鴿巢問題教學設計

1、學段：小學學科：數(shù)學鴿巢問題教案 姓 名：趙 利 芹單 位：衛(wèi)輝市李源屯鎮(zhèn)大李灣完小時 間：2015年4月鴿巢問題【教學內(nèi)容】 六年級下冊第五單元數(shù)學廣角 鴿巢問題（教材第68頁例1和第69頁例2）。 【設計理念】興趣是最好的老師，本課讓學生們從游戲中開始學習，為理解鴿巢原理埋下伏筆，接著通過創(chuàng)設情境和實際操作，使學生經(jīng)歷“鴿巢問題”的探究過程，感受數(shù)學的魅力，并對一些簡單的實際問題“模型化”，從而在用“鴿巢原理”解決問題的過程中，促進邏輯推理能力的發(fā)展，培養(yǎng)分析、推理、解決問題的能力以及提高學習數(shù)學的興趣，同時也使學生感受到數(shù)學思想方法的奇妙與作用，在數(shù)學思維的訓練中，逐步形成有序地、嚴密地

2、思考問題的意識?！窘滩膬?nèi)容分析】鴿巢問題是人教版六年級下冊第五單元數(shù)學廣角的教學內(nèi)容。這部分教材通過幾個直觀例子，借助實際操作，向?qū)W生介紹“鴿巢問題”。學生在理解“鴿巢問題”這一數(shù)學方法的基礎上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，會用“鴿巢原理”解決問題。 “鴿巢原理”最先是由19世紀的德國數(shù)學家狄里克雷運用于解決數(shù)學問題的，所以又稱“狄里克雷原理”，也稱為“抽屜原理”。 “鴿巢原理”的理論本身并不復雜，甚至可以說是顯而易見的。例如，要把三本書放進兩個抽屜，總有一個抽屜里至少有兩本書。這樣的道理對于小學生來說，也是很容易理解的。但“鴿巢原理”的應用卻是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，

3、并且常常能得到一些令人驚異的結果。因此，“鴿巢原理”在數(shù)論、集合論、組合論中都得到了廣泛的應用。課本用直觀的方式，介紹了“抽屜原理”的兩種形式。例1介紹的是最簡單的“鴿巢問題”把n+1個物體任意分別放進n個空抽屜里（mn，n是非0自 然數(shù)），那么總有一個抽屜中放進了至少2個物體。例2介紹了“鴿巢問題”更為一般的形式：要把m個物體放進n個抽屜里(m>n)，如果m÷n=ka（a0），那么總有一個抽屜至少放（k+1）個物體。 【學情分析】本節(jié)課授課對象是小學六年級的學生，六年級的學生理解能力、學習能力和生活經(jīng)驗已達到能夠掌握本章內(nèi)容的程度。教材選取的是學生熟悉的，易于理解的生活實例，

4、將具體實際與數(shù)學原理結合起來，有助于提高學生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力?！窘虒W目標】知識技能：通過操作、觀察、推理等活動，初步了解“鴿巢問題”，會用“鴿巢問題”的知識解決簡單的實際問題。數(shù)學思考與問題解決：1. 在“鴿巢問題”的探究過程中，使學生逐步理解和掌握“鴿巢原理”，經(jīng)歷將具體問題數(shù)學化的過程，培養(yǎng)學生的模型思想。2. 體會數(shù)學知識在日常生活中的廣泛應用，培養(yǎng)學生的探究意識。情感態(tài)度：通過對“鴿巢原理”的靈活運用，感受數(shù)學的神奇魅力，體會數(shù)學的價值，激發(fā)學生的學習興趣。 【教學重點】 1經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，初步了解“鴿巢原理”。 2. 理解“總有”和“至少”的含義。 【教

5、學難點】理解“鴿巢原理”,并對一些簡單的實際問題加以“模型化”?！窘虒W準備】 課件、每組都有相應數(shù)量的盒子、鉛筆、書?！窘虒W過程】 一、 通過魔術，切入主題師：近兩天老師新學了一個魔術，特別想表演給大家，可以嗎？都認識這個吧，對，撲克牌，我現(xiàn)把兩張王牌取出，知道剩下的撲克牌有幾種花色嗎？生：四種。師：現(xiàn)我就用剩下的牌給大家表演這個魔術，需要5位同學的配合，誰愿來？（學生上來后）師：你們每人隨意抽取一張牌后站好，不許給其他人看。（站好之后）同學們，見證奇跡的時刻到了：他們至少有2人拿了同樣的花色，你們信嗎？學生驗證（理解“至少”的意思）。師：如果我讓他們每人再重新隨意抽取一張，我還敢肯定：他們至

6、少有2人拿了同樣花色的牌，也就是說有一種花色的牌至少有兩個人拿著，你們相信嗎？師：老師為什么能做出準確的判斷呢？是因為這其中蘊含著一個有趣的數(shù)學原理，這節(jié)課我們就一起來研究這個問題鴿巢問題。（設計意圖：從學生喜歡的魔術開始，讓學生初步體驗抽象的“鴿巢問題”，激發(fā)學生的學習興趣，提高學生的學習熱情。）二、 通過操作，探究新知 1.學習例1我們用筆和杯子來研究這個問題，教師用投影儀展示問題：把3支筆放進2個杯子中，可以怎么放？有幾種不同的放法？（設計意圖：從最簡單的數(shù)據(jù)開始，有利于學生觀察、理解，能調(diào)動所有的學生都積極參與進來。）師：請同學們實際放放看，看有什么發(fā)現(xiàn)。（師巡視，了解情況，個別指導）

7、師：誰能說說你是怎么放的？請你到前面邊演示邊說給大家聽。 師：還有不同的放法嗎？生：沒有了。老師用幻燈片展示各種情況。師：孩子們，一起來觀察這所有的放法，想一想，5 個人抽取4種不同花色的牌，不管怎么抽，總有一種花色的牌至少有兩個人抽著，那么3支筆放進2個杯子，不管怎么放，你有什么發(fā)現(xiàn)?生：不管怎么放,總有一個杯子里至少有2支筆。師：是這樣的嗎？誰還能再說說。（把發(fā)現(xiàn)板書在黑板上。）師：那依此推想下去，把4支筆放進3個杯子里，可以怎么放呢？有幾種不同的放法？大家再放放看，邊放邊把各種情況記錄下來，看看有什么發(fā)現(xiàn)？師：還有不同的放法嗎？（沒有）那同學們再來觀察，把4支筆放進3個杯子里，不管怎么放

8、，你有什么發(fā)現(xiàn)？老師用幻燈片展示各種情況。生：不管怎么放，總有一個杯子里至少有2支筆。師:“總有”是什么意思?生：一定有的意思。師:“至少”是什么意思?生：最少的意思。 師：剛才我們把所有的擺放方法一一列舉出來后，得到了這樣的結論。大家能不能找到一種更簡便的辦法，只擺放一種情況也能得到這個結論呢？ （設計意圖：“鴿巢問題”對學生來說，比較抽象，特別是“總有一個杯子里至少放進2支筆”這名話，通過具體操作，理解“總有”、“至少”這兩個詞，讓學生初步經(jīng)歷“數(shù)學證明”過程，訓練學生的邏輯思維能力。） 學生思考組內(nèi)交流匯報 師:哪一組同學能把你們的想法匯報一下? 來到前面邊演示邊說。生:我們發(fā)現(xiàn)如果每個

9、杯子里放1支筆,最多放3支,剩下的1支不管放進哪一個杯子里,總有一個杯子里至少有2支筆。 師:是這樣的嗎？誰和他的想法是一樣的？這種分法,實際就是先怎么分的? 生：平均分。師:為什么只用平均分這一種方法，就能證明這個結論呢？生：平均分，每個杯子里分得1支筆，余下的1支，不管怎么放進哪個杯子，一定會出現(xiàn)“總有一個杯子里至少有2支”。師：要想保證這個杯子里數(shù)量最少，就要怎么辦？（平均分），讓每個杯子里都有筆。如果有空的杯子，還能保證這個杯子里的筆最少嗎？（不能）所以我們用平均分的方法來證明剛才的結論。那如果用算式，該怎么表示？生：4÷3=11師：剩余這一支筆怎么辦呢？這樣就保證總有一個杯

10、子里一定至少有2支。咱們真是了不起的孩子，這么快就想到了這樣一種簡便的方法來證明這個結論，我們再來一起看看剛才同學們分的過程。學生觀看大屏幕，老師重新演示平均分的過程。師：用這種方法，6支筆放進5個杯子里會怎么樣？學生回答并說明理由。師：把7支筆放進6個杯子里呢?把8支筆放進7個杯子里呢?大家回答這么快，是不是發(fā)現(xiàn)這其中的規(guī)律了？生：筆的支數(shù)比杯子多1的話，不管怎么放，總有一個杯子里至少有2支筆。師: 其他同學發(fā)現(xiàn)了嗎？同桌互相說一遍。把100支筆放進99個杯子里會有什么結論？一起說。（設計意圖：在學生自主探索的基礎上，引導學生得出一般性結論，發(fā)展學生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學思維。）2學

11、習例2。 1出示題目:把7本書放進3個抽屜里,不管怎么放,總有一個抽屜里至少有幾本書?活動要求：a.每人先獨立思考。b.把自己的想法和小組同學交流。c.如果需要動手操作，可以利用桌上的7本書，要有分工，并要全面考慮問題。(誰分書，誰當抽屜，誰記錄等) (師巡視了解各種情況)師： 哪個小組愿意把你們的發(fā)現(xiàn)和大家一起分享？學生回答，通過學生回答列出算式：7÷3=21師： 10本書放進3個抽屜里呢？ 板書： 10÷3=31師：到這里，大家觀察一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？生1：“總有一個抽屜里至少有3本”，只要“商+1”就可以得到了。生2：“總有一個抽屜里至少有3本”，只要“商+余數(shù)”就可

12、以得到了。師：有不同的意見，誰的對還是都不對，我們再來看一道題：如果把8本書放進3個抽屜里呢？生3:“總有一個抽屜里至少有4本”，只要用8÷3=22,用“商+2”就可以了。 生4：不同意!先把8本書平均分放到3個抽屜里,每個抽屜里先放2本,還剩2本,這2本書再平均分,不管分到哪兩個抽屜里,總有一個抽屜里至少有2本書,不是4本書。 師:到底誰的對呢?在小組里進行交流討論一下。可能有三種說法：a.我們組通過討論并且實際分了分,結論是總有一個抽屜里至少有3本書,不是4本書。 b.把8本書平均分放到3個抽屜里,每個抽屜里先放2本,余下的2本可以在2個抽屜里再各放1本,結論是“總有一個抽屜里至

13、少有3本書”。 c.我們組的結論是8本書平均分放到3個抽屜里,“總有一個抽屜里至少有3本書”用“商加1”就可以了,不是“商加2”。（設計意圖：通過學生的辯論，從而認識到余數(shù)也要平均分，而余數(shù)小于除數(shù)，所以只會再多一個。） 師:現(xiàn)在大家都明白了吧?那么怎樣才能夠確定總有一個抽屜里至少有幾個物體呢? 生：書的本數(shù)除以抽屜數(shù),再用所得的商加1,就會發(fā)現(xiàn)“總有一個抽屜里至少有商加1本書”了。 師：如果把8本書放進4個抽屜里呢？還是總有一個抽屜里至少有商+1也是就2+1=3本書嗎？生：不是。師：今天我們學習的題目都有這樣一個規(guī)律：要把m個物體放進n個抽屜里(m>n)，如果m÷n=ka（a

14、0），那么總有一個抽屜至少放（k+1）個物體。（設計意圖：這一環(huán)節(jié)，使學生更好理解把物體盡量多地“平均分”給各個抽屜，某個抽屜至少有書的本數(shù)是除法算式中的商加1，使學生從本質(zhì)上理解“抽屜原理”，也就是“鴿巢問題”。）教師講解：同學們的這一發(fā)現(xiàn),稱為“抽屜原理”,它是組合數(shù)學中的一個重要原理，最早是由德國數(shù)學家狄里克雷提出來的,所以又稱“狄里克雷原理”。抽屜原理有兩個經(jīng)典案例：一個是把10個蘋果放進9個抽屜里，總有一個抽屜里至少放了2個蘋果，所以這個原理又稱為“抽屜原理”；另一個是6只鴿子飛進5個鴿巢，總有一個鴿巢至少飛進2只鴿子，所以也稱為“鴿巢原理”。這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應用，

15、它的應用是千變?nèi)f化的,用它可以解決許多有趣的問題,并且常常能得到一些令人驚異的結果。就像剛才老師表演的魔術，大家現(xiàn)在能解釋一下它的原理嗎？下面我們應用這一原理解決一些問題。 三、 知識應用15只鴿子飛進3個鴿籠，總有一個鴿籠至少飛進了2只鴿子。為什么？ 211只鴿子飛進4個鴿籠，總有一個鴿籠至少飛進了3只鴿子。為什么？35個人坐4把椅子，總有一把椅子上至少坐2人。為什么？指名學生匯報解答思路及過程。 答案：（1）因為5÷3=1（只）2（只） 1+1=2(只) 所以總有一個鴿籠至少飛進2只鴿子。 （2）因為11÷4=2（只）3（只） 2+1=3(只) 所以總有一個鴿籠至少飛進3只鴿子。 （3）因為5&#