四邊形復習講義精講

1、四邊形復習講義考試目標要求：1 .探索并了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，了解正多邊形的概念2 .掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性質(zhì), 了解它們之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性 .3 .探索并掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是平行四邊形的條件4 .探索并掌握矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件5 .探索并了解等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是等腰梯形的條件6 .通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面, 并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設(shè)計.知識考點梳理知識點一、多邊形的有關(guān)概念和性質(zhì)1 .多邊形的定義：在

2、平面內(nèi)，由不在同一直線上的一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形2 .多邊形的性質(zhì)：(1)多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(2)?180 (2)推論：多邊形的外角和是 360°(3)對角線條數(shù)公式：n邊形的對角線有 條；(4)正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形知識點二、四邊形的有關(guān)概念和性質(zhì)1 .四邊形的定義：同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形2 .四邊形的性質(zhì)：(1)定理：四邊形的內(nèi)角和是 360°(2)推論：四邊形的外角和是 360°.知識點三、平行四邊形1 .平行四邊形的定義：兩組對邊分別平

3、行的四邊形叫做平行四邊形2 .平行四邊形的性質(zhì)：(1)平行四邊形的對邊平行且相等；(2)平行四邊形的對角相等；(3)平行四邊形的對角線互相平分；3 .平行四邊形的判定方法：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)；(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(4) 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.4 .面積公式：(a是平行四邊形的一條邊長，h是這條邊上的高).知識點四、矩形1 .矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2 .矩形的性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；(1)矩形的對邊平

4、行且相等；(2)矩形的四個角都相等，且都是直角；(3)矩形的對角線互相平分且相等.3 .矩形的判定方法：(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形(定義)；(2)有三個角是直角的四邊形是矩形；(3)對角線相等的平行四邊形是矩形 .4 .面積公式：(a、b是矩形的邊長).知識點五、菱形1 .菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2 .菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；(1)菱形的對邊平行，四條邊都相等；(2)菱形的對角相等；(3)菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角3 .菱形的判定方法：(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(定義)；(2)四條邊都相等的四邊形是菱

5、形；(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.4 .面積公式：).(a是平行四邊形的邊長，h是這條邊上的高)或(m、n是菱形的兩條對角線長 知識點六、正方形1 .正方形的定義：有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形；或有一個角是直角的菱形叫做正方形.2 .正方形的性質(zhì)：正方形具有平等四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)；(1)正方形的對邊平行，四條邊都相等；(2)正方形的四個角都是直角；(3)正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分；每條對角線平分一組對角；3 .正方形的判定方法：(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形；(2)有一個角是直角的菱形是正方形；(3)對角線相等的菱形是正方形；(4)對角線互相垂直的矩形是

6、正方形 .4 .面積公式：2(a是邊長)或b2(b正方形的對角線長).平行四邊形和特殊的平行四邊形之間的聯(lián)系：知識點七、梯形1 .梯形的定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形(1)互相平行的兩邊叫做梯形的底；較短的底叫做上底，較長的底叫做下底(2)不平行的兩邊叫做梯形的腰 .(3)梯形的四個角都叫做底角.2 .直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3 .等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.4 .等腰梯形的性質(zhì)：(1)等腰梯形的兩腰相等；(2)等腰梯形同一底上的兩個底角相等.(3)等腰梯形的對角線相等.5 .等腰梯形的判定方法：(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形(定義)；(2)同

7、一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；(3)對角線相等的梯形是等腰梯形 .6 .梯形中位線：連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.7 .面積公式：()h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).知識點八、平面圖形的鑲嵌1 .平面圖形的鑲嵌的定義：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙， 不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌，又稱做平面圖形的密鋪2 .平面圖形鑲嵌的條件：(1)同種正多邊形鑲嵌成一個平面的條件：周角是否是這種正多邊形的一個內(nèi)角的整倍 數(shù).在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌(2)n種正多邊形組合起來鑲嵌成一個平面的條件：n個正多邊形中的

8、一個內(nèi)角的和的倍數(shù)是360°n個正多邊形的邊長相等，或其中一個或n個正多邊形的邊長是另一個或n個正多邊形的邊長的整數(shù)倍.四、規(guī)律方法指導1 .數(shù)形結(jié)合思想多邊形是反映了數(shù)的抽象性與形的直觀性這一對矛盾的對立統(tǒng)一，以及在一定條件下的互相轉(zhuǎn)化，由數(shù)構(gòu)形，由形思數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想.尤其在平行四邊形和矩形、菱形、正方形、梯形中，圖形的特點非常鮮明， 與我們現(xiàn)實生活的聯(lián)系很大，利用它們的性質(zhì)和判定能解決實際中的問題.2 .分類討論思想根據(jù)題目中的已知判斷是哪種特殊的平行四邊形，不同的特殊的平行四邊形的性質(zhì)和判定不同.結(jié)合各自的特點進行分類，得出最終的結(jié)論.3 .化歸與轉(zhuǎn)化思想要記清和分清平行四邊

9、形及特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定，要體會化歸思想的應(yīng)用，如:多邊形轉(zhuǎn)化為三角形；平行四邊形、梯形及特殊的平行四邊形性質(zhì)的討論通過對角線轉(zhuǎn)化為 全等三角形等.4 .注意觀察、分析、總結(jié)在判斷邊相等或角相等的問題上，常以平行四邊形、梯形及特殊的平行四邊形的性質(zhì)或判定為依據(jù)，當條件結(jié)論的關(guān)系無法找到時，可以通過輔助線將圖形適當變化，使條件集中， 以便應(yīng)用條件達到解題的目的，由繁變簡，一般與特殊之間的轉(zhuǎn)化5 .四邊形知識點間的聯(lián)系經(jīng)典例題透析考點一、多邊形及鑲嵌1 .若一個正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的倍，則這個多邊形的邊數(shù)是 .考點：本題考查n邊形的內(nèi)角和公式：（2）?180和多邊形的外角和是 360&

10、#176;.解析：設(shè)正多邊形邊數(shù)為n,由題意得：（2）?180 ° =360° ,X解得8, .這個多邊形的邊數(shù)是八邊 .2 .下列正多邊形中，能夠鋪滿地面的是（）A、正五邊形B、正六邊形C、正七邊形D、正八邊形考點：鑲嵌的條件：周角是這種正多邊形的一個內(nèi)角的整倍數(shù)思路點拔：在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌答案：B3 . 一個多邊形從一個頂點共引出三條對角線，此多邊形一定是（）A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.三角形思路點拔：n邊形的對角線從一個頂點共引（3）條對角線.解析：根據(jù)題意列式為 3=3,，6.故選C.4 . 一個同學在進行多邊形內(nèi)角和計算時，

11、求得的內(nèi)角和為1125。，當發(fā)現(xiàn)錯了之后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少了一個內(nèi)角.少了的這個內(nèi)角是度，他求的是邊形的內(nèi)角和思路點拔：一個多邊形的內(nèi)角和能被180。整除，本題內(nèi)角和 1125。除以180。后有余數(shù)，則少的內(nèi)角應(yīng)和這個余數(shù)互補.解析：設(shè)這個多邊形邊數(shù)為n,少算的內(nèi)角度數(shù)為 x,由題意得：（2）?180° =1125° + ,x°1.n為整數(shù)，0°vxv 180°, .,.符合條件的x只有135°,解得9.應(yīng)填135、九. 總結(jié)升華：多邊形根據(jù)內(nèi)角或外角求邊數(shù)，或是根據(jù)邊數(shù)求內(nèi)角或?qū)蔷€條數(shù)等題是重 點，只需要記住各公式或之間的聯(lián)系，并

12、準確計算 舉一反三：【變式1】如果一個多邊形的每一個內(nèi)角都相等，且每一個內(nèi)角的度數(shù)為135°,那么這個多邊形的邊數(shù)為（）A.6B.7C.8D.以上答案都不對思路點拔：在本題可利用外角去求邊數(shù)，每個外角為45。，外角和是360。，有幾個外角就有幾條邊.解析：.多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)為135。，.每個外角為 45°又多邊形外角和為 360°, .邊數(shù)=360° 乂5°=8,故選C.【變式2】多邊形的內(nèi)角和隨著邊數(shù)的增加而，邊數(shù)增加一條時，它的內(nèi)角和增加度.解析：多邊形每增加一邊，內(nèi)角和就增加180°.答案：增加、180.考點二、平行四邊形5

13、 .平行四邊形的周長為 40,兩鄰邊的比為 2: 3,則這一組鄰邊長分別為.考點：平行四邊形的邊的性質(zhì).思路點拔：掌握平行四邊形的對邊相等.解析：口周長為40 .20,又： 2: 3,令 2k, 3k,2320,解得 4,這一組鄰邊長分別為 8和12.6 .已知O是寸勺對角線交點，24, 38, 14,那么的周長等于.考點：平行四邊形的對角線互相平分.解析：口12, 19, 14，的周長 19+12+14=45.7 .如圖，是 寸勺對角線，點E、F在上，要使四邊形是平行四邊形，還需要增加的一個 條件是.考點：平行四邊形的判定.思路點拔：本題可以利用平行四邊形的判定中的一組對邊平行且相等；也可以

14、利用對角線互相平分來判定等.答案不唯一.條件一：增加的條件為/.證明：/,./, /,匚中，/ ,/ /.四邊形是平行四邊形.條件二：增加的條件為.解法一：可利用證明得，.四邊形是平行四邊形.解法二：連結(jié)交于 O楙，,得.四邊形是平行四邊形.總結(jié)升華：借助平行四邊形的性質(zhì)進行線段或角相等的證明，或利用平行四邊形的判定條件確定四邊形的形狀，是考查的重點.舉一反三：【變式1】在平行四邊形中，兩條對角線、相交于點O,如右圖，與面積相等的三角形有（）個.A、1 B、2C、3D、4解析：兩條對角線分成的四個小三角形面積都相等，等底等高，與面積相等的三角形有、.故選C【變式2】如圖，中/ 90°

15、,點D、E分別是，的中點，點 F在的延長線上，且/A.求證：四邊形是平行四邊形考點：本題要求會綜合運用所學的知識證明結(jié)論：（1）三角形的中位線性質(zhì)；（2）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；（3）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四形.證明： D、E分別是，的中點，是的中位線 , / 即 /中/ 90°, E是的中點，- Z Z A, /.ZZ,/.四邊形是平行四邊形. 考點三、矩形8.如圖，矩形的兩條對角線相交于O, Z 60°, 8,則矩形對角線的長.考點：矩形的性質(zhì).思路點拔：掌握矩形的對角線相等，會用一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形解析：在矩形中，,/ 60

16、76;, 是等邊三角形.8,216,故應(yīng)填 16.9 .如右圖，把一張矩形紙片沿對折，使 C點落在E處且 與相交于點O.寫出一組相等 的線段.（不包括和）.思路點拔：理解折疊前后圖形的變化，也可證出找出對應(yīng)量相等.解析：或、等總結(jié)升華：矩形在平行四邊形的基礎(chǔ)上進一步特殊化，結(jié)合矩形的對角線平分且相等， 會運用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)舉一反三：【變式1】四邊形的對角線相交于點O,在下列條件中，不能判定它是矩形的是（）,/ 90° ， C.Z Z 90°, Z Z 180° D.ZZ 90° 思路點拔：本題應(yīng)結(jié)合圖形去解決，掌握矩形的判定方

17、法解析：A選項由，判定是 口再利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得；B選項由，判定是口再利用對角線相等的平行四邊形是矩形；D選項由/判定是 口再利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得；而C選項卻不能判定，舉反例如直角梯形.故選C.【變式2】矩形一個角的平分線分矩形一邊成2和3,則這個矩形的面積為.考點：矩形的面積公式思路點拔：在沒有圖形的題中，畫圖時應(yīng)考慮全面，本題體現(xiàn)了分類的思想，被分的兩 部分長度不確定解析：如圖（1）若3, 2,則矩形邊長分別 3和5,面積為152 如圖（2）若2, 3,則矩形邊長分別 2和5,面積為102 則這個矩形面積就為 102和152.考點四、菱形10 .在

18、菱形中，對角線、交于點 O,、的長分別為5厘米、10厘米，則菱形的面積為 厘米2.考點：菱形面積.思路點拔：菱形的對角線互相垂直，面積公式有兩個：（1）底乘高；（2）對角線乘積的一半.解：菱形的面積=X >5X10=252.11 .能夠判別一個四邊形是菱形的條件是（）A.對角線相等且互相平分B.對角線互相垂直且相等C.對角線互相平分D.一組對角相等且一條對角線平分這組對角考點：菱形的判定解析：A選項可判定為矩形；B選項不能判定是平行四邊形，也不能判定是菱形；C選項只能判定是平行四邊形；D選項由等角對等邊和三角形全等得到四條邊都相等.故選D.總結(jié)升華：菱形在平行四邊形的基礎(chǔ)上進一步特殊化，

19、菱形的對角線互相垂直，把菱形分成四個全等的直角三角形，常利用這一性質(zhì)求線段和角，以及菱形的面積舉一反三：【變式1】已知菱形的一條對角線與邊長相等，則菱形的兩個鄰角度數(shù)分別為（）A. 45 °, 135° B. 60 °, 120° C. 90 °, 90° D. 30 °, 150°思路點拔：菱形的一條對角線與邊長相等，則構(gòu)成等邊三角形，從而求出菱形的內(nèi)角度數(shù).答案：B【變式2】如圖，已知平分/, /,/,5.（1）判斷四邊形的形狀？（2）它的周長是多少？考點：菱形的判定思路點拔：利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

20、的判定方法證明證明：（1）;平分/,/.四邊形是平行四邊形，ZZ平行四邊形是菱形.（2）二平行四邊形是菱形，5，菱形的周長=44 X5=20.【變式3】如圖，菱形的邊長為 2, / 45°,則點B的坐標為.思路點拔：利用數(shù)形結(jié)合的思想，可先求 A點坐標，再向右平移 2個單位. 解析：過A作，于D,/ 45°, 2, , A（,）2, . B（2+ ,）. 考點五、正方形12 .正方形具有而矩形不一定具有的特征是（）A.四個角都是直角B.對角線互相平分C.對角線互相垂直D.對角線相等思路點拔：正方形是滿足矩形和菱形的所有性質(zhì).，正方形的對角線互相垂直，而矩形對角線則不一定互相

21、垂直.答案：C.13 .如圖，以A、B為頂點作位置不同的正方形，一共可以作（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個思路點拔：本題考查學生解題能力，容易將是對角線的情況忽略，而錯誤的選B.解析：如圖，共有3個.14 .圖中的矩形是由六個正方形組成，其中最小的正方形的面積為1,求這個矩形的長和寬各是多少？思路點拔：本題利用正方形的邊長相等，及矩形的對邊相等，設(shè)某個正方形的邊長為 x,并用x表示矩形的對這得出相應(yīng)的方程，求出矩形的長和寬 解：設(shè)右下方正方形的邊長為，則左下方正方形的邊長為+1 ,左上方正方形的邊長為+2,右上方正方形的邊長為+3 ,根據(jù)長方形的對邊相等可列方程2 + +1= +2+

22、 +3 ,解這個方程得 =4,長方形的長為13,寬為11.總結(jié)升華：正方形的性質(zhì)很多，往往是在判定矩形或菱形的基礎(chǔ)上再進一步判定正方形，做正方形的問題時，要考慮全面，有選擇的運用正方形的知識解題舉一反三：【變式1 下列選項正確的是（）A.四邊相等的四邊形是正方形B.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形C.對角線垂直的平行四邊形是正方形D.四角相等的四邊形是正方形考點：正方形的判定方法.思路點拔：掌握正方形的判定方法要從邊、角、對角線各方面考慮解析：A、C選項能判定是菱形；D選項能判定是矩形；故應(yīng)選 B.【變式2】正方形中，對角線長為16, P是上任意一點，則點 P至IJ、的距離之和等于.思

23、路點拔：本題方法很多，（1）可以利用三角形面積去求：連接，的面積等于和的面積之和；（2）也可證明矩形，得，再證，從而得出結(jié)論.總之，P在上移動時，點 P至IJ、的距離之和總等于對角線長的一半.解析：8【變式3】（1）順次連結(jié)任意四邊形四邊中點所得的四邊形一定是（）A、平行四邊形B、矩形C、菱形D、正方形（2）順次連結(jié)對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是（）A、平行四邊形B、矩形C、菱形D、正方形（3）順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是（）A、平行四邊形B、矩形C、菱形D、正方形（4）順次連結(jié)對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是（）A、平行四邊形B

24、、矩形C、菱形D、正方形考點：中點四邊形的判定由原四邊形的對角線決定思路點拔：規(guī)律：順次連結(jié)任意四邊形四邊中點所得的四邊形一定是平行四邊形；順次連結(jié)對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是菱形；順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形一定是矩形；順次連結(jié)對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形-一定是.答案：（1）A （2）C B （4）D考點六、梯形15.等腰梯形 中，則梯形的腰長是 考點：等腰梯形的性質(zhì).思路點拔：梯形常作的輔助線是作梯形的高，將梯形分成一個矩形和兩個直角三角形;本題也可平移一腰，將梯形分成一個平行四邊形和一個等邊三角形解析：過A作/交于E /,5,9

25、-5=4 .梯形是等腰梯形， /60°, 是等邊三角形 .4,即梯形的腰長是4.16 .如圖，在梯形中，/ ,2, 8, 6, 8,則此梯形的面積是()(A)24(B)20(C)16(D)12思路點拔：梯形常作的輔助線還有就是平移對角線，將梯形分成一個三角形以及一個平行四邊形.解析：過D作/交延長線于 E,可得，10, ，的三邊為 6、8、10,為直角三角形， 和等底等高，梯形的面積等于的面積即梯形的面積=6X8X=24.17 .如圖，在等腰梯形中，/,相交于點O.?有下列四個結(jié)論：；梯形是軸對稱圖形；.其中正確的是().(A)(B)(C)(D)考點：本題考查的是等腰梯形的性質(zhì).答案

26、：C總結(jié)升華：解決梯形問題時，輔助線是常用的方法，除上述輔助線之外，還可以延長兩腰交于一點，構(gòu)成三角形；若已知一腰中點，可連結(jié)一頂點和這個中點，構(gòu)成兩個全等的三角形.舉一反三：【變式1】已知梯形的上底長為 3 ,中位線長為6 ,則下底長為.考點：梯形的中位線性質(zhì).思路點拔：梯形的中位線平行兩底，且等于上、下底和的一半 答案：9.【變式2】如圖，梯形中，/, E、F分別是、的中點，/和/互余，若 4, 10,則.解析：過E作/ , / ,交于 M、N ,可求10-4=6和/互余，可得,再證是斜邊上的中線，可求的長=X6=3.【變式3】已知等腰梯形，/, E為梯形內(nèi)一點，且.求證:思路點拔：利用梯

27、形的性質(zhì)可證明三角形全等證明：在等腰梯形中，ZZ/,即/ .中考題萃1 .（北京市）（4分）若一個多邊形的內(nèi)角和等于720°,則這個多邊形的邊數(shù)是（）A.5B.6C.7D.82 .（赤峰市）（3分）分別剪一些邊長相同的正三角形，正方形，正五邊形，正六邊 形，如果用其中一種正多邊形鑲嵌，可以鑲嵌成一個平面圖案的有（）A.B.C.D.都可以3 .（湖北省襄樊市）（3分）順次連接等腰梯形四邊中點所得四邊形是（）A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形4 .（衡陽市）（3分）如圖，在平行四邊形 中，為垂足，如果，那么 的度數(shù)是（）A.B.C. D.5 .（廣州）（3分）如圖，每個小正方形的邊長

28、為 1,把陰影部分剪下來，用剪下來的陰影部 分拼成一個正方形，那么新正方形的邊長是（）A.B.2 C.D.6 .（永春縣）（3分）四邊形的外角和等于度.7 .如圖，在正五邊形中，連結(jié)，則/的度數(shù)是8 .（佳木斯市）（3分）一幅圖案.在某個頂點處由三個邊長相等的正多邊形鑲嵌而成.其中的兩個分別是正方形和正六邊形，則第三個正多邊形的邊數(shù)是9 .（江蘇省宿遷市）（3分）若一個正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的倍，則這個多邊形的邊數(shù)是.10 .（安順市）（4分）若順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是菱形，則原四邊形可能是.（寫出兩種即可）11 .（赤峰市）（4分）如圖，已知 平分，則.12 .（佛山市）（3分）如圖，已知P是正方形對角線上一點，且 =,則/度數(shù)是.13 .（湖南省懷化市）（2分）如圖，在平行四邊形中，、，于E,則14 .（海南?。?分）如圖，在等腰梯形中，/,/,6,則.15 .（莆田市）（3分）如圖，大正方形網(wǎng)格是由16個邊長為1的小正方形組成，則圖中陰影 部分的面積是16 .（廣州）（3分）如圖，在梯形中，/, , ±, 6, 8,則梯形的高為17 .（莆田市）（3分）如圖，四邊形是一張矩形紙片