第11章穩(wěn)恒電流磁場

1、11-1 求圖中各種情況下O 點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B 。解：（a）連接 A 和 D 兩點(diǎn)，電流 a 可以看成是由直線電流和矩形電流合成的。直線電流在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度0I / (2 (a/ 2)，方向垂直紙面向外。矩形電流由兩條長度為a、兩條長度為 b 的直線電流組成， 在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：20 Isin( / 2) sin(/2) 20 Isin(/ 2)sin(/ 2)4 (a/ 2)4 (b / 2)2 0 I s i n (/ 2)2 0I s i n (/ 2)2 0 Ibb22 0 Iaabaa2ba2b22 0 I( ba ) 方向垂直紙面向內(nèi)。a 2b2 abO 點(diǎn)

2、的磁感應(yīng)強(qiáng)度為： B0 I20 I( ba )0 I20 Ia 2b 2aa 2b2abaab（ b）電流 b 由兩條直線電流和一個(gè)圓弧電流組成：B0I 13520 I3 0 I0 I0.350 I2R 360(sin 90 sin 0)16 R2 RR4 R（ c）電流 c 中兩條直線電流的延長線都過圓心，由畢 -薩定律知道在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 0，圓弧產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0 I 1l10 I 2l 22R2R2R2 R由于兩端的電壓相同，有l(wèi)1l 2VSI 1S I 2 帶入上式得到 B=011-2如圖所示，一扇形薄片，半徑為R ，張角為，其上均勻分布正電荷，電荷密度為，薄片繞過角頂

3、O 點(diǎn)且垂直于薄片的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為，求 O 點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解答 1：將扇形薄片分割成半徑為r 的圓弧形面積元，電荷量為：dqrdr轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)相當(dāng)于園電流，對應(yīng)的電流強(qiáng)度為：dqrdrdI2 /rdrT2產(chǎn)生的磁場為 dB0 dI0dr2r4R圓心處的磁場為 B40 dr0R04解答 2：以 o 為圓心，采用極坐標(biāo)系將扇形薄片分割成小的面積元dqdsrd dr利用運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生磁場的公式dB0dqv0rd drr0d dr4r 24r 24RR對上式積分得： B0d dr0ddr04440011-3 在半徑 R1.0cm 的無限長半圓柱形金屬薄片中，自下而上地通有電流I 5.0 A ，求圓柱軸線

4、上任一點(diǎn) P 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。（這里把自上而下改為自下而上，求解時(shí)對應(yīng)右圖。如不改時(shí)方向相反。）解：從電流的頂上看是個(gè)半圓形， 在其上取一段圓?。▽?yīng)于一無限長載流直導(dǎo)線） ，電流強(qiáng)度為：dIIRdIdR產(chǎn)生的磁場方向如圖，由此可見合磁場方向沿水平向右為：dBx0 dI0 Idcos(/ 2)0 Id2 R2 2 Rsin2 2 R磁感應(yīng)強(qiáng)度為：B Bx0 Idsin20 I0 I=6.37×10-5T 方向沿 x 軸正向。02 2 R2 R 02 R11-4 圖中所示為實(shí)驗(yàn)室中用來產(chǎn)生均勻磁場的亥姆霍茲圈。它由兩個(gè)完全相同的匝數(shù)為 N 的共軸密繞短線圈組成（N 匝線圈可近似視為在同

5、一平面內(nèi)） 。兩線圈中心 O1 , O2 間的距離等于線圈半徑R ，載有同向平行電流J。以 O1, O2 連線中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求軸線上在 O1 和 O2之間、坐標(biāo)為 x 的任一點(diǎn) P 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B的大小，并算出 B0、B01、B02 進(jìn)行比較。解：由圓電流在軸線上一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式：B0 IR22(R2x2 )3 / 22線圈 1 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B10NIR2(R2( xR/ 2)2)3/22線圈 2 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B20NI R2(R2( xR/2)2 )3/2B02B1(R20NIR 20 NI0.7150 NIx 0(R/ 2)2)3/2(5/4)3/2RRB01B020 N

6、I0 NIR20NI113/2 )0.6780 NI2R2(R22)3 / 2(22(2)RRR兩個(gè)圓環(huán)之間的磁場變化緩慢。11-5 有一半徑為 R 的半圓形電流，求在過圓心O 垂直于圓面的軸線上離圓心距離為x 處 P 點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：如右圖利用畢 -薩定律分析可知z 方向的 B 分量為 0：dB0 IRd4r 2x 軸分量為： dBx0 IRdcos(/ 2)0 IRdsin4r 24 r 2/ 20 IRd0 IR0 IR2Bxcos(/ 2)sin4 r24r24r3/ 2y 軸分量為：dBy0 IRdsin(/ 2) cos0 IRdcoscos0 IRdx222cos4 r4 r

7、4 rrBy/ 20 IRdxcos0 IRx/ 20 IRx/ 2 4 r 2r4 r 3cos d2r 3/ 2B0IR 2i0 IRx這里rR2x2是圓環(huán)到軸線的距離。4r32 r3 j11-6 半徑為 R 的均勻帶電球面的電勢為U ，圓球繞其直徑以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由球面的電勢表示式Uq40 R得到球面電荷量 q40 RU電荷面密度q0U4 R 2R取球坐標(biāo)系，將圓球分割成圓環(huán)，圓環(huán)帶電量為dq2 R sinRd圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的等效電流為dIdq2 R sinRdR 2 sindT2 /利用圓電流軸線上一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式，得到分割出的圓環(huán)在圓心處產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)

8、度為dB0 (R2 sin d)( Rsin) 20R sin 3d2(Rsin)2( R cos)2 3/22（本題中圓環(huán)半徑為 rR sin，待求點(diǎn)球心到圓環(huán)中心的距離為yR cos ）B0R3d0Rsin3d0R(12)d cos2sin22cos0000R1cos3)0R2(11)2R2U(cos200 023033311-7地球上某處的磁感應(yīng)強(qiáng)度水平分量為1.7 10 5 T ，試計(jì)算該處沿水平方向的磁場強(qiáng)度。解：H1.710 513.5A/ mB410 7011-8 螺線環(huán)中心周長l10cm ，環(huán)上線圈匝數(shù)N200 匝，線圈中通有電流I 100mA 。（1）求管內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B

9、，及磁場強(qiáng)度 H ；（ 2）若管內(nèi)充滿相對磁導(dǎo)率 r 4200 的鐵磁質(zhì)時(shí)，管內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度為多大 ?（3）鐵磁質(zhì)內(nèi)由傳導(dǎo)電流 I 產(chǎn)生的磁場 B ，與由磁化電流產(chǎn)生的磁場B' 各為多大 ?解：（ 1）由安培環(huán)路定律HdlI ii選擇螺線環(huán)中心為環(huán)路路徑：Hdl HlNI得到磁場強(qiáng)度NI2000.1H200 A / ml0.1磁感應(yīng)強(qiáng)度B00 NI410 72002.5 10 4Tl（ 2）管內(nèi)充滿相對磁導(dǎo)率r4200的鐵磁質(zhì)時(shí)磁場強(qiáng)度不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度為Br 0 NI4200 2.5 10 41.06Tl（ 3）傳導(dǎo)電流 I 產(chǎn)生的磁場 B0 為： B00 NI2.5 10

10、4Tl磁化電流產(chǎn)生的磁場 B' 為： B' B B01.06T11-9 在半徑為 R 的長圓柱導(dǎo)體內(nèi)與軸線平行地挖去一個(gè)半徑為r 的圓柱形空腔兩圓柱形軸線之間的距離為d (dr ) 。電流 I 在截面內(nèi)均勻分布，方向平行于軸線。求： （1）實(shí)心圓柱軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度的大??；（2）空心部分中任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：（1）這個(gè)電流可以看成是：在空腔內(nèi)補(bǔ)上同樣電流密度的電流，在于同一位置再加上一條方向相反的電流，這時(shí)磁場是這兩個(gè)電流各自產(chǎn)生的磁場的矢量和。柱體的電流密度為I。在實(shí)心圓柱軸線上大圓柱產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)j(R2r 2 )度為 0，小圓柱產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度由安培環(huán)路定律求解。B d

11、l B 2 d0 j r 2求得： B0 jr20 Ir 2r 2 )2d2 d (R2（ 2）空心部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度由大圓柱與小圓柱各自產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和。大圓柱產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度由安培環(huán)路定律求解B1dl B12 r10 j r12得到B110 j r12同樣可得小圓柱的磁感應(yīng)強(qiáng)度B21j r202如下圖，合場強(qiáng)為：B B1B21(sinicosj )1j r2(sinicosj )0 j r12021yx10 j r2 (ydx10 j r1 (ij )2ij )0 jd j2r1r1r2r220 Idj2 ( R22r)11-10、半徑為 R 的無限長半圓柱形金屬棒中，通有自下而上沿

12、長度方向電流I，且橫截面上電流分布均勻。試求該半圓柱軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：電流密度： jI2I2 / 2R2R利用 11-3 的結(jié)果，磁感應(yīng)強(qiáng)度在 x 軸方向，選擇如右圖所示的半圓弧電流元 dI j rdr在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：dB0 dI0 jrdr0 jdr2 r2 rR0 jR20 IB0 jd r02 R11-11 根據(jù)安培環(huán)路定理 B dl0 I ， 求得磁感應(yīng)強(qiáng)度為：0 Ir2 ( rR)2RB方向垂直紙面向里，取矩形法線方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶? I (r2R)rR2 R0 I ln 2B dS0 Irdr0 Idr0 I0 2R2R 2 r4211-12 把圓盤割成許多圓環(huán)，

13、其中對單個(gè)小圓環(huán)，設(shè)它的半徑為r ，寬為 dr ，帶電為 dq ，則dq2rdrdIdqrdrdmr 3drdtRRr 3drR4 drkr5mdm則整個(gè)圓盤的磁矩為00k r垂直紙面向05外，所以Mkr 5B平行于紙面且垂直于 B 向上511-13 據(jù)霍爾效應(yīng) V RHIB1 IB2.53 10 5 (V )bqn b電場強(qiáng)度EV2.5310a2.01051.27 10 3( N.C 1)211-14U AA'3，說明A端電勢比 電勢高，A端積累正電荷、 端6.65 10 VAA積累負(fù)電荷。根據(jù)洛侖茲力公式FqvB ，可以判斷這塊導(dǎo)體的載流子帶負(fù)電荷，所以這塊導(dǎo)體是n 型。又IB1

14、IBIB203RH bbqU A A ， 帶入數(shù)據(jù)，得 n2.82 10( m )U A Aqn bn11-15 ：由安培力公式可知，當(dāng)兩條導(dǎo)線電流方向相同時(shí)，兩導(dǎo)線相互吸引，如下圖，導(dǎo)線 2對導(dǎo)線 1單位長度的引力的大小為： f 120I1I 20I 22r2，導(dǎo)線 3對導(dǎo)線 1單位a長度的引力 f130 I 2，引力 f13和 f12 正好在等邊三角形2a的兩條邊上，它們之間的夾角為600 ，而且在數(shù)值上大小相等，所以合力的大小為f1 f13 cos30 0f 12 cos3000 I 2cos3003.46 10 4 N / cm 方向如圖a11-16. 在線圈的上下兩段弧da 和 bc

15、 上，因長直電流 I1產(chǎn)生的磁場與和電流I 2 方向平行，所以圓弧da 和 bc受力為零。長直電流 I 1 在線圈的直線部ab 和 cd 處產(chǎn)生的磁場的方向別沿著 y 軸的正向和負(fù)向，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 B0I1。因此，作用在線圈上的合力為2 RF2I 2 h 0 I19.33 10 4 N 沿著 x 軸負(fù)向2R11-17.載流導(dǎo)線中兩段直線部分所受安培力大小相等，方向相反，兩力平衡。整個(gè)載流導(dǎo)線受力就是半圓形導(dǎo)線所受的磁場力。我們知道，載流導(dǎo)線在勻強(qiáng)磁場中受力，等于從起點(diǎn)到終點(diǎn)連接的一根直導(dǎo)線通過相同電流時(shí)受到的磁場力。因此整個(gè)載流導(dǎo)線受力的大小為F2BIR ,方向豎直朝上。11-18 載流

16、的半圓形鉛絲環(huán)受到磁力的大小為：F IDB,沿著水平向右，用 T表示圓弧兩端 a，b 受到另外半圓弧的張力，在平衡時(shí)有：2TF0TFBIR 1.07.0 0.050.35 N2相應(yīng)的拉應(yīng)力為： fT0.355 10 5 N m 2S0.7 10 611.19 矩形回路的上下兩段導(dǎo)線所受安培力F1 , F2 的矢量和為零，則回路所受的總安培力等于左右兩段所受的安培力F3 , F4 的矢量和，它的大小為FF3F40I 2 I 1l0 I 2 I1l0 I 2 I1lb1.28 10 3 N2 d2 ( d b)2 (d b)方向水平向左。11-20 金屬圓環(huán)徑向電阻R2RR1drln R2，徑向電

17、流 I2 d。Rln R2 R12 rd 2 d R1金屬環(huán)受到的磁力矩，等于沿徑向電流所受的安培力的力矩之和。 在 d范圍內(nèi)圓 環(huán) 上 r到 rdr 處 的 小 電 流 元 為dIIIrdd ，該電流元所受的安2r2培力為 BdIdr ，對轉(zhuǎn)軸的力矩為 rBdIdr，因此圓環(huán)所受安培力矩為MrBdIdrBdR2rdrdBd( R22R12 )2ln( R2 R1 ) R10ln( R2R1)方向垂直紙面朝外。IR211-21線圈的磁矩為 mIS2方向垂直紙面朝里，與B 垂直。因此，線圈所受的磁力矩的大小為：M mBBI R27.85 10 2 N m 磁力矩的方向?yàn)樨Q直向下。211-22 假

18、設(shè)摩擦力足夠大， 圓柱不向下滑動(dòng)。重力繞過切點(diǎn) 0 的軸的力矩為：M gmgr sin繞組所受的磁力矩M mmgRsinNIB 2Rl sin磁力矩應(yīng)大于或等于重力矩，圓柱才不至于沿斜面向下滾動(dòng)，即M mM gNIB 2Rl sinmgRsinmg2.45 AI2BNl11-23 因?yàn)?dR , 則通有電流 I 的長直導(dǎo)線在小線圈位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度近似為B0 I2 d方向垂直紙面朝外。線圈正法線方向與B 的方向成角時(shí)，線圈所受磁力矩為MIR2B sin線圈平面轉(zhuǎn)至與紙面重疊時(shí)， 線圈正法線方向與B 的夾角減為 0。轉(zhuǎn)動(dòng)方向與的增加方向相反，因此磁力做功為AM ( d )I R20I sindI R2 0 I (1 cos 0 )00002d2d由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 A1 J2（其中 J1 mR2 ），有22I R20I (1cos 0 )1 mR2 22d422 0II0 )(1 cosmd11-24 在離子加速過程中，由動(dòng)能定理知qU1mv22離子在磁場中受洛倫茲力作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)， 由牛頓定律知v2qvB m聯(lián)立上面兩x / 2式可證。僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)