輪換對稱式與多項(xiàng)式及應(yīng)用(初中數(shù)學(xué)競賽)

1、合肥市第三十八中學(xué)合肥市第三十八中學(xué) 趙月和趙月和一一.定義定義在含有多個(gè)變量的代數(shù)式在含有多個(gè)變量的代數(shù)式f (x,y,z)中，如果變量中，如果變量x,y,z任意交換兩個(gè)后，代數(shù)式的值不變，則任意交換兩個(gè)后，代數(shù)式的值不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為稱這個(gè)代數(shù)式為絕對對稱式絕對對稱式，簡稱，簡稱對稱式對稱式.例如：代數(shù)式例如：代數(shù)式x+y，xy，x3+y3+z33xyz,x5+y5+xy, 都是對稱式都是對稱式.yx11其中其中x+y和和xy叫做含兩個(gè)變量的基本對稱式叫做含兩個(gè)變量的基本對稱式.如果把一個(gè)多項(xiàng)式的每兩個(gè)字母依次互換后，多項(xiàng)式如果把一個(gè)多項(xiàng)式的每兩個(gè)字母依次互換后，多項(xiàng)式不變，這種多項(xiàng)式

2、叫對稱多項(xiàng)式。不變，這種多項(xiàng)式叫對稱多項(xiàng)式。如是一個(gè)二元對稱式如是一個(gè)二元對稱式222()2abaabb (x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1(x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1例題例題 求方程求方程x+y=xy的整數(shù)解。的整數(shù)解。解：解： x+y=xy (x-1)(y-1)=1.解之，得解之，得 x-1=1,y-1=1; 或或 x-1=-1, y-1=-1. x=2 y=2或或 x=0 y=0分析分析 這是一道求不定方程解的題目，當(dāng)然這是一道求不定方程解的題目，當(dāng)然x與與y交換位置后，原等式不變，可考慮移項(xiàng)分交換位置后，原等式不變，可考慮移項(xiàng)分解因式。解因式。 關(guān)于關(guān)于x、y

3、、z 三個(gè)變量的多項(xiàng)式，如果對式子三個(gè)變量的多項(xiàng)式，如果對式子中變量按某種次序輪換后（例如把中變量按某種次序輪換后（例如把x 換成換成 y , 把把y換成換成 z , 把把z 換成換成 x），所得的式子仍和原式），所得的式子仍和原式相同，則稱這個(gè)多項(xiàng)式是關(guān)于相同，則稱這個(gè)多項(xiàng)式是關(guān)于x、y、z的的 輪換對稱式輪換對稱式.簡稱簡稱輪換式輪換式. 例如：代數(shù)式例如：代數(shù)式 a2(bc)+b2(ca)+c2(ab), 2x2y+2y2z+2z2x, , （xy+yz+zx） ， .都是輪換式都是輪換式.abccba1111111()xyz222222222111bacacbcba很顯然，對稱式一定是

4、輪換式很顯然，對稱式一定是輪換式,而輪換式不一定是對稱而輪換式不一定是對稱式式.二二.性質(zhì)性質(zhì)1、含兩個(gè)變量、含兩個(gè)變量x和和y的對稱式，一定可用相同變的對稱式，一定可用相同變量的基本對稱式來表示量的基本對稱式來表示.、對稱式中，如果含有某種形式的一式，則必、對稱式中，如果含有某種形式的一式，則必含有該式由兩個(gè)變量交換后的一切同型式，且含有該式由兩個(gè)變量交換后的一切同型式，且系數(shù)相等系數(shù)相等.例如：在含例如：在含x,y,z的二次對稱多項(xiàng)式中，的二次對稱多項(xiàng)式中，如果含有如果含有x2項(xiàng)，則必同時(shí)有項(xiàng)，則必同時(shí)有y2,z2兩項(xiàng)；如含有兩項(xiàng)；如含有xy項(xiàng)，則必同時(shí)有項(xiàng)，則必同時(shí)有yz,zx兩項(xiàng)，且它

5、們的系數(shù)，兩項(xiàng)，且它們的系數(shù)，都分別相等都分別相等.故可以表示為：故可以表示為：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中其中m,n是常數(shù)是常數(shù).、輪換式中，如果含有某種形式的一式，則一定含、輪換式中，如果含有某種形式的一式，則一定含有該式由變量字母循環(huán)變換后所得的一切同型式，有該式由變量字母循環(huán)變換后所得的一切同型式，且系數(shù)相等且系數(shù)相等.例如：輪換式例如：輪換式a(bc)+b(ca)+c(ab)中，有中，有因式因式ab這一項(xiàng)這一項(xiàng),必有同型式必有同型式bc和和ca兩項(xiàng)兩項(xiàng).例如：輪換式例如：輪換式a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)中，有中，有因式因式ab這一項(xiàng)這一項(xiàng),必有同

6、型式必有同型式bc和和ca兩項(xiàng)兩項(xiàng).例如：輪換式分解因式：例如：輪換式分解因式：a(bc)+b(ca)+c(ab) (ab) (bc) (ca)xy+yz+zx和都是輪換式，xy+yz+z，（）（xy+yz+z）. 也都是輪換式。zyx111zyx111zyx111、兩個(gè)對稱式（輪換式）的和，差，積，商（除式不、兩個(gè)對稱式（輪換式）的和，差，積，商（除式不為零），仍然是對稱式（輪換式）為零），仍然是對稱式（輪換式）.比如：比如：x+y, xy都是對稱式都是對稱式x+yxy，（，（x+y）xy，等也都是對稱式等也都是對稱式.xyyx 又：例題：已知：例題：已知：a+b+c=0, abc0.求代數(shù)

7、式的值求代數(shù)式的值222222222111bacacbcba分析：這是含分析：這是含a, b, c 的輪換式，化簡第一個(gè)分式后，的輪換式，化簡第一個(gè)分式后，其余的兩個(gè)分式，可直接寫出它的同型式其余的兩個(gè)分式，可直接寫出它的同型式.解：解：0. 2221cba222)(1babaab21222222222111bacacbcbaab21bc21ca21abcbac2三：例題精講三：例題精講已知：已知：S （a+b+c）.求證：求證：3S（Sa）(Sb)(Sc).2116)(416)(416)(4222222222222222bacacacbcbcbaba練習(xí)練習(xí)1:例例 若若abcabc=1=1

8、，試證，試證: :1111ccacbbcbaaba111ccacbbcbaabacacabcac1ccacabcbbcb1ccacacac111ccac11ccacca證明：證明：abcabc=1=1=+=+= =1于是命題得證。于是命題得證。評(píng)注：評(píng)注：“1”的代換是恒等變形中常用的技巧。的代換是恒等變形中常用的技巧。例例 已知已知x=by+czx=by+cz，y=cz+axy=cz+ax，z=ax+byz=ax+by，且，且x+y+z0.x+y+z0.證明：證明：1111ccbbaa (3) (2) (1) byaxzaxczyczbyxxzyxaxxzya21 2則zyxxzyaa1證明

9、：解方程組證明：解方程組(2)+(3)-(1) (2)+(3)-(1) 得得y+z-xy+z-x=2ax=2ax，所以，所以 所以所以 zyxyzxbb1zyxzyxcc11111zyxzyxccbbaa 同理可得，同理可得， 所以所以 本題具有輪換對稱式的特征，所以只需對其中一個(gè)式本題具有輪換對稱式的特征，所以只需對其中一個(gè)式子化簡，就可以得出相同規(guī)律子化簡，就可以得出相同規(guī)律.cbacba1111nnnnnncbacba1111例例設(shè)設(shè)(1)a、b、c三數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)之和為零；三數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)之和為零；(2)對任何奇數(shù)對任何奇數(shù)n，有，有要求要求a a、b b、c c三數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)之和為

10、零，即要證三數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)之和為零，即要證(a+b)(b+c)(c+a(a+b)(b+c)(c+a)=0)=0，故可對已知條件進(jìn)行變形，使它出現(xiàn)，故可對已知條件進(jìn)行變形，使它出現(xiàn)(a+b(a+b) )、(b+c(b+c) )、(c+a(c+a) )這些因式。這些因式。，證明，證明cbacba1111()即0bccaababcabcabcabc證明：證明：(1)由由得得 從已知知從已知知a、b、c0，所以，所以abc0，且，且a+b+c0，則則 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0=011110，abcabc (bc+ca+ab)(a+b+c)

11、-abc=a (bc+ca+ab)+ (b+c) (bc+ca+ab) abc= (b+c)(bc+ca+ab)+abc+a2c+a2babccbacba1111例例設(shè)設(shè)(1)a、b、c三數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)之和為零；三數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)之和為零；，證明，證明cbacba1111 即0bccaababcabcabcabc證明：證明：(1)由由得得 從已知知從已知知a、b、c0，所以，所以abc0，且，且a+b+c0，則則 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0=011110，abcabc (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)

12、+(b+c)(bc+ca+ab)abc= (b+c)(bc+ca+ab)+ abc+a2c+a2babc=(b+c)(bc+ca+ab)+ a2(b+c)=(b+c) (a2+bc+ca+ab)(a+b)(b+c)(c+a(a+b)(b+c)(c+a)=0)=0，這就是說，在，這就是說，在a+ba+b、b+cb+c、c+ac+a 中中至至少有一個(gè)為零少有一個(gè)為零，即即a a、b b、c c三數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)之和為零三數(shù)中必有兩個(gè)數(shù)之和為零。=(a+b)(b+c)(c+a)nnnnnnnccaacba1111111nnnnnnnccaacba111nnnnnncbacba1111證明證明(2) :

13、由由(1)得得，不妨設(shè)，不妨設(shè)a+b=0，即，即b= -a，因?yàn)?，因?yàn)閚為奇數(shù)為奇數(shù) 又又實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc是關(guān)于是關(guān)于a a、b b、c c的一個(gè)輪換對的一個(gè)輪換對稱式。令稱式。令a= -ba= -b，代入得，代入得(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b=(bc-bc-b2 2)(-)(-b+b+c)-(-b)bc= -bb+b+c)-(-b)bc= -b2 2c+ bc+ b2 2c=0c=0，這就是說這就是說a+ba+b是是(bc+ca+ab)(a+b

14、+c)-(bc+ca+ab)(a+b+c)-abcabc的一個(gè)因式，由輪換對稱式的性質(zhì)知，的一個(gè)因式，由輪換對稱式的性質(zhì)知，b+cb+c、a+ca+c也是也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一個(gè)因式，因此有的一個(gè)因式，因此有(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a) )再令再令a=b=c=1a=b=c=1代入，求代入，求出出k=1k=1，所以，所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(c+a(bc+ca+a

15、b)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(c+a) )例例，證明，證明(2)對任何奇數(shù)對任何奇數(shù)n，有，有 nnnnnncbacba1111cbacba1111222例5 求證：()()()()()()a bcb cac ababbcac例如：輪換式例如：輪換式a(bc)+b(ca)+c(ab)中，有中，有因式因式ab這一項(xiàng)這一項(xiàng),必有同型式必有同型式bc和和ca兩項(xiàng)兩項(xiàng).例例 若若a+b+c=0，求，求222222222abcabcbaccab222()abcabcabc2()()aacabbcabac的值的值本題是輪換對稱式，所以不宜直接通分，只需對其中本題是輪換對稱式，所以不宜直

16、接通分，只需對其中一個(gè)分式化簡，就可以得出相同規(guī)律一個(gè)分式化簡，就可以得出相同規(guī)律. .解：解：a+b+c=0，abc，22同 理 ：2()(),2()();bacbabccabcacb222原式+()()()()()()abcabacbabccacb222()()()()()()a bcb cac ababbcca()()()1()()()abbccaabbcca例例. 已知已知x、y、z滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式求證：求證： 1yxzxzyzyx0222yxzxzyzyxxyxxzxzxyzyx2yyxyzxzyzyxy2zyxzxzyzzyxz2zyxyxyzyxxzxzyzxzxyzyxzz

17、yxyyxzxzyzyx)()()(222zyxzyxyxzxzyzyx2220222yxzxzyzyx證明：將已知等式分別乘以證明：將已知等式分別乘以x、y、z得得 所以所以 即：即：由由+ 得得例 已知a+b+c=a2+b2+c2=2，求證：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2 本題的證明采用了構(gòu)造法，它構(gòu)造了三次式本題的證明采用了構(gòu)造法，它構(gòu)造了三次式 (x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它與，然后建立它與x(1-x)2之間的關(guān)系，再通之間的關(guān)系，再通過賦值來證明。過賦值來證明。分析：求證的等式中的各式，恰好是多項(xiàng)式分析：求證的等式中的各式，恰好是多項(xiàng)式x(1-x)x(1-

18、x)2 2中的中的x x分別取分別取a a、b b、c c時(shí)的值。時(shí)的值。因此，本題可轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)因此，本題可轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)x x分別取分別取a a、b b、c c時(shí)，時(shí)，x(1-x)x(1-x)2 2的值不變。由于的值不變。由于x(1-x)x(1-x)2 2是關(guān)于是關(guān)于x x的三次多項(xiàng)式，且注意到題設(shè)條件，所以我們構(gòu)造三次式的三次多項(xiàng)式，且注意到題設(shè)條件，所以我們構(gòu)造三次式(x-a)(x-b)(x-(x-a)(x-b)(x-c c) )，建立它與，建立它與x(1-x)x(1-x)2 2之間的某種關(guān)系。之間的某種關(guān)系。證明：證明：(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca又又a+b+c=a2+b2+c2=2 4=2