4第4講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1、第4講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1名師導(dǎo)悟麗用在二直接將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值典例引領(lǐng)例門(mén) (2017高考全國(guó)卷 出)已知函數(shù)f(x)=ln x+ ax2+(2a+1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；3.(2)當(dāng) a<0 時(shí)，證明 f(x)w% 2.【解】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+8)，(x) = 1+2ax+2a+1 =(x+"_L2?xil2_.當(dāng) a>。xx，則當(dāng)xC (0, + 8)時(shí)，f' (x)>0,故f(x)在(0, + 8)上單調(diào)遞增.(x)<0.故 f(x)在(0, 4)2 a'當(dāng) a<°,則當(dāng) xc(0, 一時(shí)

2、，f，(x)>°；當(dāng) xc(-2a, +8)時(shí)， 1 , 上單調(diào)遞增，在( J, +8)上單調(diào)遞減.(2)證明：由(1)知，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在x= /取得最大值，最大值為 f( ：)= in( ")1 2a2a2a'1 4a.所以 f(x)w 2 等價(jià)于 ln( ；)1 2,即 ln( /) +，+1W0.設(shè) g(x)= In x4a2 a4a 4a2a 2a一 ,1x+1,則 g (x)=1.當(dāng) xC (0, 1)時(shí)，g (x)>0 ;當(dāng) xC (1 , + 8)時(shí) g (x)<0.所以 g(x) x在(0, 1)上單調(diào)遞增，在(1,

3、+8)上單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為 g(1) = 0.所以當(dāng) x>0 時(shí)，g(x)W0.從而當(dāng) a<0 時(shí)，ln( 2a) + 2+1W0，即,依)4a-2.將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來(lái)證明不等式，其主要思想是依據(jù)函數(shù)在固定區(qū)間的單調(diào)性，直接 求得函數(shù)的最值，然后由 f(x)Wf(x)max或f(x)>f(x)min直接證得不等式.將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值典例引領(lǐng)已知 f(x) = xln x.(1)求函數(shù)f(x)在t, t+2(t>0)上的最小值;12、.(2)證明：X一切 xC (0, +oo ),都有 in x>exex成乂.【解】

4、 由 f(x)=xln x, x>0,得 f'x)=ln x+1,令 f'x)=0,得 x=-. e當(dāng) xC p e J時(shí),f' (x)<0, f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xC弓，+8；時(shí)，f，(x)>0, f(x)單調(diào)遞增.1K,當(dāng) 0<t<<t+2,即 0<t<一時(shí)， e 'ef(X)min=f 1 1=；1一 1 .當(dāng)-wt<t+2,即 tn-時(shí),f(x)在t, t+2上單倜遞增,f(x)min = f(t)=tln t. ee所以f(x)mT、tln t,1 0<t<-(2)證明：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明x

5、ln x>xx2(xC (0, +00).e e、1由(1)可知f(x)=xln x(x (0, + 8)的取小值是一 e當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到.ex 2 一設(shè) m(x) = r(xC (0, + 0°) e eL" ，v 1 x則 m x) = e由m'x)<0得x>1時(shí)，m(x)為減函數(shù)，由m x)>0得0<x<1時(shí)，m(x)為增函數(shù)，易知m(x)max= m(1) = - 當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到. e從而對(duì)一切x (0, +°°) xln x> 1>32,兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)取到，即證對(duì)一切 xC (0

6、, 十 e e e一 12 ,、8)都有l(wèi)n Qex 一最成上在證明的不等式中，若對(duì)不等式的變形無(wú)法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題，可以借助兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行證明.構(gòu)造函數(shù)證明不等式典例引領(lǐng)例 (2016高考全國(guó)卷 出)設(shè)函數(shù)f(x) = ln x x+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明當(dāng) xC(1, +8)時(shí)，1Vxvx; n x(3)設(shè) c>1,證明當(dāng) x (0, 1)時(shí)，1+(c 1)x> cx.1【解】(1)由題設(shè)，f(x)的定義域?yàn)?0, +8), f，(x) = 1 1,令f，x) = 0解得x=1. x當(dāng)0vxv1時(shí)，f' (x)>0, f(x)單調(diào)遞

7、增；當(dāng) x> 1時(shí)，f' (x)V0, f(x)單調(diào)遞減.(2)證明：由(1)知f(x)在x=1處取得最大值，最大值為 f(1)=0.所以當(dāng)xw1時(shí)，ln xvx 1.故當(dāng) x (1, + 8)時(shí)in x<x 1, In -< 1,即x xx 1In x< x.證明：由題設(shè) c> 1,設(shè) g(x)=1 + (c 1)xcx, 則 g' x) = c 1 cx|n c,令 g，x)= 0,In解得x0 =c 1In cIn c當(dāng)xvx。時(shí)，g' (x)>0, g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>x0時(shí), g' (x)<0, g(

8、x)單調(diào)遞減.由(2)知 1vc<c,故 0vx0<1.又 g(0)=g(1)=0,故當(dāng) 0vxv1 時(shí)，g(x)>0. In c所以當(dāng) xC(0, 1)時(shí)，1 + (c1)x>cx.規(guī)律方r法若證明f(x)<g(x), x (a, b),可以構(gòu)造函數(shù)h(x) = f(x)-g(x),如果能證明h(x)在(a, b)上的最大值小于0,即可證明f(x)<g(x), x (a, b).考點(diǎn)賦值法證明正整數(shù)不等式典例引領(lǐng) 例4若函數(shù)f(x) = ex ax1(a>0)在x=0處取極值. (1)求a的值，并判斷該極值是函數(shù)的最大值還是最小值; (2)證明 1：

9、+ ；>In(n+1)(n C N ).2 3 n【解】(1)因?yàn)閤= 0是函數(shù)極值點(diǎn)，所以 f (0)0, 所以a= 1.f(x) = ex x 1,易知 f'x) = ex 1.當(dāng) xC(0, + 8)時(shí),r (x)>0,當(dāng) xC(8, 0)時(shí),f，(x)<0, 故極值f(0)是函數(shù)最小值.(2)證明：由(1)知 ex>x+ 1.即ln(x+1)Wx,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，令 x=k(kC N *),ntt11V Rn11 + k則k>ln1+k;即 k>ln可，1所以/ln(1 + k) In k(k= 1, 2,，n), k累加得 1；

10、+ + ；>ln( n+1)(n C N ). 2 3 n規(guī)律方俄(1)函數(shù)中與正整數(shù)有關(guān)的不等式，其實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)性質(zhì)證明數(shù)列不等式，證明此類(lèi)問(wèn)題時(shí)常根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量.通過(guò)多次求和達(dá)到證明的目的. 此類(lèi)問(wèn)題一般至少 2個(gè)問(wèn)號(hào)，已知的不等式常由第一個(gè)問(wèn)號(hào)根據(jù)待 證式的待征而得到.(2)已知函數(shù)式為指數(shù)不等式(或?qū)?shù)不等式)，而待證不等式為與對(duì)數(shù)有關(guān)的不等式(或與指數(shù)有關(guān)的不等式),還要注意指、對(duì)數(shù)式的互化，如ex>x+1可化為ln(x+1)<x等.課堂小結(jié)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立問(wèn)題的常用方法(1)直接將不等式轉(zhuǎn)化成某個(gè)函數(shù)最

11、值問(wèn)題：若證明 f(x)<g(x), x (a, b),可以構(gòu)造函數(shù) F(x)= f(x) g(x),如果 F'x)<0,則 F(x)在(a, b) 上是減函數(shù)，同時(shí)若 F(a)W0,由減函數(shù)的定義可知，xC (a, b)時(shí)，有F(x)<0 ,即證明了f(x)<g(x).(2)將待證不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較證明：在證明不等式中，若待證不等式的變形無(wú)法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題，可借助兩個(gè)函數(shù)的最值證明，如證f(x)>g(x)在D上成立，只需證明f(x)min封g(x)max即可.(3)若所證函數(shù)不等式通過(guò)移項(xiàng)后構(gòu)成新函數(shù)的最值易求，可直接通過(guò)移項(xiàng)構(gòu)

12、造函數(shù)證明.構(gòu)造函數(shù)法證明不等式步驟如下：作輔助函數(shù)h(x), 一般取不等號(hào)兩端的函數(shù)之差或之商為輔助函數(shù)；對(duì)h(x)求導(dǎo)，并確定h'x)在區(qū)間上的符號(hào)；判斷h(x)的單調(diào)性；求出h(x)在所給區(qū)間上的極值；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性或極值的符號(hào)證明所需證明的不等式.若所證不等式兩邊關(guān)于某一變量的關(guān)系式的構(gòu)成比較復(fù)雜，直接構(gòu)造函數(shù)后不易求導(dǎo)數(shù)或所求導(dǎo)數(shù)式不易研究函數(shù)性質(zhì)，可先換元后再求解.臬場(chǎng)促學(xué)強(qiáng)技援能分層演練直擊高考基礎(chǔ)達(dá)標(biāo),ln x1. (2018安徽模擬)已知f(x)= ，則()xB. f(3)>f(e)>f(2)D. f(e)>f(3)>f(2)A. f(2)&g

13、t;f(e)>f(3)C. f(3)>f(2)>f(e)解析：選D.f(x)的定義域是(0, + °°),一，1 ln x 人一，f (x)=2-,令 f x)=0,得 x = e.x所以當(dāng) xC(0, e)時(shí)，f' (x)>0, f(x)單調(diào)遞增，當(dāng) xC(e, + )時(shí)，f，(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,故 x=e 時(shí)，f(x)maX= f(e) = ；而 f(2) =呼=¥，f(3) = ln3=¥，所以 f(e)>f(3)>f(2).故選 e2636D.B. ex2ex1<ln x2ln

14、x1D. x2ex1 <xex22,若 0<xi<x2<1，貝U ()A. ex2-exi>ln x2ln x1C. x2exi>xiex2x解析：選C.令f(x)=e, x,xex- ex則f x)=1:ex (x-D2x當(dāng) 0<x<1 時(shí)，f' (x)<0,即f(x)在(0, 1)上單調(diào)遞減，因?yàn)?<xi<x2<1,所以 f(x2)<f(x1),即等H，所以 x2ex1>xex2,故選 C.3 .設(shè)函數(shù) f(x)=e2xaln x.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)

15、 a>0 時(shí),f(x)>2a+aln2. a解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0, + 8),，(x)=2e2x；自>0).當(dāng)aw。時(shí)，f (x)>0, f' (x)沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng) a>0 時(shí)，設(shè) u(x)=e2x, v(x)=a, x因?yàn)閡(x) = e2x在(0, + °°)上單調(diào)遞增v(x)=_a在(0 + oo)上單調(diào)遞增x所以f' x)在(0, + oo)上單調(diào)遞增.又 f'a)>0,當(dāng) b滿(mǎn)足 0vbva且 bv；時(shí)，f (b)<0,故當(dāng)a>0時(shí)，f' (x)存在唯一零點(diǎn).(2)證明：由，

16、可設(shè)f'x)在(0, +8)上的唯一零點(diǎn)為xo,當(dāng)xC (0, xo)時(shí)，f (x)<0;當(dāng) xC (xo, + 8)時(shí)，f (x) > 0.故f(x)在(0, xo)上單調(diào)遞減，在(xo, +8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=xo時(shí)，f(x)取得最小值，最 小值為f(%).由于2e2x0一旦=0, x0所以 f(x0) = -+ 2ax0+ aln 2> 2a + aln 2/ 2x0aa-2故當(dāng) a>0 時(shí)，f(x)> 2a + aln -a-4 . (2018貴州適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x) = xln x+ax, aCR,函數(shù)f(x)的圖象在x= 1處的切

17、 線與直線x+2y1 = 0垂直.(1)求a的值和函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證:ex>f' (x).解：(1)由題易知，f (x)=ln x+1+a, x>0,且f(x)的圖象在x= 1處的切線的斜率 k=2,所以 f (1) ln 1 + 1 + a=2,所以 a= 1.所以 f' x)= In x+ 2,當(dāng) x>e 2 時(shí)，f (x)>0 ,當(dāng) 0<x<e 2 時(shí)，f' (x)<0 ,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e 2, +8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0, e 2).(2)證明：設(shè) g(x)= exf'x)=

18、exln x- 2, x>0,因?yàn)間'x0=ex1在(0, +8)上單調(diào)遞增， x且 g'(號(hào)e1>0,g1 (2-)=e"-2<0,.1所以g x0在(2，1)上存在唯一的零點(diǎn)t,使得 g'tX= et ；=0,即 et=；(2<t<1)當(dāng) 0<x<t 時(shí)，g' (x)<g'tX = 0,當(dāng) x>t 時(shí)，g ' (x)>g' (t)= 0,所以g(x)在(0, t)上單調(diào)遞減，在(t, + 00)上單調(diào)遞增，所以 x>0 時(shí)，g(x)>g(t) = et

19、ln t 2=7 In 1t2=t+72>2 2=0, t et又2Vt<1,所以上式等號(hào)取不到，所以 g(x)>0,即ex>f' (x).能力提升1.已知函數(shù)f(x)=aln x+b(X+1),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程為 y=2. X(1)求a, b的值;(2)當(dāng) x>0 且 xw 1 時(shí))求證：f(x)>-.x 1解：(1)函數(shù) f(x)=aln x+b (x+1)的導(dǎo)數(shù)為 f'x)=a2, xx x曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程為y=2,可得 f(1) = 2b=2, f' (1)= a-b=0,解得a= b= 1.(x+1) In x(2)證明：當(dāng) x>1 時(shí)，f(x)>:,x 11 21n x即為 In x+1+ ->in x+,xx-1即 x21n x>0,x(x+1) In x當(dāng) 0<x<1 時(shí)，f(x)>,x- 1即為 x 1 2ln x<0, x2，、1 1 2(xT)設(shè) g(x) = x x-2ln x, g (x) = 1 + x21=x2>0,可得g(x)在