《變化率問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的概念》導(dǎo)學(xué)案

1、第1課時(shí)變化率問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的概念a1.通過(guò)物理中的變化率問(wèn)題和瞬時(shí)速度引入導(dǎo)數(shù)的概念.2.掌握利用求函數(shù)在某點(diǎn)的平均變化率的極限實(shí)現(xiàn)求導(dǎo)數(shù)的基本步驟.3.通過(guò)構(gòu)建導(dǎo)數(shù)概念,使學(xué)生體會(huì)極限思想,為將來(lái)學(xué)習(xí)極限概念積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).4.通過(guò)導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)教程,使學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般的過(guò)程是發(fā)現(xiàn)事物變化規(guī)律的重要過(guò)程.借助多媒體播放2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)中國(guó)跳水運(yùn)動(dòng)員陳若琳奪得女子單人10米跳臺(tái)冠軍的視頻.上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平均變化率的問(wèn)題,我們知道運(yùn)動(dòng)員的平均速度不一定能夠反映她在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),而運(yùn)動(dòng)員在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的,我們需要借助于瞬時(shí)速度這樣的量來(lái)刻畫(huà),那么我們?nèi)绾尾拍芮蟪鲞\(yùn)動(dòng)員

2、在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度呢?問(wèn)題1:根據(jù)以上情境,設(shè)陳若琳相對(duì)于水面的高度h (單位:m)與起跳后的時(shí)間t (單位:s) 存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài), 那么:(1)在0t0.5這段時(shí)間里,運(yùn)動(dòng)員的平均速度v-=. (2)在1t2這段時(shí)間里, 運(yùn)動(dòng)員的平均速度v-=. 問(wèn)題2:函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率公式是.如果用x1與增量x表示,平均變化率的公式是 . 問(wèn)題3:函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率的定義:一般地,函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是limx0yx=limx0f(

3、x0+x)-f(x0)x,我們稱(chēng)它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limx0yx=. 問(wèn)題4:在導(dǎo)數(shù)的定義中,對(duì)x0的理解是:x>0,x<0,但. 1.已知函數(shù)y=f(x)=x2+1,當(dāng)x=2,x=0.1時(shí),y的值為().A.0.40B.0.41C.0.43D.0.442.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,且有f(x0+x)-f(x0)=ax+b(x)2(a,b為常數(shù)),則().A.f'(x)=aB.f'(x)=bC.f'(x0)=aD.f'(x0)=

4、b3.一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)=2t2運(yùn)動(dòng),則在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為. 4.求y=2x2+4x在點(diǎn)x=3處的導(dǎo)數(shù).求平均變化率 (1)已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及附近一點(diǎn)B(-1+x,-2+y),則yx=. (2)求y=x2在x=x0附近的平均變化率.求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度若一物體運(yùn)動(dòng)方程為s=3t2+2,0t<3,29+3(t-3)2,t3,求此物體在t=1和t=4時(shí)的速度.導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用已知f'(x0)=2,求limh0f(x0-4h)-f(x0)h.函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間2,2+x內(nèi)的平均變化率為. 質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s(

5、t)=at2+1作直線運(yùn)動(dòng)(位移單位:m,時(shí)間單位:s),若質(zhì)點(diǎn)M在t=2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s,求常數(shù)a的值.已知f(x)=x3-8x,則limx0 f(2+x)-f(2)x=;limx2 f(x)-f(2)x-2=;limk0f(2-k)-f(2)2k=. 1.自變量x從x0變到x1時(shí),函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)().A.在區(qū)間x0,x1上的平均變化率B.在x0處的變化率C.在x1處的變化量D.在區(qū)間x0,x1上的導(dǎo)數(shù)2.函數(shù)f(x)=x2在x0到x0+x之間的平均變化率為k1,在x0-x到x0之間的平均變化率為k2,則k1 ,k2的大小關(guān)系是().A.k1&

6、gt;k2B.k1=k2C.k1<k2D.無(wú)法確定3.(1)設(shè)函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x由x0變化到x0+x時(shí),函數(shù)值的改變量y為.  (2)設(shè)函數(shù)y=f(x)=3x2,則y=f(1+x)-f(1)=,yx=,limx0yx= ,f'(1)=. 4.已知自由下落物體的運(yùn)動(dòng)方程是s=12gt2(s的單位是m,t的單位是s),求:(1)物體在t0到t0+t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度;(2)物體在t0時(shí)的瞬時(shí)速度;(3)物體在t0=2 s到t1=2.1 s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度;(4)物體在t=2 s時(shí)的瞬時(shí)速度.求函數(shù)f(x)=x3+2x+1在x0=1處的導(dǎo)數(shù)f'

7、;(1).考題變式(我來(lái)改編):第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1課時(shí)變化率問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的概念知識(shí)體系梳理問(wèn)題1:(1)h(0.5)-h(0)0.5-0=4.05 m/s(2)h(2)-h(1)2-1=-8.2 m/s問(wèn)題2:f(x2)-f(x1)x2-x1f(x1+x)-f(x1)x問(wèn)題3:limx0f(x0+x)-f(x0)x問(wèn)題4:x0基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.Bx=2,x=0.1,y=f(x+x)-f(x)=f(2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41. 2.Cyx=f(x0+x)-f(x0)x=a+bx,f'(x0)=limx0yx=limx0(a+bx)=a.3.8s(2+t)

8、-s(2)=2(2+t)2-2×22=2(t)2+8t,limt0s(2+t)-s(2)t=limt02(t)2+8tt=limt0(2t+8)=8.4.解:y=2(3+x)2+4(3+x)-(2×32+4×3)=2(x)2+16x,yx=2x+16,limx0yx=limx0(2x+16)=16,即y'|x=3=16.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)y=f(-1+x)-f(-1)=-(-1+x)2+(-1+x)-(-1)2+(-1)=-(x)2+3x,yx=-(x)2+3xx=-x+3.(2)因?yàn)閥=(x0+x)2-x02,所以yx=(x0+x)2-x

9、02x=2x0+x,所以y=x2在x=x0附近的平均變化率為2x0+x.【小結(jié)】1.本題需利用平均變化率的定義來(lái)解決,但要注意x可正、可負(fù)、不可為零, y可正、可負(fù)、可為零.2.求平均變化率可根據(jù)定義代入公式直接求解,解題的關(guān)鍵是弄清自變量的增量x與函數(shù)值的增量y,求平均變化率的主要步驟是:(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量y=f(x1)-f(x0).(2)再計(jì)算自變量的改變量x=x1-x0.(3)得平均變化率yx=f(x1)-f(x0)x1-x0.探究二:【解析】當(dāng)t=1時(shí),s=3t2+2,s=s(t+t)-s(t)=3(1+t)2+2-(3+2)=6t+3(t)2,v=limt0st=limt06

10、t+3(t)2t=limt0(6+3t)=6.當(dāng)t=4時(shí),s=29+3(t-3)2,s=s(t+t)-s(t)=29+3(4+t-3)2-29-3(4-3)2=3(t)2+6t,v=limt0st=limt03(t)2+6tt=limt0(3t+6)=6.物體在t=1和t=4時(shí)的瞬時(shí)速度分別是6和6.【小結(jié)】1.“l(fā)imt0(6+3t)=6”中,“t0”指t趨近于零,即自變量的變化幾乎為零.2.求物體瞬時(shí)速度的步驟:(1)設(shè)非勻速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律s=s(t).(2)求時(shí)間改變t時(shí)的位置改變量s=s(t0+t)-s(t0).(3)求平均速率v-=st.(4)計(jì)算瞬時(shí)速率:當(dāng)t0時(shí),stv(常數(shù)).

11、探究三:【解析】由已知得:limh0f(x0+h)-f(x0)h=2,當(dāng)h0,2h0,-4h0,limh0f(x0-4h)-f(x0)h=limh0f(x0+h)-f(x0)h=2.問(wèn)題上面的解答遵循導(dǎo)數(shù)的定義嗎?結(jié)論沒(méi)有,在導(dǎo)數(shù)的定義形式中,增量x的形式多種多樣,但是無(wú)論增量x選擇哪種形式,y必須保持相應(yīng)的形式.即:f'(x0)=limh0yx=limh0f(x0+h)-f(x0)h=limh0f(x0+ah)-f(x0)ah(其中a為非零常數(shù)).于是,正確解答為:limh0f(x0-4h)-f(x0)h=-4limh0f(x0-4h)-f(x0)-4h=-4limh0f(x0+h)

12、-f(x0)h=-4f'(x0)=-8.【小結(jié)】對(duì)極限的理解和計(jì)算,也是對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的準(zhǔn)確理解.通過(guò)此題可以看出學(xué)生是否掌握了導(dǎo)數(shù)的概念.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:20+5x因?yàn)閥=5(2+x)2+6-5×22-6=20x+5(x)2,所以平均變化率yx=20+5x.應(yīng)用二:s=s(2+t)-s(2)=a(2+t)2+1-a×22-1=4at+a(t)2,st=4a+at,limt0st=4a,即4a=8,a=2.應(yīng)用三:44-2f'(x)=limx0yx=limx0f(x+x)-f(x)x=limx0(x+x)3-8(x+x)-(x3-8x)x=limx0(3x2

13、+3x·x+x2-8)=3x2-8,f'(2)=4.limx0 f(2+x)-f(2)x=f'(2)=4.limx2 f(x)-f(2)x-2=lim(x-2)0 f2+(x-2)-f(2)x-2=f'(2)=4.limk0 f(2-k)-f(2)2k=-12lim(-k)0 f(2-k)-f(2)-k=-12f'(2)=-2.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.A由平均變化率的定義可知應(yīng)選A.2.D因?yàn)閤可正、可負(fù)不可為0,所以k1與k2大小關(guān)系不確定,應(yīng)選D.3.(1)f(x0+x)-f(x0) (2) 6x+3(x)26+3x664.解:(1)平均速度為st=12g(t0+t)2-12gt02t=gt0+12gt.(2)瞬時(shí)速