北京市西城區(qū)2016年高三一?？荚嚁?shù)學(xué)理試題

1、北京市西城區(qū)2016年高三一模試卷數(shù) 學(xué)（理科） 2016.4第卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1設(shè)集合，集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）2. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，則曲線C是（ ） （A）關(guān)于軸對(duì)稱的圖形 （B）關(guān)于軸對(duì)稱的圖形（C）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形 （D）關(guān)于直線對(duì)稱的圖形 3. 如果是定義在上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為偶函數(shù)的是（ ） （A） （B） （C） （D）輸出是否 輸入A,開始結(jié)束4. 在平面直角坐標(biāo)系中，向量(1, 2)，(2, m) ， 若O, A,

2、B三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則（ ） （A） （B） （C） （D）5. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的分別為0, 1，則輸出的（ ）（A）4 （B）16 （C）27 （D）366. 設(shè)，則“”是“”的（ ） （A）充分而不必要條件 B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件Oxy7. 設(shè)函數(shù)（，是常數(shù)，），且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則有（ ） （A） （B） （C） （D）BB1CDC1D1A1A8. 如圖，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)分別在棱,上，且平面平面，為內(nèi)一點(diǎn)，記三棱錐的體積為V，設(shè)，對(duì)于函數(shù)，則（ ） （A）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最大值 （B）函數(shù)在上是減函數(shù) （C）函數(shù)

3、的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 （D）存在，使得（其中為四面體的體積）第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分側(cè)(左)視圖正(主)視圖俯視圖229. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，且，則_.10已知等差數(shù)列的公差， ，則_；記的前項(xiàng)和為，則的最小值為_.11若圓與雙曲線C：的漸近線相切，則_；雙曲線C的漸近線方程是_.12. 一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體，被一個(gè)平面截去一部分后，所得幾何體的三視圖如圖所示，則該截面的面積是_.13. 在冬奧會(huì)志愿者活動(dòng)中，甲、乙等5人報(bào)名參加了A, B, C三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，因工作需要，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，且甲不能參加A, B

4、項(xiàng)目，乙不能參加B, C項(xiàng)目，那么共有_種不同的選拔志愿者的方案.（用數(shù)字作答）14. 一輛賽車在一個(gè)周長(zhǎng)為3 km的封閉跑道上行駛，跑道由幾段直道和彎道組成，圖1反映了賽車在“計(jì)時(shí)賽”整個(gè)第二圈的行駛速度與行駛路程之間的關(guān)系 （圖1） （圖2）根據(jù)圖1，有以下四個(gè)說(shuō)法： 在這第二圈的2.6 km到2.8 km之間，賽車速度逐漸增加； 在整個(gè)跑道中，最長(zhǎng)的直線路程不超過(guò)0.6 km； 大約在這第二圈的0.4 km到0.6 km之間，賽車開始了那段最長(zhǎng)直線路程的行駛； 在圖2的四條曲線（注：S為初始記錄數(shù)據(jù)位置）中，曲線B最能符合賽車的運(yùn)動(dòng)軌跡.其中，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是_.三、解答題：本大題共

5、6小題，共80分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿分13分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c. 設(shè)，.（）若，求的值；（）求的值.16（本小題滿分13分）O 體育成績(jī) 45 55 65 75 85 95u142uuuuuuuuu4121068各分?jǐn)?shù)段人數(shù)某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段，進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績(jī)的折線圖（如下）.（）體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”. 已知該校高一年級(jí)有1000名學(xué)生，試估計(jì)高一全年級(jí)中“體育良好

6、”的學(xué)生人數(shù)；（）為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況，現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)诤偷臉颖緦W(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績(jī)?cè)诘母怕剩唬ǎ┘僭O(shè)甲、乙、丙三人的體育成績(jī)分別為，且分別在，三組中，其中當(dāng)數(shù)據(jù)的方差最小時(shí)，寫出的值.（結(jié)論不要求證明）（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）17（本小題滿分14分）如圖，四邊形是梯形，四邊形為矩形，已知，.ABCDD1C1（）求證：平面；（）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（）設(shè)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），判斷直線與直線能否垂直？并說(shuō)明理由.18（本小題滿分13分）已知函數(shù)，且. （）求的值及的單調(diào)區(qū)間； （）若關(guān)于x的方程存在兩不相等個(gè)正實(shí)數(shù)根

7、，證明：19（本小題滿分14分）已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（）求橢圓的方程和離心率；（）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且在y軸的右側(cè)，若，求四邊形面積的最小值.20（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為m，則將數(shù)列和的距離定義為.（）給出數(shù)列和數(shù)列的距離； （）設(shè)為滿足遞推關(guān)系的所有數(shù)列的集合，和為A中的兩個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均為m，若， 和的距離小于，求m的最大值；（）記是所有7項(xiàng)數(shù)列或的集合，且中任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3，證明：中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.答案解析1.【答案】C【解答】解：由，解得又故選：C2.【答案】A【解答】解：由得表示圓心為，半徑為的圓所以曲線是關(guān)于軸對(duì)稱的

8、圖形故選：A3.【答案】B【解答】是奇函數(shù)，為奇函數(shù)是偶函數(shù)故選：B4.【答案】B【解答】,三點(diǎn)能構(gòu)成三角形與不共線又，故選：B5.【答案】D【解答】解：由程序框圖知，第1次循環(huán)，,，第1次循環(huán)，,，第1次循環(huán)，,此時(shí)，跳出循環(huán)輸出故選：D6.【答案】A【解析】由，得是減函數(shù)，是減函數(shù)是減函數(shù)又即“”等價(jià)于“”又“”是“”的充分不必要條件故選：A7.【答案】D【解答】解：由函數(shù)的圖象可知，.結(jié)合圖象知，在即上單調(diào)遞減，且關(guān)于對(duì)稱又故選：D8.【答案】A【解答】解：設(shè)四棱錐的高為，四棱錐的高為面平面,，即令令，得或時(shí)，單增,時(shí)，單減當(dāng)時(shí)，有最大值，即有最大值故選：A二、填空題9【答案】【解答】

9、復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，且，故答案為10【答案】；【解答】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，解得，；，的最小值為故答案為：； 11【答案】， 【解答】雙曲線的漸近線方程為，即，圓與雙曲線的漸近線相切，由，解得，故雙曲線的漸近線方程為故答案為：，12【答案】【解答】該幾何體的直觀圖如圖所示：因此截面為，由題可知，中邊上的高等于，所以截面面積為故答案為：13【答案】【解答】若甲、乙二人都參加了，則有種分配方案；若甲、乙二人中只有一個(gè)人參加，則有種分配方案；若甲、乙二人都不參加，則有種分配方案；共有種分配方案故答案為：14【答案】【解答】由圖看，在到之間，賽車速度從逐漸增加到，對(duì)；從到這段，賽車應(yīng)該是直道加速到平

10、穩(wěn)行駛，最長(zhǎng)直線路程超過(guò)，錯(cuò)；從到之間，賽車開始最長(zhǎng)直線路程行駛，錯(cuò)；從圖看，賽車先直線行駛一小段，然后減速拐彎，然后直線行駛一大段距離，再減速拐彎，再直線行駛一大段，拐彎后行駛一中段距離，曲線最符合，對(duì)故答案為：15（本小題滿分13分） （）解：因?yàn)?， 由正弦定理 ， 得 . 3分 由余弦定理 及， 5分 得 ， 所以 ， 解得 . 7分（）解：由，得. 所以 . 8分 即， 11分 所以， 所以. 13分16（本小題滿分13分）（）解：由折線圖，知樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有人，2分 所以該校高一年級(jí)學(xué)生中，“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約有人. 4分 （）解：設(shè) “至少有1人體育成

11、績(jī)?cè)凇睘槭录?5分由題意，得， 因此至少有1人體育成績(jī)?cè)诘母怕适? 9分 （）解：, , 的值分別是為, , ；或, , . 13分17（本小題滿分14分）（）證明：由為矩形，得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?2分同理平面，又因?yàn)?，所以平面平? 3分又因?yàn)槠矫妫云矫? 4分（）解：由平面中，得，又因?yàn)椋云矫?，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，且底面中與相交一點(diǎn)，所以平面，因?yàn)?，所以平?過(guò)在底面中作，所以兩兩垂直，以分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 6分則，所以,.ABCDD1C1P yxz設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 由，得 令，得. 8分易得平面的法向量. 所以.即平面與平面所成的

12、銳二面角的余弦值為. 10分（）結(jié)論：直線與不可能垂直. 11分證明：設(shè)，由， 得， . 12分 若，則，即， 因?yàn)椋?所以，解得，這與矛盾. 所以直線與不可能垂直. 14分18.（本小題滿分13分）（）解：對(duì)求導(dǎo)，得， 2分 所以，解得. 3分 故，. 令，得.當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：00所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為. 5分（）解：方程，即為， 設(shè)函數(shù). 6分 求導(dǎo)，得 由，解得，或. 7分 所以當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表所示：0 所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 9分 由，得.又因?yàn)?，所?不妨設(shè)（其中為的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根）， 因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，且， 所以. 11分 同

13、理根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且， 可得， 所以， 即 . 13分19（本小題滿分14分）（）解：由題意，橢圓C：， 1分 所以， 故，解得， 所以橢圓的方程為. 3分因?yàn)椋?所以離心率. 5分（）解：設(shè)線段的中點(diǎn)為， 因?yàn)?，所以?7分 由題意，直線的斜率存在，設(shè)點(diǎn)， 則點(diǎn)的坐標(biāo)為， 且直線的斜率， 8分 所以直線的斜率為， 所以直線的方程為：. 10分 令，得，則， 由，得， 化簡(jiǎn)，得. 11分 所以四邊形的面積 12分 . 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立. 所以四邊形面積的最小值為. 14分 20（本小題滿分13分）（）解：由題意，數(shù)列和數(shù)列的距離為7. 2分（）解：設(shè)，其中，且. 由，得， 所以， 因此A中數(shù)列的項(xiàng)周期性重復(fù)，且每隔4項(xiàng)重復(fù)一次. 4分 所以中，（）， 所以中，（）. 5分 由，得項(xiàng)數(shù)m越大，數(shù)列和的距離越大. 由， 6分 得. 所以當(dāng)時(shí)，. 故m的最大值為. 8分（）證明：假設(shè)中的元素個(gè)數(shù)大于或等于17個(gè). 因?yàn)閿?shù)列中，或， 所以僅由數(shù)列前三項(xiàng)組成的數(shù)組有且只有8個(gè)：，. 那么這17個(gè)元素（即數(shù)列）之中必有三個(gè)具有相同的. 10分 設(shè)這三個(gè)數(shù)列分別為； ，其中，.