2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)4第1課時單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的

1、第 1 課時 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義單位圓與周期性核心叨知自讀敦材找關(guān)惟問題思考 辨析間題解疑寤核心必知1 任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義(1)單位圓的定義：在直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心,以單位長為半徑的圓，稱為單位圓.正弦、余弦函數(shù)的定義：如圖所示，設(shè)a是任意角，其頂點與原點重合，始邊與X軸正半軸重合，終邊與單位圓O交于點P(u，V)，那么點P的縱坐標(biāo)v叫作角a的正弦函數(shù)，記作V= Sina；點P的橫坐標(biāo)U叫作角a的余弦函數(shù)，記作U= COS_a(3) 正弦、余弦函數(shù)的定義域，值域：通常，我們用X表示自變量，即X表示角的大小，用y表示函數(shù)值，這樣我們就定義了任意角三角函數(shù)

2、y= sinx和y= cosx.它們的定義域為 R，值域為1， 1 (4) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號象限三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限sina土土二-COSa土二二上2.周期性(1) 周期函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在非零常數(shù)T，對定義域內(nèi)的任意一個x值，都有f(x+T =f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期.(2) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kn(k乙乙k三 0 是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期，預(yù)習(xí)導(dǎo)引區(qū)預(yù)習(xí)導(dǎo)引區(qū)-2 -其中 2n是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個，稱為最小正周期.-3 -(3)終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)值間的關(guān)系1sin(a

3、+2kn)=sin_a(kZ);2COS(a +2kn)=COS_a(kZ).問題思考2n1. 等式 sin(30 + 120 ) = sin 30是否成立？如果這個式子成立，那么能否說明 是正3弦函數(shù)y= sinx的周期？1 2n提示：根據(jù)三角函數(shù)的定義 sin 150 = sin 30 =成立，但不能說一 3-是y= sinx的周期， 在周期函數(shù)定義中，對每一個x都有f(x+T) =f(x)，則T是周期，而等式 sin(x+ 120。)= sinx,不是對任意的x成立.如x= 0時 sin 120。工 sin 0 .2.公式 sin(2kn+x) = sinx,k Z; cos(2kn+x

4、) = cosx,k Z,揭示了什么規(guī)律，有 什么作用？提示：(1)由公式可知，三角函數(shù)的值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，即角a的終邊每繞原點旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次.(2)利用此公式， 可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0 到 2n(或 0到 360 )角的三角函數(shù)值.知識突破! I重點知識步步掘究龜根基利用定義求任意角的正弦、余弦值-【重點釦識講透練金】|講一講1 .已知角a的終邊在射線y= 2x(x 0)上，求角a的正弦值和余弦值.能力提升I拔髙扭識深化提能知識點1嘗試解答法一：設(shè)角a的終邊與單位圓的交點為P(x,y),則y= 2x(x0).又因為22 x+y= 1,-4 -x =

5、，所以于是 sin|y =癥5，2 , 5. 5a =y=,cosa =x=.55法二：在角a的終邊上任取一點P(x,y)(x0)，則01 , x2+y2=.x2+ 4x2=5|x| ,又因為x 0,所以O(shè)P= .5x.-5 -類題-通法求任意角的正弦、余弦值常用的兩種方法：(1)利用單位圓中的正、余弦函數(shù)的定義.利用正、余弦函數(shù)定義的推廣：若P(x,y)是角a終邊上的任意一點，則 sina=72,yjx+yxa=x練一練1.多維思考本講中，把射線y= 2x(x0) ”改為直線y= 2x，求 sina, cosa. 解：設(shè)直線y= 2x與單位圓的交點為F(x,y)則*;2：, ，解得譜 羋)或

6、(-零- 255).當(dāng)x0 時，R-55 25)，貝 U sina= cosa=卡；當(dāng)x0,且 cosa0,試確定a所在的象限.嘗試解答(1) 340是第四象限角，265是第三象限角, sin 340 0, cos 265 0.Tsin 2a0,2kn2a2kn + n(kZ),knakn + (kZ).當(dāng)k為偶數(shù)時，設(shè)k=2nmm Z),所以 siny=丄=跡._x2+y2=5x=5；COSaXX25x2+y25x5COS則 sina知識點 2三角函數(shù)值符號的判斷及應(yīng)用 *I【重點知識*講透練舍【I-6 -n有 2mna2mn+當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k= (2m+ 1)( m Z).亠3n有 2m

7、n + na2mn +亍(Z).I a為第一或第三象限角.又由 COSa0；當(dāng)角a的終邊在y軸的右側(cè)時，COSa0.2 .對于確定角a所在象限的問題，應(yīng)首先確定題目中所有三角函數(shù)的符號，然后根據(jù)各三 角函數(shù)的符號來確定角a所在象限，則它們的公共象限即為所求.3 .由kn0kn+ (kZ)確定0所在象限時應(yīng)對k進行分類討論.2 .已知 sinaCOSa0,試寫出角a所適合的集合. 解：sinaCOSa0,sina0,或icosa0.- a是第二或第四象限的角.fn1 角a的集合為，akn+3a講一講3 .求下列三角函數(shù)值.(1)cos( 1 050 );log2(4sin 1 110 ).嘗試解

8、答(1) 1 050 = 3X 360 + 30, 1 050 的角與 30的角終邊相同.知識點 3利用三角函數(shù)的周期性化簡求值I【拔高知識*拓寬堤堆】I(2)sin-7 - cos( 1 050) = cos 30-8 -31角-亍與角 4 的終邊相同31 n. n _ V2sin: 4sinT=2 .1(3)Tsin 1 110 =sin (3X360+30)=sin 30 =-,log24sin 1 110=log2；X4 =log22=1.J美題-通詫利用公式 sin(x+ 2kn) = sinx, cos(x+ 2kn) = cosx,k Z,可以把任意角的正弦、余弦 函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化

9、為 02n間的角的正弦、余弦函數(shù)值問題一般步驟是：(1) 把角B寫成3= 2kn+a(k Z)形式；(2) 求出角a的正弦或余弦；(3) 得到角 2kn+a(k Z)的正弦或余弦.練一練3 .求下列三角函數(shù)值.(1)sin( 1 020 ) ; (2)cos解：(1) 1 020 = 3X360 + 60 , 1 050 的角與 60的角的終邊相同.已知角a的終邊落在直線y= 3x上，求 2sina+ 3cosa的值.錯解一取直線上一點(1 , 3),(2) -34n=-4X247t sin( 1 050 ) = sin 6035n6-35nn3 cos=cos=.6 6 2審趣要嚴(yán)*做題要細(xì)

10、一招不鎮(zhèn)満旌皆輸*試試能否走曲迷宮!2 6 角的終邊相同;角的終邊和-9 -貝Vsina= 3, cosa= 1 , 2sina +3cosa =2X(3)+3X1= 3.-10 -錯解二取直線 y 3x與單位圓的交點 需10百,錯因 錯解一，犯了兩個錯誤，一是對正、余弦函數(shù)的定義理解有誤定義中的(x,y)須是a終邊與單位圓的交點坐標(biāo)，不是任意點。二是a的終邊在直線y= 3X上包括兩種情況，在射線y= 3x(x0)上或在射線y= 3x(x 0)時的情形，沒考慮y= 3x(xw0)時的情況.正解設(shè)a終邊與單位圓交點為(X,y)；顧 f顧V=3x,x=10，,x=10，則*2 2解得/或 t廠x+

11、y=1，|y=迥|y=更10，10，達標(biāo)練*I學(xué)業(yè)水乎小測“辻學(xué)生證熱打鐵消fl；所學(xué) 既練速度又綁準(zhǔn)度能力練謙下鉉力提升.提速 提威，每課一撿測,步 步為彗審步旣勺學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1.已知P(1 , 5)是終邊a上一點，則 sina等于(5殛V26A.1B 5C .百 D. 26解析：選 CTx= 1,y= 5, r = . 26,25 n / r -t2. cos 6 的值為()2sina +3cosa3;1010或 2sina +3cos3;1010 2sina +3cosa3 .-1010sina=y=r5 ,26263 10a=,COS10 訓(xùn)練提能區(qū)訓(xùn)練提能區(qū)552，-11 -1A.

12、2 B 4.已知函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，周期T= 6,f(2) = 1，則f(14) =_解析：f(i4) =f(2X6+ 2) =f(2) = 1.答案：15. sin 390 =_ .解析： 390 = 360 + 30,1/ sin 390 sin 30 2-1答案：2、課下能力提升(三)一、選擇題1.如果一 315角的終邊過點(2 ,a)，則a等于()25 n(nn3解析：選D cos 6cos |4n +一6廠cos 6b一 2 3. 已知0是第三象限角，貝U()A. sin00,cos00 B.sin00,cos00C. sin00 D.sin00,cos00 時，sin當(dāng)a0

13、,二 sin號Awo,易知 2 為第四象限角.二、填空題5. sin ( 330 ) =_ .1 解析：sin( 330 ) = sin( 360+30 ) = sin 30 =-.1答案：26 .如果 cosx= |cosx|，那么角x的取值范圍是 _解析：cosx= |cosx|，二 cosx 0,解析：選 Bn=解析：選 D sin-6一x2+ 6 尸JI，解得x=士 2.解析：選 D/ A是第三象限角,9ncos=cos4cos-14 - n+2kn wxn+2kn ,kZ.2 2-15 -答案：x|2kn WxW2kn+運,k Z7 .若點P(2m 3n)(m0)在角a的終邊上，則,

14、COSa解析:13m)KN2nv0I如右圖，點P(2m 3m)(m0)在第二象限，且r= /T3m故有 sina3 1313 .=f(x) ,f(x)是周期函數(shù)，且f(x)6 是它的一個周期.10.已知 cosa0, sina0.(1)求角a的集合；判斷 sin y, cosa的符號.解：由 cosa0, sina0 可知，a的終邊落在第三象限.、3n 角a的集合為a|2kn+na2kn+,k Z.sina3m 3mr13m-16 -1f()，求證：f(x)是周期函數(shù)，并求出它的一個周期.12m2m-2胚cosa =.13m=13 .答案:2品13138. sin 420 cos 750+sin(690)cos(660 ).解析:原式 sin( 360 +60)cos(720 +30)+sin(720