(完整word版)高中一題多解經(jīng)典練習題2

1、1高中一題多解經(jīng)典練習題2一題多解、一題多變1 1、變題：課本 P110P110 寫出數(shù)列an的前 5 5 項：ai丄,an1 4an-i1變題：已知函數(shù)f(x) 2x 2,x【2,1，設f(x)的反函數(shù)為y=g(x)，ai= 1, a2= g(a1)an= g(an-1)，求數(shù)列a.的通項公式。卄亠小11解：由題意得，y=g(x)=1-2x，an二仁-an-1an2 1(an 13，令bn二an-3，則bn是以-為首項，-為公比的等比數(shù)列,故bn=1 1孑匚廣心1)從而，2 2n+ (-1)n-1.習=6+3=3X/-1(n1)1(1(1)當a= 2時，求函數(shù)f(x)的最小值；- -(2(2

2、)若對于任意x1,+-), f(x)0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍,1f(x)=x+2+2+2、2，當且僅當2 x取等號k；2、由f (x) = x+ - (k 0)性質(zhì)可知，f (x)在，+ g)上是增函數(shù)x2x1,+x)，所以f (x)在1,+ g是增函數(shù)，f(x)在區(qū)間1,+ g上的最小值為彳二22 2、已知函數(shù)f(x) =x2+ 2x + a,x1,+x)x1解：(1 1)當a=-時,2當且僅當ymin= a + 3 0時，函數(shù)f(x) 0恒成，故a -32小X+2x+a0恒成立？x恒成立? a -x2- 2x恒成立，故a應大于u = -x2-2x,x1,+旳時的最大值-3,所以a-3

3、1 -3 3、：若f (一)= x +訥+ X2(x 0)，貝y f (x)= -x(2)法一：在區(qū)間上1,+今,f(x) =3心0恒成立x? x2+ 2x + a 0恒成立設y = x2+ 2x + a,x1,+g) y = x2+ 2x+ a = (x+ 1)2+ a -1在1,+旳上增所以x= 1時，ymin=a+ 3，于是當且僅當丫皿山二a+30時，函數(shù)f(x) 0恒成立,故a -3法二:f (x) = x+a+x當a0時，函數(shù)f(x)的值恒為正;2, x1,+g)當a1/=a+ 3，于是法三：在區(qū)間1,+哲上，f(x) =2x + 2x+ a 03分析: :用倒數(shù)換元解：令t =1則

4、乂=1, , 所以xtf(t)= J+、1+(1)2(t 0)4將 t t 換成 x x 得到: :1 12f(t)二 一+ J+ ( )2(x 0)X x1變題 1 1：設f (x)滿足關(guān)系式f(x)+ 2f (-)= 3X,求f(x)的解析式X11解：t二則x=-xt1 1f(t)+ 2f(t)= 3：將 t t 換成 x x 得到：11f ( )+ 2 f (x) = 3xx與原式聯(lián)立方程組消去f (-)得到xf (x)- x(x 0)x變題 2 2:已知af(x)f( x) bx，其中a2工1試求f (x)的解析式解：用相反數(shù)換元 令t x,x t代入到原式當中得到:af( t) f(

5、t) bt將 t t 換成 x x 得到: :af ( x) f (x) bx與原式聯(lián)立方程組，得到:2(a 1)f (x) b(a 1)xa2H1f(x)b(a 1)(a21)變題 3 3： 已知af (4x 3) bf (3 4x) 2x,a2b2，試求f (x)的解析式解：令4x 3 t，則2x =t+ 35將中 t t 換一 t t 得到: :與聯(lián)立方程組得到:(a2b2)f(t)護|(a b)13x2(a b) 2(a b)變題 4 4:已知af (xn) f ( xn) bx,其中a21,n為奇數(shù)，求f (x)解：設xn= t,x=nt代入原式得:af (t) f ( t) bnt

6、將 t t 換成一 t t 得到：af (t)+ f (t) =bnt與上式聯(lián)立方程組得到(a21)f (t)= b(a+ 1)nta2工1/. af (t) bf ( t)(1)af( t) bf (t)t 32-f(t)12(atb)32(a b)nf(x)f(x)豊1)n-bn-(a 1) a 16f(x)的解析式為：f(x)汨阪代呎題多解4 4、：設二次函數(shù)f(x)滿足f(x2)= f(x2),且函數(shù)圖象 y y 軸上的截距為 1 1 被 X X 軸截的線段長為2 2，求f(x)的解析式分析：設二次函數(shù)的一般形式f (x) = ax2+ bx+ c(a豐0),然后根據(jù)條件求出待定系數(shù)

7、a,b,ca,b,c解法一：設f (x) = ax2+ bx+ c(a豐0)由f(x2)= f(x2),得：4ab= 0又_TAA_(XiX2= wp = 2鶯2|a| b24ac= 8a2由題意可知c= 1解之得:1a =, b = 2, c= 121f (x) = x+ 2x+ 1解法二：f(x2)= f (x2),故函數(shù)y= f(x)的圖象有對稱軸x=2可設y = a(x+ 2)2+ k函數(shù)圖象與 y y 軸上的截距為 1 1 ,則4a+ k= 1又 被 x x 軸截的線段長為242，則X1X2=2J27整理得：2a+ k= 0解之得：1 , a = , k二121f (x) = x+

8、2x+ 128y= (x)與 x x 軸的交點為:(22 . 2,0),(2+2., 2,0)故可設y= a(x+ 2+ 2. 2)1f(0)= 1,a=-1f (x) = x + 2x+ 125 5、原題 設y = f(x)有反函數(shù)y = f-1(x)，又y = f (x+ 2)與y = f-1(x-1)互為反函數(shù)，則f-1(1)-f-1(0)=_(教學與測試P P77)變題 設y= f(x)有反函數(shù)y= f-1(x)，又y= f(x+1)的圖象與-1y= f (x+ 1)的圖象關(guān)于y= x對稱(1) 求f(1)-f(0)及f-1(1)- f-1(0)的值；(2) 若a,b均為整數(shù)，請用a,

9、b表示f (a) f (b)及f-1(a)-f-1(b)解(1)(1)因y = f(x+1)的反函數(shù)是y = f(x)-1，從而f (x+ 1) = f(x)-1，于是有f (x+ 1) - f(x)= -1，令x= 1得f (1) - f (0) = -1； 同樣，y= f(x+1)得反函數(shù)為y二f-1(x)-1，從而f-1(x+ 1)= f-1(x)-1，于是，f-1(x+1)-f-1(x)= -1.(2)(2)f (x+ 2) - f (x+ 1)= -1, , 而f (x+1) - f(x)=-1, , 故f (x + 2) - (f(x)-1) = -1, ,即f (x+ 2) -

10、f(x)= -2, ,f (x + n) - f(x)= -n，解法三：f(x2)= f(x2),故函數(shù)y= f(x)的圖象有對稱軸x=2,又XiX2= 2,29從而f(a)-f(b)二fa+(b-a)-f(a)二b-a.同理，f-1(a) f-1b b a.6 6、.函數(shù)f(x)x2bxc,f( 1)f(3)，則()()(A A)f (1)cf( 1)(B B)f (1)cf( 1)(C C)c f(1)f(1)(D D)c f(1)f(1)解法 1 1 . .由f(1)f (3)知f(x)的圖象關(guān)于x= 1對稱，得b2而f (1) 12(2) ?1c2c 1,f( 1) (-1)( 2)?

11、( 1) c c 3,且c 3 c c 1,因此匕f(1)c f( 1). .解法 2.2.由f( 1)f(3)知f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，而c= f(0)，而f(x)在1,11,1上遞減，易得答案為 B B.107 7、原題：若在區(qū)間y= =x2-ax-a2在區(qū)間(-1-V3)是減函數(shù)，則a的取值范圍是多少？變 1 1:若函數(shù)y=J=Jx2-ax-a2在(亠,1-73)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是多少?11變 2 2、若函數(shù)y= =logi(x2-ax-a2)在(-,1 - , 3)上是增函數(shù)，則a的取值2范圍是多少？變 3 3、若函數(shù)y= =logi(x2- ax-a2)在(-壬1-佝

12、上是增函數(shù)，且函數(shù)的值2域為 R R 則a的取值范圍是多少？解：函數(shù)y = x2- ax-a2的減區(qū)間為(-3號，二(心，1-?(-汽，2 2-2.3,+旳-變 1 1、設u= x2-ax-a2,則u在(-円1-73)為減函數(shù)，且在(-壬1-島),u0 0所以有1- .30,a的取值范圍是變 2 2:設u=x2-ax-a2，則u在為減函數(shù)，且在(-壬1-島,u0-0-所以有1-3W 且u(1- 3)0,a的取值范圍是(3-1)(1- 5)( 3-1)(1+5)2,2變 3 3:設u = x2- ax - a2,則u在(-壬1-73)減區(qū)間，u在(-壬1-方)取到一切正實數(shù)1-、3號,u(1-.

13、3)= 0，所以a=匚斗或斗一& 設a+ lg a= 10,b+10b= 10，求a+ b的值。解法一(構(gòu)造函數(shù))：設f (x)= x+ lg x，貝 Sf(a)= 10= b+ 10b= lg10b+ 10b= f (10b),由于f (x)在(0,+ p上是單調(diào)遞增 函數(shù)，所以a= 10b，故a+ b= 10b+ b= 10。(3-1)(1- 5)2(3-1)(1+5)212解法二(圖象法)因為a是方程x+ lg x= 10的一個根，也就是方程lgx= 10-x的一個b是方程x+ 10 x= 10的一個根，也就是方程10 x= 10-x的一個根令g(x)=lgx,h(x)=10 x

14、,(x)=10-x，在同一坐標系中作出他們b是方程h(x)=(x)的根，即圖中 0B=)0B=)易得 OA+OB=1,0OA+OB=1,0 所以a+ b= 10解法三：方程x+ lgx= 10,x+ 10 x= 10的根為a,b由x+ 10 x= 10，得10 x二10- x,x = lg(10 -x)，又x+ Ig x = 10lg(10 - x) + Igx = 10,即x(10 -x) = 1010,即x2-10 x+ 1010= 0 x1+ x2= 10(虛根a 0 0 時，函數(shù)f(x)是凹函數(shù)；(2)(2) 如果x0,1時，|f(x)|w1，試求實數(shù)a的取值范圍(1)(1) 證明：略

15、(2)(2) 實數(shù)a的取值范圍是2,0)1010、不查表計算：lg32+ lg35+3lg2lg5解法一：原式= =(lg 2 + lg 5)(lg22 - lg2lg5 + lg25) + 3lg2lg522= =lg22-lg2lg5+ lg25+ 3lg2lg522= =lg22+ 2lg2lg5+ lg252= =(lg2+ lg5)2=1解法二：原式= =(lg 2 lg5)33lg22lg5-3lg 2lg25 3lg 2lg5=1-=1-3lg 2lg5(lg 2 lg5 1)=1=1解法三：原式= =(lg 2 + lg5)3-3lg2lg5(lg2+ lg5)+ 3lg2lg