考點(diǎn)16立體幾何中的平行于垂直問題解析版

1、考點(diǎn)16立體幾何中的平行于垂直問題9【知識(shí)框圖】考點(diǎn)16立休幾何中的平行于垂直問題【自主熱身歸納忌結(jié)】 駆L直知平面的平行于垂直問題酰 f 妙訓(xùn)練】 * EC 52面直藏壬一宜或、u面的平方于垂臺(tái)曲綜臺(tái)問題【自主熱身，歸納總結(jié) 】1、 （2018南京三模）已知a B是兩個(gè)不同的平面，I, m是兩條不同的直線，有如下四個(gè)命題：若I丄a, l± 3,貝yall3；若I丄a, a丄3,貝丨B；若I / a, I丄3,貝ya丄3；若I/ a, a丄3,貝U I丄3-其中真命題為 （填所有真命題的序號(hào)）【答案】【解析】考查定理：垂直同一直線的兩個(gè)平面平行；直線I可能在平面3內(nèi)；正確；不一定垂直

2、；2、 （2017南京、鹽城二模）已知a, 3為兩個(gè)不同的平面，m, n為兩條不同的直線，下列命題中正確的是（填上所有正確命題的序號(hào)）若 all 3, m? a,貝U m/ 3;若 m/ a, n? a,貝U m/ n;若a丄3, aA 3= n ,ml n ,貝Um丄3；若 n丄a, n丄 3 m丄a ,貝U m± 3【答案】【解析】思路分析逐一判斷每個(gè)命題的真假. 這是面面平行的性質(zhì)，正確；只能確定 m , n沒有公共點(diǎn)，有可能異面，錯(cuò)誤；當(dāng) m? a時(shí)，才能 保證m± 3錯(cuò)誤；由 m丄a , n丄a,得m/ n ,又n丄3 ,所以ml 3,正確.3、 （2016南京三

3、模）已知a, 3是兩個(gè)不同的平面，I , m是兩條不同的直線，Ila , m? 3給出下列命 題： a/ 3? I丄m； a丄 3? I / m； m / a? I 丄 3； I 丄 3? m / a.其中正確的命題是（填寫所有正確命題的序號(hào)）.【答案】【解析】由I丄a, a/3,得I丄3又因?yàn)閙? 3,所以I丄m； 由I丄a, a丄3,得I/ 3或I? 3,又因?yàn)閙? 3,所以I與m或異面或平行或相交； 由I丄a ,m/a ,得I丄m.因?yàn)镮只垂直于3內(nèi)的一條直線m ,所以不能確定I是否垂直于3； 由I丄a, I丄得all B因?yàn)閙? B,所以m / a4、（2016鎮(zhèn)江期末） 設(shè)b, c表

4、示兩條直線,a B表示兩個(gè)平面，現(xiàn)給出下列命題：若 b?ac /a 則 b / c；若 b?ab / c，則c /a若c/a,a丄B,貝U C丄B；若 c/a,C丄B,貝Ua_LB其中正確的命題是 （寫出所有正確命題的序號(hào) ）【答案】 【解析】b和c可能異面，故錯(cuò)；可能 c? a ,故錯(cuò)；可能 C/B , c? B故錯(cuò)；根據(jù)面面 垂直判定a丄B ,故正確.5、 （2015鎮(zhèn)江期末）設(shè)a B為互不重合的平面，m , n是互不重合的直線,給出下列四個(gè)命題：若m/nn?a則 m/ a；若m?an?am/ B n/ B 則 a/ B；若a/Bm?an? B 則 m/ n；若a丄BaClB= m , n

5、? a, n 丄 m ,貝U n丄 B其中正確命題的序號(hào)為 .【答案】【解析】對(duì)于，直線 m可能在平面a內(nèi)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，沒有 m與n相交的條件，故錯(cuò)誤; 對(duì)于 m 與 n 也可能異面 故錯(cuò)誤.6、（2015 南京、鹽城、徐州二模） 已知平面 a B 直線 m n 給出下列命題：若m/an/Bm±n ,貝Ua丄B；若a/Bm/an/B 則m/ n；若m±an丄Bm±n ,貝Ua丄B；若a丄Bm±an丄B,貝Um± n.其中是真命題的是（填序號(hào) ）【答案】【解析】如圖，在正方體 ABCDAiBiCiDi中，CD /平面ABC1D1 , BC /平

6、面ADCiBi ,且BC丄CD ,又 因?yàn)槠矫?ABC1D1與平面 ADC1B1不垂直，故不正確；因?yàn)槠矫?ABCD /平面A1B1C1D1 ,且B1C1/平面 ABCD , AB /平面A1B1C1D1，但AB與B1C1不平行，故不正確.同理，我們以正方體的模型來觀察，可 得正確.7、（2015泰州期末）若a, B是兩個(gè)相交平面，則在下列命題中，真命題的序號(hào)為 （寫出所有真命題的序號(hào) ） 若直線m丄a,則在平面B內(nèi)，一定不存在與直線 m平行的直線； 若直線m丄a,則在平面B內(nèi)，一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直； 若直線m? a,則在平面B內(nèi)，不一定存在與直線 m垂直的直線； 若直線m? a,則

7、在平面B內(nèi)，一定存在與直線 m垂直的直線.【答案】【解析】對(duì)于，若兩個(gè)平面互相垂直，顯然在平面B內(nèi)存在與直線 m平行的直線，故不正確；對(duì)于，m丄a, m 定與兩平面的交線垂直，有一條直線就有無數(shù)條直線，故正確；與是對(duì)立的，一定有一個(gè)是真命題，對(duì)于，若 m與兩個(gè)平面的交線平行或 m為交線，顯然存在，若 m與交線相交，設(shè)交點(diǎn) 為A，在直線m上任取一點(diǎn)B（異于A）,過B點(diǎn)向平面B引垂線，垂足為 C,則直線BC丄平面3,在平面3 內(nèi)作直線I垂直于AC,可以證明I丄平面ABC，則I丄m,故正確，不正確.所以真命題的序號(hào)為.【 問題探究，變式訓(xùn)練 】題型一 直線與平面的平行于垂直知識(shí)點(diǎn)撥：證明直線與平面的

8、平行與垂直問題，一定要熟練記憶直線與平面的平行與垂直判定定理和性 質(zhì)定理，切記不可缺條件。直線與平面的平行有兩種方法：一是在面內(nèi)找線；二是通過面面平行轉(zhuǎn)化。直 線與平面垂直關(guān)鍵是找兩條相交直線。例1、（2019揚(yáng)州期末）如圖所示，在三棱柱 ABCA iBiCi中，四邊形 AA iBiB為矩形，平面 AAiBiB丄 平面ABC，點(diǎn)E, F分別是側(cè)面 AAiBiB , BBiCiC對(duì)角線的交點(diǎn).（i）求證：EF /平面ABC ；(2)求證：BBi 丄 AC.規(guī)范解答（1）在三棱柱ABCAiBiCi中，四邊形 AA iBiB，四邊形BBiCiC均為平行四邊形，E, F分別是側(cè)面AA iBiB , B

9、BiCiC對(duì)角線的交點(diǎn)，所以 E, F分別是ABi, CBi的中點(diǎn)，所以EF / AC.（4分）因?yàn)镋F?平面ABC , AC?平面ABC，所以EF/平面 ABC.（8分）（2）因?yàn)樗倪呅?AA iBiB為矩形，所以BBi丄AB.因?yàn)槠矫?AA iBiB丄平面 ABC，且平面 AAiBiB門平面 ABC = AB , BBi?平面 AA iBiB,所以BBi丄平面ABC.（i2分）因?yàn)锳C?平面ABC，所以BBi丄AC.（i4分）【變式U （20i9南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）如圖，在四棱錐 PABCD中，M , N分別為棱PA, PD的中點(diǎn).已知側(cè)面 PAD丄底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA

10、 = DP.求證： （i）MN /平面 PBC；MD 丄平面 PAB.【證明】 在四棱錐P ABCD中，M, N分別為棱PA, PD的中點(diǎn)，所以 MN / AD.（2分）又底面ABCD是矩形，所以 BC / AD.所以MN / BC.（4分）又BC?平面PBC，MN?平面PBC，所以 MN /平面PBC. （6分）（2）因?yàn)榈酌?ABCD是矩形，所以 AB丄AD.又側(cè)面PAD丄底面 ABCD，側(cè)面PAD門底面 ABCD = AD , AB?底面ABCD，所以AB丄側(cè)面 PAD.（8分）又MD ?側(cè)面PAD，所以 AB丄MD.（10分）因?yàn)镈A = DP，又M為AP的中點(diǎn)，從而 MD丄PA. （

11、12分）又PA, AB在平面 PAB內(nèi)，PA A AB = A，所以 MD丄平面 PAB.（14分）【變式2 （2019南京、鹽城二模） 如圖，在三棱柱 ABCA iBiCi中，AB = AC , AiC丄BCi, ABi丄BCi, D , E分別是ABi和BC的中點(diǎn).求證： （i）DE /平面 ACC iAi；（2）AE 丄平面 BCCiBi.規(guī)范解答 連結(jié)AiB，在三棱柱 ABCAiBiCi中，AAi/ BB 1且AA 1 = BB 1，所以四邊形 AAiBiB是平行 四邊形又因?yàn)镈是ABi的中點(diǎn)，所以D也是BAi的中點(diǎn).（2分）在厶BAiC中，D和E分別是BAi和BC的中點(diǎn)，所以 DE

12、/ AiC.又因?yàn)镈E?平面ACC iAi, AiC?平面ACC iAi,所以DE /平面ACCiAi.（6分）（2）由（i）知 DE / AiC，因?yàn)?AiC 丄 BCi,所以 BCi 丄 DE.（8 分）又因?yàn)?BCi 丄 ABi, AB in DE = D , ABi , DE?平面 ADE，所以 BCi 丄平面 ADE.又因?yàn)锳E?平在ADE，所以AE丄BCi.（i0分）在厶ABC中，AB = AC , E是BC的中點(diǎn)，所以 AE丄BC.（i2分）因?yàn)?AE 丄 BCi, AE 丄 BC, BCi n BC = B , BCi, BC?平面 BCCiBi，所以 AE 丄平面 BCCiB

13、i. （i4 分）【變式3】（20i9蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（一）如圖，三棱錐 DABC中，已知 AC丄BC , AC丄DC, BC = DC , E, F 分別為 BD ，CD 的中點(diǎn).求證：（1）EF /平面 ABC ；（2）BD 丄平面 ACE.規(guī)范解答 三棱錐DABC中，因?yàn)镋為DB的中點(diǎn)，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，所以因?yàn)锽C?平面 ABC , EF?平面 ABC ,所以EF/平面ABC.（6分）（2）因?yàn)?AC 丄 BC, AC 丄 DC , BC n DC = C, BC , DC?平面 BCD所以AC丄平面BCD , （8分）因?yàn)锽D?平面BCD，所以 AC丄BD , （10分）因?yàn)镈C = BC

14、 , E為BD的中點(diǎn)，所以 CE丄BD , （12分）因?yàn)锳C n CE = C, AC , CE?平面ACE，所以BD丄平面 ACE.（14分）【變式4】2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）如圖，在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，AiBi丄B1C1設(shè)A1C與AC1交于點(diǎn)D , B1C與BC1交于點(diǎn)E.求證： （1） DE /平面 ABB 1A1；EF/ BC， （3 分）側(cè)面BCC1B1為正方形,（2） BC1 丄平面 A1B1C.規(guī)范解答（1）因?yàn)槿庵?ABCAiBiCi為直三棱柱，所以側(cè)面 ACCiAi為平行四邊形又 AiC與AC 1交 于點(diǎn)D，所以D為ACi的中點(diǎn)，同理，E為BCi的中

15、點(diǎn).所以DE / AB.（3分）又 AB?平面 ABB iA i, DE?平面 ABB iAi,所以DE /平面ABB iAi.（6分）（2）因?yàn)槿庵?ABCA iBiCi為直三棱柱，所以 BBi丄平面 AiBiCi.又因?yàn)?AiBi?平面AiBiCi,所以BBi丄AiBi.（8分）又 AiBi 丄 BiCi, BBi, BiCi?平面 BCCiBi, BB i n BiCi= Bi,所以 AiBi 丄平面 BCCiBi.（i0 分）又因?yàn)锽Ci?平面BCCiBi，所以AiBi丄BCi.（i2分）又因?yàn)閭?cè)面BCCiBi為正方形，所以 BCi丄BiC.又 AiBi n BiC = Bi, Ai

16、Bi, BiC?平面 AiBiC,所以BCi丄平面AiBiC.（i4分）【變式5】（20i8無錫期末） 如圖，ABCD是菱形，DE丄平面 ABCD , AF / DE , DE = 2AF.（1）求證： AC 丄平面 BDE ；（2）求證： AC /平面 BEF.規(guī)范解答（1）證明：因?yàn)?DE丄平面ABCD , AC?平面ABCD ,所以DE丄AC.（2分）因?yàn)樗倪呅?ABCD是菱形，所以 AC丄BD , （4分）因?yàn)?DE, BD?平面 BDE，且 DE n BD = D ,所以AC丄平面BDE.（6分）（2）證明：設(shè) AC n BD = 0,取BE中點(diǎn)G ,連結(jié)FG, OG ,1易知 OG

17、 / DE 且 OG = ；DE.（8 分）因?yàn)?AF / DE , DE = 2AF，所以 AF / OG 且 AF = OG ,從而四邊形 AFGO是平行四邊形，所以 FG/ AO.（10分）因?yàn)镕G?平面BEF , AO?平面BEF ,所以AO /平面 BEF，即AC /平面 BEF.（14分）【變式6】(2018蘇北四市期末) 如圖，在直三棱柱 ABCA iBiCi中，/ ABC = 90°, AB = AA 1, M , N 分別是AC , BiCi的中點(diǎn).求證：(1) MN /平面 ABB iAi;(2) AN 丄AiB.規(guī)范解答 如圖，取AB的中點(diǎn)P,連結(jié)PM , PB

18、i. 因?yàn)镻, M分別是AB , AC的中點(diǎn)，i所以 PM / BC,且 PM = 2BC.在直三棱柱 ABCA iBiCi 中，BC / BiCi, BC = BiCi,又因?yàn)镹是BiCi的中點(diǎn)，所以 PM / BiN，且 PM = BiN.（2 分）i0所以四邊形 PMNB 1 是平行四邊形，所以 MN / PBi.（4 分）而 MN ?平面 ABB 1A1，PB1? 平面 ABB 1A1，所以MN /平面ABB iAi.（6分）（2）因?yàn)槿庵?ABCA iBiCi為直三棱柱，所以 BBi丄平面 A1B1C1.又因?yàn)?BB1? 平面 ABB 1A1，所以平面ABBiAi丄平面AiBiCi

19、.（8分）又因?yàn)? ABC = 90°,所以BiCi丄BiAi.又平面 ABB iAin平面 AiBiCi= BiAi, BiCi?平面 AiBiCi,所以 BiCi丄平面 ABB iAi.（i0 分） 又因?yàn)?AiB? 平面 ABB iAi,所以BiCi丄AiB，即NBi丄AiB.連結(jié)ABi,在平行四邊形 ABBiAi中，AB = AA i,所以 ABiXAiB.又因?yàn)?NBin ABi = Bi,且 ABi, NBi?平面 AB iN ,所以AiB丄平面 ABiN.（i2分）而AN ?平面ABiN，所以AN丄AiB.（i4分）變式 7】（20i8 南京、鹽城、連云港二模）如圖，已

20、知矩形 ABCD所在平面與 ABE所在平面互相垂 直，AE = AB , M , N , H分別為 DE , AB , BE的中點(diǎn).ii（1）求證：MN /平面BEC;（2）求證：AH丄CE.規(guī)范解答 解法1取CE中點(diǎn)F,連結(jié)FB, MF.因?yàn)镸為DE的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，1所以 MF / CD 且 MF = jCD.（2 分）又因?yàn)樵诰匦?ABCD中，N為AB的中點(diǎn)，1所以 BN / CD 且 BN = CD2 所以MF / BN且MF = BN，所以四邊形 BNMF為平行四邊形，所以 MN / BF.（4分）又MN ?平面BEC , BF?平面BEC ,所以MN /平面 BEC.（6分）

21、解法2取AE中點(diǎn)G,連結(jié)MG , GN.因?yàn)镚為AE的中點(diǎn)，M為DE的中點(diǎn)，所以 MG / AD.又因?yàn)樵诰匦?ABCD中，BC / AD，所以MG / BC.又因?yàn)?MG?平面BEC , BC?平面BEC ,所以MG /平面 BEC.（2分）因?yàn)镚為AE的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，所以 GN / BE.又因?yàn)?GN?平面BEC, BE?平面BEC，所以GN /平面BEC.又因?yàn)?MG n GN = G , MG , GN?平面 GMN ,所以平面GMN /平面BEC.（4分）又因?yàn)?MN?平面GMN，所以 MN /平面BEC.（6分） 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以 BC丄AB.因?yàn)槠矫?ABC

22、D丄平面 ABE，平面 ABCD門平面 ABE = AB , BC?平面ABCD，且BC丄AB ,所以BC丄平面 ABE.（8分）因?yàn)?AH?平面 ABE，所以BC丄AH.因?yàn)锳B = AE , H為BE的中點(diǎn)，所以 BE丄AH.（10分）因?yàn)?BC A BE = B, BC?平面 BEC , BE ?平面 BEC,所以AH丄平面 BEC.（12分）又因?yàn)镃E?平面BEC，所以AH丄CE.（14分）【變式8】（2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（二）如圖，在四棱錐 P ABCD中， ADB 90°,CB CD，點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn).（1 ）若 PB PD，求證：PC BD ；（2）求證：CE平面PA

23、D .規(guī)范解答證明：（1 ）取BD的中點(diǎn)O ,連結(jié)CO, PO ,因?yàn)镃D CB，所以 CBD為等腰三角形，所以 BD CO . 因?yàn)镻B PD，所以 PBD為等腰三角形，所以 BD PO .又POI CO O，所以BD 平面PCO .因?yàn)镻C 平面PCO，所以PC BD .（2）由E為PB中點(diǎn)，連EO，則EO / PD ,又EO 平面PAD，所以EO /平面PAD .由 ADB 90，以及 BD CO，所以 CO / AD ,又CO 平面PAD，所以CO /平面PAD .又COI EO=O，所以平面CEO /平面PAD ,而CE 平面CEO，所以CE /平面PAD .【變式9】（2017蘇州

24、暑假測(cè)試） 如圖，在四棱錐 PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面 PAD丄底面ABCD，且PA= PD = AD , E, F分別為PC, BD的中點(diǎn).（1）求證：EF /平面PAD ;（2）求證：EF丄平面PDC.規(guī)范解答（1）連結(jié)AC因?yàn)檎叫蜛BCD中，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，貝U F也是AC的中點(diǎn).又E是PC的中點(diǎn)，在 CPA中，EF / FA.（3分）又PA?平面FAD, EF?平面FAD，所以EF /平面FAD. （6分）（2）因?yàn)槠矫?PAD丄平面ABCD，平面PAD門平面ABCD = AD, CD?平面ABCD，又CD丄AD，所以CD 丄平面PAD.（8分）又PA?平面PAD，所以

25、CD丄PA.因?yàn)?EF / PA,故 CD 丄 EF.（10 分）又PA = PD =¥"AD，所以 PAD是等腰直角三角形，且/ APD =才，即PA丄PD.又 EF / PA,所以 PD丄 EF.（13 分）而 CD A PD = D, CD , PD?平面 PDC，所以 EF 丄平面 PDC.（14 分）【變式10】（2017蘇北四市一模） 如圖，在正三棱柱 ABCAiBiCi中，已知D, E分別為BC, BiCi的中 點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，且EF丄C1D.求證：（1）直線 A1E/ 平面 ADC1；（2）直線EF丄平面 ADC1.15規(guī)范解答（1）證法1連結(jié)ED，因

26、為D, E分別為BC, BiCi的中點(diǎn)，所以 BiE / BD且BiE= BD , 所以四邊形 B1BDE 是平行四邊形， （2 分）所以 BBi / DE 且 BBi= DE.又 BBi / AAi 且 BBi = AAi,所以 AAi / DE 且 AAi= DE,所以四邊形 AAiED 是平行四邊形,所以 AiE/ AD.（4 分）又因?yàn)?AiE?平面 ADCi, AD?平面ADCi,所以直線 AiE/平面 ADCi.（7分）證法2連結(jié)ED，連結(jié)AiC, EC分別交ACi, DCi于點(diǎn)M , N,連結(jié)MN，則因?yàn)镈, E分別為BC, B1C1 的中點(diǎn)，所以 CiE/ CD且CiE = C

27、D ,所以四邊形CiEDC是平行四邊形，所以 N是CE的中點(diǎn).（2分）因?yàn)锳iACCi為平行四邊形，所以 M是AiC的中點(diǎn)，（4分）所以 MN/ AiE.又因?yàn)?AiE?平面 ADCi, MN?平面 ADCi,所以直線 AiE/平面 ADCi.（7分）（2）在正三棱柱ABCAiBiCi中，BBi丄平面ABC.又AD?平面ABC，所以 AD丄BBi.又厶ABC是正三角形，且 D為BC的中點(diǎn)，所以 AD丄BC.（9分）又 BBi, BC?平面 BiBCCi, BBiA BC = B,所以AD丄平面BiBCCi,又EF?平面Bi BCCi，所以AD丄EF.（ii分）又 EF 丄CiD, CiD, A

28、D?平面 ADCi, CiD n AD = D ,所以直線EF丄平面ADCi.（i4分）題型二 平面與平面的平行于垂直知識(shí)點(diǎn)撥 ：證明平面與平面的平行與垂直問題，一定要熟練記憶平面與平面的平行與垂直判定定理和性 質(zhì)定理，切記不可缺條件。平面與平面的平行關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線；平面與平面垂直可以 從二面角入手頁可以從線面垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例i、（20i9泰州期末）如圖，在四棱錐 PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn) 0為對(duì)角線BD的 中點(diǎn)，點(diǎn)E, F分別為棱 PC, PD的中點(diǎn).已知 PA丄AB , PA丄AD.求證：i17(1) 直線PB/平面 OEF;（2）平面OEF丄平面ABC

29、D.規(guī)范解答 證明： 在厶PBD中，O為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)所以 OF/ PB , （3分）因?yàn)镻B?平面OEF, OF?平面OEF, （7分）所以直線PB /平面OEF（2）解法1連結(jié)AC,因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，O為BD的中點(diǎn)，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).在厶PAC中，O為AC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)，所以 OE/ PA, （9 分）因?yàn)镻A丄AB , PA丄AD ,所以O(shè)E丄AB , OE丄AD , （11分）又因?yàn)?AB n AD = A, AB , AD在平面 ABCD內(nèi)，所以O(shè)E丄平面 ABCD.因?yàn)镺E?平面OEF，所以平面 OEF丄平面 ABCD.（14分）解法2 連結(jié)AC,

30、因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以 AC與BD交于點(diǎn)O, O為AC中點(diǎn)，又E為PC中 點(diǎn)，所以 PA/ OE,因?yàn)镻A丄AB , PA丄AD , AB n AD = A，所以PA丄平面ABCD，所以 OE丄平面ABCD. 又OE?平面OEF，所以O(shè)EF丄平面 ABCD.【變式1】（2019蘇州期末）如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，已知AB丄BC, E, F分別是A1C1, BC的中點(diǎn).（1）求證：平面 ABE 丄平面 B1BCC1;（2）求證：C1F /平面 ABE.#解： 證明：在直三棱柱 ABC AiBiCi中，BBi丄底面ABC ,因?yàn)锳B?平面ABC，所以BBi丄AB.（2分）又

31、因?yàn)?AB 丄BC , BBiA BC = B, BBi, BC?平面 BiBCCi,所以AB丄平面BiBCCi.（4分）又AB?平面ABE，所以平面 ABE丄平面BiBCCi.（6分）證明：取AB中點(diǎn)G,連結(jié)EG, FG.因?yàn)镋, F分別是AiCi, BC的中點(diǎn)，i所以 FG/ AC,且 FG = 2AC.（8 分）因?yàn)?AC / AiCi, 且 AC = AiCi,所以 FG/ ECi,且 FG= ECi.所以四邊形 FGEC 1為平面四邊形， （11 分）所以CiF丄EG.又因?yàn)镋G?平面ABE , CiF?平面ABE ,PAB，所以CiF/平面ABE.（14分）【 變式 2】 （20i

32、9 無錫期末） 在四棱錐 PABCD 中，銳角三角形 PAD 所在平面垂直于平面AB 丄 AD ， AB 丄 BC.（1）求證：BC /平面PAD;（2）平面 PAD丄平面 ABCD.（1）因?yàn)?AB 丄 AD , AB 丄 BC ,且 A , B , C, D 共面，所以 AD / BC.（3 分）因?yàn)锽C?平面PAD, AD?平面PAD，所以BC /平面 PAD.（5分）i21（2）過點(diǎn)D作DH丄PA于點(diǎn)H，因?yàn)槭卿J角 PAD，所以H與A不重合.（7分）因?yàn)槠矫?PAD丄平面 PAB，平面 PAD門平面PAB = PA, DH ?平面PAD.所以DH丄平面PAB, （9分）因?yàn)?AB?平面

33、PAB，所以 DH丄AB.（11分）因?yàn)?AB 丄 AD , AD A DH = DAD , DH ?平面 PAD,所以 AB 丄平面 PAD.因?yàn)?AB?平面 ABCD.所以平面 PAD丄平面 ABCD.（14 分）【變式3】（2018南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào)）如圖，在三棱柱 ABCA iBiCi中，已知AB = AC,點(diǎn)E, F分別在棱BBi, CCi上（均異于端點(diǎn)），且/ ABE =Z ACF , AE丄BB i, AF丄CCi.求證：（i）平面AEF丄平面BBiCiC;（2） BC / 平面 AEF.規(guī)范解答 在三棱柱ABCA iBiCi中，BBi / CCi.因?yàn)锳

34、F丄CCi，所以AF丄BBi.（2分）又 AE 丄 BBi, AE A AF = A , AE , AF?平面 AEF ,所以BBi丄平面AEF.（5分）又因?yàn)锽Bi?平面BBiCiC，所以平面AEF丄平面BBiCiC.（7分）（2）因?yàn)?AE 丄 BBi, AF 丄 CCi,/ ABE =Z ACF , AB = AC，所以 Rt AEB 也 Rt AFC.所以 BE = CF.（9 分）又由知，BE / CF，所以四邊形 BEFC是平行四邊形.從而 BC/ EF.（ii 分）又BC?平面 AEF, EF?平面AEF ,所以BC/平面AEF.（i4分）【變式4】（20i8鎮(zhèn)江期末）如圖，在直

35、三棱柱 ABCA iBiCi中，D為BC中點(diǎn)，AB = AC , BCi丄BiD. 求證：（1）AiC/平面 ADB i;（2）平面AiBCi丄平面 ADB i.規(guī)范解答 設(shè)AiBA ABi = E,連結(jié)DE.因?yàn)锳BCA 1B1C1為直三棱柱，所以 AA iBiB為矩形，所以E為AiB中點(diǎn).（1分）又因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以DE BAiC的中位線，（2分）1所以 DE / AiC 且 DE = 2AiC.（3 分）因?yàn)?AiC?平面 ADB i, DE?平面 ADB i, （5分）所以AiC /平面ADB i.（7分）（2）因?yàn)锳B = AC , D為BC中點(diǎn)，所以 AD丄BC.（8分）又因?yàn)?/p>

36、ABCA iBiCi為直三棱柱，所以 BBi丄平面ABC.因?yàn)锳D?平面ABC，所以BBi丄AD.（9分）因?yàn)?BC?平面 BCCiBi, BBi?平面 BCCiBi, BC n BBi= B ,所以 AD 丄平面 BCCiBi.（10 分）又BCi?平面BCCiBi，所以AD丄BCi.（11分）因?yàn)?BCi丄 BiD, AD?平面 ADB i, BiD?平面 ADB i, AD n BiD= D，所以 BCi丄平面 ADB i.（13 分）因?yàn)锽Ci?平面AiBCi,所以平面 AiBCi丄平面 ADB 1.（14分）（注意：有一個(gè)條件不交代書寫，扣1分，扣滿為止）【變式5】（2017無錫期末

37、）在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，APX平面PCD, E, F分別為PC , AB的中點(diǎn).（1）求證：平面 FAD丄平面 ABCD ;（2）求證：EF /平面FAD.2i規(guī)范解答（1）因?yàn)锳P丄平面PCD , CD?平面PCD，所以AP丄CD.因?yàn)锳BCD為矩形，所以 AD丄CD , （2分）又因?yàn)?APA AD = A, AP?平面PAD , AD?平面PAD，所以 CD丄平面 PAD , （4分）又CD?平面ABCD，故平面 PAD丄平面 ABCD.（6分）（2）連結(jié)AC, BD交于0,連結(jié)OE, OF.因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以O(shè)E/ PA.

38、因?yàn)?OE?平面PAD, PA?平面PAD，所以 OE /平面PAD , （8分）同理OF /平面PAD.（10分）因?yàn)镺EQ OF = O,所以平面 OEF /平面PAD.（12分）因?yàn)镋F?平面OEF，所以EF /平面 PAD.（14分）題型三 直線、平面的平行于垂直的綜合問題知識(shí)點(diǎn)撥：解決此類問題首先要熟練掌握直線、平面的平行與垂直性質(zhì)定理和判定定理，也要熟悉些探索性問題的解決途徑（假設(shè)存在，進(jìn)行探究），有些題目要正確做出輔助線。例3、（2019宿遷期末）在四棱錐SABCD中，SA丄平面ABCD，底面ABCD是菱形.（1）求證：平面 SAC丄平面SBD ;1（2）若點(diǎn)M是棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)

39、 N在棱SA上，且AN = ?NS，求證：SC/平面BMN.規(guī)范解答 因?yàn)镾A丄平面ABCD , BD?平面ABCD ,所以SA丄BD.（2分）又因?yàn)榈酌?ABCD是菱形，所以 AC丄BD.又 SA , AC?平面 SAC，且 SA A AC = A,所以BD丄平面SAC.（5分）由BD?平面SBD，得平面 SAC丄平面 SBD.（7分）設(shè)AC與BM的交點(diǎn)為E,連結(jié)NE.由底面ABCD是菱形，得 AD / BC.AE AM AM 1 心厶、 所以 EC = BC = AD = 2.（9 分）又因?yàn)?AN = 2NS，所以 EC = ANS = 2，所以 NE / SC.（11 分）因?yàn)镹E?平

40、面BMN , SC?平面BMN，所以SC/平面 BMN.（14分）易錯(cuò)警示 在使用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面平行的判定定理等定理時(shí)，一定要將定理 的條件寫全，否則犯了 “推不出 ”的錯(cuò)誤，導(dǎo)致扣分【變式1】（2018蘇州暑假測(cè)試） 如圖，在三棱錐 PABC中，已知平面 PBC丄平面ABC.（1）若 AB 丄 BC , CP丄 PB，求證：CP 丄 PA;（2）若過點(diǎn)A作直線I丄平面ABC，求證：I /平面PBC.規(guī)范解答 （1）因?yàn)槠矫?PBC丄平面 ABC，平面 PBC門平面 ABC = BC , AB?平面 ABC , AB丄BC,所 以 AB 丄平面 PBC.（2 分）因?yàn)镃P

41、?平面PBC，所以 CP丄AB.（4分）又因?yàn)?CP丄PB，且PB A AB = B, PB , AB?平面PAB，所以 CP丄平面PAB.（6分）又因?yàn)镻A?平面PAB，所以CP丄PA.（8分）（2）如圖，在平面 PBC內(nèi)過點(diǎn)P作PD丄BC,垂足為 D.31因?yàn)槠矫?PBC丄平面 ABC，又平面 PBC門平面 ABC = BC , PD?平面PBC，所以PD丄平面 ABC.（11分） 又I丄平面ABC，所以I / PD.又I?平面PBC, PD?平面PBC，所以I /平面PBC.（14分）解后反思 一般地，已知面面垂直，需要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，找出兩平面的交線后，尋找平面 中是否有直線垂直于另外一個(gè)平面，若沒有，則在某平面內(nèi)構(gòu)造一條線垂直于交線即可【變式2】（2018常州期末）如圖，四棱錐 PABCD的底面ABCD是平行四邊形，PC丄平面ABCD , PB =PD，點(diǎn)Q是棱PC上異于P, C的一點(diǎn).（1