函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、函數(shù)的單調(diào)性一、 教學(xué)內(nèi)容的分析1教材的地位和作用首先，§1.3函數(shù)的單調(diào)性是高中新課程標(biāo)準(zhǔn)人教版必修一第一章集合與函數(shù)概念的第三節(jié)。學(xué)生對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)共分為三個(gè)階段，第一階段是在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上對(duì)增減性有一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí)；第二階段是在高一進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義，從數(shù)和形兩個(gè)方面理解單調(diào)性的概念；第三階段則是在高三利用導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性.高一單調(diào)性的學(xué)習(xí)，既是初中學(xué)習(xí)的延續(xù)和深化，又為高三的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)其次，學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的必然性。函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念，函數(shù)的表示法基礎(chǔ)上，為了更好的把握變化規(guī)律，于是我們必然要研究學(xué)習(xí)函數(shù)的性

2、質(zhì)。最后，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是研究學(xué)習(xí)函數(shù)的值域、圖像、解不等式、求極限、解決參數(shù)恒成立等其它數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)，是解決數(shù)學(xué)問題的常用工具，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要素材.2教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性,學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面:首先，要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言去刻畫圖象的上升與下降,把對(duì)單調(diào)性直觀感性的認(rèn)識(shí)上升到理性的高度, 這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生來說比較困難.其次，單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的. 根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱對(duì)單調(diào)性的教

3、學(xué)要求，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的概念，判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性；難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生歸納并抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性.二、 教學(xué)目標(biāo)的確定根據(jù)本課教材的特點(diǎn)、教學(xué)大綱對(duì)本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，我從三個(gè)方面確定了以下教學(xué)目標(biāo)：1使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法2通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力；通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力 3通過知識(shí)的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣；讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到

4、抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程三、 教學(xué)方法的選擇1教學(xué)方法本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知水平，主要采取教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，培養(yǎng)能力.2教學(xué)手段 教學(xué)中使用了多媒體投影和計(jì)算機(jī)來輔助教學(xué)目的是充分發(fā)揮其快捷、生動(dòng)、形象的特點(diǎn)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對(duì)問題的理解和認(rèn)識(shí)四、 教學(xué)過程的設(shè)計(jì)為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我把教學(xué)過程設(shè)計(jì)為四個(gè)階段：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題；歸納探索，形成概念；掌握證法，適當(dāng)延展；歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí).具體過程如下： (一)創(chuàng)設(shè)情境，引入課題概念的形成主要依靠對(duì)感性材料的抽象概括，只有學(xué)

5、生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象有了豐富具體經(jīng)驗(yàn)以后，才能使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行主動(dòng)的、充分的理解，因此在本階段的教學(xué)中，我從具體材料_橋的形狀入手，使學(xué)生體會(huì)到研究函數(shù)單調(diào)性的必要性，明確本課我們要研究和學(xué)習(xí)的課題，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)探究的精神.然后，我指出生活中我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化，并讓學(xué)生舉出一些實(shí)際例子（如燃油價(jià)格等）. 隨后進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生歸納：所有這些數(shù)據(jù)的變化，用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小 (二)歸納探索，形成概念在本階段的教學(xué)中，為使學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)概念的發(fā)生與發(fā)展過程和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)歷觀察、歸納、抽象的探究過程，加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，我設(shè)計(jì)

6、了三個(gè)環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生分別完成對(duì)單調(diào)性定義的三次認(rèn)識(shí).1借助圖象，直觀感知本環(huán)節(jié)的教學(xué)主要是從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，即從學(xué)生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認(rèn)識(shí).在本環(huán)節(jié)的教學(xué)中，我主要設(shè)計(jì)了兩個(gè)問題：問題1：分別作出函數(shù)的圖象，并且觀察自變量變化時(shí)，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象從左向右的變化趨勢在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，獲得信息：第一個(gè)圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個(gè)圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學(xué)生明確，對(duì)于自變量變化時(shí)，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)。二次函數(shù)函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明，通

7、過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)學(xué)生直觀上從圖像體驗(yàn)函數(shù)的單調(diào)性。問題2：列表描述f（x）=x2隨x的變化函數(shù)值得變化特征：x-3-2-10123f(x)9410149以學(xué)生熟悉的二次函數(shù)f(x) =x2為例結(jié)合問題1的函數(shù)圖像特征，讓學(xué)生從數(shù)值變化的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性。問題3：對(duì)于一般的函數(shù)f(x)如何用符號(hào)語言描述x與f(x)上升（下降）的這種情況？（探究規(guī)律，理性認(rèn)識(shí)讓學(xué)生展開討論交流）2抽象思維，形成概念本環(huán)節(jié)在前面研究的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認(rèn)知過程。教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)

8、符號(hào)語言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學(xué)生類比得到減函數(shù)的定義.然后我指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對(duì)定義中關(guān)鍵的地方進(jìn)行強(qiáng)調(diào).3.常見函數(shù)的單調(diào)性：y=kx+b分k0：函數(shù)單調(diào)遞增k0：函數(shù)單調(diào)遞減y=ax2+bx+c分a0:對(duì)稱軸單調(diào)遞減，單調(diào)遞增a0對(duì)稱軸單調(diào)遞增，單調(diào)遞減k>0, 單調(diào)遞減，單調(diào)遞減；k<0, 單調(diào)遞增，單調(diào)遞增。引申：在區(qū)間A、B都有相同的單調(diào)性問：是否一定有單調(diào)性？（三）掌握證法，適當(dāng)延展本階段的教學(xué)主要是通過對(duì)例題和練習(xí)的思考交流、分析講解以及反思小結(jié)，使學(xué)生初步掌握根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生探究定義的等價(jià)形式，對(duì)證明方法

9、做適當(dāng)延展.例1P-29課本例題1培養(yǎng)學(xué)生從圖像觀察函數(shù)單調(diào)性，同時(shí)學(xué)生有可能有這樣的疑問：在兩個(gè)區(qū)間的公共點(diǎn)處，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？這里需要告知同學(xué)們：單獨(dú)的一個(gè)點(diǎn)，函數(shù)值是唯一的確定常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題。第二：函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間分別有相同的單調(diào)性，不能說函數(shù)在這兩個(gè)區(qū)間的并集上有單調(diào)性。第三：有的函數(shù)有單調(diào)區(qū)間，有的函數(shù)定義域就根本不是區(qū)間，沒有單調(diào)性。例2. P-29課本例題2.此題的目的：一是利用函數(shù)單調(diào)性證明物理學(xué)中的波意耳定律，體現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的初步應(yīng)用，第二：明確用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)性的基本步驟。在引入導(dǎo)數(shù)后，用定義證明單調(diào)性的作用已經(jīng)有所

10、降低，我選擇主要是考慮讓學(xué)生對(duì)證明過程有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí).證明過程的教學(xué)分為三個(gè)環(huán)節(jié)：難點(diǎn)突破、詳細(xì)板書、歸納步驟.1難點(diǎn)突破對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的證明，大部分學(xué)生能完成取值和求差兩個(gè)步驟:因此學(xué)生的難點(diǎn)主要是兩個(gè)函數(shù)值求差后的變形方向以及變形的程度.問題主要集中在兩個(gè)方面:一方面部分學(xué)生不知道如何變形,不敢動(dòng)筆；另一方面部分學(xué)生在變形不徹底,理由不充分的情形下就下結(jié)論.針對(duì)這兩方面的問題，教學(xué)中，我組織學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生明確變形的主要思路是因式分解，考慮判斷符號(hào).2詳細(xì)板書在上面分析的基礎(chǔ)上，我對(duì)證明過程進(jìn)行規(guī)范、完整的板書，引導(dǎo)學(xué)生注意證明過程的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.3歸納步

11、驟在板書的基礎(chǔ)上，我引導(dǎo)學(xué)生歸納利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟(設(shè)元,求差,變形,斷號(hào),定論).通過對(duì)證明過程的分析，使學(xué)生明確每一步的必要性和目的，特別是第三步，讓學(xué)生明確變形的方法以及變形的程度，幫助學(xué)生掌握方法，提高學(xué)生的推理論證能力為了鞏固用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法，強(qiáng)化解題步驟，形成并提高解題能力，我設(shè)計(jì)了課堂練習(xí)：問題：除了用定義外，如果證得對(duì)任意的，且，有，能斷定函數(shù)在上是增函數(shù)嗎?教學(xué)過程中，我引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性然后，讓學(xué)生嘗試用這種定義等價(jià)形式證明之前的課堂練習(xí).這種方法進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為今后用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆（四）歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)本階段通過學(xué)習(xí)小結(jié)進(jìn)行課堂教學(xué)的反饋，組織和指導(dǎo)學(xué)生歸納知識(shí)、技能、方法的一般規(guī)律，深化對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)1學(xué)習(xí)小結(jié)在知識(shí)層面上，引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)單調(diào)性定義的探究過程，使學(xué)生對(duì)單調(diào)性概念的發(fā)生與發(fā)展過程有清晰的認(rèn)識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)概念形成的主要三個(gè)階段：直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義.在方法層面上，首先引導(dǎo)學(xué)生回顧判斷，證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟；然后引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)探究過程中用到的思想方法和思維方法，如數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，類比等，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)用符號(hào)語言來刻畫圖形語言,用定量分析來解釋定性結(jié)果；同時(shí)對(duì)學(xué)習(xí)過程作必要