證明三角形全等總復(fù)習(xí)(經(jīng)典題目)(含答案)

1、 三角形專(zhuān)題訓(xùn)練【知識(shí)精讀】1. 三角形的內(nèi)角和定理與外角和定理； 2. 三角形中三邊之間的關(guān)系定理及其推論； 3. 全等三角形的性質(zhì)與判定； 4. 特殊三角形的性質(zhì)與判定（如等腰三角形）； 5. 直角三角形的性質(zhì)與判定。【分類(lèi)解析】 1. 三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用 例1. 如圖1，已知中，于D，E是AD上一點(diǎn)。 求證： 2. 三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用例2. 已知：如圖2，在中，AM是BC邊的中線(xiàn)。 求證： 3. 角平分線(xiàn)定理的應(yīng)用 例3. 如圖3，BC90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分ADC。 求證：AM平分DAB。 4. 全等三角形的應(yīng)用（1）構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題 例4. 已知如圖4，

2、ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，BDC是頂角（BDC）為120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，它的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結(jié)MN。求證：的周長(zhǎng)等于2。 （2）“全等三角形”在綜合題中的應(yīng)用 例5. 如圖5，已知：點(diǎn)C是FAE的平分線(xiàn)AC上一點(diǎn)，CEAE，CFAF，E、F為垂足。點(diǎn)B在AE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在AF上。若AB21，AD9，BCDC10。求AC的長(zhǎng)。 5、中考點(diǎn)撥 例6. 如圖，在中，已知B和C的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DEBC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BDCE9，則線(xiàn)段DE的長(zhǎng)為（ ） A. 9B. 8C. 7D. 6 6、題型展示例7

3、. 已知：如圖6，中，ABAC，ACB90°，D是AC上一點(diǎn)，AE垂直BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，。 求證：BD平分ABC 例8. 某小區(qū)結(jié)合實(shí)際情況建了一個(gè)平面圖形為正三角形的花壇。如圖7，在正三角形ABC花壇外有滿(mǎn)足條件PBAB的一棵樹(shù)P，現(xiàn)要在花壇內(nèi)裝一噴水管D，點(diǎn)D的位置必須滿(mǎn)足條件ADBD，DBPDBC，才能使花壇內(nèi)全部位置及樹(shù)P均能得到水管D的噴水，問(wèn)BPD為多少度時(shí)，才能達(dá)到上述要求？ 【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 等腰三角形一腰上的中線(xiàn)把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成12cm和21cm，則這個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為_(kāi)。 2. 在銳角中，高AD和BE交于H點(diǎn)，且BHAC，則ABC_。 3. 如圖所示，

4、D是的ACB的外角平分線(xiàn)與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)。試比較BAC與B的大小關(guān)系。4. 如圖所示，ABAC，BAC90°，M是AC中點(diǎn)，AEBM。 求證：AMBCMD 5. 設(shè)三個(gè)正數(shù)a、b、c滿(mǎn)足，求證：a、b、c一定是某個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)?！驹囶}答案】 1. 5cm 2. 45° 3. 分析：如圖所示，BAC是的外角，所以 因?yàn)?2，所以BAC2 又因?yàn)?是的外角，所以2B，問(wèn)題得證。 答：BACB CD平分ACE，12 BAC1，BAC2 2B，BACB 4. 證明一：過(guò)點(diǎn)C作CFAC交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F 又BACACF90° ACAB 又AMMC，MCCF 又3445

5、°，CDCD 證明二：過(guò)點(diǎn)A作AN平分BAC交BM于N 又AN平分BAC 又ABAC 又 AMCM 說(shuō)明：若圖中所證的兩個(gè)角或兩條線(xiàn)段沒(méi)有在全等三角形中，可以把求證的角或線(xiàn)段用和它相等的量代換。若沒(méi)有相等的量代換，可設(shè)法作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形。 5. 證明：由已知得： 即 是某一三角形三邊的長(zhǎng)。1.證明：由ADBC于D，可得CADABC 又 則 可證 即說(shuō)明：在角度不定的情況下比較兩角大小，如果能運(yùn)用三角形內(nèi)角和都等于180°間接求得。2.證明：延長(zhǎng)AM到D，使MDAM，連接BD 在和中， 在中，而 說(shuō)明：在分析此問(wèn)題時(shí)，首先將求證式變形，得，然后通過(guò)倍長(zhǎng)中線(xiàn)的方法，相當(dāng)于

6、將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°構(gòu)成旋轉(zhuǎn)型的全等三角形，把AC、AB、2AM轉(zhuǎn)化到同一三角形中，利用三角形三邊不等關(guān)系，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。很自然有。請(qǐng)同學(xué)們自己試著證明。3.證明：過(guò)M作MGAD于G，DM平分ADC，MCDC，MGAD MCMG（在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等） MCMB，MGMB 而MGAD，MBAB M在ADC的平分線(xiàn)上（到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上） DM平分ADC 說(shuō)明：本題的證明過(guò)程中先使用角平分線(xiàn)的定理是為判定定理的運(yùn)用創(chuàng)造了條件MGMB。同時(shí)要注意不必證明三角形全等，否則就是重復(fù)判定定理的證明過(guò)程。4. 分析：欲證的周長(zhǎng)等于2，需證明它等于等

7、邊的兩邊的長(zhǎng)，只需證。采用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的方法來(lái)解決。 證明：以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)B落在點(diǎn)C的位置，點(diǎn)M落在M'點(diǎn)的位置。 得：MBDNCD90° NCD與DCM'構(gòu)成平角，且BMCM'，DMDM'，NDM'NDCCDM'NDCBDM120°60°60° 在和中， 的周長(zhǎng) 說(shuō)明：通過(guò)旋轉(zhuǎn)，使已知圖形中的角、線(xiàn)段充分得到利用，促進(jìn)了問(wèn)題的解決。5.分析：要求AC的長(zhǎng)，需在直角三角形ACE中知AE、CE的長(zhǎng)，而AE、CE均不是已知長(zhǎng)度的線(xiàn)段，這時(shí)需要通過(guò)證全等三角形，利用其性質(zhì)，創(chuàng)

8、設(shè)條件證出線(xiàn)段相等，進(jìn)而求出AE、CE的長(zhǎng)，使問(wèn)題得以解決。 解：AC平分FAE，CFAF，CEAE CFCE BEDF 設(shè)，則 在中， 在中， 答：AC的長(zhǎng)為17。6.分析：初看此題，看到DEDFFE后，就想把DF和FE的長(zhǎng)逐個(gè)求出后再相加得DE，但由于DF與FE的長(zhǎng)都無(wú)法求出，于是就不知怎么辦了？其實(shí)，若能注意到已知條件中的“BDCE9”，就應(yīng)想一想，DFFE是否與BDCE相關(guān)？是否可以整體求出？若能想到這一點(diǎn)，就不難整體求出DFFE也就是DE的長(zhǎng)了。 解：BF是B的平分線(xiàn) DBFCBF 又DEBC DFBCBF BDFDFB DFBD 同理，F(xiàn)ECE DFFEBDCE9 即DE9 故選A7.分析：要證ABDCBD，可通過(guò)三角形全等來(lái)證明，但圖中不存在可證全等的三角形，需設(shè)法進(jìn)行構(gòu)造。注意到已知條件的特點(diǎn)，采用補(bǔ)形構(gòu)造全等的方法來(lái)解決。 簡(jiǎn)證：延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F 易證（ASA或AAS） 于是又不難證得 BD平分BAC 說(shuō)明：通過(guò)補(bǔ)形構(gòu)造全等，溝通了已知和未知，打開(kāi)了解