,設最后第二位數字為a,則該數的立方的最后兩位數字為 1 和 3a的個位數,要使 3a的個位數是 1,必須a 7,因此A所包含的樣本點只有 71 這一點,于是1.12 一個人把 6 根草掌握在手中,僅露出它們的頭和尾。 然后請另一個人把 6 個頭兩兩相接,6 個尾也兩兩相接。 求放開手以后 6 根草恰好連成一個環(huán)的概率。并把上述結果推廣到2n根草的情形。解(1)6 根草的情形。取定一個頭,它可以與其它的5 個頭之一相接,再取另一頭,它又可以與其它未接過的3個之一相接,最后將剩下的兩個頭相接,故對頭而言有5 3 1種接法,同樣對尾也有5 3 1種接法,所以樣本點總
9、數為(5 3 1)2。用A表示“6 根草恰好連成一個環(huán)”,這種連接,對頭而言仍有5 3 1種連接法,而對尾而言,任取一尾,它只能和未與它的頭連接的另4 根草的尾連接。再取另一尾,它只能和未與它的頭連接的另2 根草的尾連接,最后再將其余的尾連接成環(huán),故尾的連接法為42。所以A包含的樣本點數為(5 3 1)(4 2),于是(5 3 1)(4 2)2(5 3 1)(2)2n根草的情形和(1)類似得1.13 把n個完全相同的球隨機地放入N個盒子中(即球放入盒子后,只能區(qū)別盒子中球的個數,不能區(qū)別是哪個球進入某個盒子,這時也稱球是不可辨的)。如果每一種放法都是等可能的,證明(1)某一個指定的盒子中恰好有
10、k個N n k 2球的概率為n k,0k nN n 1nNn 1(2)恰好有m個盒的概率為m N m 1,N n m N 1N n 1nm j 1 N m n j 1(3)指定的m個盒中正好有j個球的概率為m 1n j,1 m N ,0 j NN n 1n解略。1.14 某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車到達,乘客到達汽車站的時刻是任意的,求一個乘客候車時間不超過3P(A) 1-P(A)941ioooo14910102個樣本點。用事件A表P(A)815精品文檔分鐘的概率。3解所求概率為P(A)-5精品文檔n 111.15 在ABC中任取一點P,證明ABP 與 ABC的面積之比大于的概率為-2
11、nn1解截取CD CD,當且僅當點P落入n(1)X2位于X1與 X3之間的概率。AX1, AX2, AX3能構成一個三角形的概率。1解(1)P(A)-31.18 在平面上畫有間隔為d的等距平行線,向平面任意地投擲一個三角形, 該三角形的邊長為a,b,c(均小于d), 求三角形與平行線相交的概率。解 分別用A,A2,A3表示三角形的一個頂點與平行線相合,一條邊與平行線相合,兩條邊與平行線相交,顯然P(AJP(A2)0.所求概率為P(A3)。分別用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示邊a,b,c,二邊ab,ac, bc與平行線相交,則P(A3)P(AabAacAbc).顯然P ( Aa)P
12、(Aab)RAc),Pf)P(Aab)P(Abc),P(AJP(Aac)P(Abc)所以12 1P(A3)-P(Aa) P(Ab)P(Ac)(a b c)(a b c)22dd(用例 1.12 的結果)1.19 己知不可能事件的概率為零,現在問概率為零的事件是否一定為不可能事件?試舉例說明之。解 概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長度為 1 的線段內隨機投點。則事件A“該點命中AB的中點” 的概率等于零,但A不是不可能事件。1.20 甲、乙兩人從裝有a個白球與b個黑球的口袋中輪流摸取一球,甲先取,乙后取,每次取后都有不放回,直 到兩人中有一人取到白球時停止。試描述這一隨機現象的概率空間,
13、并求甲或乙先取到白球的概率。b個為P(A)A BC 有面積ABC 的面積- 2CD-2CD122CDn-2CD兩小時,解1.16 兩艘輪船都要停靠同一個泊位, 求有一艘船??坎次粫r必須等待一段時間的概率。分別用x,y表示第一、二艘船到達泊位的時間。一艘船到達泊位時必須等待當且僅當它們可能在一晝夜的任意時刻到達。設兩船停靠泊位的時間分別為 1 小時與y 2,0 y x 1。因此所求概率為21212242232222P(A) -2- 0.1212421.17 在線段AB上任取三點x, x2, x3,求:CAB之內時n 1D,因此所求概率nP(B)解1表示白,2表示黑白,3表示黑黑白,br表示黑 黑
14、白,精品文檔b 1,并且P(1)P(3)a則樣本空間P(2)精品文檔P(i)代”十刀a b a b 1 a b (i(1)P(AA2)1 P(AJ P(“)P(AA2);1 P(A1) P(A;) PS1A2) P(A1A2) P(AJ P(A2).證明(1)P(AA2)P(AA2)1P(A,A2)=1P(A1)P(A)P(A1A2)(2)由(1)和P(AA2)0得第一個不等式,由概率的單調性和半可加性分別得第二、三個不等式。1.23 對于任意的隨機事件A、B、C,證明:P(AB) P(AC) P(BC) P(A)證明P(A) PA(B C) P(AB) P(AC) P(ABC)P(AB) P
15、(AC) P(BC)1.24 在某城市中共發(fā)行三種報紙:甲、乙、丙。在這個城市的居民中,訂甲報的有45%訂乙報的有 35%訂丙甲取勝的概率為P(1)+P(3)+P(5)+ 乙取勝的概率為P(2)+P(4)+P(6)+ 1.21 設事件代B及AB的概率分別為p、q及r,求P(AB),解由P(A B)P(A)P(B)P(AB)得P(AB) P(A)P(B)P(AB) pq rP(AB) P(AAB)P(A)P(AB)r q,P(AB) r pP(AB) P(AB) 1P(AB) 1rb 1)aP(AB),P(AB),P(AB)P( b1)石1.22 設幾、A2為兩個隨機事件,證明:2) a b (
16、i 1)b!ab)(a精品文檔報的有 30%同時訂甲、乙兩報的有10%同時訂甲、丙兩報的有8%同時訂乙、丙兩報的有5%同時訂三種報紙的有 3%求下述百分比:(1) 只訂甲報的;(2) 只訂甲、乙兩報的;(3) 只訂一種報紙的;(4) 正好訂兩種報紙的;(5) 至少訂一種報紙的;(6) 不訂任何報紙的。解 事件A表示訂甲報,事件B表示訂乙報,事件C表示訂丙報。精品文檔(1)P(ABC)P(A(AB AC )=P(A)P(ABAC)=30%P(ABC)P(ABABC)7%P(BAC)P(B)P(AB)P(BC)P(ABC)23%P(CAB)P(C)P(AC)P(BC)P(ABC)20%P(ABC+
17、BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%P(ABCACBBC A)P(ABC)P(ACB)P(BC A)14(5)P(A B C) 90%(6)P(ABC) 1 P(A B C) 190%10%1.26 某班有n個學生參加口試,考簽共 N 張,每人抽到的考簽用后即放回,在考試結束后,問至少有一張考沒有 被抽到的概率是多少?解用Ai表示“第i張考簽沒有被抽到” ,i1,2,N,N。要求P( A )。i 1nN 1N 2nnN NP(Ai)NP(A Aj)NP(A1AN)0丿NNNN 1n八11NN 1nP(A)彳( 1)11彳i 11N1NnnNN 221NN 2P(A
18、iAj)(1)1 i N2N2NN所以P( A)N(1)i1Nnii 1ii 1N1.27 從n階行列式的一般展開式中任取一項,問這項包含主對角線元素的概率是多少?是等可能的)。解n階行列式的展開式中, 任一項略去符號不計都可表示為a1ha2i2anin,當且僅當1,2, ,n的排列(i1i2in)中存在k使ikk時這一項包含主對角線元素。用Ak表示事件“排列中ikk”即第k個主對角線元素出現于展開式的某項中。貝UZ(1 i j n),n!11i!求至少有一個男孩的概率(假設一個小孩是男孩或是女孩P ( Ai)(n 1)!1n!P(AiAj)Nn所以P( A)( 1)i 1i 1i 1(n i
19、)!n!n(1)ii 11.29 已知一個家庭中有三個小孩,且其中一個是女孩,精品文檔解 用b,g分別表示男孩和女孩。則樣本空間為:精品文檔(b,b,b),(b,b, g),(b,g,b)(g,b,b), (b,g, g)g,b, g( g, g,b)(g, g,g)其中樣本點依年齡大小的性別排列。A表示“有女孩”,B表示“有男孩”,則P(B|A)込6/8P(A) 7/81.30 設M件產品中有m件是不合格品,從中任取兩件,(1) 在所取產品中有一件是不合格品的條件下,求另一件也是不合格品的概率。(2)在所取產品中有一件是合格品的條件下,求另一件也是不合格品的概率。設A表示“所取產品中至少有一
20、件是不合格品B表示“所取產品都是不合格品”,則P(A)m M m1 1MP(B)P(B)需闖m 12M m 1(2)設C表示“所取產品中至少有一件合格品”D表示“所取產品中有一件合格品, 一件不合格品”。則P(C)m M m M m1 1 2M2P(D)P(D |C)P(CD)PC)P(D)P(C)2mM m 11.31n個人用摸彩的方式決定誰得一張電影票,他們依次摸彩,求:(1)已知前k 1(k n)個人都沒摸到,求第k個人摸到的概率;第k(k n)個人摸到的概率。解設Ai表示(1)P(Ak|A Ak 1)1n (k 1)P(Ak)P(A1n 1 nAk 1Ak)n n2111nk 1np,
21、證明:一個母雞恰有r個下一代(即小雞)的概率為亠卩。r!解用Ak表示“母雞生k個蛋”,B表示“母雞恰有r個下一代”,則精品文檔P(A IB)P(AJP(B| AJ3P(Ak)P(B| Ak)k 12569P(A2|B)P(A2)P(B| A2)28369P(Ak)P(B|Ak)k 1P(A3)P(B|A3)3P(Ak)P(B| Ak)k 11.35 某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺數之比為 當有一臺機床需要修理時,915,17P(A3|B)1669問這臺機床是車床的概率是多少?9:321,它們在一定時間內需要修理的概率之比為123:1。32P(A2)-,P(A3)-,151523P(B|A2
22、)7,P(B|A3)P(AJP(B|A1)P(Ak)P(B|Ak)k 11.36 有朋友自遠方來訪,他乘火車、輪船、汽車、1 1 1解則P(A1)P(B|AJ由貝時葉斯公式得P(A1| B)79221Pg和151,P(BA)-飛機來的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火車、輪船、汽車來的話,遲到的概率分別是丄、丄、,而乘飛機不會遲到。結果他遲到了,試問他是乘火車來的概率是多4312r!1.33 某射擊小組共有 20 名射手,其中一級射手 4 人,級射手 8 人,二級射手 7 人,四級射手一人,一、 三、四級射手能通過選拔進入決賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2,求在一
23、組內任選一名射手,該射手能通過選拔進入決賽的概率。解 用Ak表示“任選一名射手為k級”,k 1,2,3,4,B表示“任選一名射手能進入決賽”,則4P(B)P(Ak)P(B| Ak) 0.9 - 0.7 - 0.5 丄 0.2 0.645k 1202020201.34 在某工廠里有甲、乙、丙三臺機器生產螺絲釘,它們的產量各占25% 35% 40%并在各自的產品里,不合格品各占有 5% 4% 2%現在從產品中任取一只恰是不合格品,問此不合格品是機器甲、乙、丙生產的概率分別等于 多少?解 用A1表示“任取一只產品是甲臺機器生產”A2表示“任取一只產品是乙臺機器生產”A3表示“任取一只產品是丙臺機器生
24、產”B表示“任取一只產品恰是不合格品” 則由貝葉斯公式:P(B)P(AQP(B|Ak)k rk!pr(1kP)p)rr!(1 P)Lk r(kr)!P)r(iP)r!精品文檔解用Ai表示“朋友乘火車來” ,A2表示“朋友乘輪船來” ,A3表示“朋友乘汽車來” ,A4表示“朋友乘飛機來”B表示“朋友遲到了” 。則P(AIB)4P(A)P(B|A1)1P(Ak)P(B|A)2k 11.37 證明:若三個事件A、B、C獨立,則A B、AB及A B都與C獨立。證明 (1)P(A B)C) P(AC) P(BC) P(ABC)=P(A B)P(C)(2)PABC) P(A)P(B)P(C) P(AB)P
25、(C)(3)P(A B)C) P(A AB)C) P(AC ABC)=P(A B)P(C)少?精品文檔1.38 試舉例說明由P(ABC) P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)解 一方面P(A), P(B) 0,另一方面P(A)P(B) P(AB) 0,即P(A),P(B)中至少有一個等于0,所以解(1)nP( Ak)k 1nP(Ak)k 1n(1 Pk)k 1nn _nP(Ak)1P(Ak)1(1Pk)k 1k1k 1nn _nn _nnP(AkAj)(AkAj)Pk(1 Pk 1j 1j kk 1jJj 1k 1j 1i kj kj).1.40 已知事件代B相互獨立且互不相容,求P(A
26、)P(B)一定成立。解設2,3,14, 5,P( 1)64,P( 5:P(2)P(3)15P(4)A 164P(A) P(B)P(C)15 164644P(ABC)P(1)164P(A)P(B)P(C)但是P(AB)P(1)164P(A)P(B)1.39 設A, A2,An為n個相互獨立的事件,且P(Ak)1864,1,2,A 1,3,A 1,4則min( P(A), P(B)(注:min( x, y)表示x, y中小的一個數)(1)n個事件全不發(fā)生;(2)n個事件中至少發(fā)生一件;(3)n個事件中恰好發(fā)生一件。Pk(1 k n),求下列事件的概率:精品文檔min(P(A), P(B)0.1.4
27、1 一個人的血型為O,A, B, AB型的概率分別為 0.46、0.40、0.11、0.03 , 的概率(1) 兩個人為O型,其它三個人分別為其它三種血型;(2) 三個人為O型,兩個人為A型;(3) 沒有一人為AB。門擊中目標的概率都是0.6,求同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機的概率是多少?又若有一架敵機入侵領空,欲以 99%以上的概率擊中它,問至少需要多少門高射炮。(1)P(A1A2) 1 P(A1A2)1 0.420.84n _An)1 P( Ak) 1 0.4n0.99,k 1取n 6。至少需要 6 門高射炮,同時發(fā)射一發(fā)炮彈,可保證99%的概率擊中飛機。1.43 做一系列獨立的試驗,每次試驗
28、中成功的概率為p,求在成功n次之前已失敗了m次的概率。解 用A表示“在成功n次之前已失敗了m次”,B表示“在前n m 1次試驗中失敗了m次”,C表示“第n m次試驗成功”現在任意挑選五個人,求下列事件從 5 個人任選 2 人為O型,共有5種可能,在其余 3 人中任選一人為2A型,共有三種可能,在余下的2選一人為B型,共有2 種可能,另一人為AB型,順此所求概率為:0.4620.40 0.11 0.13 0.01680.46230.402(10.03)50.85871.42設有兩門高射炮,每一0.1557解用Ak表示“第k門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機”k 1,2,,B表示“擊中飛機”。則P(A
29、k)0.6,P(A1黑5.026則P(A) P(BC) P(B)P(C)n 1p (1mp) p1pn(1p)1.45 某數學家有兩盒火柴,每盒都有n根火柴,每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根。求他用完盒時另一盒中還有r根火柴(1 r n)的概率。解用A表示“甲盒中尚余i根火柴”用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”,C, D分別表示“第2n r次在甲盒精品文檔由對稱性知P(ArB0C) P(AoBrD),所求概率為:2n r 1P(A0BrC ArB0D)2P(AoBrC) n 1第二章離散型隨機變量2.1 下列給出的是不是某個隨機變量的分布列?135123(1)(2)0.50.30.2
30、0.70.10.1012n1 2n11 121 1n1 11 122122 32 32 32 22解(1)是(2) 0.7(0.1 0.1 1,所以它不是隨機變量的分布列。(3)1 121 1 1n1 13,所以它不是隨機變量的分布列。2 232 32 34(4)1n0,n為自然數,n且丄,所以它是隨機變量的分布列。2n 121,所以C27382.4 隨機變量只取正整數N,且P(2N)與N成反比,求 的分布列。解根據題意知P(-C,其中常數 C 待定。由于-C- 1,所以CA,即的分布列為Ni 2 3N1N26取”,“第2n r次在乙盒取”,A0BrC表示取了2nr次火柴,且第2nr次是從甲盒
31、中取的,即在前2n r 1在甲盒中取了n 1,其余在乙盒中取。所以P(AoBrC)n 1nr2n r 1 111n 12222n r 122.2 設隨機變量的分布列為:P( k)k,k 123,4,5,求(1)P(1151(2P(-5);(3)P(12)。22解(1)P(11 或 2)2 11515 5(2)P(25)P(1) P(2) i;(3)P(12) P(1) P(2) I52);精品文檔精品文檔2k解P( k)(0)kO由于e2e,得12,20(不合要求)。所以2.5 個口袋中裝有m個白球、n m個黑球,不返回地連續(xù)從袋中取球, 直到取出黑球時停止。 設此時取出了 個白球,求 的分布
32、列。解 設“ k ”表示前k次取出白球,第k 1次取出黑球,則的分布列為:P( k)m(m 1) (m k 1)(n m),k 0,1,m.n(n 1) (n k)312.6 設某批電子管的合格品率為3,不合格品率為丄,現在對該批電子管進行測試,設第 次為首次測到合格品,44求的分布列。k 1解P( k)13, k 1,2,.442.7 一個口袋中有 5 個同樣大小的球,編號為 1、2、3、4、5,從中同時取出 3 只球,以表示取出球的取大號碼,求的分布列。解P(2.8 拋擲一枚不均勻的硬幣,出現正面的概率為p(0 p 1),設 為一直擲到正、反面都出現時所需要的次數,求的分布列。解P( k)
33、qk 1ppk 1q , k 2,3,,其中q 1 p。2.9 兩名籃球隊員輪流投籃,直到某人投中時為止,如果第一名隊員投中的概率為 求每名隊員投籃次數的分布列。解 設,表示第二名隊員的投籃次數,則P(k)0.6k 10.4k 10.4+0.6k0.4k 10.60.76 0.24k 1,k1,2,;P(k)0.6k0.4k 10.60.6k0.4k0.40.76 0.6k0.4k 1,k 1,2,。2.10 設隨機變量服從普哇松分布,且P( 1) P( 2),求P( 4)。k 12k3 4 5k)53,4,53P(N)22-?2N2N取正整數。0.4,第二名隊員投中的概率為0.6,精品文檔P
34、( 4)e2-e2。4!32.11 設某商店中每月銷售某種商品的數量服從參數為7 的普哇松分布,問在月初進貨時應進多少件此種商品,才能保證當月不脫銷的概率為0.999。解設 為該種商品當月銷售數,x為該種商品每月進貨數,則P( x) 0.999。查普哇松分布的數值表,得x 16。2.12 如果在時間t(分鐘)內,通過某交叉路口的汽車數量服從參數與t成正比的普哇松分布。已知在一分鐘內沒有汽車通過的概率為 0.2,求在 2 分鐘內有多于一輛汽車通過的概率。解 設 為時間t內通過交叉路口的汽車數,則P(k)(t)kek!(0),k0,1,2,t 1時,P(0) e0.2,所以ln 5;t 2時,t
35、2ln5,因而P( 1)P( 0)P( 1)(24In 25)/250.83。一本 500 頁的書共有 500 個錯誤, 求指定的一頁上至少有三個錯誤的概率。2.13每個錯誤等可能地出現在每一頁上(每一頁的印刷符號超過500 個)。試500在指定的一頁上出現某一個錯誤的概率1500,因而,至少出現三個錯誤的概率為5001k 500500 k4995005001500500 k499500利用普哇松定理求近似值,取np5001500是上式右端等于2151 e110.0803012.14 某廠產品的不合格品率為0.03 ,格品,那么每箱至少應裝多少個產品?解 設每箱至少裝100 x個產品,其中有現
36、在要把產品裝箱,若要以不小于 0.9 的概率保證每箱中至少有100 個合k個次品,則要求x,使0.9k 0100 xk。.。血97100* *,利用普哇松分布定理求近似值,取(100 x) 0.033,于是上式相當于0.9kx3k03k!eJ查普哇松分布數值表,2.15 設二維隨機變量(,)的聯合分布列為:P( n, m)n mn mp (1 p)e (0,0 p 1)m 0,1, ,n n 0,1,2,m!( n m!)求邊際分布列。精品文檔,求(,)的聯合分布列與各自的邊際分布列。(,)的聯合分布列及邊際分布列。2.21 設隨機變量與獨立,且P(1) P(1)p 0,又P(0) P(0)
37、1p0,定義1若為偶數,問p取什么值時與獨立?0若為奇數解P(1) P(0)P(0)P(1)P(1)=(1 p)22pP(0) P(0)P(1)P(0)P(1)2p(1 p)而 P(1,1)P(1, 1)2p,由P(1, 1)P( 1)P(1)得p122.22 設隨機變量與獨立,且P(1) P(1)2,定義,證明,,兩兩獨立,但不相互獨立。證明P( 1) P(1)P(1) P(1)P(1) iP(1) P(1)P(1)P(1)P(1)2解P(n)nP( n,m 0m)nnen!m一 、n mP(1 D)n!m 0nen!0,1,2,P( m)P(n 0n,mp enmn mm)p (1 p)!
38、n mm! (n m)!m(P) em!2.17 在一批產品中0,1,2,等品占50% 二等品占 30%三等品占20%從中任取 4 件,設一、二、三等品的件數分別解P(m,n,k)m!n!k!P(m)4m0.5m0.54 m, mP(n)40.3n0.74n, n0,1,2,3,4 m n k 4.P(k)k 4 k0.2 0.80,1,2,3,4。2.18 拋擲三次均勻的硬幣,以表示出現正面的次數,以表示正面出現次數與反面出現次數之差的絕對值,求01,2,3,4 ;0,123,4 ;n0.5m0.3n0.2k,m,n,k精品文檔因為P(1,1) P( 1,1)14P(1)P1)P(1,1)
39、P(1,1)1P(1)P1)P(1,1) P(1,1)1P(1)P(1)P(1,1) P(1,1)1P(1)P(4精品文檔所以,相互獨立。同理 與 相互獨立。但是P( 1,11) P( 1)P(1)P(1),因而,不相互獨立。2.23 設隨機變量與獨立,且只取值1、2、3、4、5、6,證明不服從均勻分(即不可能有1P(k)護2,3,,12。證明設P(k) Pk,P(k) qk,k1,2,6。若P(k)丄,k112,3,12,則P(2)Pg111111(1)P(7)吋6P2q5P6q1(2)P(12)P6q6丄11(3)將(2)式減去(1)式;,得:(P6P1)q10, 于是P6p。冋理。因此P
40、6q6式矛盾。231解分布列為P( 2) -,P(423)P(的分布列為P(11);,P(10)2,P(2.25 已知離散型隨機變量的分布列為12115617解P(0)-,P(51),P(304)2.26設離散型隨機變量與的分布列為:01201321111,求的分布列。515301115P(9)5301331:0112,且與相互獨立,求8833卩口 ,與(3)112.24 已知隨機變量0 的分布列為2 ,求1 1 12與COS的分布列。1)精品文檔分布列。精品文檔012341 11 1 1 16 24 4 24 122.27 設獨立隨機變量與分別服從二項分布:b(k;np)與b(k; n2,p
41、),求 的分布列。解設 為片重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(在每次試驗中P(A) p), 為n2重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(在每次試驗中P(A) p),而與相互獨立,所以而2.28 設與為獨立同分布的離散型隨機變量,其分布列為1P( n) P( n)歹,n1,2,求 的分布列。D E2(E )221 1-,因為級數丄發(fā)散,所以沒有數學期望。k 1kk 1k2.32 用天平秤某種物品的重量(砝碼僅允許放在一個秤盤中), 物品的重量以相同的概率為1 克、2 克、10克,現有三組砝碼:(甲組)1, 2, 2, 5, 10 (克)為片 匕重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數,因P(k)k n1n2kp
42、qk 0,1,n2。解P(n 1n 111n 1n)P(k)P(nk)k n k_nk 1k 12222.29設隨機變量具有分布 :P(k)1,k51,2,345,求E、E2及E(解,E丄(12 3 45)3,E222324252)1155E( 2)2E2+4E+4=272)22.30 設隨機變量具有分布:P(k),k1,2,,求Ekk 12kk12k2kk212.31 設離散型隨機變量的分布列為:Pk.(1)k尹12,,問是否有數學期望?2k|( 1)|k 1k精品文檔(乙組)1, 2, 3, 4, 10 (克)精品文檔(丙組)1, 1, 2, 5, 10 (克) 問哪一組砝碼秤重時所用的平
43、均砝碼數最少?解設,、2、3分別表示及甲組、乙組、丙組砝碼秤重時所用的砝碼數,則有物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101于是E1丄(1122 122 3 3 1)1.8101 E2(1 111222331)1.710E3丄(1123122341)210所以,用乙組砝碼秤重時所用的平均砝碼數最少。2.33 某個邊長為 500 米的正方形場地,用航空測量法測得邊長的誤差為:0 米的概率是 0.49,10米的概率各是 0.16,20米的概率各是 0.08,30米的概率各是 0.05,求場地面積的數學期望。解設場地面積為S米2,邊長的誤差為米,則S (500)2且E0 E22(1020
44、.162020.083020.05)186所以ESE(500)2E21000E250000250186(米2)2.34 對三架儀器進行檢驗,各儀器發(fā)生故障是獨立的,且概率分別為P1、P2、P3。試證發(fā)生故障的儀器數的數學P1+P2+P3。證令1第 i 架儀器發(fā)生故障匚1,2i0 第 i 架儀器未發(fā)生故障所以E E1E2E3P1+P2+P3。2.37 如果在 15000 件產品中有 1000 件不合格品,從中任意抽取 150 件進行檢查,求查得不合格品數的數學期望。 解設,2.38 從數字 0, 1,n 中任取兩個不同的數字,求這兩個數字之差的絕對值的數學期望。10則i的分布列為丄14,因而E1
45、515150150i,所以EEi10。設 為查得的不合格品數,則15為發(fā)生故障的儀器數,則EP(i1) Pi,i 1,2,3,精品文檔解設成功與失敗均出現時的試驗次數為,則解 設 為所選兩個數字之差的絕對值,則P(k)Wk1Z,n,0kU 字芻0(n 1)kk 1n 1 n(n 1)k 1k2晉 2.39 把數字1,2,小任意在排成一列,如果數字k恰好出現在第k個位置上,則稱有一個匹配,求匹配數的數學期望。1 數字 k 出現在第 k 個位置上0 數字 k 不在第 k 個位置上則k的分布列為:P(k1)丄,設匹配數為,則n2.40為取非負整數值的隨機變量,證明:P(n 1n);2 nP(n 1n
46、)E (E 1).證明(1)由于EnP(n 0n)存在,所以該級數絕對收斂。從而2.41nP(n 1n)nnP( n)1 i 1P( n)i 1 n iP(i)。存在,所以級數E(En2P(0n)也絕對收斂,從而1)n(n11)P(n) E (E1)niP(1 i 1nP(1n)E (E1)iP(n) E (E1)n)E(E1).在貝努里試驗中,每次試驗成功的概率為p,試驗進行到成功與失敗均出現時停止,求平均試驗次數。精品文檔、n 1n 1sc,丄、n) p q ,n 2,3, (q 1 p)n 1 n 1、n)=1+(p q )n 22 .P P 1p(1 p)2.42 從一個裝有m個白球、
47、n個黑球的袋中摸球,直至摸到白球時停止。如果(1)摸球是為返回的,(2)摸球是返回的,試對這兩種不同的摸球方式求:取出黑球數的數學期望。解略。2.43 對一批產品進行檢驗,如果檢查到第n。件仍未發(fā)現不合格品就認為這批產品合格,如在尚未抽到第no件時已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查,且認為這批產品不合格。設產品數量很大,可以認為每次檢查到不合格品的概率 都是p,問平均每批要檢查多少件?解略。2.44 流水作業(yè)線上生產出的每個產品為不合格品的概率p,當生產出k個不合格品時即停工檢修一次。求在兩次 檢修之間產品總數的數學期望與方差。解 設第i 1個不合格出現后到第i個不合格品出現時的產品數為i,i 1
48、,2, k.又在兩次檢修之間產品總數為k,則i 1因i獨立同分布,P(ij) qj1p,j 1,2, (q 1p),由此得Eijqj 1jp12.2 j 1EiJ q p2 p2,j 1pj 1pD一2/一21piEi(Ei)-2。pEkkEi ,DkDk(1 p)i2i 1pi 1p2.46 設隨機變量 與 獨立,且方差存在,則有D()DD(E )2DD(E )2(由此并可得D() D D)證明D()E22(E)2E2E2(E )2(E )2E2E2E2(E )2E2(E )2(E )2(E )2E2D(E)2DDD(E)2D D(E )22.47 在整數 0 到 9 中先后按下列兩種情況任
49、取兩個數,記為P(1)1,P(利用上題的結論,EP( 1) +P((1)第一個數取后放回,再取第二個數;(精品文檔1解(1)P( i | k) i 0,1, ,9.101P( i | k) (i 0,1,9,i k),P( k | k) 092.49 在n次貝努里試驗中,事件A出現的概率為p,令qnr n rp qrnn)1 k1212分布是均勻分布,即P(i1|12r)2.50設隨機變量2相互獨立,分別服從參數為1與2的普哇松分布,試證:證明P(1k|、P(1k,2n)12n)n)P(1k)p(2P(12n k)n)由普哇松分布的可加性知2服從參數為2的普哇松分布, 所以P(1k|1n)k1
50、e k!n k12e(n k)!2.51 設1P(ik) qpk1,k1,2,(12)(1 2)en!,r為r個相互獨立隨機變量,,(1 i r),其中 q 1 p。試證明在i(1r)服從同一幾何分布,即有rn的條件下,(,r)的第一個數取后不放回就取第二個數,求在k(0 k 9)的條件下的分布列。求在1解P(i0|1 在第 i 次試驗中 A 出現 在第 i 次試驗中 A 不出現1,2, ,nr(0r)n)的條件下,i(0 i n)的分布列。P(i0,1P(1 2nr)P(1k|精品文檔1n1,rnr|12rn1 n r1其中n1n21證明P(1m,rnr|2P(1n1,rnrrP(1P(1n
51、,rnP(1rn)P(r相互獨立且服從同一幾何分布, 所以1,2 ,51rn)rn)nrn由于q qkpkpn np pr rq q從而P(1n)rq pn 1r n r彳q pr 1第三章連續(xù)型隨機變量3.1 設隨機變數的分布函數為F (x),試以F(x)表示下列概率:(1)P(a);(2) P( a) ;(3) P( a) ;(4) P( a)解:( 1)P(a) F(a 0) F(a);(2)P( a) F(a0)(3)P(a)=l-F(a);(4)P( a) 1 F(a 0)。3.2 函數F(x)J 是否可以作為某一隨機變量的分布函數,如果(1)(2) 0 x,在其它場合適當定義;(3
52、) -x 0,在其它場合適當定義。解:( 1)F(x)在(-)內不單調,因而不可能是隨機變量的分布函數;(2)F(x)在( 0,)內單調下降,因而也不可能是隨機變量的分布函數;(3)F(x)在(-,0)內單調上升、連續(xù)且F( ,0),若定義(x)F(:)則F(x)可以是某一隨機變量的分布函數。3.3 函數sinx是不是某個隨機變數的分布密度?如果的取值范圍為3(1)0,;(2)0,;( 3)0,2 2精品文檔(1)當x 0,j時,sinx 0且o2sinxdx=1,所以sinx可以是某個隨機變量的分布密度;X(2)因為sinxdx=21,所以sinx不是隨機變量的分布密度;03(3)當x ,時
53、,sinx 0,所以sinx2也是一個分布函數,并由此討論,分布函數是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型?X2時,F1(X1)F,X2),F2(XJ F2(X2),于是F (x1) aF1(x1) bF2(x-i) aF1(x2) bF2(x2) F (x2)lim F(x) lim aF1(x) bF2(x)0XXlim F(x) limaF1(x) bF2(x) a b 1XXF(x 0) aF1(x 0) bF2(x 0) aF1(x) bF2(x) F(x)所以,F(x)也是分布函數。(3)P(a)1 P(a)1 2F(a)1 21 F(a)。3.5 設Fjx)與F2(X)都是分布函數,又
54、a 0, b0是兩個常數,且a b 1。證明F(x)aF1(x) bF2(x)解:不是隨機變量的分布密度。3.4設隨機變數具有對稱的分布密度函數p(x),即p(x)p( X),證明:對任意的a 0,有(1 )F(a) 1F(a)a0p(x)dx;(2)P(a) 2F(a) 1;(3)P(a) 21 F(a)。證:(1)F( a)ap(x)dx 1p(x)dxap(x)dxa1 p(x) dxF(a)p(x)dx(2)ap(x)dx0a0p(x)dx;ap(x)dxaa0p(x)dx,由(1)1-F(a)a0p(x)dx證:因為F,x)與F2(X)都是分布函數,當精品文檔2lim F(x)A B
55、-1取a b,又令20 x0 R(x)彳 1 x 0這時F(x)顯然,與F(x)對應的隨機變量不是取有限個或可列個值,也不是連續(xù)型的。3.6 設隨機變數的分布函數為求相應的密度函數,并求P( 1)。解:1(1 x)eX xex,所以相應的密度函數為dx解:因為lim F(x) A B( -)0 x2F(x)1(1 x)exx 00 x 00 x0F2(x)x 0 x 11 x 10 x 01 x0 x 121x 1故F(x)不是離散型的,而F(x)不是連續(xù)函數,所以它3.7 設隨機變數的分布函數為xxex0p(x)0 x0P( 1)F(1)12。e0 x0F(x)Ax20 x 11x1求常數A
56、及密度函數。解:因為F(10)F(1),所以A1,密度函數為2x 0 x 1p(x)0 其它3.8 隨機變數的分布函數為F(x)A Barctgx,求常數A與B及相應的密度函數。精品文檔3.13 某城市每天用電量不超過一百萬度,以表示每天的耗電率(即用電量除以一萬度),它具有分布密度為3.9 已知隨機變數 的分布函數為x0 x 1p(x) 2 x 1 x 20其它3.12在半徑為 R,球心為 O 的球內任取一點 P,求0 x0ydy12x0 xx01解:F(x)12x12ydy1(2y)dy2x-x 1 12x21x2P(0.5)F (0.5)18P(1.3)1 P(1.3)1F(1.3)0.
57、245P(0.21.2)F(1.2)F(0.2)0.66(1)求相應的分布函數F (x); 2.求P(3.10 確定下列函數中的常數A,使該函數成為一元分布的密度函數。(1)p(x) Ae|x;(2) p( x)Acosx0(3)解:( 1)Ae%2A0e xdx2A 1 所以 A1;2(2)其它12Acosxdx 2A2cosxdx 2A 1,所以A=-;- 0 22Ax21 x 2p(x) Ax 2x30 其它2Ax2dx2Axdx29A 1,所以A629所以A1,B2因而1 1 1F(x) arctgx,P(x)F(X)0.5), P( 1.3), P(0.21.2)。oP的分布函數。精
58、品文檔3.13 某城市每天用電量不超過一百萬度,以表示每天的耗電率(即用電量除以一萬度),它具有分布密度為解:當 0 x R時F(x)P(x)43(R)3所以F(x)0(R)31精品文檔若該城市每天的供電量僅有 80 萬度, 求供電量不夠需要的概率是多少?如每天供電量因此,若該城市每天的供電量為80 萬度,供電量不夠需要的概率為0.0272,若每天的供電量為90 萬度,則供電量不夠需要的概率為0.0037。3.14設隨機變數 服從(0,5)上的均勻分布,求方程24x24 x2 0有實根的概率。解:當且僅當(4 )216(2) 0(1)成立時,方程4x24 x20有實根。不等式(1)的解為:2或
59、1。因此,該方程有實根的概率513p P( 2) P( 1) P( 2)-dx -o255210-e22eQe2dy yp(x)12x(1 x)20 x 10 其它解:P( 0.8);12x(1 x)2dx 0.0272 P(0.9)112x(1 x)2dx 0.00370.935(小時)x與a x之間的概率不小于0.9。解:(1)P(250) P(33001.43)=300P(-1.43)(1.43)0.9236;35x300(2)P(a xa x)P(3535xxx、()()2()10.93535353.17 某種電池的壽命服從正態(tài)N(a,2)分布,其中a 300(小時),(1)求電池壽命
60、在 250 小時以上的概率;(2)求x,使壽命在ax35即()0.95所以35x1.65即x 57.75353.18 設(x)為N(0,1)分布的分布函數,證明當0時,有1x(x)4)x證:(x) 1-2e2dyy2e2dyx21eT(2 x90 萬度又是怎樣呢?精品文檔F(x,y)求(,)的分布函數。解:當0 x -,0 y時,2 2F(x,y) P( x, y)1蘭1所以1e2.112x3.21 證明:二元函數(X),2廠-4)。xlim F (xx 0 x, y)lim F(x, yy 0y)0=F(x, y),x y 0時,lim F (xx,y)lim F(x, yy) 1=F(x,y),x
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