初三數(shù)學(xué)相似三角形典型例題(含答案)

1、初三數(shù)學(xué)相似三角形一相似三角形是初中幾何的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，本節(jié)復(fù)習(xí)的目標(biāo)是：1.理解線段的比、成比例線段的概念，會(huì)根據(jù)比例線段的有關(guān)概念和性質(zhì)求線段的長(zhǎng)或 兩線段的比，了解黃金分割。2.會(huì)用平行線分線段成比例定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、證明，會(huì)分線段成比。3.能熟練應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)解答有關(guān)的計(jì)算與證明題。4.能熟練運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念解決實(shí)際問題本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理。 本節(jié)的難點(diǎn)內(nèi)容是利用判定定理證明兩個(gè)三角形相似以及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用。相似三角形是平面幾何的主要內(nèi)容之一，在中考試題中時(shí)常與四邊形、圓的知識(shí)相結(jié)合構(gòu)成高分值

2、的綜合題，題型常以填空、選擇、簡(jiǎn)答或綜合出現(xiàn)，分值一般在10%左右，有時(shí)也單獨(dú)成題，形成創(chuàng)新與探索型試題；有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。二重要知識(shí)點(diǎn)介紹:2.比例性質(zhì):合比性質(zhì):3.平行線分線段成比例定理:1. 比例線段的有關(guān)概念：ac宀a:b - c:d 中,b d在比例式a、d叫外項(xiàng)，b、c叫內(nèi)項(xiàng)a、c叫前項(xiàng),b、d 叫后項(xiàng)，d 叫第四比例項(xiàng)，把線段 AB 分成兩條線段 段 AB 的黃金分割點(diǎn)。如果AC 和b=c,BC,使那么 b 叫做 a、d 的比例中項(xiàng)。AG=ABBC，叫做把線段AB 黃金分割，C 叫做線根本性質(zhì):adbc等比性質(zhì):m(b dn丸)定理：三條平行線截兩條直線， 所得的對(duì)應(yīng)線

3、段成比例，如圖:l1/I2H l3。那么ABBCDEEF，ABAC11例。3定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那 么這條直線平行于三角形的第三邊。4.相似三角形的判定：1兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似2兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似3三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似4如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角 邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角形相似5平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似6直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似5.相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對(duì)應(yīng)角相

4、等2相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例3相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比4相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比5相似三角形面積的比等于相似比的平方2推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比故應(yīng)選 C。利用平行線分線段成比例定理及推論求解時(shí)，一定要分清誰是截線、誰是被截【典型例題】例 1.(1)在比例尺是 1 : 8000000 的?中國(guó)行政區(qū)?地圖上，量得是 7.5 厘米，那么 A、B 兩城市的實(shí)際距離是 _千米。(2)小芳的身高是1.6m，在某一時(shí)刻，她的影子長(zhǎng)2m,此刻測(cè)得某建筑物的影長(zhǎng)是18 米，那么此建筑物的高是 _ 米。解：這是兩道與比

5、例有關(guān)的題目，都比較簡(jiǎn)單。 (1)應(yīng)填600(2)應(yīng)填 14.4。例 2.如圖，DE/ BC, EF/ AB,那么以下比例式錯(cuò)誤的選項(xiàng)是ADAECEEAA. AB-ACB.-CFFBDEADEFCFC. BCBDD. :AB CB分析：由DE/BC,EF/AB可知，A、BA、B 兩城市的距離、D都正確。而不能得到DE _ ADBC=_BD線，C中DE很顯然是兩平行線段的比，因此應(yīng)是利用三角相似后對(duì)應(yīng)邊成比BC二 /又v /PDC=/1 +/APD=/1+60二 / PDC=/ APBPD3AAPBPC AB二 AB=1+x=3 。二 ABC 的邊長(zhǎng)為+例 4.如圖：四邊形求證：AEF CEA(

6、2)分析：故要證明AEFCEA -只需證明兩個(gè)三角形中，夾 / AEF、 證明：(1)v四邊形 ABEGGEFH二 AB=BE=EF=FC= , / ABE=90Jfi共X例這一性質(zhì)來寫結(jié)論，即DEAD AEBCAB AC例 3.如圖，BP 1,CD在等邊ABC 中，P 為 BC 上一點(diǎn)， D 為 AC 上一點(diǎn)，且 / APD=60 ,上，求ABC的邊長(zhǎng)-3?解:ABC 是等邊三角形CDPB設(shè) PC=x , 貝 UAB=BC=1+x2C= / B=60ABEG GEFH HFCD 都是邊長(zhǎng)為a 的正方形，求證：/ AFB+ / ACB=45 因?yàn)?AEF、 CEA 有公:/ CEA 的兩邊對(duì)應(yīng)

7、成比例即可。HFCD 是正方形 AE 2a, EC 2a二 CEA s AEF(2) vAEF sCEA /AFE=/EACv四邊形 ABEG 是正方形 AD/ BC, AG=G E AG 丄 GE /ACB=ZCAD,/EAG=45 /AFB+ZACB=ZEAC+ZCAD=ZEAG ZAFB+ZACB=45 AEEF 2a2aAEEFECAE例 5.：如圖，梯形 ABCD 中, AD / BC, AC、BD 交于點(diǎn) 交 AB于 E,交 CD 于 FO, EF 經(jīng)過點(diǎn) O 且和兩底平行，B證明-AD / EF / BCOEAEOEEB BC二AB，AD_二AB OEOEAEEBAB1-BC A

8、D皿 AB _ AB_111 BC弋-OE同理：111BCAD_ OF11 OEOF OE=OF從本例的證明過程中，我們還可以得到以下重要的結(jié)論：AD/EF/1 11BCAD BCOEAD/EF/BC二- +-OE OF1EF求證:OE=OF2AD/EF/即1二 ABD ADEAB ADA DAEAD=AE AB-同理： ACDD可得:2AD=AFACAEAB=AFAC例 7.如圖，D ABC 中 BC 邊上的一點(diǎn)，/ CAD=/ B,假設(shè) AD=6, AB=8, BD=7,求 DC 的長(zhǎng)。分析：此題的圖形是證明比例中項(xiàng)時(shí)經(jīng)常使用的公邊共角的根本圖形，我們可以由根本圖形中得到的相似三角形，從而

9、得到對(duì)應(yīng)邊成比例，從而構(gòu)造出關(guān)于所求線段的方程，使問題得以解決。g _ 亡解：在厶 ADC 和厶 BAC 中 rv /CAD=/ B, /C=/C二AD3ABAC換，通過ABDADE，可得：ABAD2，于是得到AD2AEAD_JAE可得到AD2AF AC，故可得：口仃AEAE AB AF AC，即AC二-AE_AB證明:在 ABD 和ADE 中，/ ADB=/ AED=90/BAD=ZDAEAB，同理AF AB分析：觀察 AE、AF、AC、AB 在圖中的位置不宜直接通過兩個(gè)三角形相似加以解決。因 此可根據(jù)圖中直角三角形多，因而相似三角形多的特點(diǎn)，可設(shè)法尋求中間量進(jìn)行代這是梯形中的一個(gè)性質(zhì)，由此

10、可知，在可以求出第三條線段的長(zhǎng)度。AD、BC、EF 中，任何兩條線段的長(zhǎng)度，都ACAB例 6.：如圖， ABC 中，AD 丄 BC 于 D, DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 FAD DC AC AB AC RC又VAD=6 , AD=8 ,DCACDCAC7 DC+3BD=734例 8.AC _ 4AC 3I7 DC 4如圖，在矩形ABCD 中，解得：DC=9E 是 CD 的中點(diǎn)，BE 丄 AC 于 F，過 F 作 FG/ AB 交 AE 于 G,又VE 是 CD 的中點(diǎn)， Rt ADE Rt BCEDE=CE AE=BEVFG/AB AE AG BEBF AG=BF在 Rt A

11、BC 中，BF 丄 AC 于 F Rt BFC 旦 Rt AFB AF FB BFFC BF =AF FC2 AG=AF FC例 9.如圖， 用梯形 ABCD中， AD/ BC,假設(shè)/ BCD的平分線 邊形 AHCD的面積為 21，求 HBC 的面積。CH! AB 于點(diǎn) H, BH=3AH,且四2求證：AG=AF FC證明：在矩形 ABCD 中,/ ADC=/ BCE=90分析：因?yàn)閱栴}涉及四邊形AHCD 所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。解：延長(zhǎng) BA、CD 交于點(diǎn) PvCHXAB, CD 平分 / BCD二 CB=CP 且 BH=PHvBH=3AH PA: A

12、B=1 : 2 PA: PB=1 : 3vAD/BCPADPBCABC 的面積之比為:SPAD:SPBC- 1 : 9vSPCHSPAD1SPBC2S四邊形AHCD2:7S四邊形AHCD21SPAD54SHBCPBC27、填空題1.2.是_3.a2arb假設(shè)三角形三邊之比為cm-如圖，ABC 中，2bD、3: 5 : 7，與它相似的三角形的最長(zhǎng)邊是E 分別是 AB、AC 的中點(diǎn)， BC=6,那么DE=21cm，那么其余兩邊之和; ADE 與4.5.AE=6.線段 a=4cm,在厶 ABC 中，點(diǎn)b=9cm，那么線段D、E 分別在邊a、，b 的比例中項(xiàng)AB、AC 上，DE/ BC,如果 AD=8

13、, DB=6,cm。EC=9，那么三個(gè)數(shù)1,2 ,3，請(qǐng)你添上一個(gè)數(shù)，使它能構(gòu)成一個(gè)比例式，那么這個(gè)數(shù)是7. 如圖，在梯形EF=ABCD 中，AD/ BC, EF / BC,假設(shè) AD=12cm, BC=18cm, AE: EB=2: 3,那么8. 如圖，在梯形 ABCD 中，AD/ BC, / A=90, BD 丄 CD, AD=6, BC=10,那么梯形的面積為:1.如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是A. 9: 162. 在比例尺為的實(shí)際面積是 _410 mA.ab3. ，如圖,AEEC、選擇題3:4,B.3: 2 C. 31 : m 的某市地圖上，規(guī)劃出長(zhǎng)米 14210 mB.abC.那么它

14、們的對(duì)應(yīng)高的比是a 厘米，abm104DE/ BC, EF / AB,貝 U 以下結(jié)論:BC其中正確的比例式的個(gè)數(shù)是BEADABAFCBFr(BCCEEF DEkAABF人人C. 2 個(gè)D. 1 個(gè)A. 4 個(gè) B. 34.如圖，在ABC 中，AB=24,D E 三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與D. 3 : 7寬 b 厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，該園區(qū)2abmD.410AC=18，是 AC 上一點(diǎn)， AD=12，在 AB 上取一點(diǎn) E，使 A、ABC 相似，那么 AE 的長(zhǎng)是A.AEDsAACBC.BAEsAACE1B. ./AEBSACDD.AECsADAC _三、解答題：1. 如圖， AD/ EG/ BC

15、, AD=6, BC=9, AE: AB=2: 3，求 GF的長(zhǎng)。 ABC 中，D 是 AB 上一點(diǎn)，且一 B=3AD, / B=75 , / CDB=60 ,/7/FA. 16B. 145.如圖，在 Rt ABC 中，/ BAC=90那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是C. 16 或 14,D 是 BC 的中點(diǎn)，D. 16 或 9AE 丄 AD,交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求證:如圖，求證:ABCSACBDBEABC 的外接圓AC BC=BE CDO 的直徑，CD ABC 的高，f亠如圖，4 如圖，Rt ABC 中，/ ACB=90 , AD 平分/ CAB 交 BC 于點(diǎn) D,過點(diǎn) C 作 CE 丄 A

16、D 于E, CE 的延長(zhǎng)線交 AB 于點(diǎn) F，過點(diǎn) E 作 EG/ BC 交 AB 于點(diǎn) G , AE AD=16, AB _4 5,vBC=9,AD=6 EG=6,EF=2 GF=EG- EF=42 解：過點(diǎn) B 作 BE 丄 CD 于點(diǎn) E,v /CDB=60, /CBD=75(1)求證：CE=EF(2)求 EG 的長(zhǎng)一、填空題：1. 19: 132. 24參考答案3. 3 ； 1 : 44. 66.只要是使得其中兩個(gè)數(shù)的比值等于另外兩個(gè)數(shù)的比值即可，如:5. 122 2、7. 14.4 8.16 6二、 選擇題：1. C 2. D 3. C三、解答題：1 解:vAD/EG/ BCEG AE二在厶 ABC 中，有BC AB7EF BE在厶 ABD 中， 有AD ABvAE：AB=2:3 BE: AB=1 : 34. D 5. CEG2 12BC,EF AD二 / DBE=30 ,/CBE=ZCBD-/DBE=75-30=45CBE 是等腰直角三角形。vAB=3AD,設(shè) AD=k,那么AB=3k,BD=2kDE=k,BE -3k二BC6k二V二BD2k2BC _ 6k _3 j-lVBC6k2AB1fI3k _3BDBCBCABABC CBD3連結(jié) EC,vBC BC二 / E= / A又vBE 是OO 的直徑 /BCE=90又vCD 丄 AB /