05第八章第5節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式同濟大學(xué).

1、第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一.一個方程的情形二、方程組的情形三.小結(jié)思考題、一個方程的情形1 F(x,j) = O y = y(x)如何求空？dx隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)在點P(x。 ,幾)的 某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x。,兒)=0,竹(”00) )工0 則方程F(x,j) = 0在點P(x09y0)的 某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù) 導(dǎo)數(shù)的函數(shù)J=/(X) ),它滿足條件Jo=/( (XO),并心隱函數(shù)的求導(dǎo)公式公式推導(dǎo)-F(x,y) = O =y=y(x):.F(x,y(x) = O求導(dǎo)竺+竺竺=0V P ar dy dx.空=_生dx Fy例1驗證方程H + J2-1=

2、 0在點(0,1)的某鄰 域內(nèi)能唯一確定一個單值可導(dǎo)、 且x = 0|j = l的隱函數(shù)y =f(x)9并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo) 數(shù)在=0的值.解令 F(X,J) =X2+J2-1則Fx= 2x, Fy= 2y9F(0,l) = (),Fv(04) = 20,依定理知方程x2+j2-l = 0在點(0,1)的某鄰域 內(nèi)能唯一確定一個單值可導(dǎo)、Kx=0Wj = 1的 函數(shù)丿=/()函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為已知Inxx2+ y2= arctan ,x解解 令F(x,j) = lnx/x2+ y2- arctanX則化=Fy(工 =xyx2y2dyFrx + y-1 I-.dxFyy-x例2已知Inx

3、x2+ j2= arctan,將x ax12x + 2y-yf=1yfx-y2x+y2i+(Z)2Xdyx + ydxj-x2. F(x,j,z) = O=z=z(x,j),$n何求冬，空? dx dy隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點P(x”兒,S)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且川丸,Vo，Zo) )= 0，幾(嶺0憶0) )矣0,則方程A(x,y,2) = 0在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z = /(x,j),它滿足條件S = /boo) ),另解:兩邊舷求并有dx F:9Z _Fydy Fz12例3設(shè)X2+J2+Z2-4Z= 0,求寫.or-解解

4、令F(x,z) = x+/+z-4z,dz Fxx則Fx=2x,F2=2Z-4,&= -p另解：對兀求偏導(dǎo)2x + 2z -4 = 0dx dxdz x _ _ 9Sr 2-zH公式vF(x,j,z) = O, =z =z(x,y),F(x,”z(x) =O,將上式分別對求導(dǎo)dz d ,dz d xT-T = () - )dx dx dx dx2 z(2 - z) + x密( (2-z)+x占-=ax =2-z(2 z)2一(2-Z) )2_ (2 z)2+ x2=“2-z)L 把x看成的函數(shù)對丿求偏導(dǎo)數(shù)得冬,dy把丿看成KZ的函數(shù)對Z求偏導(dǎo)數(shù)得?.OZ解 令iz = x +j+z,

5、v = xyz,則z = /(”川),ii例4思路：極=/(x +dydz把z看成dzdxdx12Z =u = x + y+z, v = xyz把z看成“y的函數(shù)對r求偏導(dǎo)數(shù)得 著 3+亶)+M+磴)， 整理得 主=_A2_& m把X看成的函數(shù)對y求偏導(dǎo)數(shù)得RYrx0 = /； ( +1) + /；(xz+yz),dy內(nèi)13Z = f(u,v U = x + y+z, v = xyz,整理得迦=_厶上也，fu+ W，把y看成X,z的函數(shù)對z求偏導(dǎo)數(shù)得1 =尤(?+1) +岸(凈+農(nóng)OZ,.整理得血上人 El 比化+ W二、方程組的情形fF(x,j,/,v) = Ofw = w(x,j)

6、G(X,J,M,V) = OV=V(X,J)公式推導(dǎo)(設(shè)?！耙蝗?0, jz/ + xv = 1,直接代入公式;運用公式推導(dǎo)的方法,將所給方程的兩邊對X求導(dǎo)并移項du drx- y = -w dx dxdu dv y + x - = -r.dx dx在丿工 0 的條件下,-M-ydu = 7 x xu 4- yv dx x -yx2+ y2V X1、dii求亦dudyX-Myu-xvx2+y2dii _ xv- yu dyx2+y2dv _m +將所給方程的兩邊對y求導(dǎo)，用同樣方法得x + y+Z = Odu?79J-xy +z = 1dz解：方程組對求導(dǎo)三、小結(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則(分以下幾種情

7、況)(1)(1)F(x,j) = O(2)(2)F(x,j,z) = O(3)(3)|F(x,j,u,v) = Odx df dy dx dz5y dzx-y乙_xx-y習(xí)題-5P372,4,6,7,8,9,10(2)(3)41思考題已知王:=0（丿），其中P為可微函數(shù)，ZZ.dzdz 求x丁OX+咗=?dy22思考題解答XV記=則：=-zzzD ”兒1 U -X9y(-J) )化=一卩(一)一，耳=r 一卩(一) 2 ,Z ZZZZ及二 E 二 z&=7 以?張人Fz x-yqf(- ZZ工曰 &dz于是 x r +丿 r =z dx dy練習(xí)題一、填空題：1% 設(shè) In s

8、x2+ y2= arctan ,則xdy _dx_-2、設(shè) z” L 則dz去=-dz設(shè) 2sin( x + 2j -3z) = x + 2j - 3ztdz dz+dx dy證明:三、如果函數(shù)/(x,y,z)對任何 恒滿足關(guān)系式 ftx.ty,tz) =tkf(x9y9z),則稱函數(shù)為k次齊次函數(shù),試證蟲次齊次函數(shù)滿足方程 df df df、* tx*詁kg W四、設(shè) z-3xyz求舟dxdy五、求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：(u = f(x,y)六、設(shè)函數(shù)(x)由方程組 j/?(x,j,z) = O 所確定，且雲(yún)*追* 0求字g均可微) dy dz dx七、設(shè) J =是由方程尸(兒曲 2所確定的X的函數(shù)，求倉.八、設(shè)乙=z( (3) )由方程 F(x + -,j + -)=o 所確定，(其中具有J Xdz . dz練習(xí)題答案-x（6z + 1） dz x lyiiz +Tidx +-uf；（2”g 上 12-/；g；（Vf-