最新北京小學(xué)奧數(shù)排列組合經(jīng)典例題

1、排列組合問題教學(xué)目標(biāo)：1.使學(xué)生正確理解排列、組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2.了解排列、排列數(shù)和組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列或組合；3.掌握排列組合的計算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4.會、分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)， 對排列組合的一些計數(shù)問題進行歸納總結(jié)，重點掌握排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些排列組合技巧，如捆綁法、擋板法等。5.根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進行計數(shù)。知識點撥：一 . 加法原理： 做一件事情， 完成它有 N 類辦法，在第一類辦法中有 M1 中不同的方法，在第二類辦

2、法中有 M2 中不同的方法，在第 N 類辦法中有 Mn 種不同的方法，那么完成這件事情共有M1+M2+ +Mn 種不同的方法。二 . 乘法原理： 如果完成某項任務(wù)，可分為 k 個步驟，完成第一步有 n1 種不同的方法，完成第二步有 n2 種不同的方法，完成第步有 種不同的方法，那么完成此項任務(wù)共有 × ×× 種不同的方法。三 . 兩個原理的區(qū)別做一件事，完成它若有n 類辦法，是 分類問題 ，每一類中的方法都是 獨立的，故用加法原理。每一類中的每一種方法都可以獨立完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同 ( 即分類不重 ) ；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某

3、一類( 即分類不漏 )做一件事，需要分 n 個步驟， 步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互相聯(lián)系的共15頁第1頁步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n 步才能完成此任務(wù)；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同這樣完成一件事的分“ 類”和“ 步 ”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來四 . 排列及組合基本公式1. 排列及計算公式從 n 個不同元素中，任取 m(mn) 個元素按照 一定的順序 排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m個元素的一個 排列；從 n 個不同元素中取出m(m

4、n) 個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從 n 個不同元素中取出mm個元素的 排列數(shù)，用符號 P n 表示 .m2) (n -m+1)P n =n(n-1)(n-= n!( 規(guī)定 0!=1) .(n-m)!2.組合及計算公式從 n 個不同元素中，任取 m(mn) 個元素 并成一組 ，叫做從 n 個不同元素中取出 m個元素的一個 組合；從 n 個不同元素中取出 m(mn) 個元素的所有組合的個數(shù)， 叫做從 n個不同元素中取出m個元素的 組合數(shù) . 用符號 Cmn 表示 .mmn!Cn = P n /m!=(n-m)! ×m!一般當(dāng)遇到 m比較大時（常常是mn-mm>0.5n 時），可用

5、 Cn = Cn 來簡化計算。n0規(guī)定： C n =1, C n =1.3. n 的階乘 (n!) n 個不同元素的全排列nP n=n!=n ×(n-1) ×(n-2) 3×2×1例題精講：一、排列組合的應(yīng)用【例1】 小新、阿呆等七個同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（ 1）七個人排成一排；（ 2）七個人排成一排，小新必須站在中間.（ 3）七個人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（ 4）七個人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（ 5）七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（ 6）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（ 7）七個人戰(zhàn)成

6、兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。共15頁第2頁【解析】 （ 1） P775040（種）。（ 2）只需排其余6 個人站剩下的6 個位置 P66720 （種） .（ 3）先確定中間的位置站誰，冉排剩下的6 個位置 2×P66= 1440(種 ) （ 4）先排兩邊，再排剩下的5 個位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置2P55240 (種 )（ 5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5 個人中選 2 人，再排剩下的 5 個人， P52P552400 （種） .（ 6）七個人排成一排時，7 個位置就是各不相同的現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個人，7 個位置還是各不相同的，所以本

7、題實質(zhì)就是7 個元素的全排列 P775040 （種） .（ 7）可以分為兩類情況： “小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2 即可 4×3×P55 ×2= 2880(種 )排隊問題，一般先考慮特殊情況再去全排列。【例2】 用 1、 2、 3、 4、 5、 6 可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的個位是5 的三位數(shù)？【解析】 個位數(shù)字已知， 問題變成從從5 個元素中取2 個元素的排列問題，已知 n5 ， m2 ，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成P525420 (個 )符合題意的三位數(shù)?！眷柟獭坑?1、 2、 3、4

8、、 5 這五個數(shù)字可組成多少個比20000大且百位數(shù)字不是3的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？【解析】 可以分兩類來看： 把 3 排在最高位上，其余 4 個數(shù)可以任意放到其余 4 個數(shù)位上，是 4 個元素全排列的問題，有 P44 4 3 2 1 24 (種) 放法，對應(yīng) 24 個不同的五位數(shù)； 把 2，4， 5 放在最高位上，有3 種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3 之外的 3 個數(shù)字可以選擇，有 3 種選擇，其余的3 個數(shù)字可以任意放到其余3 個數(shù)位上，有P336 種選擇由乘法原理，可以組成 33 654 (個 )不同的五位數(shù)。由加法原理，可以組成245478( 個)不同的五位數(shù)?！眷柟獭坑?0

9、到 9 十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則 5687 是第幾個數(shù)？【解析】 從高位到低位逐層分類： 千位上排 1， 2 ， 3 或 4 時，千位有 4 種選擇，而百、十、個位可以從0 9 中除千位已確定的數(shù)字之外的 9 個數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復(fù)，也就是從9 個元素中取 3個的排列問題，所以百、十、個位可有 P93987504 (種 )排列方式由乘法原理，有45042016 (個 ) 千位上排 5 ，百位上排0 4 時，千位有 1種選擇，百位有5 種選擇，十、個位可以從剩下的八個數(shù)字中選擇也就是從8個元素中取2個的排列問題，即 P828756，由乘法原理

10、，有1 5 56 280(個 ) 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 0 ， 1 ， 2 ， 3， 4 ， 7 時，個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇，有1 1 6 7 42(個) 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 8時，比 5687小的數(shù)的個位可以選擇0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 共 5 個共15頁第3頁綜上所述，比5687小的四位數(shù)有20162804252343(個 )，故比 5687 小是第 2344個四位數(shù)【例3】用1、 2、 3、 4、5 這五個數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個3 的倍數(shù)？【解析】 按位數(shù)來分類考慮： 一位數(shù)只有1個3；兩位數(shù)：由1與2， 1與5

11、，2與 4，4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成P222 12 (個 )不同的兩位數(shù)，共可組成2 4 8 (個 )不同的兩位數(shù)；三位數(shù)：由1 ，2與3；1，3與5；2，3與4；3，4與 5 四組數(shù)字組成，每一組可以組成P333 216(個 )不同的三位數(shù)，共可組成6424 (個 )不同的三位數(shù)；四位數(shù)：可由1， 2， 4，5這四個數(shù)字組成，有P44432 1 24 (個 )不同的四位數(shù)；五位數(shù)：可由1， 2， 3，4， 5 組成，共有 P5554 321120 (個 )不同的五位數(shù)由加法原理，一共有1 8 24 24 120 177 (個 )能被 3整除的數(shù)，即 3的倍數(shù)【鞏固】 用 1、2、3

12、、 4、5、6 六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？【解析】 由于組成偶數(shù)， 個位上的數(shù)應(yīng)從 2 ， 4 ， 6 中選一張， 有 3種選法； 十位和百位上的數(shù)可以從剩下的5 張中選二張，有 P525 4 20 (種 )選法由乘法原理，一共可以組成3 20 60 (個 )不同的偶數(shù)【例4】 某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0 數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是9 ，那么確保打開保險柜至少要試幾次？【解析】四個非 0 數(shù)碼之和等于 9 的組合有 1， 1， 1， 6； 1，1， 2， 5； 1， 1，3， 4； 1， 2， 2， 4； 1，2， 3，

13、 3；2， 2， 2，3 六種。第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要考慮6 的位置就可以了，6 可以任意選擇4 個位置中的一個，其余位置放 1 ，共有 4 種選擇；第二種中，先考慮放 2 ，有 4 種選擇，再考慮 5 的位置，可以有 3 種選擇，剩下的位置放 1 ，共有 4 312 (種 )選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有12種選擇最后一種，與第一種的情形相似，3 的位置有 4 種選擇，其余位置放2 ，共有 4 種選擇綜上所述，由加法原理，一共可以組成412 12 1212 456 (個 ) 不同的四位數(shù)，即確保能打開保險柜至少要試56 次【例5】 兩對三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子

14、旁，要求每個人都不與自己的同胞兄妹相鄰，( 同一位置上坐不同的人算不同的坐法) ，那么共有多少種不同的坐法？【解析】 第一個位置在6 個人中任選一個，有C616 (種 ) 選法，第二個位置在另一胞胎的3人中任選一個，有C313 (種 )選法同理，第3，4，5，6個位置依次有2 ， 2 ， 1， 1種選法由乘法原理，不同的坐法P1P1P1P1P1P163221172(種 )。有 632211【例6】 一種電子表在6 時 24 分 30 秒時的顯示為6: 24：30，那么從 8 時到 9 時這段時間里， 此表的 5 個數(shù)字都不相同的時刻一共有多少個?【解析】 設(shè) A:BC DE 是滿足題意的時刻，

15、有A 為 8， B、 D 應(yīng)從 0， 1，2， 3，4， 5 這 6 個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有 P62 種選法，而 C、E 應(yīng)從剩下的 7 個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有P72 種選法，所以共有 P62×P72= 1260 種選法。從 8 時到 9 時這段時間里，此表的5 個數(shù)字都不相同的時刻一共有1260 個。【例7】 一個六位數(shù)能被11 整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的將這個六位數(shù)的6 個數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個能被11 整除的六位數(shù) ?【解析】 設(shè)這個六位數(shù)為 abcdef ，則有 (ac e) 、 (b df ) 的差為0 或 11 的倍數(shù)且a、 b、

16、 c、 d、 e、 f共15頁第4頁均不為 0，任何一個數(shù)作為首位都是一個六位數(shù)。先考慮 a、 c、 e 偶數(shù)位內(nèi)， b、 d、 f 奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換，有P3P= 36 種順序；3 ×33再考慮形如 badcfe 這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有P33×P33= 36 種順序。所以，用均不為0 的 a、b、c、d、e、f 最少可排出 36+ 36= 72 個能被 11 整除的數(shù) (包含原來的 abcdef )。所以最少還能排出72- 1= 71 個能被 11 整除的六位數(shù)?！纠?】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5 名同學(xué)進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次甲、

17、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍 ”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的 ”從這個回答分析，5 人的名次排列共有多少種不同的情況？【解析】 這道題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對問題進行轉(zhuǎn)化仔細審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的” ，也就等價于5 人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因為乙的限制最多，所以先排乙，有3種排法，再排甲，也有3種排法，剩下的人隨意排，有P33216(種) 排法由乘法原理，一共有3 3 6 54 (種 )不同的排法。3【例9】4名男生， 5 名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法： 甲

18、不在中間也不在兩端； 甲、乙兩人必須排在兩端； 男、女生分別排在一起； 男女相間【解析】 先排甲， 9 個位置除了中間和兩端之外的6 個位置都可以，有6種選擇，剩下的 8 個人隨意排，也就是 8 個元素全排列的問題，有P888 765 432 1 40320 (種 )選擇由乘法原理，共有6 40320 241920( 種)排法 甲、乙先排，有P222 1 2 (種 )排法；剩下的7 個人隨意排，有P7776543 2 15040 (種 )排法由乘法原理，共有25040 10080(種 )排法 分別把男生、女生看成一個整體進行排列，有P2221 2 (種 )不同排列方法，再分別對男生、女生內(nèi)部進

19、行排列，分別是4個元素與5 個元素的全排列問題，分別有P44432124 (種 )和 P5554321120(種 )排法由乘法原理，共有224120 5760(種 )排法 先排4 名男生，有 P44432 124(種 )排法，再把5 名女生排到 5 個空檔中，有P555 4 3 2 1 120 ( 種 )排法由乘法原理，一共有241202880(種)排法?！眷柟獭?五位同學(xué)扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。如果貝貝和妮妮不相鄰，共有（）種不同的排法。【解析】 五位同學(xué)的排列方式共有5×4×3×2×1= 120（種）。如果

20、將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1= 24（種）。因為貝貝和妮妮可以交換位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24×2= 48(種 )；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120-48= 72（種）?！纠?10】一臺晚會上有 6 個演唱節(jié)目和 4個舞蹈節(jié)目求： 當(dāng) 4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？ 當(dāng)要求每 2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1 個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？【解析】 先將4 個舞蹈節(jié)目看成1 個節(jié)目，與 6個演唱節(jié)目一起排，則是7 個元素全排列的問題，有77!76543215040P7(種

21、 )方法第二步再排 4 個舞蹈節(jié)目，也就是 4 個舞蹈節(jié)目全排列的問題，有P444!4 321 24(種) 方法根據(jù)乘法原理，一共有504024(種 )方法120960共15頁第5頁 首先將 6 個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“” )，是 6 個元素全排列的問題，一共有64321720 (種 )方法P6 6!65×××××××第二步，再將 4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或2 個演唱節(jié)目之間 (即上圖中“×”的位置)，這相當(dāng)于從7 個“×”中選4 個來排，一共有P747 65 4 840 (種) 方法根據(jù)乘法原理

22、，一共有720840(種 )方法。604800【鞏固】由 4 個不同的獨唱節(jié)目和 3個不同的合唱節(jié)目組成一臺晚會，要求任意兩個合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一個節(jié)目必須是合唱，則這臺晚會節(jié)目的編排方法共有多少種？【解析】 先排獨唱節(jié)目，四個節(jié)目隨意排，是4 個元素全排列的問題，有 P444 32 1 24 種排法；其次在獨唱節(jié)目的首尾排合唱節(jié)目，有三個節(jié)目，兩個位置，也就是從三個節(jié)目選兩個進行排列的問題，有P23 2 6( 種)排法；再在獨唱節(jié)目之間的3個位置中排一個合唱節(jié)目，有3種排法由乘法原理，一3共有 2463432(種 )不同的編排方法【小結(jié)】 排列中，我們可以先排條件限制不多的元素，然后

23、再排限制多的元素如本題中，獨唱節(jié)目排好之后，合唱節(jié)目就可以采取“插空”的方法來確定排法了總的排列數(shù)用乘法原理把若干個排列數(shù)相乘，得出最后的答案。【例11】 從 1， 2， 8 中任取 3 個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個？（只要求列式）從 8 位候選人中任選三位分別任團支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？ 3位同學(xué)坐8 個座位，每個座位坐1 人，共有幾種坐法？ 8個人坐 3個座位，每個座位坐1 人，共有多少種坐法？一火車站有 8 股車道，停放 3 列火車，有多少種不同的停放方法？ 8種不同的菜籽，任選 3 種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？【解析】 按順序，有百

24、位、十位、個位三個位置，8 個數(shù)字（ 8 個元素）取出3 個往上排，有 P83 種3 種職務(wù) 3個位置，從 8 位候選人（ 8 個元素）任取 3 位往上排，有3P8 種 3 位同學(xué)看成是三個位置，任取 8 個座位號（ 8 個元素）中的 3 個往上排（座號找人） ，每確定一種號碼即對應(yīng)一種坐法，有 P83 種 3 個坐位排號 1， 2， 3 三個位置，從 8 人中任取 3 個往上排（人找座位） ，有 P83 種 3 列火車編為 1， 2， 3 號，從 8 股車道中任取 3 股往上排，共有 P83 種土地編 1， 2， 3 號，從 8 種菜籽中任選 3 種往上排，有 P83 種?！眷柟獭?現(xiàn)有男同

25、學(xué) 3 人，女同學(xué) 4 人 ( 女同學(xué)中有一人叫王紅 ) ，從中選出男女同學(xué)各2 人，分別參加數(shù)學(xué)、英語、音樂、美術(shù)四個興趣小組：( 1) 共有多少種選法 ?( 2) 其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?( 3) 參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有多少種?( 4) 參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?【解析】 （ 1）從 3 個男同學(xué)中選出 2 人，有 3 2 = 3 種選法。從 4 個女同學(xué)中選出2 人，有4 3=6種選法。22在四個人確定的情況下，參加四個不同的小組有4×3×2×1= 24 種選法。3×6&#

26、215;24= 432，所以共有 432 種選法。（ 2）在四個人確定的情況下，參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時有2×3×2×1= 12種選法。3×6×12= 216，所以其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有216 種。（ 3）考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時的選法，此時的問題相當(dāng)于從3 個男同學(xué)中選出2 人，從 3 個女同共15頁第6頁學(xué)中選出 1 人， 3 個人參加3 個小組時的選法。3×3×3×2×1= 54，所以參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時的選法有54 種， 432- 54= 378，所以參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的

27、選法有378 種。（ 4）考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時的選法，此時的問題相當(dāng)于從3 個男同學(xué)中選出 2 人參加兩個不同的小組，從3 個女同學(xué)中選出1 人參加美術(shù)小組時的選法。3×2×3= 18，所以參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時的選法有18 種， 216-18= 198，所以參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有198 種?！纠?2】某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3 個階段進行，第一階段：將參加比賽的48 名選手分成 8 個小組，每組6 人，分別進行單循環(huán)賽；第二階段：將8 個小組產(chǎn)生的前2名共 16人再分成4

28、 個小組，每組4 人，分別進行單循環(huán)賽；第三階段：由4 個小組產(chǎn)生的 4個第1名進行 2場半決賽和2 場決賽，確定1至4 名的名次問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？【解析】 第一階段中，每個小組內(nèi)部的6個人每 2人要賽一場，組內(nèi)賽26515場，共 8 個小組，有C62143158120 場；第二階段中，每個小組內(nèi)部4人中每 2 人賽一場，組內(nèi)賽 C426 場，共 4 個小組，21有 64 24 場；第三階段賽2 2 4場根據(jù)加法原理，整個賽程一共有120244 148場比賽?！纠?3】由數(shù)字 1，2，3 組成五位數(shù)， 要求這五位數(shù)中1，2，3 至少各出現(xiàn)一次， 那么這樣的五位數(shù)共有_個。 (

29、 2007 年“迎春杯”高年級組決賽)【解析】 這是一道組合計數(shù)問題由于題目中僅要求1，2 ， 3至少各出現(xiàn)一次，沒有確定1， 2，3出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進行統(tǒng)計，也可以從反面想，從由1,2,3組成的五位數(shù)中，去掉僅有 1個或 2個數(shù)字組成的五位數(shù)即可(法 1)分兩類：1 ，2 ， 3中恰有一個數(shù)字出現(xiàn)3次，這樣的數(shù)有C315460(個)； 1， 2 ， 3中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)2 次，這樣的數(shù)有 C32 5 C4290(個 )符合題意的五位數(shù)共有6090 150 (個 )(法2)從反面想，由1， 2 ， 3 組成的五位數(shù)共有35 個，由 1， 2 ， 3 中的某 2 個數(shù)字

30、組成的五位數(shù)共有3 (252)個，由1， 2 ， 3中的某1 個數(shù)字組成的五位數(shù)共有3 個，所以符合題意的五位數(shù)共有353(2 52)3150 (個 )?！纠?4】 10 個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？【解析】(法 1)乘法原理按題意，分別站在每個人的立場上，當(dāng)自己被選中后，另一個被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有7 種選擇，總共就有 710 70 種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是(10111)102 35(種 )(法 2) 排除法

31、可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為 C102 ，而被選的兩個人相鄰的情況有 10 種，所以共有 C1021045 10 35 (種 )?！纠?5】 8 個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【解析】 冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個人選定了三個位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數(shù)為：C73P22C41P22P333360 （種

32、）同時滿足第一、三個條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：C63P22P32P22P22960 （種）共15頁第7頁因此同時滿足三個條件的站法總數(shù)為：3360 960 2400（種）。【例16】小明有 10 塊大白兔奶糖 , 從今天起 , 每天至少吃一塊 . 那么他一共有多少種不同的吃法?【解析】 我們將 10 塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中9 個間隙中的某個位置插入“木棍”,則將 lO 塊糖分成了兩部分。我們記從左至右 ,第 1 部分是第 1 天吃的 ,第 2 部分是第2 天吃的 ,，如 :|表示第一天吃3了粒 ,第二天吃了剩下的 7 粒：| |表示第一天吃了 4 粒 ,第二天

33、吃了 3粒 ,第三天吃了剩下的 3 粒不難知曉 ,每一種插入方法對應(yīng)一種吃法,而 9 個間隙 ,每個間隙可以插人也可以不插入,且相互獨立， 故共有 29= 512 種不同的插入方法 ,即 512 種不同的吃法?！眷柟獭啃〖t有 10 塊糖，每天至少吃1 塊， 7 天吃完，她共有多少種不同的吃法？【解析】 分三種情況來考慮： 當(dāng)小紅最多一天吃4 塊時，其余各每天吃1塊，吃 4 塊的這天可以是這七天里的任何一天，有7 種吃法； 當(dāng)小紅最多一天吃 3塊時，必有一天吃 2 塊，其余五天每天吃 1塊，先選吃 3 塊的那天，有 7 種選擇，再選吃 2 塊的那天，有 6 種選擇，由乘法原理，有 7 6 42種

34、吃法； 當(dāng)小紅最多一天吃2 塊時，必有三天每天吃2 塊，其四天每天吃1 塊，從7 天中選 3 天，有C73 76535 (種 )吃法。321根據(jù)加法原理，小紅一共有7 42 35 84 (種 )不同的吃法還可以用擋板法來解這道題，10 塊糖有 9個空，選 6 個空放擋板，有C96C9384 ( 種 )不同的吃法?！眷柟獭?把 20 個蘋果分給3 個小朋友，每人最少分3 個，可以有多少種不同的分法？【解析】 (法 1)先給每人 2 個，還有14 個蘋果，每人至少分一個， 13 個空插2 個板，有 C13278 種分法(法 2) 也可以按分蘋果最多的人分的個數(shù)分類枚舉?！眷柟獭?有 10 粒糖，分

35、三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？【解析】 如圖：|，將10粒糖如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有9 個空，從頭開始吃，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九個空中畫兩條豎線，一共有9 8 236 種方法【例17】某池塘中有 A、B、C 三只游船，A 船可乘坐 3人， B 船可乘坐 2 人， C 船可乘坐 1人，今有3個成人和 2 個兒童要分乘這些游船，為安全起見， 有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們 5 人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】 由于有兒童乘坐的游船上必須至少有1個成人陪同，

36、所以兒童不能乘坐C 船若這 5 人都不乘坐 C 船，則恰好坐滿 A、B 兩船， 若兩個兒童在同一條船上，只能在 A 船上，此時 A船上還必須有 1個成人， 有 C313種方法； 若兩個兒童不在同一條船上，即分別在 A、B 兩船上， 則 B船上有 1 個兒童和 1個成人， 1個兒童有 C212 種選擇， 1個成人有 C313 種選擇，所以有 236 種方法故 5 人都不乘坐 C 船有 369 種安全方法；若這 5 人中有 1人乘坐 C 船，這個人必定是個成人，有C313 種選擇其余的2 個成人與 2個兒童，若兩個兒童在同一條船上，只能在A 船上，此時 A 船上還必須有 1個成人，有 C212 種

37、方法，所以此時有 3 2 6 種方法；若兩個兒童不在同一條船上，那么B 船上有1個兒童和1個成人，此時1個兒童和 1 個成人均有 C212 種選擇，所以此種情況下有3 2212 種方法；故 5 人中有 1 人乘坐C 船有共15頁第8頁61218種安全方法所以，共有91827 種安全乘法【例18】從 10名男生， 8名女生中選出 8 人參加游泳比賽在下列條件下，分別有多少種選法？恰有 3名女生入選；至少有兩名女生入選；某兩名女生，某兩名男生必須入選；某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人?！窘馕觥?恰有 3 名女生入選，說明男生有5人入選，應(yīng)為 C83C10514

38、112 種；要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求運用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：C188C108C107C8143758； 4人必須入選，則從剩下的14人中再選出另外4 人，有 C1441001 種；從所有的選法C188 種中減去這4 個人同時入選的C144 種：C188C14443758 100142757分三類情況：4人無人入選；4人僅有 1人入選； 4人中有 2 人入選，共：C148C41C147C42C14634749?！眷柟獭?在 6名內(nèi)科醫(yī)生和4 名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5 人醫(yī)療小組送醫(yī)

39、下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？ 有 3 名內(nèi)科醫(yī)生和2 名外科醫(yī)生； 既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生； 至少有一名主任參加； 既有主任，又有外科醫(yī)生?！窘馕觥?先從 6名內(nèi)科醫(yī)生中選3名，有 C6365420 種選法；再從4 名外科醫(yī)生中選2名，321共有 C42436 種選法根據(jù)乘法原理，一共有選派方法206120種21 用“去雜法”較方便，先考慮從10 名醫(yī)生中任意選派5人，有 C105109876252 種選派方54321法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的情況由于外科醫(yī)生只有4人，所以不可能只派外科醫(yī)生如果只派內(nèi)科醫(yī)生，有C65C616種選派方法所以，一共有2526246 種既有

40、內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法。 如果選1 名主任， 則不是主任的8名醫(yī)生要選4人，有 2C8428765140 種選派方法； 如果4321選 2 名主任，則不是主任的8名醫(yī)生要選3人，有 1C83187656種選派方法 根據(jù)加法原理，321一共有14056196種選派方法 分兩類討論：若選外科主任，則其余4人可任意選取，有49876126種選取方法；C94321若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余4 人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法”有448765543265 種選取法C8C543214321根據(jù)加法原理，一共有12665191種選派方法?！纠?9】在 10 名學(xué)生中，有5 人會裝電腦，有3人會安裝音響設(shè)備，其余2 人既會安裝電腦，又會安裝音響設(shè)備，今選派由6 人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要3 人，安裝音響設(shè)備要3人，共有多少種不同共15頁第9頁的選人方案？【解析】 按具有雙項技術(shù)的學(xué)生分