大學(xué)物理：26-1概率波

1、波函數(shù)波函數(shù)一、波函數(shù)一、波函數(shù)描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或描述物質(zhì)波的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱之為波函數(shù)。( , , , )x y z t ( , )cos2 ()xy x tAt 單色平面波：數(shù)（一）自由粒子的波函自由粒子：0FEP即受力的粒子，其能量 和動(dòng)量 保持不變,EhhP波長(zhǎng)不變形式自由粒子物質(zhì)波波函數(shù))(2cos),(0 xttx)(20),(xtietx*cossin()cossinixixixexixeexix代入，得將phhE,()0( , )( )iiEt PxEtx tex e2h*( , )( )iEtx tx e形式自由粒子物質(zhì)波波函數(shù))(20),(xtietx*cossin()coss

2、inixixixexixeexix*( )( )iiEtEtx ex e 2( )x2二、二、 波函數(shù)的概率解釋波函數(shù)的概率解釋在空間某處發(fā)現(xiàn)在空間某處發(fā)現(xiàn)粒子粒子的的概率概率與該處德布羅意與該處德布羅意波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度成正比成正比 . 在某一時(shí)刻，在空間某處發(fā)現(xiàn)粒子的在某一時(shí)刻，在空間某處發(fā)現(xiàn)粒子的概率概率正比于正比于該時(shí)、該處該時(shí)、該處波函數(shù)模的平方波函數(shù)模的平方。* 2( )x22*dPdVdV在 空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率：dV概率密度概率密度 表示在某處表示在某處單位單位體積內(nèi)體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)粒子的粒子的概率概率.*2某一時(shí)刻在整個(gè)空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的某一時(shí)刻在整個(gè)空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為概率為:

3、1d2V 歸一化條件歸一化條件自由粒子：一般粒子：一般粒子：波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件1 1）波函數(shù)具有有限性）波函數(shù)具有有限性2）波函數(shù)是連續(xù)的3）波函數(shù)是單值的2d1V 有限空間內(nèi)：試求：（試求：（1 1）常數(shù)）常數(shù)A A； （2 2）粒子在）粒子在0 0到到a a/2/2區(qū)域出現(xiàn)的概率；區(qū)域出現(xiàn)的概率； 解解: :（1 1）由歸一化條件得）由歸一化條件得: :2aA 220sin ()d1aAx ax在在0 xa/2區(qū)域內(nèi)，粒子出現(xiàn)的概率為：區(qū)域內(nèi)，粒子出現(xiàn)的概率為：22220021dVsind2aaxxaa概率取決于波函數(shù)的概率取決于波函數(shù)的相對(duì)強(qiáng)度。相對(duì)強(qiáng)度。例：作一維運(yùn)動(dòng)

4、的粒子被束縛在例：作一維運(yùn)動(dòng)的粒子被束縛在 的范圍內(nèi)。已知其波的范圍內(nèi)。已知其波函數(shù)為函數(shù)為 )sin()(axAx0 xa三、薛定諤方程的一般形式三、薛定諤方程的一般形式 自由粒子的薛定諤方程： pxEttx,i0e, x tEt x ti2222, xpt x txEt ipx impE22自由粒子能量與動(dòng)量關(guān)系：txxmtxt,2,i222一維自由粒子的薛定諤方程： 粒子在勢(shì)場(chǎng)粒子在勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，則有中運(yùn)動(dòng)，則有,U x t22,EpmU x t222,2 x tU x t x ttm x i,tpxx txi勢(shì)場(chǎng)中的一維薛定諤方程： 222,2 x tU x t x ttm x i一維

5、定態(tài)薛定諤方程一維定態(tài)薛定諤方程 UU x如果： , x tx f t 2212fU xxftxm xi dddd分離變量后可得分離變量后可得 E（E為一個(gè)確定的能量值）為一個(gè)確定的能量值）fEfti dd Etf tcie 2222U xxExm xdd Etxtxie, x稱為稱為一維一維定態(tài)定態(tài)波函數(shù)波函數(shù) 結(jié)論：結(jié)論：若勢(shì)場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，則粒子具有確定的能量若勢(shì)場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，則粒子具有確定的能量. 定態(tài)：定態(tài)：能量不隨時(shí)間變化的狀態(tài)。能量不隨時(shí)間變化的狀態(tài)。 2222U xxExmxdd一維定態(tài)薛定諤方程： 概率密度：概率密度： 2( , )x txx結(jié)論：結(jié)論：定態(tài)粒子在空間的概率分布

6、不隨時(shí)間改變。定態(tài)粒子在空間的概率分布不隨時(shí)間改變。 Etxtxie,勢(shì)場(chǎng)中的三維薛定諤方程： 22,2tU,tttm irrrxyz ijk稱為稱為梯度算符梯度算符 稱為稱為拉普拉斯算符拉普拉斯算符 222222zyx2 cossinsincossinrzryrx022UEmsinsin11222rrrrr2222sin1r 222UEm rrr 2222U xxExmxdd0(x),U(x)IIII只存在平凡解，區(qū)，、oaxIIIIII)(xU區(qū)）、區(qū)）III(I )0( (II 0 0)(a,xxa xxU區(qū)II02222mEdxd222mEk0222kdxd設(shè)粒子的質(zhì)量為m,其勢(shì)能函數(shù)

7、為:四、四、 一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子是固體物理金屬中自由電子的簡(jiǎn)化模型是固體物理金屬中自由電子的簡(jiǎn)化模型 2222U xxExmxdd ( )sin()xAkx通解(0)sin0A0( )sin()0aAkanka .3 , 2 , 1nank22222mEna1,2,3.n 22222nEnma2220dkdx222mEkoaxIIIIII)(xU)sin()(xanAxn)sin()(xanAxnA定常數(shù)由歸一化條件有2|( )|nxdx1)(sin022adxxanAaA2222 ( ) |( )|sin ()nnP xxxaa概率密度)(xn)sin(2xana0

8、.3 , 2 , 1 0nax), 0(axx0200|( )|0anadxxdxdx221122 n1 E ( )sin2xxmaaa基態(tài)能量定態(tài)函數(shù)axax2sin2)( E4E 2n 212激發(fā)態(tài)axax3sin2)( E9E 3n 31322222nEnma2( )sin()nnxxaa0 x2aa1n2n3n4nn0 x2aa2n( )sin2anxxa22( )sin2aanxx0pE1E14E19E116E當(dāng)量子數(shù)當(dāng)量子數(shù)n很大時(shí)，很大時(shí)， 量子概率分布就接近經(jīng)典分布量子概率分布就接近經(jīng)典分布1104na若粒子處于狀態(tài)，求在區(qū)間發(fā)現(xiàn)粒子的概率。為勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，其波函數(shù)例：粒子在一維

9、無(wú)限深axaxnax0 sin2)( ndx在區(qū)間發(fā)現(xiàn)粒子概率21122 ( )sin ( )sin () xxxP xaaaa解：概率密度 )(sin2| )(|22dxaxadxxdP10 4a中的概率091. 02sin41 2 )(sin2 402402aaxaxdxaxaPa 例：試求在一維無(wú)限深勢(shì)阱中例：試求在一維無(wú)限深勢(shì)阱中n=1粒子概率密度的最大值的位置。粒子概率密度的最大值的位置。解：一維無(wú)限深勢(shì)阱中解：一維無(wú)限深勢(shì)阱中n=1粒子的概率密度為粒子的概率密度為2221( )sinaaxx212( )4sincos0dxdxaaaxx因?yàn)榱Ｗ釉谮鍍?nèi)，則因?yàn)榱Ｗ釉谮鍍?nèi)，則sin0a

10、xcos0axn2 ( )sinn xxaa2ax由此解得最大值得位置為由此解得最大值得位置為2ax 五、一維方勢(shì)壘五、一維方勢(shì)壘 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)( )U x ,00,xxa0, 0Uxa 一維方勢(shì)壘一維方勢(shì)壘0EU粒子的能量粒子的能量0U( )U xaox112211123( )( )( )ik xik xk xk xik xik xxAeA exBeB exCeC e220122222 (),mEm UEkk1230UxaO231 x U x結(jié)論：結(jié)論：粒子在勢(shì)壘粒子在勢(shì)壘內(nèi)部和外部都有出內(nèi)部和外部都有出現(xiàn)的可能?，F(xiàn)的可能。123)(xaxo 粒子的能量雖粒子的能量雖不不足以足以超越勢(shì)壘

11、超越勢(shì)壘 , 但在勢(shì)壘中似但在勢(shì)壘中似乎有一個(gè)隧道乎有一個(gè)隧道, 能使少量能使少量粒子穿過(guò)而進(jìn)入粒子穿過(guò)而進(jìn)入 的區(qū)域的區(qū)域 , 所以人們形象地所以人們形象地稱之為稱之為隧道效應(yīng)隧道效應(yīng) .ax 隧道效應(yīng)的本質(zhì)隧道效應(yīng)的本質(zhì) : 來(lái)源于微觀粒子的波粒二象性來(lái)源于微觀粒子的波粒二象性 . 1981年賓尼希和羅雷爾年賓尼希和羅雷爾利用電子的隧道效應(yīng)制成了掃描遂利用電子的隧道效應(yīng)制成了掃描遂穿顯微鏡穿顯微鏡 ( STM ), 可觀測(cè)固體表面可觀測(cè)固體表面原子排列的狀況原子排列的狀況 . 1986年賓尼希又年賓尼希又研制了原子力顯微鏡研制了原子力顯微鏡. 應(yīng)用應(yīng)用 量子圍欄照片量子圍欄照片掃描隧道顯微

12、鏡探針探針樣品表面樣品表面樣品與探針間空隙形成勢(shì)壘，在針尖與樣品間加上電壓，由于隧道效應(yīng)，樣品表面電子會(huì)穿透勢(shì)壘到達(dá)針尖，從而形成隧道電流。而隧道電流與空隙寬度有關(guān)。六、一維簡(jiǎn)諧振子六、一維簡(jiǎn)諧振子 一維簡(jiǎn)諧振子的經(jīng)典模型一維簡(jiǎn)諧振子的經(jīng)典模型一維簡(jiǎn)諧振子的勢(shì)函數(shù)：一維簡(jiǎn)諧振子的勢(shì)函數(shù)： ,mk2222121)(xmkxxUm 振子質(zhì)量，振子質(zhì)量， 固有頻率，固有頻率，x 位移位移 微觀領(lǐng)域中分子的振微觀領(lǐng)域中分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)、動(dòng)、晶格的振動(dòng)、 ，都，都可以近似地用簡(jiǎn)諧振子?？梢越频赜煤?jiǎn)諧振子模型來(lái)描述型來(lái)描述 。相應(yīng)的定態(tài)薛定諤方程為相應(yīng)的定態(tài)薛定諤方程為 ：Exmxm2222221

13、dd2210E基態(tài)能量：基態(tài)能量： 0n相鄰能級(jí)的間距：相鄰能級(jí)的間距： EOx xVE231E210E252E零點(diǎn)能零點(diǎn)能滿足方程的簡(jiǎn)諧振子能量：滿足方程的簡(jiǎn)諧振子能量： 21nEn,2,1,0n零點(diǎn)能不等于零零點(diǎn)能不等于零是量子力學(xué)中特有是量子力學(xué)中特有的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的能量為零的“靜止的靜止的” 波是沒(méi)有意波是沒(méi)有意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)，已被絕義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)，已被絕對(duì)零點(diǎn)情況下電子的晶體散射實(shí)驗(yàn)對(duì)零點(diǎn)情況下電子的晶體散射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)所證實(shí) 。本征函數(shù)與概率密度本征函數(shù)與概率密度0( )x1( ) x20212( ) x223

14、( ) x234( ) x24n=10n=10時(shí)諧振子的幾率密度時(shí)諧振子的幾率密度210高能態(tài)（高能態(tài)（n）的概率）的概率分布過(guò)度到經(jīng)典概率分分布過(guò)度到經(jīng)典概率分布。布。 氫原子的量子力學(xué)處理氫原子的量子力學(xué)處理，則勢(shì)能為，與核距離為，電量電子質(zhì)量rem20( )4eU rr 定態(tài)薛定諤方程cossinsincossinrzryrx222024eEmr 用分離變量法,令( )( )( ,)( , ,)( )( )rR rR r Y 2220ldmd 221(sin) (1)0 sinsinlmddl ldd 22222012(1)()()04ddRmel lrERr drdrrr解此方程組可得

15、波函數(shù)解此方程組可得波函數(shù),( , , )( , )ln ll mRr Yr(, )( , , )x,y zr 作變換有2222222111()(sin)sinsinrrrrrr2202()04meEr 03211001000011( , , )( )( , )rarRrYea 032220020000011(, , )( )( , )24 2rarrRrYeaa 032221021100031, ,ecos423rarrR r Yaa 032221121110031, ,esin823rairrR r Yeaa 032221 1211 10031, ,esin823rairrRr Yeaa

16、電子的幾個(gè)波函數(shù), ,lnlmr 氫原子的量子力學(xué)結(jié)論氫原子的量子力學(xué)結(jié)論: :1）能量是量子化的n1,2,3.,主量子數(shù)與玻爾理論結(jié)論相同。與玻爾理論結(jié)論相同。4222018nmeEnh 422013.68meeVh2113.6nEeVn 2)電子“軌道”角動(dòng)量是量子化的0.1.2(1)ln(1) =(1)2hLl ll l角量子數(shù)角量子數(shù)或或副量子數(shù)副量子數(shù)3)3)角動(dòng)量的空間取向是量子化的角動(dòng)量的空間取向是量子化的,zlLm0, 1, 2,.,lml 對(duì)于一定的角量子數(shù) 可以取 個(gè)值。,ll m2(1)l 磁量子數(shù)角動(dòng)量L在Z軸上的投影LZ也只有 21l 0ZB1l ZB2l LL260

17、22 =(1)Ll l ,zlLm0, 1,.,lml0, ,zL 2L 每個(gè)角動(dòng)量與Z軸的夾角cos(1)(1)llZmmLLl ll larccos(1)lml l角動(dòng)量的空間取向角動(dòng)量的空間取向是量子化的是量子化的例例 假設(shè)氫原子處于假設(shè)氫原子處于l =3狀態(tài)，求軌道角動(dòng)量狀態(tài)，求軌道角動(dòng)量L及其及其與與z軸方向的夾角軸方向的夾角和投影值和投影值Lz。解：解： 321331llLlzmL 3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2, 3lm3,2,0,2,3zLcos2 3(1)lZlmLLlml150,125,107,0 .90,3 .72,8 .54,0 .302 2氫原子核外電子的概

18、率分布?xì)湓雍送怆娮拥母怕史植?電子處在點(diǎn)電子處在點(diǎn) 附近的體積元附近的體積元 中的概率中的概率dV( , , )r 2( , , )( , , )llnlmnlmdWrrdV *2*( )( , )( )si()n,lln ll mn ll mRr YRrrddYrd 220*20( , ) sin( )( )( )lnlnlnllmYdW rRr Rr rdddr drrrRnl22)(電子處于半徑為電子處于半徑為 的球殼內(nèi)的概率的球殼內(nèi)的概率: :r r dr徑向概率密度：徑向概率密度：22( )( )nln ldWP rRrrdr徑向概率分布：徑向概率分布： 01 . 02 . 03

19、. 04 . 05 . 05100r a01ln01 . 02 . 0510150r a12ln0ra峰值位置： 1003/2110( )2araRre徑向概率密度：徑向概率密度：22( )( )nln lP rRrr120003/2112123( )araaRrre04ra峰值位置：01 . 05101520250r a23ln09ra峰值位置：2110025.29 10hamme玻爾半徑玻爾半徑 玻爾的氫原子軌道半徑：玻爾的氫原子軌道半徑：20rn a結(jié)論：結(jié)論：電子在玻爾軌道上電子在玻爾軌道上出現(xiàn)的概率最大。出現(xiàn)的概率最大。 基態(tài)氫原子電子云基態(tài)氫原子電子云0a無(wú)外磁場(chǎng)無(wú)外磁場(chǎng)有外磁場(chǎng)有

20、外磁場(chǎng)塞曼效應(yīng)：塞曼效應(yīng)：在磁場(chǎng)中一些光譜線在磁場(chǎng)中一些光譜線會(huì)發(fā)生分裂的現(xiàn)象。會(huì)發(fā)生分裂的現(xiàn)象。rvm電子環(huán)電流：電子環(huán)電流： reI2v軌道磁矩：軌道磁矩： 222rerreISvv電子的磁矩電子的磁矩 原子的殼層結(jié)構(gòu)原子的殼層結(jié)構(gòu)電子的角動(dòng)量：電子的角動(dòng)量： rmLv2eLm 軌道磁矩矢量式：軌道磁矩矢量式： 電子磁矩與磁場(chǎng)的相互作用能：電子磁矩與磁場(chǎng)的相互作用能：E- B zEB BL22zzleLmemm 2lemBm2lmleEmBmn12340l1l2llmlm000011011011022EeV6 .13eV40. 3eV51. 1eV85. 0lm在外磁場(chǎng)作用下，原來(lái)的一個(gè)能

21、級(jí)將分裂成（2l + 1）個(gè)能級(jí) 。電子磁矩與磁場(chǎng)的相互作用能：電子磁矩與磁場(chǎng)的相互作用能：磁場(chǎng)中氫原子能量：42220218llmmlnnEmEEemnehBm 04lllln mnmmmnnlEEEEEEheBmmhh 輻射光譜頻率：0, 1lm選擇定則：電子的自旋電子的自旋 銀原子束經(jīng)過(guò)非銀原子束經(jīng)過(guò)非均勻磁場(chǎng)后分裂均勻磁場(chǎng)后分裂成兩束，在照相成兩束，在照相底片上留下底片上留下兩條兩條感光條紋。感光條紋。 斯特恩斯特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)蓋拉赫實(shí)驗(yàn)猜測(cè)：（1）電子有除了 軌道磁矩之外的一種未知磁矩。（2）該磁矩在外磁場(chǎng)方向只有兩種取向。1927年費(fèi)浦斯和泰勒實(shí)驗(yàn): 基態(tài)的氫原子（基態(tài)的氫原子（l

22、= 0）氫原子束分裂為氫原子束分裂為兩束兩束ZZBBFZZ2zzeLm 1925年，烏倫貝克和哥德斯密特提出電子自旋假設(shè)：電子除年，烏倫貝克和哥德斯密特提出電子自旋假設(shè)：電子除了具有軌道角動(dòng)量外還具有了具有軌道角動(dòng)量外還具有內(nèi)稟內(nèi)稟角動(dòng)量。這是由于電子繞自身角動(dòng)量。這是由于電子繞自身軸旋轉(zhuǎn)所引起的，故稱為軸旋轉(zhuǎn)所引起的，故稱為自旋角動(dòng)量自旋角動(dòng)量，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱自旋自旋。 自旋量子數(shù)：自旋量子數(shù)：s 21s電子自旋角動(dòng)量：電子自旋角動(dòng)量： 1ssS23自旋角動(dòng)量在外磁場(chǎng)方的分量：自旋角動(dòng)量在外磁場(chǎng)方的分量：12zsSm sm自旋磁量子數(shù) 21sm2s zem ,SmeS自旋磁矩：原子在Z方向（磁場(chǎng)

23、方向）所受到的力：2ZSSZBBBFZZZem 21oSzBs21sS四個(gè)量子數(shù)：四個(gè)量子數(shù)： 主量子數(shù)主量子數(shù) n（n = 1，2，3，）用于確定原子中）用于確定原子中電子能量的主要部分；電子能量的主要部分； 軌道量子數(shù)軌道量子數(shù) （l ，l = 0，1，2， ，n-1），用于），用于確定電子的軌道角動(dòng)量；確定電子的軌道角動(dòng)量； 磁量子數(shù)磁量子數(shù) ml ， （ml = 0，1，2 ，l ），），用于確定軌道角動(dòng)量的空間取向。用于確定軌道角動(dòng)量的空間取向。 自旋量子數(shù)自旋量子數(shù) ms ， （ms = 1/2），用于確定自旋），用于確定自旋角動(dòng)量的空間取向。角動(dòng)量的空間取向。 電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由4個(gè)量子數(shù)決定個(gè)量子數(shù)決定原子的殼層結(jié)構(gòu)模型：原子的殼層結(jié)構(gòu)模型： n1234567KLMNOPQ主殼層主殼層次殼層次殼層l0123456 spdfghi1916年柯塞耳年柯塞耳具有相同主量子數(shù)n的電子構(gòu)成一個(gè)殼層（1 1）泡利不相容原理：）泡利不相容原理： 在一個(gè)原子中不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的在一個(gè)原子中不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子處于相同的狀態(tài)，即不可能具有相同電子處