多動點綜合題中等腰三角形的專題研究

1、多動點綜合題中等腰三角形的專題研究廣東省東莞市光明中學(xué)許昌動態(tài)幾何題是各地中考“壓軸題”的亮點之一。這類題型的信息量大，經(jīng)常把數(shù)與方程、函數(shù)與幾何、函數(shù)與解直角三角形、函數(shù)與面積等聯(lián)系在一起。解題時要用運動和變化的眼光去觀察、思考、研究問題，把握圖形運動、變化的全過程，綜合運用函數(shù)、方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想去解決問題。如果把中考數(shù)學(xué)的壓軸題比喻成皇后頭上的皇冠的話，壓軸題中的壓軸問題就是皇后皇冠上的一顆最璀璨奪目的明珠。近幾年的多個地區(qū)中考試題壓軸題的最后一問，都是以多動點的幾何背景為載體，探究等腰三角形的問題。本文通過對幾何背景綜合題中等腰三角形的專題研究，尋找解題規(guī)律，了解、掌握

2、在幾何背景綜合題中等腰三角形的常見解法，并感悟解幾何背景綜合題的一般思考方法，以供九年級師生復(fù)習(xí)參考之用。一、兩個動點在一個角的兩邊上“逆向”運動，另一個定點在角的頂點上的等腰三角形【案例1】（2008山西）如圖（1），已知直線的解析式為，直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，直線經(jīng)過B、C兩點，點C的坐標為（8，0），又已知點P在x軸上從點A向點C移動，點Q在直線從點C向點B移動。點P、Q同時出發(fā)，且移動的速度都為每秒1個單位長度，設(shè)移動時間為t秒（）。（1）求直線的解析式。（2）設(shè)PCQ的面積為S，請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式。（3）試探究：當(dāng)t為何值時，PCQ為等腰三角形？圖（1）解：（1

3、）過程略，答案：的解析式為（2）過程略，答案：=（3）【分析】確定定點、動點、運動方向這類問題首先要弄清楚對于PCQ而言，那些是頂點是動點，那些點是定點，動點在哪條線上運動，運動方向是怎樣的，所以我們在圖（1）上標出了PCQ的動點（P、Q）和定點（C），以及P、Q的運動方向，由此我們可以看出這個動點三角形屬于兩個動點在一個角的兩條邊上“逆向”運動，另一個定點在角的頂點上的等腰三角形。畫出動態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖（“動”中取“靜”）按照運動時間先后的順序，往往存在三種情況，這里體現(xiàn)了分類討論的思想，PCQ的三邊兩兩分別相等，如圖QP=QC，CP=CQ，PC=PQ，這個過程需要讀者在備用圖中

4、試畫。只有畫出來才能求出來，所以這一步在整個問題中是相當(dāng)關(guān)鍵的，注意不要重復(fù)和遺漏。在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程根據(jù)題意我們可知，很多和問題有關(guān)的邊長都可以用時間的式子表示出來，PC=，CQ=，建立等式模型時，我們往往要運用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似，但利用以上的方法所需的基本圖形是直角三角形，所以我們這里要把一個等腰三角形轉(zhuǎn)化為兩個全等的直角三角形。如圖，當(dāng)QC=QP，過Q作QD軸于D，D點為PC中點，則CD=PC=，圖形中可確定三邊的RtBOC，恰好這個直角三角形與我們把等腰三角形QPC分割出來的RtQDC公共BCO，根據(jù)“A”型相似或平行相

5、似，則QDCBOC，即，解得如圖，當(dāng)CP=CQ時，這時CP與CQ正好也在BCO的兩邊上，解得如圖，當(dāng)PC=PQ時，過P作PE于E，則CE=CQ=，這時分割出的RtPEC與已知的RtBOC仍然公共BCO，并形成斜“A”型相似，則PECBOC，即，解得，綜上所述，當(dāng)，或5，或時，（都滿足），PCQ為等腰三角形【總結(jié)】以上題目是動點和函數(shù)思想相結(jié)合以幾何圖形為背景，以動點為元素,構(gòu)造動態(tài)型幾何問題。解此類題目，應(yīng)從相關(guān)圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分類討論來解決。此類問題較多地關(guān)注學(xué)生對圖形性質(zhì)的理解,用動態(tài)的觀點去看待一般函數(shù)和圖形結(jié)合的問題,具有較強的綜合性?！揪毩?xí)】（2009濟南）如圖（2），在梯形中，

6、,圖（2）動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設(shè)運動的時間為秒（1）求的長。（過程略，）（2）當(dāng)時，求的值。(過程略，)（3）試探究：為何值時，為等腰三角形。解：（3）【分析】確定定點、動點、運動方向（請讀者自行在圖（2）中完成）畫出動態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖（請讀者自行在練習(xí)圖中完成）在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程點撥：此問所需要確定三邊的直角三角形，目標就鎖定到梯形分割出右邊的這個直角三角形，這個三邊都可以求出的直角三角形還與動態(tài)公共C，可利用案例一的討論方法求出相應(yīng)的

7、時間，注意這題中M、N兩個動點的速度不一樣了，此問答案為當(dāng)、或時，為等腰三角形，過程請讀者自行完成?！景咐?】（2009仙桃）如圖（3），直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，已知ADAB3，BC4，動點P從B點出發(fā)，沿線段BC向點C作勻速運動；動點Q從點D 出發(fā)，沿線段DA向點A作勻速運動過Q點垂直于AD的射線交AC于點M，交BC于點NP、Q兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度當(dāng)Q點運動到A點，P、Q兩點同時停止運動設(shè)點Q運動的時間為t秒(1)求NC，MC的長(用t的代數(shù)式表示)；（過程略，）(2)當(dāng)為何值時，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？(過程略，)(3)是否存在某一時刻

8、，使射線QN恰好將的面積和周長同時平分？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由；（過程略，不存在）(4)探究：為何值時，為等腰三角形？解：（3）【分析】確定定點、動點、運動方向由題意可知Q、M、N三點在同一條直線上，M、N隨著Q點的移動而移動畫出動態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖畫出動態(tài)的三種情況，如圖、在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程此問所用到的方法和案例1有所不同，這時只知道P、Q兩個動點的速度，所以動態(tài)的CM邊不能直接用的式子表示出來，此題的PC=，CN=，接下來就要圍繞者PC，CN兩邊來建立方程。如圖，當(dāng)MP=MC，而MNPC， 則N點為PC中

9、點，有PC=2NC，有解得：=如圖，當(dāng)CM=CP時，CM=CP=，CN=，而由圖中可以知RtMNC與RtABC公共ACB，根據(jù)“A”型相似或平行相似，解得：如圖，當(dāng)PM=PC時，PM=PC=，則PN=CNPC=， RtMNC與RtABC公共ACB，本應(yīng)該利用這種平行相似關(guān)系建立方程，可RtMNC只有一邊CN可以由表示出來，只有利用其它方法建立等式，由上可知RtMNP中的PM、PN都可以用表示出來，只差最后一邊MN沒有用表示出來，這里剛好可以利用RtMNC與RtABC相似把MN也用表示出來，,則MN=，最后我們利用在RtMNP中存在勾股定理，完成建立方程的步驟，,，解得（-1舍）綜上所述當(dāng)、或時

10、，為等腰三角形二、兩動點在兩條平行線上同向運動，另一個動點在另一邊上運動的等腰三角形問題【案例3】（2008溫州）如圖（4），在RtABC中，A90?，AB6，AC8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方向運動，過點P作PQBC于Q，過點Q作QRBA交AC于R，當(dāng)點Q與點C重合時，點P停止運動設(shè)BQx，QRy（1）求點D到BC的距離DH的長；(過程略，)（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍，過程略，）；（3）是否存在點P，使PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由解：（3）【分析】確定定點、動點、運動方向由題意可知，點Q

11、隨點P向右移動而向右平行移動，而點R又隨Q的移動而移動。畫出動態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖畫出動態(tài)的三種情況，如圖、案例3（3）圖案例3（3）圖案例3（3）圖在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程根據(jù)題意我們可知，PQ=，BQx，RQ=，建立等式模型時，和案例1相同，我們這里要把一個等腰三角形轉(zhuǎn)化為兩個全等的直角三角形。如圖，當(dāng)PQ=PR，過P作PMRQ于M，M點為RQ中點，則QM=RQ=，由題意可知1+2=90°，C+B=90°，2=B，則1=C，即RtQMPRtCAB，即，解得如圖，當(dāng)QP=QR時，=，解得如圖，當(dāng)RP=RQ時，過R作

12、RNPQ于N，則NQ=PQ=，NQR+RQC=90°，RQC +C=90°,則NQR=C，則RtQNRRtCAB，即，解得，綜上所述，當(dāng)為，或6，或時，PQR為等腰三角形?！揪毩?xí)】（2009江西）如圖（5），在等腰梯形中，是的中點，過點作交于點，.（1）求點到的距離；(過程略，到的距離為)（2）點為線段上的一個動點，過作交于點，過作交折線于點，連結(jié)，設(shè).當(dāng)點在線段上時，如圖（6），的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長；若改變，請說明理由；（過程略，的周長=）當(dāng)點在線段上時，如圖（7），是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由.解：

13、（3）【分析】確定定點、動點、運動方向（請讀者自行在圖（7）中完成）畫出動態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖（請讀者自行在練習(xí)圖中完成）在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程點撥：當(dāng)點N在線段DC上運動時，PMN的形狀發(fā)生改變，但MNC恒為等邊三角形。過E作EGBC于G，PM=EG=，GM=EP=，MN=NC=MC=5-，此問用到的方法與案例3類似，只不過這題B的度數(shù)更為特殊，由等腰三角形分解為直角三角形就為30°的直角三角形，所以用銳角三角函數(shù)比相似更容易建立方程，此問答案為當(dāng)、或時，PMN為等腰三角形，過程請讀者自行完成。三、兩動點在同一直線上運動，

14、另一動點在另一邊上運動的等腰三角形問題【案例4】（2009懷化）如圖（8），在直角梯形OABC中， OACB，A、B兩點的坐標分別為A（15，0），B（10，12），動點P、Q分別從O、B兩點出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度沿OA向終點A運動，點Q以每秒1個單位的速度沿BC向C運動，當(dāng)點P停止運動時，點Q也同時停止運動線段OB、PQ相交于點D，過點D作DEOA，交AB于點E，射線QE交軸于點F設(shè)動點P、Q運動時間為t（單位：秒）（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PABQ是等腰梯形，請寫出推理過程；（過程略，t =）（2）當(dāng)t=2秒時，求梯形OFBC的面積；（過程略，S=174）（3）當(dāng)t為何值時，PQF

15、是等腰三角形？請寫出推理過程解：（3）【分析】確定定點、動點、運動方向點P、F同向向x軸右移動，點Q在與x軸平行的BC上向左移動畫出動態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程點撥：此題由于動態(tài)PQF的三邊任何時候都可以表示出來，所以分析可以忽略，直接把三邊表示出來（表示三邊的過程用到了相似與勾股定理），令其兩兩分別相等建立方程。由題意可知QB=t，OP=2t，可推到出AF=2t，進而PF=15-2t+2t=15，QP=，QF=當(dāng)PQ=PF時，則=15，解得或當(dāng)QP=QF時，則=，解得當(dāng)FQ=FP時，則=15，解得或（舍）綜上所述，當(dāng)

16、，時，PQF是等腰三角形【拓展】（2009江蘇）如圖（9-1），已知射線DE與軸和軸分別交于點和點動點從點出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿軸向左作勻速運動，與此同時，動點P從點D出發(fā)，也以1個單位長度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運動設(shè)運動時間為秒（1）請用含的代數(shù)式分別表示出點C與點P的坐標；（答案：，）（2）以點C為圓心、個單位長度為半徑的與軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），連接PA、PB當(dāng)與射線DE有公共點時，求的取值范圍；（答案：）當(dāng)為等腰三角形時，求的值解：（2-2）【分析】確定定點、動點、運動方向A、B同向向x軸左移動，P點由點D向點B運動畫出動態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)與相似關(guān)系建立方程點撥：此題由于動態(tài)PAB的三邊任何時候都可以表示出來，所以分析可以忽略，直接把三邊表示出來（表示三邊的過程用到了相似與勾股定理），令其兩兩分別相等建立方程。如圖（9-2）由題意可知MC=t，BC=CA=，則MB=BC=CA=，進而AB=t，OA=，OB=,又PD=t，由相似可知PQ=，QD=，OQ=QP=QF=此問的答案為當(dāng)，時，PAB是等腰三角形，過程請讀者自行完成。新課程實施以來，以動點幾何為背景的壓軸題，以等腰三角形為重要考點，是近年來中考壓軸題中的一種重要題型。這類試題