概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率歷史介紹

1、一、概率定義的發(fā)展與分析1.古典定義的歷史脈絡(luò)古典定義中的“古典”表明了這種定義起源的古老，它源于賭博博弈的形式多種多樣，但是它們的前提是“公平”，即“機(jī)會(huì)均等”，而這正是古典定義適用的重要條件：同等可能16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家和賭博家卡爾丹（15011576）所說的“誠(chéng)實(shí)的骰子”，即道明了這一點(diǎn)在卡爾丹以后約三百年的時(shí)間里，帕斯卡、費(fèi)馬、伯努利等數(shù)學(xué)家都在古典概率的計(jì)算、公式推導(dǎo)和擴(kuò)大應(yīng)用等方面做了重要的工作直到1812年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（17491827）在概率的分析理論中給出概率的古典定義：事件A的概率等于一次試驗(yàn)中有利于事件A的可能結(jié)果數(shù)與該事件中所有可能結(jié)果數(shù)之比2.古典定義的簡(jiǎn)單分

2、析古典定義通過簡(jiǎn)單明了的方式定義了事件的概率，并給出了簡(jiǎn)單可行的算法它適用的條件有二：（1）可能結(jié)果總數(shù)有限；（2）每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)有同等可能其中第（2）條尤其重要，它是古典概率思想產(chǎn)生的前提如何在更多和更復(fù)雜的情況下，體現(xiàn)出“同等可能”？伯努利家族成員做了這項(xiàng)工作，他們將排列組合的理論運(yùn)用到了古典概率中用排列（組合）體現(xiàn)同等可能的要求，就是將總數(shù)為P(n,r)的各種排列（或總數(shù)為C(n,r)的各種組合）看成是等可能的，通常用“隨意取”來表達(dá)這個(gè)意思即使如此，古典定義的方法能應(yīng)用的范圍仍然很窄，而且還有數(shù)學(xué)上的問題“應(yīng)用性的狹窄性”促使雅各布?伯努利（16541705）“尋找另一條途徑找到所期待

3、的結(jié)果”，這就是他在研究古典概率時(shí)的另一重要成果：伯努利大數(shù)定律這條定律告訴我們“頻率具有穩(wěn)定性”，所以可以“用頻率估計(jì)概率”，而這也為以后概率的統(tǒng)計(jì)定義奠定了思想基礎(chǔ)“古典定義數(shù)學(xué)上的問題”在貝特朗（18221900）悖論中表現(xiàn)得淋漓盡致，它揭示出定義存在的矛盾與含糊之處，這導(dǎo)致了拉普拉斯的古典定義受到猛烈批評(píng)3.統(tǒng)計(jì)定義的歷史脈絡(luò)概率的古典定義雖然簡(jiǎn)單直觀，但是適用范圍有限正如雅各布伯努利所說：“這種方法僅適用于極罕見的現(xiàn)象”因此，他通過觀察來確定結(jié)果數(shù)目的比例，并且認(rèn)為“即使是沒受過教育和訓(xùn)練的人，憑天生的直覺，也會(huì)清楚地知道，可利用的有關(guān)觀測(cè)的次數(shù)越多，發(fā)生錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)就越小”雖然原理簡(jiǎn)

4、單，但是其科學(xué)證明并不簡(jiǎn)單，在古典概型下，伯努利證實(shí)了這一點(diǎn)，即“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)愈來愈大時(shí)，頻率接近概率”事實(shí)上，這不僅對(duì)于古典概型適用，人們確信“從現(xiàn)實(shí)中觀察的頻率穩(wěn)定性”的事實(shí)是一個(gè)普遍規(guī)律1919年，德國(guó)數(shù)學(xué)家馮米塞斯（18831953）在概率論基礎(chǔ)研究一書中提出了概率的統(tǒng)計(jì)定義：在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，某個(gè)事件出現(xiàn)的頻率總是在一個(gè)固定數(shù)值的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，把這個(gè)固定的數(shù)值定義為這一事件的概率4.統(tǒng)計(jì)定義的簡(jiǎn)單分析雖然統(tǒng)計(jì)定義不能像古典定義那樣確切地算出概率，但是卻給出了一個(gè)估計(jì)概率的方法而且，它不再需要“等可能”的條件，因此，從應(yīng)用的角度來講，它的適用范圍更廣

5、但是從數(shù)學(xué)理論上講，統(tǒng)計(jì)定義是有問題的在古典概率的場(chǎng)合，事件概率有一個(gè)不依賴于頻率的定義它根本不用訴諸于試驗(yàn)，這樣才有一個(gè)頻率與概率是否接近的問題，其研究導(dǎo)致伯努利大數(shù)定律在統(tǒng)計(jì)定義的場(chǎng)合這是一個(gè)悖論：你如不從承認(rèn)大數(shù)定律出發(fā)，概率就無法定義，因而談不上頻率與概率接近的問題；但是你如承認(rèn)大數(shù)定律，以便可以定義概率，那大數(shù)定律就是你的前提，而不是一再需要證明的論斷了5.公理化定義的歷史脈絡(luò)正因?yàn)楣诺涠x和統(tǒng)計(jì)定義數(shù)學(xué)理論上的這樣或那樣的問題，所以到了19世紀(jì)，無論是概率論的實(shí)際應(yīng)用還是其自身發(fā)展，都要求對(duì)概率論的邏輯基礎(chǔ)作出更加嚴(yán)格的考察1900年，38歲的希爾伯特（18621943）在世界數(shù)學(xué)

6、家大會(huì)上提出了建立概率公理系統(tǒng)的問題，這就是著名的希爾伯特23個(gè)問題中的第6個(gè)問題這引導(dǎo)了一批數(shù)學(xué)家投入這方面的工作在概率公理化的研究道路上，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫（19031987）成績(jī)最為卓著，1933年，他在概率論基礎(chǔ)中運(yùn)用集合論和測(cè)度論表示概率論的方法賦予了概率論嚴(yán)密性6.公理化定義的簡(jiǎn)單分析為什么直到20世紀(jì)才實(shí)現(xiàn)了概率論的公理化，這是因?yàn)?0世紀(jì)初才完成了勒貝格測(cè)度與積分理論以及抽象測(cè)度與積分理論，而這都是概率論公理化體系建立的基礎(chǔ)柯爾莫哥洛夫借助實(shí)變函數(shù)論和測(cè)度論來定義概率概念，形成了概率論的公理化體系，他的公理體系既概括了古典定義、統(tǒng)計(jì)定義的基本特性，又避免了各自的局限例如，

7、公理中有一條，是把事件概率的存在作為一個(gè)不要證明的事實(shí)接受下來，在這個(gè)前提下，大數(shù)定律就成為一個(gè)需要證明且可以得到證明的論斷，這就避免了“4”中統(tǒng)計(jì)定義的數(shù)學(xué)理論上的問題；而公理中關(guān)于“概率存在”的規(guī)定又有其實(shí)際背景，這就是概率的古典定義和統(tǒng)計(jì)定義所以，我們說，概率論公理體系的出現(xiàn)，是概率論發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，至此，概率論才真正成為了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分支二、關(guān)于概率定義教學(xué)的幾點(diǎn)思考對(duì)于概率的定義，教科書是先給出古典定義，然后再給出統(tǒng)計(jì)定義這與歷史上概率定義的發(fā)展相吻合，從“簡(jiǎn)單到復(fù)雜”在教學(xué)中，我們不僅要明了這種順序的設(shè)計(jì)意圖，而且還要抓住不同定義的特點(diǎn)和思想，以引導(dǎo)學(xué)生更好地理解概率1.古典定

8、義的教學(xué)定位在前面的分析中，我們說“等可能”是古典概率非常重要的一個(gè)特征，它是古典概率思想產(chǎn)生的前提正是因?yàn)椤暗瓤赡堋保圆艜?huì)有了“比率”因此，“等可能性”和“比率”是古典定義教學(xué)中的兩個(gè)落腳點(diǎn)“等可能”是無法確切證明的，往往是一種感覺，但是這種感覺是有其實(shí)際背景的，例如，擲一枚硬幣，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因?yàn)樗|(zhì)地均勻；而擲一枚圖釘，“釘帽著地”“頂針著地”不是等可能的，因?yàn)閳D釘本身給我們的感覺就是帽重釘輕因此，“等可能”并不要多么嚴(yán)密的物理上或化學(xué)上的分析，只需要通過例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可，以便讓學(xué)生明白古典定義的適用對(duì)象須具備的條件2.統(tǒng)計(jì)定義的教學(xué)定位從直

9、觀上講，統(tǒng)計(jì)定義是非常容易接受的，但是它的內(nèi)涵是非常深刻的，涉及到大數(shù)定律在初中階段，我們不可能讓學(xué)生接觸其嚴(yán)格的形式和證明因此，統(tǒng)計(jì)定義定位在其合理性和必要性是比較恰當(dāng)?shù)娜绾巫寣W(xué)生體會(huì)其合理性和必要性？羅老師的課堂教學(xué)比較好地實(shí)現(xiàn)了這兩點(diǎn)從教學(xué)順序來看，羅老師將“擲硬幣”作為歸納統(tǒng)計(jì)定義的例子，“擲硬幣”可以用古典定義求概率，所以概率值是明確的，而通過試驗(yàn)的方法計(jì)算得到的頻率就可以和這個(gè)明確的概率值相比較，如此更容易讓學(xué)生體會(huì)到“頻率具有穩(wěn)定性”這一事實(shí)，從而感受到“用頻率估計(jì)概率”的合理性；羅老師將“擲圖釘”作為統(tǒng)計(jì)定義的應(yīng)用，“擲圖釘”不能用古典定義求概率，由此能讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)定義

10、計(jì)算事件概率的必要性從教學(xué)手段來看，羅老師主要采用了“學(xué)生試驗(yàn)”的方法，學(xué)生的親自試驗(yàn)在這節(jié)課所起的作用是無可代替的：“親自試驗(yàn)”獲得的結(jié)果能夠給學(xué)生以真實(shí)感和確切感；“親自試驗(yàn)”能夠讓學(xué)生感受到頻率的隨機(jī)性和穩(wěn)定性等特點(diǎn)所以，像概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該有更多的主動(dòng)權(quán)和試驗(yàn)權(quán)，在動(dòng)手和動(dòng)腦中感受概率與統(tǒng)計(jì)的思想和方法3. 概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)的背后：專業(yè)素養(yǎng)的提升在課題研討時(shí)，教師們表現(xiàn)出這樣一些困惑：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就越來越穩(wěn)定？頻率估計(jì)概率，一定要大量試驗(yàn)？實(shí)驗(yàn)次數(shù)多少合適？事實(shí)上，這些問題涉及的就是概率與統(tǒng)計(jì)的專業(yè)素養(yǎng)對(duì)于大多數(shù)教師而言，概率與統(tǒng)計(jì)相對(duì)而言比較陌生，這是很自然的，因?yàn)?/p>

11、在教師自身接受的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)中，概率與統(tǒng)計(jì)就是一個(gè)弱項(xiàng)但是，既然要向?qū)W生教授概率與統(tǒng)計(jì)，那么還是需要有“一桶水”的就像上面的問題，翻閱任何一本概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，都可以給我們知識(shí)上的答案，而翻閱一下相關(guān)的科普讀物或史料，就可以給我們思想方法上的答案舉個(gè)例子：伯努利大數(shù)定律：設(shè)m是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p()，則對(duì)任意的，有 狄莫弗-拉普拉斯極限定理：設(shè)m是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p()，則伯努利大數(shù)定律只是告訴我們，當(dāng)n趨于無窮時(shí)，頻率依概率收斂于概率p伯努利的想法是：只要n充分大，那么頻率估計(jì)概率的誤差就可

12、以如所希望的小值得贊賞的是，他利用了“依概率收斂”而不是更直觀的p，因?yàn)轭l率是隨著試驗(yàn)結(jié)果變化的，在n次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)n次也是有可能的，此時(shí)p就不成立了  伯努利不僅證明了上述大數(shù)定律，而且還想知道：若想要把一個(gè)概率通過頻率而確定到一定的精確度，要做多少次觀察才行這時(shí)，伯努利大數(shù)定律無能為力，但是狄莫弗-拉普拉斯極限定理給出了解答：                     

13、           （*） 例如研究課中擲硬幣的問題，若要保證有95%的把握使正面向上的頻率與其概率0.5之差落在0.1的范圍內(nèi)，那要拋擲多少次？根據(jù)（*）式，可以估計(jì)出三、概率論發(fā)展簡(jiǎn)史概率論有悠久的歷史，它的起源與博弈問題有關(guān)?？勺匪莸?5世紀(jì)末至16世紀(jì)中期，意大利的一些學(xué)者開始研究擲骰子等賭博中的一些簡(jiǎn)單問題，例如比較擲兩個(gè)骰子出現(xiàn)總點(diǎn)數(shù)為9或10的可能性大小。1494年，意大利數(shù)學(xué)家巴喬利（L.Pacioli,1445-1517），在其著作算術(shù)、幾何及比例性質(zhì)摘要中記載：A

14、,B兩人進(jìn)行一場(chǎng)公平賭博，約定先贏得s=6局者獲勝。而在A勝S1=5局且B勝S2=2局時(shí)中斷。巴喬利認(rèn)為該賭博最多需要進(jìn)行2（s-1）+1=11局，因而賭金分配方案應(yīng)為S12s-1與S22s-1之比，即S1S2=52的比例來分配賭本.1539年，卡爾達(dá)諾(G.Cardano,1501-1576)，通過實(shí)例指出巴喬利的分配方案是錯(cuò)誤的，指出這樣不考慮賭徒可能再贏得局?jǐn)?shù)的算法是錯(cuò)誤的。他認(rèn)為，對(duì)于A有利的情形是：若再賭1場(chǎng)則A勝；若再賭2場(chǎng)，則B先勝A后勝；若再賭3場(chǎng)，則B先勝2場(chǎng)而A勝最后1場(chǎng)；若再賭4場(chǎng)，則B先勝3場(chǎng)而A勝最后1場(chǎng)。只有在賭4場(chǎng)B全勝時(shí)才對(duì)B有利。于是得出應(yīng)按（1+2+3+4）

15、/1來分賭本。他也沒有找到正確的解法。1556年，塔塔利亞（Niccolo Fontana,1499-1557,綽號(hào)Tartaglia）也批評(píng)了巴喬利的解法，并甚至懷疑能找到數(shù)學(xué)解答的可能性。“類似問題應(yīng)屬于法律而非數(shù)學(xué)，故無論如何分配都有理由上訴?！辈贿^，他也提出一種解法（略） 17世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡、費(fèi)馬及荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯基于排列組合的方法研究了一些較復(fù)雜的賭博問題，他們解決了“合理分配賭注問題”（即“得分問題”，）、“輸光問題”等等。1654年，法國(guó)一位名叫梅累的狂熱賭徒向帕斯卡提出一個(gè)困擾他很久的問題:“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算是誰贏?？墒钱?dāng)一個(gè)賭徒A贏a局（as）

16、 ，而另一個(gè)賭徒B贏b局（bs）時(shí)，賭博因故終止了，問賭本應(yīng)如何分配？”帕斯卡將這個(gè)問題和他的解法寄給費(fèi)爾馬，這是1654年7月29日電事情。帕斯卡在信中先以特例說明了其對(duì)問題的解法。A、B都拿12枚金幣，5局3勝。（1） A已贏2局，B贏1局。再賭1局，若A勝，則拿走24枚金幣；若B勝，則他們各自取回12枚金幣，因此，A所得金幣應(yīng)為24/2+12/2=18枚，B應(yīng)為0/2+12/2=6枚。（2） A已贏2局，B贏0局。再賭1局，若A勝，則拿走24枚金幣；若B勝，則結(jié)果同（1）他們各自取回12枚金幣，因此，A所得金幣應(yīng)為24/2+18/2=21枚，B應(yīng)為0/2+6/2=3枚。（3） 費(fèi)爾馬從不

17、同的理由出發(fā)也給出正確的解法。其方法不是直接計(jì)算賭徒贏局的概率，而是計(jì)算期望的贏值。（4） 費(fèi)爾馬認(rèn)為，兩賭徒離全勝所差局?jǐn)?shù)分別為s-a局,s-b局，則最多再進(jìn)行2s-a-b+1局即可定勝負(fù)。所以再賭2局，共有4種情況：MM，MP，PM，PP；前3種情況都是梅累先勝3局，只有第4種情況保羅先勝3局，所以梅累所得金幣應(yīng)為24*3/4=18枚，保羅應(yīng)為24*1/4=6枚。1657年荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯是從與帕斯卡差不多的理由出發(fā)解決了這一問題：如果某人在u+v個(gè)等概率的場(chǎng)合中有u個(gè)場(chǎng)合可贏得，而有v個(gè)場(chǎng)合可贏得，則他所期望的收入可用(u+v)/(u+v)來估計(jì)，從而導(dǎo)致了現(xiàn)今稱之為數(shù)學(xué)期望的概念（惠更

18、斯在1657年出版的論賭博中的計(jì)算一書，成為概率論的早期著作，首次明確提出數(shù)學(xué)期望的概念）。使概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的真正奠基人則是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布第一·伯努利，他考慮了擲n個(gè)骰子時(shí)所得點(diǎn)數(shù)總和等于m的可能性問題，指出這種場(chǎng)合的數(shù)目等于的展開式中這一項(xiàng)的系數(shù)，開了母函數(shù)方法的先河。他建立了概率論中第一個(gè)極限定理，即伯努利大數(shù)律；該定理斷言：設(shè)事件A的概率P（A）=p（0<p<1），若m表示前n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，從而m/n為事件A出現(xiàn)的頻率，則當(dāng)n時(shí)， 式中為任一正實(shí)數(shù)。這一結(jié)果發(fā)表于他死后8年（1713）出版的遺著推測(cè)術(shù)（Ars conjectandi）

19、中。這里所說的事件的概率，應(yīng)理解為事件發(fā)生的機(jī)會(huì)的一個(gè)測(cè)度，即公理化概率測(cè)度（詳見后）。1716年前后，A。棣莫弗對(duì)p=1/2情形，用他導(dǎo)出的關(guān)于n！的漸近公式（即所謂斯特林公式）進(jìn)一步證明了漸近地服從正態(tài)分布（德國(guó)數(shù)學(xué)家C。F。高斯于1809年研究測(cè)量誤差理論時(shí)重新導(dǎo)出正態(tài)分布，所以也稱為高斯分布）。棣莫弗的這一結(jié)果后來被法國(guó)數(shù)學(xué)家P。-S。拉普拉斯推廣到一般的p（0<p<1）的情形，后世稱之為棣莫弗-拉普拉斯極限定理，這是概率論中第二個(gè)基本極限定理（見中心極限定理）的原始形式。拉普拉斯對(duì)概率論的發(fā)展貢獻(xiàn)很大。他在系統(tǒng)總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，寫出了概率的分析理論（1812年出版，后

20、又再版6次）。在這一著作中，他首次明確規(guī)定了概率的古典定義（通常稱為古典概率，見概率），并在概率論中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函數(shù)等，從而實(shí)現(xiàn)了概率論由單純的組合計(jì)算到分析方法的過渡，將概率論推向一個(gè)新的發(fā)展階段。拉普拉斯非常重視概率論的實(shí)際應(yīng)用，對(duì)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)尤其感興趣。繼拉普拉斯以后，概率論的中心研究課題是推廣和改進(jìn)伯努利大數(shù)律及棣莫弗拉普拉斯極限定理。在這方面，俄國(guó)數(shù)學(xué)家。切比雪夫邁出了決定性的一步，1866年他用他所創(chuàng)立的切比雪夫不等式建立了有關(guān)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)律。次年，又建立了有關(guān)各階絕對(duì)矩一致有界的獨(dú)立隨機(jī)變量序列的中心極限定理；但其證明不嚴(yán)格，后來由。馬爾可夫于1

21、898年補(bǔ)證。1901年。李亞普諾夫利用特征函數(shù)方法，對(duì)一類相當(dāng)廣泛的獨(dú)立隨機(jī)變量序列，證明了中心極限定理。他還利用這一定理第一次科學(xué)地解釋了為什么實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布。繼李亞普諾夫之后，。辛欽、?？聽柲缏宸?、P。萊維及W。 費(fèi)勒等人在隨機(jī)變量序列的極限理論方面作出了重要貢獻(xiàn)。到20世紀(jì)30年代，有關(guān)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的極限理論已臻完備。在此期間，由于實(shí)際問題的需要，特別是受物理學(xué)的刺激，人們開始研究隨機(jī)過程。1905年A。愛因斯坦和R。斯莫盧霍夫斯基各自獨(dú)立地研究了布朗運(yùn)動(dòng)。他們用不同的概率模型求得了運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)移密度。但直到1923年，N。維納才利用三角級(jí)數(shù)首次給出了布

22、朗運(yùn)動(dòng)的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，并證明了布朗運(yùn)動(dòng)軌道的連續(xù)性。1907年馬爾可夫在研究相依隨機(jī)變量序列時(shí)，提出了現(xiàn)今稱之為馬爾可夫鏈（見馬爾可夫過程）的概念；而馬爾可夫過程的理論基礎(chǔ)則由柯爾莫哥洛夫在1931年所奠定。稍后一些時(shí)候，辛欽研究了平穩(wěn)過程的相關(guān)理論（1934）。所有這些關(guān)于隨機(jī)過程的研究，都是基于分析方法，即將概率問題化為微分方程或泛函分析等問題來解決。從1938年開始，萊維系統(tǒng)深入地研究了布朗運(yùn)動(dòng)，取得了一系列重要成果，他充分利用概率的直覺性，將邏輯與直覺結(jié)合起來，倡導(dǎo)了研究隨機(jī)過程的一種新方法，即概率方法。這種方法的特點(diǎn)是著眼于隨機(jī)過程的軌道性質(zhì)。萊維對(duì)概率論的另一重要貢獻(xiàn)是建立了獨(dú)立增

23、量過程的一般理論。他的著作隨機(jī)過程與布朗運(yùn)動(dòng)（1948）至今仍是隨機(jī)過程理論的一本經(jīng)典著作?，F(xiàn)代概率論的另外兩個(gè)代表人物是J。L。杜布和伊藤清，前者創(chuàng)立了鞅論，后者創(chuàng)立了布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分理論。在概率發(fā)展史中特別值得一提的是柯爾莫哥洛夫在1933年建立了概率論的公理化體系。概率論公理化體系的建立早在拉普拉斯給出概率的古典定義之前，人們就提出了幾何概率的概念，這是研究有無窮多個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象問題的，著名的布豐（曾譯蒲豐）投針問題 （1777）就是幾何概率的一個(gè)早期例子。19世紀(jì)，幾何概率逐步發(fā)展起來。但到19世紀(jì)末，出現(xiàn)了一些自相矛盾的結(jié)果。以著名的貝特朗悖論為例：在圓內(nèi)任作一弦，求其長(zhǎng)超過

24、圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率。此問題可以有三種不同的解答： 由于對(duì)稱性，可預(yù)先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于 1/4點(diǎn)與3/4點(diǎn)間的弦，其長(zhǎng)才大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)。設(shè)所有交點(diǎn)是等可能的，則所求概率為 1/2（圖1之a(chǎn)）圖 由于對(duì)稱性，可預(yù)先固定弦的一端。僅當(dāng)弦與過此端點(diǎn)的切線的交角在60°120°之間，其長(zhǎng)才合乎要求。設(shè)所有方向是等可能的，則所求概率為1/3（圖 1之b）。 弦被其中點(diǎn)位置惟一確定。只有當(dāng)弦的中點(diǎn)落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其長(zhǎng)才合乎要求。設(shè)中點(diǎn)位置都是等可能的，則所求概率為1/4（圖1 之c）。這個(gè)問題之所以有不同解答，是因?yàn)楫?dāng)一隨機(jī)試驗(yàn)有

25、無窮多個(gè)可能結(jié)果時(shí)，有時(shí)很難客觀地規(guī)定“等可能”這一概念。這反映了幾何概率的邏輯基礎(chǔ)是不夠嚴(yán)密的。幾何概率這類問題說明了拉普拉斯關(guān)于概率的古典定義帶有很大的局限性。當(dāng)嚴(yán)密的概率公理化系統(tǒng)建立后，幾何概率才能健康地發(fā)展且有廣泛的應(yīng)用。雖然到了19世紀(jì)下半葉，概率論在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的應(yīng)用及概率論的自身發(fā)展已突破了概率的古典定義，但關(guān)于概率的一般定義則始終未能明確化和嚴(yán)格化。這種情況既嚴(yán)重阻礙了概率論的進(jìn)一步發(fā)展和應(yīng)用，又落后于當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的其他分支的公理化潮流。1900年，D.希爾伯特在世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上公開提出了建立概率論公理化體系的問題，最先從事這方面研究的是龐加萊、波萊爾及伯恩斯坦。關(guān)于概率論與測(cè)度

26、論有聯(lián)系這一重要思想就出自波萊爾。伯恩斯坦于1917年構(gòu)造了概率論的第一個(gè)公理化體系。20年代以后，相繼出現(xiàn)了 J。M。凱恩斯及R。von米澤斯等人的工作。凱恩斯主張把任何命題都看作是事件。例如，“明天將下雨”，“土星上有生命”，“某出土文物是某年代的產(chǎn)品”，等等。他把一事件的概率看作是人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)該事件的可信程度，而與隨機(jī)試驗(yàn)沒有直接聯(lián)系，因此，通常稱為主觀概率。從凱恩斯起，對(duì)主觀概率提出了幾種公理體系，但沒有一種堪稱權(quán)威。也許，主觀概率的最大影響不在概率論領(lǐng)域自身，而在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中近年來出現(xiàn)的貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)派。和主觀概率學(xué)派相對(duì)立的是以米澤斯為代表的概率的頻率理論學(xué)派。米澤斯把一事件的概率

27、定義為該事件在獨(dú)立重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率的極限，并把此極限的存在性作為他的第一條公理。他的第二條公理是，對(duì)隨機(jī)選取的子試驗(yàn)序列，事件出現(xiàn)的頻率的極限也存在并且極限值相等。嚴(yán)格說來，這第二條公理沒有確切的數(shù)學(xué)含義。因此，這種所謂公理化在數(shù)學(xué)上是不可取的。此外，象某個(gè)事件在一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)序列中出現(xiàn)無窮多次這一事件的概率，在米澤斯理論中是無法定義的。這種頻率法的理論依據(jù)是強(qiáng)大數(shù)律，它具有較強(qiáng)的直觀性，易為實(shí)際工作者和物理學(xué)家所接受。但隨著科學(xué)的進(jìn)步，它又已逐漸被絕大多數(shù)物理學(xué)家所拋棄。20世紀(jì)初完成的勒貝格測(cè)度（見測(cè)度論）和勒貝格積分理論以及隨后發(fā)展起來的抽象測(cè)度和積分理論，為概率論公理體系的確立

28、奠定了理論基礎(chǔ)。人們通過對(duì)概率論的兩個(gè)最基本的概念即事件與概率的長(zhǎng)期研究，發(fā)現(xiàn)事件的運(yùn)算與集合的運(yùn)算完全類似，概率與測(cè)度有相同的性質(zhì)。到了30年代，隨著大數(shù)律研究的深入，概率論與測(cè)度論的聯(lián)系愈來愈明顯。例如強(qiáng)、弱大數(shù)律中的收斂性（見概率論中的收斂） 與測(cè)度論中的幾乎處處收斂及依測(cè)度收斂完全類似。在這種背景下，柯爾莫哥洛夫于1933年在他的概率論基礎(chǔ)一書中第一次給出了概率的測(cè)度論式的定義和一套嚴(yán)密的公理體系。這一公理體系著眼于規(guī)定事件及事件概率的最基本的性質(zhì)和關(guān)系，并用這些規(guī)定來表明概率的運(yùn)算法則。它們是從客觀實(shí)際中抽象出來的，既概括了概率的古典定義、幾何定義及頻率定義的基本特性，又避免了各自的

29、局限性和含混之處。這一公理體系一經(jīng)提出，便迅速獲得舉世的公認(rèn)。它的出現(xiàn)，是概率論發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，為現(xiàn)代概率論的蓬勃發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。現(xiàn)代概率論的內(nèi)容由于科學(xué)技術(shù)中許多實(shí)際問題的推動(dòng)以及概率論邏輯基礎(chǔ)的建立，概率論從20世紀(jì)30年代以來得到了迅速的發(fā)展。目前其主要研究?jī)?nèi)容大致可分為極限理論，獨(dú)立增量過程，馬爾可夫過程，平穩(wěn)過程和時(shí)間序列，鞅和隨機(jī)微分方程，點(diǎn)過程等。此外，包括組合概率（用組合數(shù)學(xué)方法解決只涉及有限個(gè)基本事件的概率問題）、幾何概率等在內(nèi)的一些屬于古典范疇的問題，至今仍有人在繼續(xù)研究，并有新的發(fā)展。極限理論是研究與隨機(jī)變量序列或隨機(jī)過程序列的收斂性有關(guān)的問題的理論。20世紀(jì)

30、30年代以后，有關(guān)隨機(jī)變量序列的極限理論（主要是中心極限定理）的研究，是將獨(dú)立序列情形的結(jié)果推廣到鞅差序列和更一般的弱相依序列等情形，以及研究收斂速度問題。近年來，由于統(tǒng)計(jì)力學(xué)的需要，人們開始研究強(qiáng)相依隨機(jī)變量序列的非中心極限定理。自1951年M。唐斯克提出不變?cè)恚ㄒ婋S機(jī)過程的極限定理）后，有關(guān)隨機(jī)過程序列的弱收斂的研究成了極限理論的一個(gè)中心課題。普羅霍洛夫及A。B。斯科羅霍德在這方面作出了最主要的貢獻(xiàn)。1964年V。斯特拉森的工作出現(xiàn)后，引起了有關(guān)隨機(jī)過程序列的強(qiáng)收斂的研究，這就是強(qiáng)不變?cè)怼＝陙?，鞅論方法已滲透到這一領(lǐng)域，使許多經(jīng)典結(jié)果的證明得到簡(jiǎn)化和統(tǒng)一處理，并且還導(dǎo)致一些新的結(jié)果。

31、人們最早知道的獨(dú)立增量過程是在物理現(xiàn)象中觀察到的布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過程，一般的獨(dú)立增量過程的研究，歸功于萊維，它在20世紀(jì)40年代已臻成熟。在這些研究中，包含了許多重要的方法和概念，概率論的許多近代研究課題都直接或間接地受其啟發(fā)與影響。在實(shí)際中遇到的很多隨機(jī)現(xiàn)象有如下的共同特性：它的未來的演變，在已知它目前狀態(tài)的條件下與以往的狀況無關(guān)。描述這種隨時(shí)間推進(jìn)的隨機(jī)現(xiàn)象的演變模型就是馬爾可夫過程。20世紀(jì)50年代以前，研究馬爾可夫過程的主要工具是微分方程和半群理論（即分析方法）；1936年前后就開始探討馬爾可夫過程的軌道性質(zhì)，直到把微分方程和半群理論的分析方法同研究軌道性質(zhì)的概率方法結(jié)合運(yùn)用，才使這方面

32、的研究工作進(jìn)一步深化，并形成了對(duì)軌道分析必不可少的強(qiáng)馬爾可夫性概念。1942 年，伊藤清用他創(chuàng)立的隨機(jī)積分和隨機(jī)微分方程理論來研究一類特殊而重要的馬爾可夫過程擴(kuò)散過程，開辟了研究馬爾可夫過程的又一重要途徑。近年來，鞅論方法也已滲透到馬爾可夫過程的研究中，它與隨機(jī)微分方程結(jié)合在一起，已成為目前處理多維擴(kuò)散過程的工具。此外，馬爾可夫過程與分析學(xué)中的位勢(shì)論有密切的聯(lián)系。對(duì)馬爾可夫過程的研究，推動(dòng)了位勢(shì)理論的發(fā)展，并為研究偏微分方程提供了概率論的方法。最近十多年發(fā)展起來的吉布斯隨機(jī)場(chǎng)和無窮粒子隨機(jī)系統(tǒng)，是由于統(tǒng)計(jì)物理的需要而提出的。許多自然的和生產(chǎn)過程中的隨機(jī)現(xiàn)象表現(xiàn)出某種平穩(wěn)性。一種平穩(wěn)性是過程在任

33、意一些時(shí)刻上的聯(lián)合概率分布隨時(shí)間推移不變，這種平穩(wěn)性稱為嚴(yán)平穩(wěn)性。嚴(yán)平穩(wěn)過程的研究與遍歷理論有密切的聯(lián)系。如果上述對(duì)概率分布的要求放寬為僅對(duì)二階相關(guān)矩的要求，即過程在任意兩時(shí)刻上的協(xié)方差隨時(shí)間推移不變，則稱這種平穩(wěn)性為寬平穩(wěn)性。關(guān)于寬平穩(wěn)過程的研究，辛欽、柯爾莫哥洛夫和維納等人運(yùn)用傅里葉分析和泛函分析的工具，在40年代已經(jīng)找出了過程的相關(guān)函數(shù)及過程本身的譜分解式，并且較完滿地解決了有應(yīng)用意義的預(yù)測(cè)問題。許多應(yīng)用問題還要求根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)去建立這些數(shù)據(jù)所來自的隨機(jī)過程的模型。為此產(chǎn)生了時(shí)間序列分析這一課題，提出了寬平穩(wěn)序列的自回歸滑動(dòng)平均（ARMA）模型以及一些非線性模型。鞅是另一類重要的隨機(jī)過程。

34、從20世紀(jì)30年代起，萊維等人就開始研究鞅序列，把它作為獨(dú)立隨機(jī)變量序列的部分和的推廣。40年代到50年代初，杜布對(duì)鞅進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，得到有名的鞅不等式、停止定理和收斂定理等重要結(jié)果。1962年，P。A。邁耶解決了杜布提出的連續(xù)時(shí)間的上鞅分解為鞅及增過程之差的問題。在解決這個(gè)問題的過程中，出現(xiàn)了很多新鮮而深刻的概念，使鞅和隨機(jī)過程一般理論的內(nèi)容大大豐富起來。鞅的研究豐富了概率論的內(nèi)容，并引起人們用它所提供的新方法新概念對(duì)概率論中許多經(jīng)典的內(nèi)容重新審議，把以往認(rèn)為是復(fù)雜的東西納入鞅論的框架而加以簡(jiǎn)化。此外，利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分推廣到對(duì)一般鞅乃至半鞅的隨機(jī)積分；

35、因而，更一般的隨機(jī)微分方程的研究也隨之發(fā)展。隨機(jī)微分方程理論不僅可以用來研究馬爾可夫過程，它還是解決濾波問題的必要工具。最近出現(xiàn)的流形上的隨機(jī)微分方程又和微分幾何及分析力學(xué)的研究發(fā)生了密切的聯(lián)系。鞅論還對(duì)本學(xué)科以外的位勢(shì)理論、調(diào)和分析及復(fù)變函數(shù)論等提供了有用的工具。點(diǎn)過程是從所謂計(jì)數(shù)過程發(fā)展出來的，它們的特點(diǎn)是，可用落在不相重疊的集合上的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)目的聯(lián)合概率分布來刻畫整個(gè)過程的概率規(guī)律。最基本的計(jì)數(shù)過程是泊松過程，1943年，C。帕爾姆將它作為最簡(jiǎn)單的輸入流應(yīng)用于研究電話業(yè)務(wù)問題；1955年，辛欽又以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)作了整理和發(fā)展。在60年代以前，點(diǎn)過程的研究主要限于泊松過程及其推廣的過程。以后，由于大量實(shí)際問題的需要以及隨機(jī)測(cè)度論和現(xiàn)代鞅論的推動(dòng)，進(jìn)一步把實(shí)軸上的點(diǎn)過程（即計(jì)數(shù)過程）推廣到一般的可分完備度量空間上，在內(nèi)容和方法上都有根本性的進(jìn)展。現(xiàn)代概率論的應(yīng)用概率論的發(fā)展史說明了理論與實(shí)際之間的密切關(guān)系。許多研究方向的提出，歸