靈敏度分析與實際問題

1、靈敏度分析與實際問題我們前面所討論的線性規(guī)劃問題都是靜態(tài)問題。也就是說，該問題 中的數(shù)字都是不能變化的常數(shù)值。然而在現(xiàn)實生活中，技術系數(shù)aij,價 值系數(shù)cj和資源系數(shù)bi都是可以改變的。改變的原因可能是外部環(huán)境和 內(nèi)部條件的改變，可能是一些必要的調(diào)整，也可能只是因為數(shù)據(jù)的來源 決定是數(shù)據(jù)不可能是一個確定的值，而是一個大概的范圍。那么在這些數(shù)據(jù)改變之后，原來的最優(yōu)解還是不是最優(yōu)？該系數(shù)改變 多少以內(nèi)最優(yōu)解保持不變？數(shù)據(jù)的改變引起的最優(yōu)值的改變?yōu)槎嗌?于是，我們引入了靈敏度問題。靈敏度問題就是指某一個系數(shù)變化，比如資源系數(shù)b/介值系數(shù)c,技術 系數(shù)可或者某一個條件變化，比如增加一個變量，增加一個

2、約束條件，引起的最優(yōu)解變化問題?；蛘哒f.這些變化對最優(yōu)解和最優(yōu)基的影響。靈敏度問題的討論能夠拓寬線性規(guī)劃問題的應用領域，增加該模型的 實際意義。因為現(xiàn)金生活中，我們要進行抽象的系統(tǒng)，各種條件是隨時間，地點 等因素變化，甚至會互相影響的復雜系統(tǒng)。顯然，靈敏度分析能讓線性 規(guī)劃問題更具實用性，以適應現(xiàn)實中的各種變化。一、資源數(shù)量變化分析1.1影子價格先看這樣一個簡單的線性規(guī)劃問題例1某工廠在計劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)I、II兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品 所需的設備臺時及A、B兩種原材料的消耗，如表所示。設備 128臺時原材料A 4016kg原材料B 04 12kg最優(yōu)解是（4, 2）這是一個已經(jīng)求解的線性規(guī)

3、劃問*21234567 H 9可見,y*l = 1. 5zy*2 = 0.125 ,y*3 = 0。這說明是其他條件不變的情況下，若設備增加一臺時，該廠按最優(yōu)計劃安 排生產(chǎn)可多獲利15元;原材料A增加lkg ,可多獲利0. 125元；原材料B增 加lkg,對獲利無影響。從圖可看到，設備增加一臺時，代表該約束條件的直線由移至相應的 最優(yōu)解由(4,2 )變?yōu)?4,2 .5 ),目標函數(shù)z =2x4 + 3x2. 5 = 15. 5，即比原來 的增大。目又暑原材料A增加lkg吋，代表該約束方舉的直線由移至：相 應的最優(yōu)解從(4,2 )變?yōu)?4. 25,1. 875 ),目標函數(shù)z = 2 x4. 2

4、5 + 3x 1. 875 = 14.125o比原來的增加0. 125o原材料B增加lkg時，該約束方程的直線由移至：這時的最 優(yōu)解不變。我們考慮對偶問題，對偶問題考慮的是，把擁有的資源出租，產(chǎn)生的估 價問題。這里我們把yi稱為影子價格，即邊際值。它表示最優(yōu)目標值隨 資源數(shù)量變化的變化率。影子價格有著很重要的現(xiàn)實意義。在對偶問題中，以影子價格出租資源，可以實現(xiàn)保本。所以，如果 市場價格高于影子價格，岀租資源就能夠獲利。也就是說，理性的來說，公司應該岀租這 些資源。相反，如果市場價格低于影子價格，購入這些資源就是獲利 的。于是，我們想到了中國古代的呂不韋，他就是在某種東西便宜時將 其買入，比如晴

5、天時的雨傘，在雨天的時候，即資源緊缺的時候又高價 出售從而獲利。古代呂不韋的從商之道就很好的說明了影子價格的這個 意義。更科學的來說，影子價格是資源最優(yōu)配置下的理想價格，與資源緊缺度相關。在上面所說的呂不韋的故事中，晴天的雨傘是富余的資源, 雨天的雨傘是緊缺的資源。商人需要的是對資源緊缺程度的敏銳察覺。 影子價格就能夠提供這種幫助。在市場的宏觀意義上來說，影子價格因 為是理論上的資源最優(yōu)配置下的理想價格，所以對市場具有調(diào)節(jié)作用。12資源bi變化資源數(shù)量變化的原因很多，包括人力,設備的調(diào)動。這些可能是決 策者做出的，為了最終優(yōu)化目標的一些調(diào)整。比如，抽調(diào)A地的幾臺設 備到B地，或者調(diào)動A地的人力

6、到B地。計算這樣的調(diào)整之后的最優(yōu)化解其實十分簡單。用來表示變化，最優(yōu)解的基變量。那么只要保持，即基變量保持， 只有值得變化，否則需要利用對偶單純形法繼續(xù)計算。首先確定在什么范圍內(nèi)變化時，最優(yōu)解會不變。是條件，如果不 符合這個條件，只要計算出，這是矩陣相乘。結(jié)果加到單純形表上的b 列后，再繼續(xù)用。二、價值系數(shù)變化一、價值縈數(shù)的變化可能是市場價格變化或者生產(chǎn)成本的變化引起的。 在市場經(jīng)濟中，市場價格的變化是非常普遍的。甚至幾乎是時刻在變化 的。在政治經(jīng)濟中，我們學到，市場的價格圍繞價值波動。價值系數(shù)變 化的靈敏度問題。可以很好的適應這一客觀規(guī)律。分析價值系數(shù)變化對于最優(yōu)解和最優(yōu)值的影響，首先要弄清

7、楚變化的系數(shù)Cj是非基變量的系數(shù)還是基變量的系數(shù)。cj是非基變量的系數(shù), 變化量為。若cj變化后最優(yōu)基不變，檢驗數(shù)，即，Cj只在增加上受到限制。Cj 增加時，對應的變量對目標函數(shù)的貢獻增加。增加到足夠大 時，檢驗數(shù)0.該變量入基，最優(yōu)解和最優(yōu)基變化。如果cj減少，對目標函數(shù)的貢獻減小，不會對最優(yōu)基產(chǎn)生變化。所 以要使最優(yōu)解和最優(yōu)基不改變，cj的范圍是，若cj是基變量系數(shù)，Cj變 化，使變化，使變化，所有檢驗數(shù)都變化舉例如下：某工廠使用五種生產(chǎn)方法，生產(chǎn)AB和C三種產(chǎn)品，有關數(shù)據(jù)如表1, 2 所示每生產(chǎn) 批方法產(chǎn)品產(chǎn)量單位售價12345（元）A3244dioB612145C265184資生產(chǎn) 源

8、方法資源消耗12345可取得數(shù)*工時（h） 機器小時 每批成本（元）04612801121150481930447-1有一個合同x要求至少生產(chǎn)110單位的A。設為使用第種生產(chǎn)方法的批數(shù)，為A的產(chǎn)量超過110單位的數(shù)字，為松弛公式為松弛機器小時，則求最大利潤的模型是：滿足48最優(yōu)解如表2030405450002026100.410-0.2-0.20.43016011.40.50-0.20.3-0.6458000.2-0.510.4-0.11.220305912.54580.54400-19-7.50-8-0.5-44我們考慮如下幾種互相獨立的情況，應用靈敏度分析的結(jié)論。(1)如果第2種生產(chǎn)方法的

9、每批成本提高到21元，是否會改變最 優(yōu)解？因為基變量，成本增加2元就是利潤減少2元，即要變動，的上下 限為：也就是-1.67因為減少2元超出下線，所以最優(yōu)解要改變。由上式可以 看出的下限是對應的列達到的，因此第2種生產(chǎn)方法的利潤下降5028.33元以下時，檢驗數(shù)第一個取得正數(shù)的非基變量為，即進入最優(yōu)解。有由表可以看岀，當=1,將分別增加0.2和0.1,將減 少0.3,是換岀變量，新最優(yōu)解為:=53=8+0.1=13三、技術系數(shù)變化技術系數(shù)的變化一般是由工藝變化，或者所用原材料的數(shù)量和配比 變化引起的A中元素發(fā)生變化(只討論N中某一列變化情況)。具體過程如下：設新的技術系數(shù)矩陣是。把改進工藝結(jié)構(gòu)

10、的產(chǎn)品看作；為產(chǎn)量。在表中 計算對應的列向量，以代替xl,計算和檢驗數(shù)然而，在這個問題中有這樣一些考慮: 有對應非基變量的情況。要分開討論。最后應該也會得出一個和第二個 問題中的范圍相似的范圍。在這個范圍內(nèi)，最優(yōu)解不會變化，只有最優(yōu) 值會變化。對于對應基變量的有資源已用完和資源未用完兩種情況；另外還然而經(jīng)過查閱資料，發(fā)現(xiàn)價值系數(shù)和資源系數(shù)的靈敏度分析早已得 到廣泛的應用，而后者由于缺乏算法理論上的深入探討一直被擱淺。其 實，忽略技術消耗系數(shù)靈敏度分析的線性規(guī)劃經(jīng)濟模型，其實用價值將 大打折扣。例如，在以“純收益最佳為目標的模型中，價值系數(shù)和約束 敞亮的靈敏度分析只能說明注入產(chǎn)品價格，資源約束量

11、等經(jīng)濟因素的變 動對模型的影響程度，而設計某項生產(chǎn)的單位產(chǎn)品對原料、能源、資 金、勞動力等資源消耗量的變動對模型的影響程度則必須由技術消耗細 數(shù)的靈敏度分析的角度來解決。針對這一問題，有許多專家學者提出了 很多算法，使計算更具有效性。任這里就不在深入探討了。在現(xiàn)實生活生產(chǎn)中，完全有可能加入一個新的約束條件。比如，公 司的老板提出一個新的要求。注意，這里的要求，可能在線性規(guī)劃模型 中被抽象成一個約束而不是目標。約束指的是，達到就可以了。比如一 個新的質(zhì)量標準，每10萬個產(chǎn)品中只能岀現(xiàn)多少個次品。超出沒有用 處，但是不達到就不行。而目標是要求優(yōu)化的，就像，每10萬個產(chǎn)品 中，次品越少越好。增加約束一個之后，應把最優(yōu)解帶入新的約束，若滿足則最優(yōu)解不 變，否則填入最優(yōu)單純形表作為新的一行，引入一個新的非負變量（原 約束若是小于等于形式可引入非負松弛變量，否則引入非負人工變 量），并通過矩陣行變換把對應基變量的元素變?yōu)?,進一步用單純形 法或?qū)ε紗渭冃畏ㄇ蠼?。四、總結(jié)在析和管理決策領域中，線性規(guī)劃模型是一種實用價值很高的數(shù) 學模