步步高數(shù)學(xué)人教A版2017年13.1

1、1合情推理(1)歸納推理定義：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)特點(diǎn)：由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理(2)類比推理定義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比)特點(diǎn)：類比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理2演繹推理(1)演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理

2、稱為演繹推理簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理(2)“三段論”是演繹推理的一般模式大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確(×)(2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理()(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適(×)(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的()(5)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)

3、是1,2,3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是ann(nN*)(×)(6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確(×)1觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A28 B76C123 D199答案C解析從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，依據(jù)此規(guī)律，a10b10123.2命題“有些有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是()A使用了歸納推理B使用了類比推理C使用了“三段論”，但推理形式錯(cuò)誤D使用了“三段

4、論”，但小前提錯(cuò)誤答案C解析由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯(cuò)誤原因是推理形式錯(cuò)誤3(2014·福建)已知集合a，b，c0,1,2，且下列三個(gè)關(guān)系：a2，b2，c0有且只有一個(gè)正確，則100a10bc_.答案201解析因?yàn)槿齻€(gè)關(guān)系中只有一個(gè)正確，分三種情況討論：若正確，則不正確，得到由于集合a，b，c0,1,2，所以解得ab1，c0，或a1，bc0，或b1，ac0，與互異性矛盾；若正確，則不正確，得到與互異性矛盾；若正確，則不正確，得到則符合題意，所以100a10bc201.4類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可得出空間內(nèi)的下列結(jié)論：垂直于同一個(gè)平面的兩條直

5、線互相平行；垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行；垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行則正確的結(jié)論是()A BC D答案D解析顯然正確；對(duì)于，在空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行，也可以異面或相交；對(duì)于，在空間中垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可以平行，也可以相交5(教材改編)在等差數(shù)列an中，若a100，則有a1a2ana1a2a19n (n<19，nN*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若b91，則b1b2b3b4bn_.答案b1b2b3b4b17n (n<17，nN*)題型一歸納推理命題點(diǎn)1與數(shù)字有關(guān)的等式的推理例1(2015·

6、陜西)觀察下列等式：1，1，1，據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_答案1解析等式左邊的特征：第1個(gè)等式有2項(xiàng)，第2個(gè)有4項(xiàng)，第3個(gè)有6項(xiàng)，且正負(fù)交錯(cuò)，故第n個(gè)等式左邊有2n項(xiàng)且正負(fù)交錯(cuò)，應(yīng)為1；等式右邊的特征：第1個(gè)有1項(xiàng)，第2個(gè)有2項(xiàng)，第3個(gè)有3項(xiàng)，故第n個(gè)有n項(xiàng)，且由前幾個(gè)的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)第n個(gè)等式右邊應(yīng)為.命題點(diǎn)2與不等式有關(guān)的推理例2已知x(0，)，觀察下列各式：x2，x3，x4，類比得xn1(nN*)，則a_.答案nn解析第一個(gè)式子是n1的情況，此時(shí)a111；第二個(gè)式子是n2的情況，此時(shí)a224；第三個(gè)式子是n3的情況，此時(shí)a3327，歸納可知ann.命題點(diǎn)3與數(shù)列有關(guān)的推理例3古希臘畢達(dá)哥拉

7、斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個(gè)三角形數(shù)為n2n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)n2n，正方形數(shù) N(n,4)n2，五邊形數(shù) N(n,5)n2n，六邊形數(shù) N(n,6)2n2n可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測(cè)：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n，k)n2n，N(10,24)×100×101 1001001 000.命題點(diǎn)4與圖形變化有關(guān)的推理例4某種平面分形圖如下圖所示，一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)

8、出發(fā)的三條線段，長(zhǎng)度均為1，兩兩夾角為120°；二級(jí)分形圖是在一級(jí)分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長(zhǎng)度為原來(lái)的線段，且這兩條線段與原線段兩夾角為120°，依此規(guī)律得到n級(jí)分形圖(1)n級(jí)分形圖中共有_條線段；(2)n級(jí)分形圖中所有線段長(zhǎng)度之和為_答案(1)3×2n3(2)99×n解析(1)分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段，由題圖知，一級(jí)分形圖中有3(3×23)條線段，二級(jí)分形圖中有9(3×223)條線段，三級(jí)分形圖中有21(3×233)條線段，按此規(guī)律n級(jí)分形圖中的線段條數(shù)an(3×2n3) (nN*)

9、(2)分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長(zhǎng)度為原來(lái)的線段，n級(jí)分形圖中第n級(jí)的所有線段的長(zhǎng)度和為bn3×n1 (nN*)，n級(jí)分形圖中所有線段長(zhǎng)度之和為Sn3×03×13×n13×99×n.思維升華歸納推理問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)可解(2)與不等式有關(guān)的推理觀察每個(gè)不等式的特點(diǎn)，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解(3)與數(shù)列有關(guān)的推理通常是先求出幾個(gè)特殊現(xiàn)象，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，列出即可(4)與圖形變化有關(guān)的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，

10、并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?1)觀察下圖，可推斷出“x”處應(yīng)該填的數(shù)字是_(2)如圖，有一個(gè)六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是1個(gè)點(diǎn)(算第1層)，第2層每邊有2個(gè)點(diǎn)，第3層每邊有3個(gè)點(diǎn)，依此類推，如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn)，那么它的層數(shù)為()A6 B7 C8 D9答案(1)183(2)C解析(1)由前兩個(gè)圖形發(fā)現(xiàn)：中間數(shù)等于四周四個(gè)數(shù)的平方和，“x”處應(yīng)填的數(shù)字是325272102183.(2)由題意知，第1層的點(diǎn)數(shù)為1，第2層的點(diǎn)數(shù)為6，第3層的點(diǎn)數(shù)為2×6，第4層的點(diǎn)數(shù)為3×6，第5層的點(diǎn)數(shù)為4×6，第n(n2，nN*)層的點(diǎn)數(shù)為6(n1)設(shè)一個(gè)點(diǎn)陣有n(n2，n

11、N*)層，則共有的點(diǎn)數(shù)為166×26(n1)1×(n1)3n23n1，由題意得3n23n1169，即(n7)·(n8)0，所以n8，故共有8層題型二類比推理例5已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若ama，anb(nm1，m，nN*)，則amn.類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列bn(bn>0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，則可以得到bmn_.答案解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q.因?yàn)閍na1(n1)d，bnb1qn1，amn，所以類比得bmn.思維升華(1)進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行類比，提出猜想其中

12、找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵(2)類比推理常見(jiàn)的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等在平面上，設(shè)ha，hb，hc是三角形ABC三條邊上的高，P為三角形內(nèi)任一點(diǎn)，P到相應(yīng)三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結(jié)論：1.把它類比到空間，則三棱錐中的類似結(jié)論為_答案1解析設(shè)ha，hb，hc，hd分別是三棱錐ABCD四個(gè)面上的高，P為三棱錐ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，P到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出結(jié)論：1.題型三演繹推理例6數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a11，an1Sn (nN*)證明：(1)

13、數(shù)列是等比數(shù)列；(2)Sn14an.證明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2·，又10，(小前提)故是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)(2)由(1)可知4·(n2)，Sn14(n1)·4··Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn14an.(結(jié)論)(第(2)問(wèn)的大前提是第(1)問(wèn)的結(jié)論以及題中的已知條件)思維升華演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的

14、前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提，一般地，若大前提不明確時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提某國(guó)家流傳這樣的一個(gè)政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)?)A大前提錯(cuò)誤 B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤 D非以上錯(cuò)誤答案C解析因?yàn)榇笄疤岬男问健谤Z吃白菜”，不是全稱命題，大前提本身正確，小前提“參議員先生也吃白菜”本身也正確，但不是大前提下的特殊情況，鵝與人不能類比，所以不符合三段論推理形式，所以推理形式錯(cuò)誤10高考中的合情推理問(wèn)題典例1傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)他們研究過(guò)如圖所示的三角形

15、數(shù)：將三角形數(shù)1,3,6,10，記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列bn，可以推測(cè)：(1)b2 014是數(shù)列an的第_項(xiàng)；(2)b2k1_.(用k表示)解析(1)an12n，b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，b2 014a5 035.(2)由(1)知b2k1.答案(1)5 035(2)典例2設(shè)S，T是R的兩個(gè)非空子集，如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)yf(x)滿足：(1)Tf(x)|xS；(2)對(duì)任意x1，x2S，當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有f(x1)<f(x2)那么稱這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”以下集合對(duì)不是“保序同構(gòu)”的是()AAN*，

16、BNBAx|1x3，Bx|x8或0<x10CAx|0<x<1，BRDAZ，BQ解析對(duì)選項(xiàng)A，取f(x)x1，xN*，所以AN*，BN是“保序同構(gòu)”的，應(yīng)排除A；對(duì)選項(xiàng)B，取f(x)所以Ax|1x3，Bx|x8或0<x10是“保序同構(gòu)”的，應(yīng)排除B；對(duì)選項(xiàng)C，取f(x)tan(x)(0<x<1)，所以Ax|0<x<1，BR是“保序同構(gòu)”的，應(yīng)排除C.選D.答案D溫馨提醒(1)解決歸納推理問(wèn)題，常因條件不足，了解不全面而致誤應(yīng)由條件多列舉一些特殊情況再進(jìn)行歸納(2)解決類比問(wèn)題，應(yīng)先弄清所給問(wèn)題的實(shí)質(zhì)及已知結(jié)論成立的緣由，再去類比另一類問(wèn)題方法與技巧

17、1合情推理的過(guò)程概括為2演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行失誤與防范1合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過(guò)進(jìn)一步嚴(yán)格證明2演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性3合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘)1下列推理是歸納推理的是()AA，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|2a>|AB|，則P點(diǎn)的軌跡為橢圓B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出

18、數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C由圓x2y2r2的面積r2，猜想出橢圓1的面積SabD科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案B解析從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理，故應(yīng)選B.2正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理()A結(jié)論正確 B大前提不正確C小前提不正確 D全不正確答案C解析f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)，所以小前提錯(cuò)誤3平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為()An1 B2nC. Dn2n1答案C解析1條直線將平面分成11個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平

19、面分成1(12)4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1(123)7個(gè)區(qū)域；n條直線最多可將平面分成1(123n)1個(gè)區(qū)域，選C.4給出下列三個(gè)類比結(jié)論：(ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22a·bb2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3答案B解析(ab)nanbn(n1，a·b0)，故錯(cuò)誤sin()sin sin 不恒成立如30°，60°，sin 90°1，sin 30

20、°·sin 60°，故錯(cuò)誤由向量的運(yùn)算公式知正確5若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn(bn)也為等差數(shù)列類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為()Adn BdnCdn Ddn答案D解析若an是等差數(shù)列，則a1a2anna1d，bna1dna1，即bn為等差數(shù)列；若cn是等比數(shù)列，則c1·c2··cnc·q12(n1)c·q，dnc1·q，即dn為等比數(shù)列，故選D.6觀察下列不等式：1<，1<，1<，照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_答案1<解析觀察

21、每行不等式的特點(diǎn)，每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的開方與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列故第五個(gè)不等式為1<.7若P0(x0，y0)在橢圓1(a>b>0)外，過(guò)P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是1，那么對(duì)于雙曲線則有如下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線1(a>0，b>0)外，過(guò)P0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程是_答案1解析設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1，P2的切線方程分別是1，1.因?yàn)镻0(x0，y0)在這兩條切線上，故有1，1，這說(shuō)明P1(x1，

22、y1)，P2(x2，y2)在直線1上，故切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是1.8已知等差數(shù)列an中，有，則在等比數(shù)列bn中，會(huì)有類似的結(jié)論：_.答案解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知b1b30b2b29b11b20，.9設(shè)f(x)，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3)，并注意到在這三個(gè)特殊式子中，自變量之和均等于1.歸納猜想得：當(dāng)x1x21時(shí)，均有f(x1)f(x2).證明：設(shè)x1x21，f(x1)f(x2)10在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求證：，那么在四面體ABCD中，類

23、比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明理由解如圖所示，由射影定理得AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2BC·DC，.又BC2AB2AC2，.猜想，四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE平面BCD，則.證明：如圖，連接BE并延長(zhǎng)交CD于F，連接AF.ABAC，ABAD，ACADD，AC平面ACD，AD平面ACD，AB平面ACD.AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)11已知正方形的對(duì)角線相等；矩形的對(duì)角線相等；正方形是矩形根據(jù)“三段論”推理出一個(gè)結(jié)論則這個(gè)結(jié)論是()A正方形

24、的對(duì)角線相等B矩形的對(duì)角線相等C正方形是矩形D其他答案A解析根據(jù)演繹推理的特點(diǎn)，正方形與矩形是特殊與一般的關(guān)系，所以結(jié)論是正方形的對(duì)角線相等12.如圖，我們知道，圓環(huán)也可以看作線段AB繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的平面圖形，又圓環(huán)的面積S(R2r2)(Rr)×2×.所以，圓環(huán)的面積等于以線段ABRr為寬，以AB中點(diǎn)繞圓心O旋轉(zhuǎn)一周所形成的圓的周長(zhǎng)2×為長(zhǎng)的矩形面積請(qǐng)你將上述想法拓展到空間，并解決下列問(wèn)題：若將平面區(qū)域M(x，y)|(xd)2y2r2(其中0<r<d)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是()A2r2d B22r2dC2rd2 D22rd2答

25、案B解析平面區(qū)域M的面積為r2，由類比知識(shí)可知：平面區(qū)域M繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為實(shí)心的車輪內(nèi)胎，旋轉(zhuǎn)體的體積等于以圓(面積為r2)為底，以O(shè)為圓心、d為半徑的圓的周長(zhǎng)2d為高的圓柱的體積，所以旋轉(zhuǎn)體的體積Vr2×2d22r2d，選B.13如圖(1)若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)M1、M2與點(diǎn)N1、N2，則三角形面積之比·.如圖(2)，若從點(diǎn)O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點(diǎn)P1、P2，點(diǎn)Q1、Q2和點(diǎn)R1、R2，則類似的結(jié)論為_答案··解析考查類比推理問(wèn)題，由圖看出三棱錐P1OR1Q1及三棱錐P2OR2Q2的底面面積之比為·，又過(guò)頂點(diǎn)分別向底面作垂線，得到高的比為，故體積之比為··.14某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213°cos217°sin 13°cos 17°；sin215°cos215°sin 15°cos 15°；sin218°cos212°sin 18°cos 12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°；sin