相似三角形模型專題PowerPoint 演示文稿

1、12 ABCA/B/C/,如果如果BC=3,B/C/=1.5,那么那么A/B/C/與與 ABC的相似比為的相似比為_.1.相似三角形的定義：相似三角形的定義：對應角相等、對應邊成比例的三角形叫對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。做相似三角形。2.相似比：相似比：相似三角形的對應邊的比，叫做相似三角形的相似三角形的對應邊的比，叫做相似三角形的相似比。相似比。213 兩個相似三角形的對應角相等，對應邊成比例。 相似三角形對應高的比,對應中線的比,對應角平分線的比都等于相似比。 相似三角形相似三角形周長的比周長的比等于相似比。等于相似比。 相似三角形相似三角形面積的比面積的比等于相似比的

2、等于相似比的平方平方。 相似三角形的相似三角形的傳遞性傳遞性。3.相似三角形的性質：44.相似三角形的判定：相似三角形的判定：ABCCAB如果一個三角形的如果一個三角形的兩角兩角分別與另一個分別與另一個三角形的三角形的兩角兩角對應相等，那么這兩個三角形對應相等，那么這兩個三角形相似相似CBAABCBBAA5如果一個三角形的如果一個三角形的兩條邊兩條邊分別與另分別與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾夾角角相等，那么這兩個三角形相似相等，那么這兩個三角形相似ABCCABCBAABCAACAACBAAB6如果一個三角形的如果一個三角形的三條邊三條邊分別與另分別與

3、另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似兩個三角形相似ABCCABCBAABCCBBCCAACBAAB7已知：在ABC中，DEBC，點F是線段DE上一點，連接AF并延長與BC相交于點G.求證：DFGC=FEBG例1.8相似三角形判定的基本模型一相似三角形判定的基本模型一 A字型、 反A字型（斜A字型） （平行） （不平行） 9MN 例例2. 2. 若若G G為為BCBC中點中點,EG,EG交交ABAB于點于點F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,試求試求AF:FBAF:FB的值的值. .添平行線構造相似三角形的基本圖形。添平行線構造

4、相似三角形的基本圖形。DEHGFEGFMN10 若若G G為為BCBC中點中點,EG,EG交交ABAB于點于點F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,試求試求AF:FBAF:FB的值的值. .添平行線構造相似三角形的基本圖形。添平行線構造相似三角形的基本圖形。EGFEGFMN111 1、如圖，點、如圖，點D、E分別是分別是ABC邊邊AB、AC上的點，且上的點，且DEBC，BD2AD，那，那么么ADE的周長的周長ABC的周長的周長。 ABCDE1:32.右圖中右圖中,若若D,E分別是分別是AB,AC邊上的中點邊上的中點,且且DE=4則則BC= 83.右圖中右圖中, DEBC，SADE

5、:S四邊形四邊形DBCE = 1:8,則則AE:AC=1:3課堂訓練課堂訓練:12EBDC4. 在在ABCAC=4,AB=5.D是是AC上一動點上一動點,且且ADE=B,設設AD=x,AE=y,寫出寫出y與與x之之間的函數(shù)關系式間的函數(shù)關系式.試確定試確定x的取值范圍的取值范圍.A解解: A=A ADE=B ADEABC ( ) AD:AB=AE:AC x:5=y:4 y=0.8x (0 x4)13ABCDEF5.如圖：如圖： DEBC，EF AB,AE：EC=2：3， S ABC=25，求，求S四邊形四邊形BDEF解：DEBCADEABCSADESABCAEAC（ ）2425SABC=25S

6、ADE 4 AE：EC=2:3AE:AC=2:5146. 過過ABC的頂點的頂點C任作一直線，與邊任作一直線，與邊AB及中及中線線AD分別交于點分別交于點F和和E，求證：求證：AE：ED=2AF：FB。CABFDEG157.已知：ABCD,連接AD,CB相交于點E.過E點作EF平行于線段AB，與線段AC相交于點F。求： 的值。BCECADAE16 相似三角形判定的基本模型二相似三角形判定的基本模型二 （平行）（平行） （不平行）（不平行） 8字型字型 反反8字型字型 （蝴蝶型）（蝴蝶型） 17 例1.已知 ABCD，連結對角線BD，E. F是邊BC的三等分點，連結AE、AF，與BD分別交于點G

7、、H，則BG:GH:HD的值為_. 5:3:1218EFBGDCA練練1.如圖，如圖， ABCD中，中，G是是BC延長線上一點，延長線上一點，AG交交BD于于E，與，與DC交于點交于點F，則圖中相似，則圖中相似三角形共有三角形共有_對。（全等除外）對。（全等除外）519AEBFDC練練2. 如圖在如圖在 ABCD中，中，E是是BC上一點，上一點， BE：EC=1：2，AE與與BD相交于相交于F，則，則 BF：FD=_，S ADF : S EBF =_ 1:31:99:120練3. 如圖,在 ABCD中，AB=4,BC=6,ABC, BCD的角平分線分別交AD于E和F,BE與CF交于點G,則EF

8、G與BCG面積之比是( ) A. 2:3 B. 4:9 C. 1:4 D. 1:9D21練4. 如圖,已知點D是AB邊的中點, AFBC，CG:GA=3:1，BC=8，則AF=_. 422練5.如圖,直角梯形ABCD中,BCD=90 , ADBC,BC=CD,E為梯形內(nèi)一點,且BEC=90 ,將BEC繞C點旋轉90 使B與D重合，得到DCF，連EF交CD于M.已知BC=5，CF=3，則DM:MC的值為_.4:323相似三角形判定的基本模型一相似三角形判定的基本模型一 A字型、 反A字型（斜A字型） （平行） （不平行） 24 相似三角形判定的基本模型二相似三角形判定的基本模型二 （平行）（平行

9、） （不平行）（不平行） 8字型字型 反反8字型字型 （蝴蝶型）（蝴蝶型） 25給你一個銳角給你一個銳角ABCABC和一條直線和一條直線MNMN； 問題問題 你能你能用直線用直線MNMN去截去截ABCABC，使截得的三角形，使截得的三角形與原三角形相似嗎？與原三角形相似嗎？26 相似三角形相似三角形DEBCADE ABCABAEACAD DAE= CABADE ABC基本圖形基本圖形判定方法判定方法AED= BDAE= BACADE ABC 三邊對應成比例的三邊對應成比例的兩個三角形相似兩個三角形相似.27 相似三角形相似三角形DEBC ADE ABCABAEACAD DAE= CAB ADE

10、 ABC基本圖形基本圖形判定方法判定方法AED= BDAE= BACADE ABC對應角相等；對應角相等；性質定理性質定理對應邊成比例；對應邊成比例； 周長的比周長的比等于相似比；等于相似比； 面積的比等于面積的比等于相似比的相似比的平方平方； 三邊對應成比例的三邊對應成比例的兩個三角形相似兩個三角形相似.28 練一練練一練基本圖形基本圖形DEMNH過過D D作作DHECDHEC交交BCBC延長線于點延長線于點H H(1)(1)試找出圖中的相似三角形試找出圖中的相似三角形? ?(2)(2)若若AE:AC=1:2,AE:AC=1:2,則則AC:DH=_;AC:DH=_;(3)(3)若若ABCAB

11、C的周長為的周長為4,4,則則BDHBDH的周長為的周長為_._.(4)(4)若若ABCABC的面積為的面積為4,4,則則BDHBDH的面積為的面積為_._.ADE ABC DBH2：369DEMN29三、基本圖形的形成、變化及發(fā)展過程：三、基本圖形的形成、變化及發(fā)展過程： 平行型平行型 斜交型斜交型. . . . . . . . . . 旋轉旋轉平移平移垂直型垂直型特殊特殊特殊特殊平移平移30ABOCD1.添加一個條件，使添加一個條件，使AOB DOC 四、四、運用運用角：角： B= C或或 A= D邊：邊：AB CD AO：OD=BO：CO“X” “X” 型型解解：31ABCDE2.若若A

12、BCADE，你可以得出什么結論？你可以得出什么結論？四、運用四、運用角：角： ADE= B AED= C 邊：邊：DE BC.BCDEACAEABAD .ECAEDBAD .ACECABDB .2BCDESSABCADE面積：面積：“A”“A”型型323、D、E分別是分別是ABC邊邊AB、AC上的點，請上的點，請你添加一個條件，使你添加一個條件，使ADE與與ABC相似。相似。 斜交型斜交型角：角： B= 2或或 1= C邊：邊： AD：AC=AE：AB解解：334、已知CD是RtACB斜邊AB上的高，且CD=6，BD=12，則AD=_,AC=_。ABCD3536123垂直型垂直型34ABCDE

13、1.如圖，如圖，DEBC，D是是AB的中的中點，點，DC、BE相交于點相交于點G。求求GBCDE)1(GBCGEDCC )2(知識源于悟=1:2=1:235BACO如圖如圖:寫出其中的幾寫出其中的幾個等積式個等積式AC2=BC2=OC2=AOABBOABAOBO若若AC=3,AO=1.寫出寫出A.B.C三點三點的坐標的坐標.(-1,0)(8,0)(0,2 )236已知已知,如圖如圖,梯形梯形ABCD中中,ADBC, A=900,對角線對角線BDCD求證求證:(1) ABDDCB; (2)BD2=ADBCABCD證明證明:(1) ADBC, ADB= DBC A=BDC= 90, ABDDCB(

14、2) ABDDCBAD = BD BD BC即即:BD2=ADBC37 如圖如圖, ,在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中中,AB,ABCD,CD, A=90A=900 0,AB=2,AD=5,P,AB=2,AD=5,P是是ADAD上一動點上一動點( (不與不與A A、D D重合重合),),，交于點，交于點（）（）ABPABP與與DPEDPE是否相似？請說明理由是否相似？請說明理由；（）設（）設x x=y=y，求，求y y與與x x之間的之間的函數(shù)關系式函數(shù)關系式, ,并指出自變量并指出自變量x x的取值范圍；的取值范圍；（3 3）請你探索在點）請你探索在點P P運動的過程中，四邊形運動的過

15、程中，四邊形ABEDABED能否構成矩形？如果能，求出能否構成矩形？如果能，求出APAP的長；如果不能，的長；如果不能，請說明理由；請說明理由；（4 4）請你探索在點）請你探索在點P P運動的過程中，運動的過程中，BPEBPE能否成為等腰三能否成為等腰三角形？如果能，求出角形？如果能，求出APAP的長，如果不能，請說明理由。的長，如果不能，請說明理由。CABDPE25xy5-x38學以致用學以致用3、如圖，在、如圖，在ABC中，中，ABC=90，AB=6，BC=12,點點P從從A點出發(fā)向點出發(fā)向B以以1m/s的速度移動，點的速度移動，點Q從從B點出發(fā)向點出發(fā)向C點以點以2m/s的速度移動，如果

16、的速度移動，如果P、Q分別從分別從A、B兩地同兩地同時出發(fā)，幾秒后時出發(fā)，幾秒后 PBQ與原三角形相似？與原三角形相似？ABCQPQP39例：如圖，在例：如圖，在ABC中，中，C=90，AC=4，BC=3，PQAB，點，點P在在AC上（與點上（與點A、C不重合），點不重合），點Q在在BC上。試問：在上。試問：在AB上是否存在點上是否存在點M，使得，使得PQM為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出明理由；若存在，請求出PQ的長。的長。靈感 智慧M1ABCPQABCPQM240例：如圖，在例：如圖，在ABC中，中，C=90，AC=4，BC=3

17、，PQAB，點，點P在在AC上（與點上（與點A、C不重合），點不重合），點Q在在BC上。試問：在上。試問：在AB上是否存在點上是否存在點M，使得，使得PQM為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出明理由；若存在，請求出PQ的長。的長。靈感 智慧PQM3ABCNABCEF如圖，在正方形如圖，在正方形ABCD中中,E為為BC上任意一點（與上任意一點（與B、C不重合）不重合）AEF=90.觀察圖形：觀察圖形：DABCEFD（2）若）若E為為BC的的中點，中點，連結連結AF,圖中有哪些相似圖中有哪些相似三角形？三角形？（1） ABE 與與ECF 是

18、否相似？并證明你的結論。是否相似？并證明你的結論。ABE ECF AEF問題問題1 1：（1）點）點E為為BC上任意一點，上任意一點，若若 B= C=60, AEF= C,則則ABE與與 ECF的關系還成立嗎？的關系還成立嗎？說明理由說明理由（2）點）點E為為BC上任意一點上任意一點若若 B= C= , AEF= C,則則ABE 與與 ECF的關系還成立嗎？的關系還成立嗎？C 60 60 60ABEFABCEFA BFCE606060CABEFABE ECF43ABCEFDAFBCEDG（1）延長）延長BA、CF相交于點相交于點D,且且E為為BC的中點，若的中點，若 B=C= , AEF= C

19、,連結連結AF.找出圖中的相似三角形找出圖中的相似三角形說出圖中相等的角及邊之說出圖中相等的角及邊之間的關系間的關系（2）延長）延長BA、CF相交于相交于點點D,且且E為為BC的的中點中點，若，若 B=C= , AEF= C, 當當AEF旋轉到如圖位置時，旋轉到如圖位置時，上述關系還成立嗎？上述關系還成立嗎？問題問題2 2：善于運用類比、善于運用類比、遷移的數(shù)學方法遷移的數(shù)學方法解決問題解決問題CABEFABCEFABCEFABCEFDE為中點為中點變式：變式：.在直角梯形在直角梯形ABCF中，中，CB=14，CF=4, AB=6,CFAB,在邊在邊CB上找一點上找一點E,使以使以E、A、B為

20、頂點的三角形和以為頂點的三角形和以E、C、F為頂點為頂點的三角形相似，則的三角形相似，則CE=_1.矩形矩形ABCD中，把中，把DA沿沿AF對折，使對折，使D與與CB邊上的點邊上的點E重合，若重合，若AD=10, AB= 8,則則EF=_善于在復雜圖形善于在復雜圖形中尋找基本型中尋找基本型5ADBCEFABCFEEE5.6或或2或或12注意分類討論的注意分類討論的數(shù)學思想數(shù)學思想46EBC DF2.已知：已知：D為為BC上一點，上一點， B= C= EDF=60,BE=6,CD=3,CF=4,則則AF=_7A47EBCDFA變式：變式：已知：已知：ABC中，中，AB=AC, BAC= 120,

21、D為為BC的中點，的中點， 且且EDF =C,（1） 若若BECF=48,則則AB=_（2）在（）在（1）的條件下，若）的條件下，若EF=m, 則則SDEF =_m3利用轉化的利用轉化的數(shù)學思想數(shù)學思想HP8（1 1）連接）連接APAP、AQAQ、PQPQ，試判斷，試判斷APQAPQ的形狀，的形狀，并說明理由。并說明理由。（2 2）當）當t=1t=1秒時，連接秒時，連接ACAC，與，與PQPQ相交于點相交于點K.K.求求AKAK的長。的長。QPABCDK善于在復雜善于在復雜圖形中尋找圖形中尋找基本型基本型已知：菱形已知：菱形ABCD,AB=4m, B=60ABCD,AB=4m, B=60, ,

22、點點P P、Q Q分別從點分別從點B B、C C出發(fā)，沿線段出發(fā)，沿線段BCBC、CDCD以以1m/s1m/s的速度向終點的速度向終點C C、D D運動運動, ,運動時間為運動時間為t t秒秒. .EQABCDPNF（3 3） 當當t=2t=2秒時，連接秒時，連接APAP、PQ,PQ,將將APQAPQ逆逆時針旋轉，使角的兩邊與時針旋轉，使角的兩邊與ABAB、ADAD、ACAC分別分別交于點交于點E E、N N、F F，連接，連接EF.EF.若若AN=1,AN=1,求求S SEPF.EPF.注意運用轉注意運用轉化的數(shù)學思化的數(shù)學思想想（4 4）以）以OSOS為一邊在為一邊在SOCSOC內(nèi)作內(nèi)作S

23、OT,SOT,使使SOTSOT = BDC,OTBDC,OT邊交邊交BCBC的延長線于點的延長線于點T,T,若若BT=4.8,BT=4.8,求求AKAK的長。的長。ASKDCBoT30 30 30 (P)(Q)PQCABEDCABEDCABEDABCEDABCEDF OABCDP1、已知：等邊、已知：等邊ABC 中，中，P為直線為直線AC上一動點，上一動點，連結連結BP,作作BPQ=60,交直線交直線BC于點于點N.(1)當當P在線段在線段AC上時，證明上時，證明PAPC=AB CN(2)若若P在在AC的延長線上，上述關系是否成立？的延長線上，上述關系是否成立？(3)若若P在在CA的延長線上，

24、的延長線上， CN=1.5,BC=2,求求AP、BP的長的長 NBCAQ NBCAQ NBCAQP606060PP532、在平面直角坐標系中，四邊形、在平面直角坐標系中，四邊形OABC為等腰為等腰梯形，梯形， OABC, OA=7, BC=3, COA=60,點點P為線段為線段OA上的一個動點，點上的一個動點，點P不與不與O、A重重合，連結合，連結CP.（1）求點）求點B的坐標。的坐標。（2）點）點D為為AB上一點，上一點，且且AD:BD=3:5,連結連結PD,在在OA上是否存在這樣的上是否存在這樣的點點P,使使CPD= BAO?若存在，求出直線若存在，求出直線PB的的解析式，若不存在，請說明

25、理由。解析式，若不存在，請說明理由。OxyABCDP)32 , 5(B312322323xyxy或54FBCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=43（1 1）請在請在x x軸上找一點軸上找一點D D，使得，使得BDABDA與與BACBAC相似相似 （不包含全等），并求出點（不包含全等），并求出點D D的坐標；的坐標；（2 2）在（在（1 1）的條件下，如果）的條件下，如果P P、Q Q分別是分別是BABA、BDBD上上 的動點，連結的動點，連結PQPQ，設，設BPBPDQDQm m， 問：問：是否存在這樣的是否存在這樣的m m，使得，使得BPQBPQ與與BDABDA

26、相似？相似？ 如存在，請求出如存在，請求出m m的值；若不存在，請說明理由。的值；若不存在，請說明理由。 用一用用一用OD（1）BDABACCADABC tanCADABC=BC=4AC=BCtan ABC=3CD=ACtan CAD=3 =OD=OC+CD=1+ =D( ,0)3434949413413455 用一用用一用BCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=43OD56 用一用用一用PQPQ(1)(1)當當PQADPQAD時，時，BPQ BPQ BADBAD則則即：即：133413534mm 解得：解得：259m BPBQBABD (2)(2)當當PQPQBD

27、BD時，時，BPQ BPQ BDABDA則則即：即：BPBQBDBA 133413534mmm 解得：解得：12536m BCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=43ODBCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=43OD57例例2 如圖，有一塊銳角三角形余料如圖，有一塊銳角三角形余料ABC，它的邊它的邊BC=120mm，高，高AD=80mm，要把，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，上，加工成正方形零件的邊長為多少毫米？加工成正方形零件的邊

28、長為多少毫米？ABCDEPQMN58如果把正方形的零件改變?yōu)榧庸ぞ匦瘟慵绻颜叫蔚牧慵淖優(yōu)榧庸ぞ匦瘟慵?設設DP=x，DE=y，寫出，寫出y與與x之間的函數(shù)關系式，試之間的函數(shù)關系式，試確定確定x的取值范圍。的取值范圍。 PBACDEFMN如圖，如圖，ABC是一是一 塊余料，邊塊余料，邊AB=90厘米，高厘米，高CN=60厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形 的一邊在的一邊在AB上，其余兩個頂點分別在上，其余兩個頂點分別在BC、AC上上 這個正方形零件的邊長是多少？這個正方形零件的邊長是多少？當當DE是是DP的的1.5倍時恰好符合倍時恰好符合要求，

29、求此時零件的面積是多少要求，求此時零件的面積是多少? 在問題在問題3中，具體操作時，中，具體操作時，發(fā)現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)在AB線段上離線段上離B點點34cm處有一蛀蟲洞，請你處有一蛀蟲洞，請你確定一下，它是否影響余料確定一下，它是否影響余料的使用，說明理由。（量得的使用，說明理由。（量得BN=70cm）59PBACDEFMNBACDEF圖一圖一圖二圖二課外拓展課外拓展: 右圖中，在一直角三角右圖中，在一直角三角形余料中截出一個面積最形余料中截出一個面積最大的正方形零件，應如何大的正方形零件，應如何截?。拷厝?？ （設正方形的三邊（設正方形的三邊分別是分別是3、4、5、那么最大、那么最大的面積是多少？）的面

30、積是多少？） BAC60解：設正方形解：設正方形DEFP的邊長為的邊長為x厘米。厘米。因為因為DEAB，所以，所以CDE CBA所以所以CMCN=DEAB因此因此 ，得得 x=36（毫米）。（毫米）。答：答：-。60 x60=x90問題解答問題解答:PBACDEFMN61演變演變1：如圖，有一塊銳角三角形余料：如圖，有一塊銳角三角形余料ABC，它，它的邊的邊BC=a，高，高AD=h，要把它加工成，要把它加工成矩形矩形零件，零件，使使矩形矩形的一邊在的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在上，其余兩個頂點分別在AB，AC上。上。求求（1）設）設PN=x，矩形，矩形PQMN的面積為的面積為y，求，求y關

31、關于于x的函數(shù)關系式，并指出的函數(shù)關系式，并指出x的取值范圍。（的取值范圍。（2）當當h=6，a=8時，請你求出面積等于時，請你求出面積等于9的矩形的矩形PQMN的邊長的邊長PN。（。（3）按題設要求得到的無數(shù)）按題設要求得到的無數(shù)個矩形中，是否能找到兩個不同的矩形，使它們個矩形中，是否能找到兩個不同的矩形，使它們的面積之和等于的面積之和等于ABC的面積？如果能找到，請的面積？如果能找到，請求出它們的邊長，如果找不到，請你說明理由。求出它們的邊長，如果找不到，請你說明理由。62求求（1）設）設PN=x，矩形，矩形PQMN的面積為的面積為y，求，求y關于關于x的函數(shù)關系式，并指出的函數(shù)關系式，并指出x的取值范圍。的取值范圍。ABCDEPQMN(2)當當h=6，a=8時，請你求出面積等于時，請你求出面積等于9的矩形的矩形PQMN的邊長的邊長PN。（3）按題設要求得到的無數(shù)個矩形中，是否）按題設要求得到的無數(shù)個矩形中，是否能找到兩個不同的矩形，使它們的面積之和能找到兩個不同的矩形，使它們的面積之和等于等于ABC的面積？如果能找到，請求出它們的面積？如果能找到，請求出它們的邊長，如