2018版高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計案例疑難規(guī)律方法學(xué)案蘇教版選修2-3

1、1.線性回歸方程工,Xixyiy刀xiyin xi=1yn一n2乙（xi-x ）iXin X2An_ _乙Xiyinx yb=n_-主要方便計算， 其中若ix2n（x f（x,y）為樣本數(shù)據(jù)，（x,y）為樣本點的中第三章統(tǒng)計案例教材拓展4 4i本章知識大串燒一、獨立性檢驗的基本思想通過分析數(shù)據(jù)與圖形，得出的估計是粗略的，因為我們說的“大得多”、“小得多”，到底 是有多大的差距？也就是說得到的結(jié)論是直觀上的印象，其實與是否有關(guān)還是有較大的差距 的.下面從理論上說明兩個變量是否有關(guān)，請同學(xué)們從中體會其思想方法.i基本思想與圖形的聯(lián)系假設(shè)兩個變量是無關(guān)的，可知如下的比應(yīng)差不多，即：a ca+bc+d

2、?|ad-bq=o.a+d（其中*a+b+c+6（此公式如何記憶，其特點是什么？結(jié)合2X2列聯(lián)表理解），顯然所構(gòu)造的統(tǒng)計量與|adbc|的大小具有一致性.2.獨立性檢驗的思想方法如果X2的值較大，說明其發(fā)生（無關(guān)系）的概率很小，此時不接受假設(shè)，也就是兩個變量是有關(guān)系的（稱小概率事件發(fā)生）；如果X2的值較小，此時接受假設(shè)，說明兩分類變量是無關(guān)系的. 其 思想方法類似于數(shù)學(xué)上的反證法.3.得到X2的值常與以下幾個臨界值加以比較：如果X22.706，就有90%勺把握認(rèn)為I和n有關(guān)系；如果X23.841，就有95%勺把握認(rèn)為I和H有關(guān)系；如果X26.635，就有99%勺把握認(rèn)為I和n有關(guān)系； 如果X2

3、10.828，就有99.9%2的把握認(rèn)為I和n有關(guān)系；如果Xw2.706，就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示I和n有關(guān)系. 像這種利用統(tǒng)計量X2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個變量有關(guān)系”的方法稱為兩個變量 的獨立性檢驗.二、回歸分析構(gòu)造統(tǒng)計量nib=y=b x+a，其中:n-2 -公式作用：通過刻畫線性相關(guān)的兩變量之間的關(guān)系，估計和分析數(shù)據(jù)的情況，解釋一些實際 問題，以及數(shù)據(jù)的變化趨勢.2樣本相關(guān)系數(shù)的具體計算公式n召(Xir=- nL22xQi yy)n環(huán)yn X yn2 22 2in(x 2R n(y 2)的線性相關(guān)性越強；當(dāng)r的絕對值接近0時，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.規(guī)定當(dāng)|r|

4、ro.05時，認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系.公式聯(lián)系：（1）由于分子與回歸方程中的斜率b的分子一樣（這也給出了公式的內(nèi)在聯(lián)系以及公式的記法），因此，當(dāng)r0時，兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r7.879，所以有99.5%的把握說員工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”有關(guān)，可以認(rèn)為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關(guān)的.點評 在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及有關(guān)值的確定，避免混亂；把計算出的x2的值與臨界值作比較，確定出“I與H有關(guān)系”的把握程度.例3為了調(diào)查患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以上的人，統(tǒng)計結(jié)果為：患慢性氣管炎共有56人，患慢性氣管炎且吸煙的有43人，未患慢性氣管炎

5、但吸煙的有162人.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，分析患慢性氣管炎與吸煙在多大程度上有關(guān)系？解 根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)得到如下2X2列聯(lián)表：患慢性氣管炎未患慢性氣管炎總計吸煙43162205不吸煙13121134總計56283339-9 -由列聯(lián)表可以粗略估計出：在吸煙者中，有20.98%的患慢性氣管炎；在不吸煙者中，有9.70%-10 -的患慢性氣管炎兩個比例的值相差較大，所以結(jié)論“患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)”成立的可 能性較大.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),2339X43X121-13X162=56X283X205X1347.4696.635.所以有99%的把握認(rèn)為“患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)”.點評 對列聯(lián)表的比例進(jìn)行分析

6、，可粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系通過計算統(tǒng)計量X2,可以比較精確地給出這種判斷的可靠程度先收集數(shù)據(jù)，然后通過一些統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù) 進(jìn)行科學(xué)的分析，這是我們用統(tǒng)計方法解決實際問題的基本策略4巧解非線性回歸問題如果題目所給樣本點的分布不呈帶狀分布，即兩個變量不呈線性關(guān)系，那么，就不能直接利 用線性回歸方程建立兩個變量之間的關(guān)系，這時我們可以把散點圖和已經(jīng)學(xué)過的各種函數(shù)， 如幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等作比較，挑選出與這些散點擬合最好的函數(shù)， 然后利用變量置換，把非線性回歸方程問題轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的問題來解決，這是解決此 類問題的通法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.1.案例分析例 一個昆蟲的某項指標(biāo)

7、和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)如下表：溫度x/C2345678某項指5.7906.8108.19910.00112.19014.79017.801標(biāo)y得到-11 -試建立某項指標(biāo)y關(guān)于溫度x的回歸模型，并判斷你所建立的回歸模型的擬合效果. 分析 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，再由圖設(shè)出相應(yīng)的回歸模型.解 畫出散點圖如圖所示，樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，而是分布在某一條二次函 數(shù)曲線y=Bx2+A的周圍.令X=x2，則變換后的樣本點應(yīng)該分布在y=bX+a(b=B,a=A)的周圍.由已知數(shù)據(jù)可得變換后的樣本數(shù)據(jù)表：X491625364964某項指標(biāo)y5.7906.8108.19910.00112.

8、19014.79017.801計算得到線性回歸方程為y=0.199 94X+4.999 03.A22用x替換X,得某項指標(biāo)y關(guān)于溫度x的回歸方程y=0.199 94x+4.999 03.計算得r-0.999 999，幾乎為1，說明回歸模型的擬合效果非常好.點評 本題是非線性回歸分析問題，解決這類問題應(yīng)該先畫出散點圖，把它與我們所學(xué)過的 函數(shù)圖象相對照，選擇一種跟這些樣本點擬合的最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q轉(zhuǎn)化 為線性回歸分析問題，使之得以解決.2知識拓展常見的非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換方法：(1)幕型函數(shù)y=axm(a為正數(shù)，x，y取正值)解決方案：對y=axm兩邊取常用對數(shù)，有l(wèi)gy=lga+mgx，令u=Igy，v=Igx，則原式可變?yōu)閡=mv+lga，其中mlga為常數(shù)，該式表示u，v的線性函數(shù).指數(shù)型函數(shù)y=cax(a，c0，且a*1)解決方案：對y=cax兩邊取常用對數(shù)，則有Igy=lgc+xlga，令u=lgy，則原式可變?yōu)閡=xlga+lgc，其中l(wèi)ga和lgc為常數(shù)，該式表示u，x的線性函數(shù)與幕函數(shù)不同的是x保持不變，用y的對數(shù)lgy代替了y.k反比例函數(shù)y=-(k0)x1解決方